三年（2021-2023）高考数学真题专项03导数及其应用（选择题、填空题）（理）

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  专题03 导数及其应用（选择题、填空题）（理）知识点目录知识点1：切线问题知识点2：单调性、极最值问题知识点3：比较大小问题近三年高考真题知识点1：切线问题1．（2021•新高考Ⅰ）若过点可以作曲线的两条切线，则　　A． B． C． D．【答案】【解析】法一：函数是增函数，恒成立，函数的图象如图，，即切点坐标在轴上方，如果在轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点在轴或下方时，只有一条切线．如果在曲线上，只有一条切线；在曲线上侧，没有切线；由图象可知在图象的下方，并且在轴上方时，有两条切线，可知．故选：．法二：设过点的切线横坐标为，则切线方程为，可得，设，可得，，，是增函数，，，是减函数，因此当且仅当时，上述关于的方程有两个实数解，对应两条切线．故选：．【点评】本题考查曲线与方程的应用，函数的单调性以及切线的关系，考查数形结合思想，是中档题．2．（2022•新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是           ．【答案】，，．【解析】，设切点坐标为，，切线的斜率，切线方程为，又切线过原点，，整理得：，切线存在两条，方程有两个不等实根，△，解得或，即的取值范围是，，，故答案为：，，．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．3．（2022•新高考Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 　          　．【答案】，．【解析】当时，，设切点坐标为，，，切线的斜率，切线方程为，又切线过原点，，，切线方程为，即，当时，，与的图像关于轴对称，切线方程也关于轴对称，切线方程为，综上所述，曲线经过坐标原点的两条切线方程分别为，，故答案为：，．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．4．（2021•新高考Ⅱ）已知函数，，，函数的图象在点，和点，的两条切线互相垂直，且分别交轴于，两点，则的取值范围是           ．【解析】当时，，导数为，可得在点，处的斜率为，切线的方程为，令，可得，即，当时，，导数为，可得在点，处的斜率为，令，可得，即，由的图象在，处的切线相互垂直，可得，即为，，，所以．故答案为：．【点评】本题考查导数的运用：切线的方程，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于中档题．5．（2021•甲卷（理））曲线在点处的切线方程为          ．【答案】．【解析】因为，在曲线上，所以，所以，则曲线在点处的切线方程为：，即．故答案为：．知识点2：单调性、极最值问题6．（2022•乙卷（理））已知和分别是函数且的极小值点和极大值点．若，则的取值范围是           ．【答案】．【解析】对原函数求导，分析可知：在定义域内至少有两个变号零点，对其再求导可得：，当时，易知在上单调递增，此时若存在使得，则在单调递减，，单调递增，此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，应满足，不满足题意；当时，易知在上单调递减，此时若存在使得，则在单调递增，，单调递减，且，此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，且，故仅需满足，即：，解得：，又因为，故综上所述：的取值范围是．7．（2023•新高考Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为　　A． B． C． D．【答案】【解析】对函数求导可得，，依题意，在上恒成立，即在上恒成立，设，则，易知当时，，则函数在上单调递减，则．故选：．8．（多选题）（2023•新高考Ⅱ）若函数既有极大值也有极小值，则　　A． B． C． D．【答案】【解析】函数定义域为，且，由题意，方程即有两个正根，设为，，则有，，△，，，，即．故选：．【点评】本题考查函数极值的基础知识，属简单题．9．（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知函数，则　　A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线【答案】【解析】，令，解得或，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，且，有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项正确，选项错误；又，则关于点对称，故选项正确；假设是曲线的切线，设切点为，则，解得或，显然和均不在曲线上，故选项错误．故选：．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．10．（2023•乙卷（理））设，若函数在上单调递增，则的取值范围是 　　．【答案】的取值范围是，．【解析】函数在上单调递增，在上恒成立，即，化简可得在上恒成立，而在上，故有，由，化简可得，即，，解答，故的取值范围是，．故答案为：，．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，恒成立问题的求解，指数函数的性质，是中档题．知识点3：比较大小问题11．（2021•乙卷）设，，，则　　A． B． C． D．【答案】【解析】，，，令，，令，则，，，在上单调递增，（1），，，同理令，再令，则，，，在上单调递减，（1），，，．故选：．【点评】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化思想，属于难题．12．（2022•新高考Ⅰ）设，，，则　　A． B． C． D．【答案】【解析】构造函数，，则，，当时，，时，，单调递减；时，，单调递增，在处取最小值（1），，且，，，；，，，；设，则，令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，，当时，，当时，，单调递增，，，，．故选：．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．13．（2021•天津）设，，，则三者大小关系为　　A． B． C． D．【答案】【解析】，，，，，，，故选：．【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，考查了三个数比较大小，是基础题．14．（2021•新高考Ⅱ）已知，，，则下列判断正确的是　　A． B． C． D．【答案】【解析】，，．故选：．【点评】本题考查了对数的运算性质，对数函数的单调性，增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．