2023年浙江省宁波市中考数学真题（含解析）

宁波市2023年初中学业水平考试

数学试题

考生须知：

1．全卷分试题卷I、试题卷Ⅱ和答题卷。试题卷共6页，有三个大题，24个小题，满分为150分，考试时长为120分钟．

2．请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上．

3．答题时，把试题卷I的答案在答题卷I上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满。将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效。

4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示。

试题卷I

一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 在这四个数中，最小的数是(   )

A.  B.  C. 0 D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据负数小于0小于正数，负数的绝对值大的反而小，进行判断即可．

【详解】解：∵，

∴，

∴最小的数是；

故选A．

【点睛】本题考查比较实数的大小．熟练掌握负数小于0小于正数，负数的绝对值大的反而小，是解题的关键．

2. 下列计算正确的是(   )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项进行运算，然后判断即可．

【详解】解：A、，错误，故不符合要求；

B、，错误，故不符合要求；

C、，错误，故不符合要求；

D、，正确，故符合要求；

故选：D．

【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项．解题的关键在于正确的运算．

3. 据中国宁波网消息：2023年一季度宁波全市实现地区生产总值380180000000元，同比增长4.5%．数380180000000用科学记数法表示为(   )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．

【详解】解：，共有位数字，

，

故选：B．

【点睛】此题主要考查用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．

4. 如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是(   )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据几何体的主视图的含义可直接进行判断．

【详解】解：由题意可得：该几何体的主视图为

；

故选A．

【点睛】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．

5. 不等式组的解在数轴上表示正确的是(   )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据一元一次不等式组的解法先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可得到答案．

【详解】解：，

由①得；

由②得；

原不等式组的解集为，

在数轴上表示该不等式组的解集为：，

故选：C．

【点睛】本题考查一元一次不等式组解集的求法及在数轴上的表示，熟练掌握不等式组解集的求解原则“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”是解决问题的关键．

6. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示：

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择(   )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

【答案】D

【解析】

【分析】根据10次射击成绩的平均数可知淘汰乙；再由10次射击成绩的方差可知，也就是丁的射击成绩比较稳定，从而得到答案．

【详解】解：，

由四人的10次射击成绩的平均数可知淘汰乙；

，

由四人的10次射击成绩的方差可知丁的射击成绩比较稳定；

故选：D．

【点睛】本题考查通过统计数据做决策，熟记平均数与方差的定义与作用是解决问题的关键．

7. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是(   )

A. 或 B. 或

C. 或 D. 或

【答案】B

【解析】

【分析】根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案．

【详解】解：由图可知，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，

当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方，

即当时，的取值范围是或，

故选：B．

【点睛】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．

8. 茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，己知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为(   )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据某村有土地60公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，得到种植茶园和种植粮食的面积为，结合茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，列出方程组即可．

【详解】解：设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，由题意，得：，即：

故选B．

【点睛】本题考查根据实际问题列方程组．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键．

9. 已知二次函数，下列说法正确的是(   )

A. 点在该函数的图象上

B. 当且时，

C. 该函数的图象与x轴一定有交点

D. 当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧

【答案】C

【解析】

【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．

【详解】解：∵，

当时：，

∵，

∴，

即：点不在该函数的图象上，故A选项错误；

当时，，

∴抛物线的开口向上，对称轴为，

∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，

∵，，

∴当时，有最大值，

当时，有最小值为，

∴，故B选项错误；

∵，

∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；

当时，抛物线的对称轴为：，

∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，故选项D错误；

故选C．

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．

10. 如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(   )

A. 的面积 B. 的面积 C. 的面积 D. 矩形的面积

【答案】C

【解析】

【分析】过点作，交的延长线于点，的延长线于点，易得：，利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得，再根据，得到，即可得出结论．

【详解】解：过点作，交延长线于点，的延长线于点，

∵矩形，

∴，

∴，

∴四边形为矩形，

∴，

∴，

∴，

又，

∴，

∴只需要知道的面积即可求出的值；

故选C．

【点睛】本题考查矩形的性质，求三角形的面积．解题的关键是得到

试题卷Ⅱ

二、填空题（每小题5分，共30分）

11. 分解因式：=__________

【答案】

【解析】

【详解】解：

故答案为：

12. 要使分式有意义，的取值应满足_____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，从而得到，求解即可得到答案．

【详解】解：要使分式有意义，的取值应满足，解得，

故答案为：．

【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件：分母不为零是解决问题的关键．

13. 一个不透明的袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余相同．从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为_____________．

【答案】##0.25

【解析】

【分析】从袋子里任意摸一个球有种等可能的结果，其中是绿球的有种，根据简单概率公式代值求解即可得到答案．

【详解】解：由题意可知，从袋子里任意摸一个球有种等可能的结果，其中是绿球的有种，

（任意摸出一个球为绿球），

故答案为：．

【点睛】本题考查概率问题，弄清总的结果数及符合要求的结果数，熟记简单概率公式求解是解决问题的关键．

14. 如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为_____________．（结果保留）

【答案】

【解析】

【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式代值求解即可得到答案．

【详解】解：圆锥形烟囱帽底面半径为，母线长为，

烟囱帽的侧面积（），

故答案为：．

【点睛】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解决问题的关键．

15. 如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为_____________．

【答案】或

【解析】

【分析】连接，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出的长，勾股定理求出和的长，分和两种情况进行求解即可．

【详解】解：连接，

∵以为直径的半圆O与相切于点D，

∴，，

∴

设，则，

在中：，即：，

解得：，

∴，

∴，，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

∵为等腰三角形，

当时，，

当时，

∵，

∴点与点重合，

∴，

不存在的情况；

综上：的长为或．

故答案为：或．

【点睛】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义．熟练掌握切线的性质，等腰三角形的定义，确定点的位置，是解题的关键．

16. 如图，点A，B分别在函数图象的两支上（A在第一象限），连接AB交x轴于点C．点D，E在函数图象上，轴，轴，连接．若，的面积为9，四边形的面积为14，则的值为__________，a的值为__________．

【答案】    ①. 12    ②. 9

【解析】

【分析】如图，延长，交于点，与轴交于点，而轴，轴，可得，的面积是5，设，，则，，，利用面积可得，，由，，可得，可得③，再利用方程思想解题即可．

【详解】解：如图，延长，交于点，与轴交于点，而轴，轴，

∴，

∵的面积为9，四边形的面积为14，

∴的面积是5，

设，，

∴，，

∴，，，，

∴，，

整理得：，，

∵，，

∴，

∴，

∴，则③，

把③代入②得：，

∴，即④，

把③代入①得：⑤，

把④代入⑤得：；

故答案为：12；9

【点睛】本题考查的是反比例函数的几何应用，平行线分线段成比例的应用，坐标与图形面积，熟练的利用方程思想解题是关键．

三、解答题（本大题有8小题，共80分）

17. 计算：

（1）．

（2）．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据零指数幂运算、去绝对值运算和算术平方根运算分别求解，再利用有理数加减运算求解即可得到答案；

（2）根据平方差公式、单项式乘以多项式将原式展开，合并同类项即可得到答案．

【小问1详解】

解：

；

【小问2详解】

解：

．

【点睛】本题考查实数混合运算及整式混合运算，熟记相关运算法则是解决问题的关键．

18. 在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．

（1）在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形，再画出该三角形向右平移2个单位后的．

（2）将图2中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的．

【答案】（1）画图见解析   

（2）画图见解析

【解析】

【分析】（1）先画等腰三角形，，再确定平移后的对应点，再顺次连接即可；

（2）确定A，B旋转后的对应点，而C的对应点是其本身，再顺次连接即可．

【小问1详解】

解：如图，，即为所求作的三角形；

  【小问2详解】

如图，即为所求作的三角形，

  【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，作等腰三角形，熟练的利用网格特点以及平移旋转的性质进行作图是解本题的关键．

19. 如图，已知二次函数图象经过点和．

（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．

（2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围．

【答案】（1），顶点坐标为；   

（2）

【解析】

【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标；

（2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围．

【小问1详解】

解：∵二次函数图象经过点和．

∴，解得：，

∴抛物线为，

∴顶点坐标为：；

【小问2详解】

当时，，

∴

解得：，，

如图，当时，

∴．

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．

20. 宁波象山作为杭州亚运会分赛区，积极推进各项准备工作．某校开展了亚运知识的宣传教育活动，为了解这次活动的效果，从全校1200名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分为100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第；合格（），一般（），良好（），优秀（），制作了如下统计图（部分信息未给出）

由图中给出的信息解答下列问题：

（1）求测试成绩为一般的学生人数，并补全须数直方图．

（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．

（3）这次测试成绩的中位数是什么等第？

（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有多少人？

【答案】（1）测试成绩为一般的学生人数为60人，图见解析   

（2）   

（3）良好    （4）估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有660人

【解析】

【分析】（1）利用优秀的人数除以所占的百分比求出总数，利用总数减去其他等级的人数求出测试成绩为一般的学生人数，进而补全直方图即可；

（2）良好等级的人数所占的比例进行计算即可；

（3）利用中位数的定义进行作答即可；

（4）利用总体乘以样本中测试成绩为良好和优秀的学生所占的比例，即可得解．

小问1详解】

解：人，

∴测试成绩为一般学生人数为：人；

补全直方图如图：

  【小问2详解】

；

【小问3详解】

共200人，将成绩按照从小到大排序后，第100个数据和第101个数据均在的范围内，即中位数落在良好等第中；

【小问4详解】

（人）；

答：估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有660人．

【点睛】本题考查统计图，中位数，利用样本估计总体．从统计图中有效的获取信息，熟练掌握中位数的计算方法，是解题的关键．

21. 某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．

（1）如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示．

（2）如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：，）

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）如图所示，铅垂线与水平线相互垂直，从而利用直角三角形中两锐角互余即可得到答案；

（2）根据题意，，在中，，由等腰直角三角形性质得到；在中，，由，解方程即可得到答案．

【小问1详解】

解：如图所示：

由题意知，

在中，，则，即，

；

【小问2详解】

解：如图所示：

，

在中，，由等腰直角三角形性质得到，

在中，，

由，

即，

解得，

气球离地面的高度．

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及直角三角形性质、等腰直角三角形性质和正切函数测高等，熟练掌握解直角三角形的方法及相关知识点是解决问题的关键．

22. 某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．

（1）求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值，

（2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将，代入解析式求出的值即可；

（2）先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的时间，用总时间减去两段时间即可得解．

【小问1详解】

解：设大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为，由图象可知，直线过点，

∴，解得：，

∴；

当时：，解得：，

∴；

【小问2详解】

由图象可知，军车的速度为：，

∴军车到达仓库所用时间为：，

从仓库到达基地所用时间为：，

∴部队官兵在仓库领取物资所用的时间为．

【点睛】本题考查一次函数的实际应用．从函数图象上有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键．

23. 定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．

（1）如图1，在四边形中，，对角线平分．求证：四边形为邻等四边形．

（2）如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．

（3）如图3，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连接，过B作交的延长线于点E．若，求四边形的周长．

【答案】（1）证明见解析   

（2）画图见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）先证明，，再证明，即可得到结论；

（2）根据新定义即可，再确定，的格点D即可；

（3）如图，过作于，可得四边形是矩形，，，证明四边形为平行四边形，可得，，设，而，，，由新定义可得，由勾股定理可得：，再解方程可得答案．

【小问1详解】

解：∵，

∴，，

∵对角线平分，

∴，

∴，

∴，

∴四边形为邻等四边形．

【小问2详解】

解：，，即为所求；

  【小问3详解】

如图，过作于，

∵，

∴四边形是矩形，

∴，，

∵，

∴四边形为平行四边形，

∴，，

设，而，

∴，，

由新定义可得，

由勾股定理可得：，

整理得：，

解得：，（不符合题意舍去），

∴，

∴四边形的周长为．

【点睛】本题考查的是新定义的含义，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键．

24. 如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．

（1）求的度数．

（2）①求证：．

②若，求的值，

（3）如图2，当点O恰好在上且时，求的长．

【答案】（1）   

（2）①证明见解析；②；   

（3）

【解析】

【分析】（1）先证明，结合，，可得，从而可得答案；

（2）①证明，再证明，可得；②设， ，证明，可得，即，则，可得，从而可得答案；

（3）如图，设的半径为，连接交于，过作于，证明，，可得，证明，可得，，证明，，即，再解方程可得答案．

【小问1详解】

证明：∵平分，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

【小问2详解】

①∵为中点，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴；

②设， ，

∴，，

∵，，

∴，

∴，即，

∴，即，

∴，

∴，

∴（负根舍去）；

【小问3详解】

如图，设的半径为，连接交于，过作于，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，而，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

解得：，（负根舍去），

∴．

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，求解锐角的正切，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键．