2023年安徽中考数学真题（含解析）

2023年安徽省初中学业水平考试

数学

（试题卷）

注意事项：

1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．

2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．

3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．

4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．

1. 的相反数是（    ）

A. 5 B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据相反数的定义即可求解．

【详解】解：的相反数是5，

故选：A．

【点睛】此题主要考查相反数，解题的关键是熟知相反数的定义．

2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据主视图是三角形，结合选项即可求解．

【详解】解：∵主视图是直角三角形，

故A，C，D选项不合题意，

故选：B．

【点睛】主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形,掌握三视图的定义是解题关键.

3. 下列计算正确的是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．

【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；

B. ，故该选项不正确，不符合题意；   

C. ，故该选项正确，符合题意；

D. ，故该选项不正确，不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项的运算法则是解题的关键．

4. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先解不等式，然后在数轴上表示不等式解集即可求解．

【详解】解：

解得：，

数轴上表示不等式的解集

故选：A．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键．

5. 下列函数中，的值随值的增大而减小的是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解．

【详解】解：A. ，，对称轴为直线，

当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；

B. ，，对称轴为直线，

当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；

C. ，，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；

D. ，，的值随值的增大而减小，故该选项正确，符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．

6. 如图，正五边形内接于，连接，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可．

【详解】∵，

∴，

故选D．

【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．

7. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解．

【详解】解：依题意，用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，可能结果有，

共六种可能，

只有是“平稳数”

∴恰好是“平稳数”的概率为

故选：C．

【点睛】本题考查了新定义，概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．

8. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解．

【详解】解：∵四边形是正方形，，，

∴，，，

∴，

∴

∴，，

∴，则，

∴，

∵，

∴，

∴

∴，

在中，，

故选：B．

【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．

9. 已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设，则，，将点，代入，得出，代入二次函数，可得当时，，则，得出对称轴为直线，抛物线对称轴在轴的右侧，且过定点，进而即可求解．

【详解】解：如图所示，

设，则，根据图象可得，

将点代入，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

对称轴为直线，

当时，，

∴抛物线经过点，

∴抛物线对称轴在的右侧，且过定点，

当时，，

故选：A．

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出是解题的关键．

10. 如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）

A. 的最小值为 B. 的最小值为

C. 周长的最小值为6 D. 四边形面积的最小值为

【答案】A

【解析】

【分析】延长，则是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当点与重合时，则三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解．

【详解】解：如图所示，

延长，

依题意

∴是等边三角形，

∵是的中点，

∴，

∵，

∴

∴，

∴

∴，

∴四边形是平行四边形，

则为的中点

如图所示，

设的中点分别为，

则

∴当点在上运动时，在上运动，

当点与重合时，即，

则三点共线，取得最小值，此时，

则，

∴到的距离相等，

则，

此时

此时和的边长都为2，则最小，

∴，

∴

∴，

或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，

此时

故A选项错误，

根据题意可得三点共线时，最小，此时，则，故B选项正确；

周长等于，

即当最小时，周长最小，

如图所示，作平行四边形，连接，

∵，则

如图，延长,，交于点，

则，

∴是等边三角形，

∴，

在与中，

∴

∴

∴

∴

∴，则，

∴是直角三角形，

在中，

∴当时，最短，

∵

∴周长的最小值为，故C选项正确；

∵

∴四边形面积等于

∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合

∴四边形面积的最小值为，故D选项正确，

故选：A．

【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当点与重合时得出最小值是解题的关键．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11. 计算：_____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据求一个数的立方根，有理数的加法即可求解．

【详解】解：，

故答案：．

【点睛】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．

12. 据统计，年第一季度安徽省采矿业实现利润总额亿元，其中亿用科学记数法表示为_____．

【答案】

【解析】

【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数．

【详解】解：亿．

故答案为：．

【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．

13. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时，____．

【答案】

【解析】

【分析】根据公式求得，根据，即可求解．

【详解】解：∵，，

∴

∴,

故答案为：．

【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键．

14. 如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过斜边的中点．

（1）__________；

（2）为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为____________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】（1）根据已知条件得出的坐标，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的得出的坐标，进而即可求解；

（2）根据题意，求得直线，联立与反比例函数解析式，得出的坐标，进而根据两点距离公式求得，，进而即可求解．

详解】解：（1）∵，

∴

∴，

∵是的中点，

∴，

∵反比例函数的图象经过斜边的中点．

∴；

∴反比例数解析式为

故答案为：；

（2）∵，

设直线的解析式为

∴

解得：

∴直线的解析式为，

∵，

设直线的解析式为，将点代入并解得，

∴直线的解析式为，

∵反比例数解析式为

联立

解得：或

当时，

当时，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15. 先化简，再求值：，其中．

【答案】；

【解析】

【分析】先根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．

【详解】解：

，

当时，

∴．

【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．

16. 根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨，乙地降价元，已知销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．

【答案】调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元

【解析】

【分析】设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元，根据题意，列出二元一次方程组，解方程组即可求解．

【详解】解：设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元，根据题意得，

解得：

答：调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．

四、（本大题共2小题、每小题8分、满分16分）

17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均为格点（网格线的交点）．

（1）画出线段关于直线对称的线段；

（2）将线段向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段；

（3）描出线段上的点及直线上的点，使得直线垂直平分．

【答案】（1）见解析    （2）见解析   

（3）见解析

【解析】

【分析】（1）根据轴对称的性质找到关于直线的对称点，，连接，则线段即为所求；

（2）根据平移的性质得到线段即为所求；

（3）勾股定理求得，，则证明得出，则，则点即为所求．

【小问1详解】

解：如图所示，线段即为所求；

【小问2详解】

解：如图所示，线段即为所求；

【小问3详解】

解：如图所示，点即为所求

如图所示，

∵，，

∴，

又，

∴，

∴，

又，

∴

∴，

∴垂直平分．

【点睛】本题考查了轴对称作图，平移作图，勾股定理与网格问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．

18. 【观察思考】

【规律发现】

请用含的式子填空：

（1）第个图案中“”的个数为     ；

（2）第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________．

【规律应用】

（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解；

（2）根据题意，结合图形规律，即可求解．

（3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．

【小问1详解】

解：第1个图案中有个，

第2个图案中有个，

第3个图案中有个，

第4个图案中有个，

……

∴第个图案中有个，

故答案为：．

【小问2详解】

第1个图案中“★”的个数可表示为，

第2个图案中“★”的个数可表示为，

第3个图案中“★”的个数可表示为，

第4个图案中“★”的个数可表示为，……，

第n个图案中“★”的个数可表示为，

【小问3详解】

解：依题意，，

第个图案中有个，

∴，

解得：（舍去）或．

【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19. 如图，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点时，测得到点的距离为点的俯角为，无人机继续竖直上升到点，测得点的俯角为．求无人机从点到点的上升高度（精确到）．参考数据：，．

【答案】无人机从点到点的上升高度约为米

【解析】

【分析】解，求得，，在中，求得，根据，即可求解．

【详解】解：依题意，，，，

中，，

∴，，

在中，，

∴

（米）

答：无人机从点到点的上升高度约为米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．

20. 已知四边形内接于，对角线是的直径．

（1）如图1，连接，若，求证；平分；

（2）如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长．

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】

【分析】（1）利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可．

(2)证明四边形平行四边形，后用勾股定理计算即可．

【小问1详解】

∵对角线是的直径，

∴，

∴，

∴平分．

【小问2详解】

∵对角线是的直径，

∴，

∴

∵，

∴，

∴四边形平行四边形，

∴，

∵，，

∴，，

∴．

【点睛】本题考查了垂径定理的推论，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理的推论，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．

六、（本题满分12分）

21. 端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如下：

八年级名学生活动成绩统计表

已知八年级名学生活动成绩的中位数为分．

请根据以上信息，完成下列问题：

（1）样本中，七年级活动成绩为分的学生数是______________，七年级活动成绩的众数为______________分；

（2）______________，______________；

（3）若认定活动成绩不低于分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．

【答案】（1）   

（2）   

（3）优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据扇形统计图得出七年级活动成绩为分的学生数的占比为，即可得出七年级活动成绩为分的学生数，根据扇形统计图结合众数的定义，即可求解；

（2）根据中位数的定义，得出第名学生为分，第名学生为分，进而求得，的值，即可求解；

（3）分别求得七年级与八年级的优秀率与平均成绩，即可求解．

【小问1详解】

解：根据扇形统计图，七年级活动成绩为分的学生数的占比为

∴样本中，七年级活动成绩为分学生数是，

根据扇形统计图，七年级活动成绩的众数为

故答案为：．

【小问2详解】

∵八年级名学生活动成绩的中位数为分，

第名学生为分，第名学生为分，

∴，

，

故答案为：．

【小问3详解】

优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下，

七年级优秀率为，平均成绩为：，

八年级优秀率为，平均成绩为：，

∴优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高，

∴优秀率高的年级不是平均成绩也高

【点睛】本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，众数，求一组数据的平均数，从统计图表获取信息是解题的关键．

七、（本题满分12分）

22. 在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接．

（1）如图1，求的大小；

（2）已知点和边上的点满足．

（ⅰ）如图2，连接，求证：；

（ⅱ）如图3，连接，若，求的值．

【答案】（1）   

（2）（ⅰ）见解析；（ⅱ）

【解析】

【分析】（1）根据旋转的性质得出，根据等边对接等角得出，在中，根据三角形内角和定理即得出，进而即可求解；

（2）（ⅰ）延长交于点，证明四边形是菱形，进而根据平行线分线段成比例得出，，根据等腰三角形的性质，得出是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证；

（ⅱ）如图所示，过点作于点，由，得出，，进而根据正切的定义即可求解．

【小问1详解】

解：∵

∴，

在中，

∴

【小问2详解】

证明：（ⅰ）证法一：

如图，延长，交于点，则，

∵，

∴．

又∵，

∴四边形是平行四边形．

∴．

∵是的中点，，

∴．

∴．

∴四边形是平行四边形．

∵，

∴是菱形．

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，即，

∴，即点是斜边的中点．

∴．

证法二：

∵，是斜边的中点，

∴点在以为圆心，为直径的上．

∵，

∴垂直平分．

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

证法三：

∵，

∴．

又∵，

∴四边形是平行四边形．

∴．

∵是的中点，，

∴．

∴．

∴四边形是平行四边形．

∵，

∴是菱形．

∴．

∵，是斜边的中点，

∴点在以为圆心，为直径的上．

∴．

（2）如图所示，过点作于点，

∵，

∴，则，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，菱形的性质与判定，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，求正切，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．

八、（本题满分14分）

23. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．

（1）求的值；

（2）已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．

（ⅰ）当时，求与的面积之和；

（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）（ⅰ）；（2）

【解析】

【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；

（2）（ⅰ）根据题意画出图形，得出，，，继而得出，，当时，根据三角形的面积公式，即可求解．

（ⅱ）根据（ⅰ）的结论，分和分别求得梯形的面积，根据四边形的面积为建立方程，解方程进而即可求解．

【小问1详解】

解：依题意，，

解得：，

∴；

【小问2详解】

（ⅰ）设直线的解析式为，

∵，

∴

解得：，

∴直线，

如图所示，依题意，，，，

∴，

，

∴当时，与的面积之和为，

（ⅱ）当点在对称右侧时，则，

∴，

当时，，

∴，

∴，

解得：，

当时，，

∴，

∴，

解得：（舍去）或（舍去）

综上所述，．

【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．