2009年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)

2009年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1. 设，则（  ）

A.24.      B. 25.       C. .        D. .

2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（   ）

A..      B. .       C. .        D. .

3．用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为（   ）

A.1.      B. 2.       C. 3.        D. 4.

4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（   ）

A..      B. .       C. .        D. .

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE＝                                       （  ）

A..      B. .       C. .        D. .

6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是               （   ）

A.3.      B. 4.       C. 5.        D. 6.

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1．已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是____________.

2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为______.

3．如果实数满足条件，，则______.

4．已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_____对.

第二试 （A）

一．（本题满分20分）

已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.

（1）证明：⊙P与轴的另一个交点为定点.

（2）如果AB恰好为⊙P的直径且，求和的值.

二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求.

三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：

                                          ①

                       ②

证明：以为三边长可构成一个直角三角形.

第二试 （B）

一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.

二． （本题满分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.

三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.  

第二试 （C）

一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.

二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.

三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：

                                          ①

                       ②

是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1.设，则            （    ）

A.24.      B. 25.       C. .        D. .

【答】A.

由，得，故.所以

.

2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝          （    ）

A..      B. .       C. .        D. .

【答】C.

延长CA至D，使AD＝AB，则，所以△CBD∽△DAB，所以，故，所以.又因为，所以.

3．用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为               （    ）

A.1.      B. 2.       C. 3.        D. 4.

【答】C.

由方程得，而，所以，即，解得，从而只可能取值.

当时，，解得；

当时，，没有符合条件的解；

当时，，没有符合条件的解；

当时，，解得；

当时，，解得.

因此，原方程共有3个解.

4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为                                                           （    ）

A..      B. .       C. .        D. .

【答】B.

不妨设正方形的面积为1.容易知道，以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类：

（1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的四个顶点之一，这样的三角形有4个，它们的面积都为；

（2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的中心O，这样的三角形也有4个，它们的面积都为.

所以以五个点A、B、C、D、O为顶点可以构成4＋4＝8个三角形，从中任意取出两个，共有28种取法.

要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有12种.

因此，所求的概率为.

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE＝                                                                       （    ）

A..      B. .       C. .        D. .

【答】 D.

设BC的中点为O，连接OE、CE.

因为AB⊥BC，AE⊥OE，所以A、B、O、E四点共圆，故∠BAE＝∠COE.

又AB＝AE，OC=OE，所以△ABE∽△OCE，因此，即.

又CE⊥BE，所以，故CBE＝.

6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是               （    ）

A.3.      B. 4.       C. 5.        D. 6.

【答】B.

设，则，它为完全平方数，不妨设为（其中为正整数），则.

验证易知，只有当时，上式才可能成立.对应的值分别为50，20，10，2.

因此，使得为完全平方数的共有4个，分别为1959，1989，1999，2007.

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1．已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是____________.

【答】.

因为是关于的一元二次方程的两个非负实根，所以

解得.

，

当时，取得最小值.

2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为______.

【答】 .

设△ABC的面积为,则因为△ADE∽△ABC，所以.

又因为△BDF∽△BAC，所以.

两式相加得，即，解得.

所以四边形DECF的面积为.

3．如果实数满足条件，，则______.

【答】  .

因为，所以.由可得

，从而，解得.

从而，因此，即，整理得，解得（另一根舍去）.

把代入计算可得，所以.

4．已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_____对.

【答】  7.

设（为正整数），则，故为有理数.

令，其中均为正整数且.从而，所以，故，所以.

同理可得（其中为正整数），则.

又，所以，所以.

（1）时，有，即，易求得或（3,6）或（6,3）.

（2）时，同理可求得.

（3）时，同理可求得或（1,2）.

（4）时，同理可求得.

因此，这样的有序数对共有7对，分别为（240,240），（135,540），（540,135），（60,60），（60,15），（15,60），（15,15）.

第二试 （A）

一．（本题满分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.

（1）证明：⊙P与轴的另一个交点为定点.

（2）如果AB恰好为⊙P的直径且，求和的值.

解  （1）易求得点的坐标为，设，，则，.

设⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则.

因为，所以点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1).                 …………………………………10分

（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，

即.                         …………………………………15分

又，所以

，

解得.                    …………………………………20分

二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求.

解  作E⊥AB于E，F⊥AB于F.

在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，.

又CD⊥AB，由射影定理可得，故，

.                                …………………………………5分

因为E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以＝.

…………………………………10分

连接D、D，则D、D分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠DC＝∠DA＝∠DC＝∠DB＝45°，故∠D＝90°，所以D⊥D，

.       …………………………………15分

同理，可求得，.                     …………………………………20分

所以＝.       …………………………………25分

三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：

                                          ①

                       ②

证明：以为三边长可构成一个直角三角形.

证法1  将①②两式相乘，得，

即，       ………………………………10分

即，

即，       ………………………………15分

即，

即，

即，即，

即，          …………………………………20分

所以或或，即或或.

因此，以为三边长可构成一个直角三角形.        ……………………………25分

证法2  结合①式，由②式可得，

变形，得              ③        ………………………10分

又由①式得，即，

代入③式，得，

即.             …………………………………15分

，   ……………20分

所以或或.

结合①式可得或或.

因此，以为三边长可构成一个直角三角形.     …………25分

第二试 （B）

一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.

二． （本题满分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.

解  因为BN是∠ABC的平分线，所以.

又因为CH⊥AB，所以

，

因此.      …………………………………10分

又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以，因此C、F、H、B四点共圆.             …………………15分

又，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上.  ……20分

同理可证，点E在CH的中垂线上.

因此EF⊥CH.

又AB⊥CH，所以EF∥AB.  ………………25分

三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.  

第二试 （C）

一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.

二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.

三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：

                                          ①

                       ②

是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.

解法1  将①②两式相乘，得，

即，       ………………………………10分

即，

即，       ………………………………15分

即，

即，

即，即，

即，               …………………………………20分

所以或或，即或或.

因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.

       ……………………………25分

解法2  结合①式，由②式可得，

变形，得              ③      ………………………10分

又由①式得，即，

代入③式，得，

即.                    …………………………………15分

，     ………20分

所以或或.

结合①式可得或或.

因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.

……………………………25分