【同步讲义】苏科版数学八年级下册：第十一章 反比例函数（题型过关）

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第十一章 反比例函数
 
【题型一】判断反比例函数图象
典例1．“卓越数学兴趣小组”准备对函数图像和性质进行探究，他们制定了以下探究步骤：
(1)该小组认为此函数与反比例函数有关，于是他们首先画出了反比例函数y＝的图像（如图1），然后画出了的图像，请在图1中画出此图像（草图）．

(2)他们发现函数图像可以由y＝的图像平移得到，请写出平移过程．
(3)他们发现可以根据函数图像画出函数的图像，请在图2中画出此图像（草图），并写出其中的两条函数性质．

(4)他们研究后发现，方程中，随着a的变化，方程的解的个数也会有所变化，请结合图像，就a的取值范围讨论方程解的情况．
【答案】(1)见解析
(2)向左平移1个单位，再向下平移3个单位
(3)见解析
(4)当a＜0时，方程无解；当a＞3或0＜a＜3时，方程有两个解；当a＝0或a＝3时，方程有一个解
【分析】（1）画出函数的图像即可；
（2）观察图像即可得到结论；
（3）作出函数值小于零的部分图像关于x轴的轴对称图形得到函数图像，然后根据图像写出两条性质即可；
（4）分a＜0，a=0或a=3，0＜a＜3或a＞3三种情况，分别根据函数图像求解即可．
【详解】（1）解：如图①所示即为所求．

（2）解：将y＝的图像向左平移1个单位，再向下平移3个单位可得y＝－3的图像．
（3）解：函数图像如图②，性质如下（不唯一）：
①函数有最小值，最小值为0，
②当x＞1时，y随着x的增大而增大，x＜－1时，y随着x的增大而增大．

（4）解：方程中，随着a的变化，方程的解的个数也会有所变化
当a＜0时，方程无解；
当a＞3或0＜a＜3时，方程有两个解；
当a＝0或a＝3时，方程有一个解．
【点睛】本题主要考查了函数图像的平移、反比例函数图像和性质、函数与方程的关系等知识点，正确画出函数图像是解答本题的关键．
1．请你根据以前学习函数的经验，研究函数的图象和性质并解决相关问题．

(1)由数想形：该函数图象关于________对称；与坐标轴的交点为________；
(2)描点画图：
①列表：下表是与的几组对应值，其中________；________；

…






0
1
2
4
5
6
7
…

…

2
3
6





6
3
2

…
②描点：根据表中各组对应值，在平直角坐标系中描出各点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你把图象补充完整．
(3)观察你所画的函数图象，解答下列问题：若点，为该函数图象上不同的两点，则________；
(4)直接写出当时，的取值范围为________．
【答案】(1)y轴，（0，-2）
(2)①，-2；②见解析；③见解析
(3)0
(4)x＜-3或x=0或x＞3
【分析】（1）根据函数解析式可得函数的图象关于y轴对称；图象与y轴的交点为（0，-2）；
（2）①分别把x=7，x=0代入解析式，即可求解；②在平直角坐标系中描出各点，即可求解；③用平滑的曲线顺次连接各点，即可求解；
（3）观察函数图象得到函数的图象关于y轴对称，而点A与点B关于y轴对称，所以a与b互为相反数；
（4）观察函数图象，找出函数值大于或等于-2所对应的自变量的值或取值范围．
【详解】（1）解：由数想形：该函数图象关于y轴对称；
当x=0时，，
∴与坐标轴的交点为（0，-2）；
故答案为：y轴，（0，-2）；
（2）解：①当x=7时，，
∴，
当x=0时，，
∴b=-2，
故答案为：，-2；
②描点：根据表中各组对应值，在平直角坐标系中描出各点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接备点，补全图象，如下：

（3）解：根据题意得：函数关于y轴对称，
∵点，为该函数图象上不同的两点，
∴；
故答案为：0
（4）解：观察图象得：当时，的取值范围为x＜-3或x=0或x＞3．
故答案为：x＜-3或x=0或x＞3
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质；会利用描点法画反比例函数图象，数形结合是解题的关键．
2．背景：点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，分别在射线上取点D，E，使得四边形为正方形．如图1，点A在第一象限内，当时，小李测得．

探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请有助小李解决下列问题．
(1)求k的值．
(2)设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式．
②补画时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．
【答案】(1)k=2；
(2)①；②作图见解析，函数性质：1．x>0时，y随x的增大而增大； 2．x<0时，y随x的增大而增大．
【分析】（1）根据正方形的性质求出AB得到点A的坐标即可；
（2）①求出点A的坐标，再代入反比例函数的解析式即可；②利用描点法画出图象；根据函数图象可得结论.
【详解】（1）解：∵四边形ABED为正方形，且AC＝4，，
∴AD=AB=AC-CD=0.5，
∴A（4，0.5），
∵点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴k=2；
（2）解：①由题意得A（x，x-z），
∴x（x-z）=2，
∴；
②图象如图：

性质1：x>0时，y随x的增大而增大；
性质2：x<0时，y随x的增大而增大．
【点睛】此题考查待定系数法求反比例函数解析式，画函数图象，函数的性质，熟练掌握各知识点并应用解决问题是解题的关键．
3．（1）列表，利用描点法在给出的平面直角坐标系中画出函数y＝的图象的另一部分，并解答下列问题．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣0.5
﹣0.25
0.25
0.5
1
2
3
4
…
y
…
0.25

m
1
2
4
4
n
1
0.5

0.25
…
其中，m＝　　，n＝　　；
（2）观察函数图象，写出这个函数的两条性质．
性质1：　　；
性质2：　　．
（3）根据图象直观判断：
①直线y＝﹣2x与函数y＝图象的交点有　　个；
②在同一坐标系中作出函数y＝x的图象，通过平移直线y＝x，观察发现：当函数y＝x+b的图象与函数y＝的图象交点个数不少于两个时，b的取值范围是 　　．

【答案】（1）画图见解析，，2；（2）当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．（3）①一；②b≥2．
【分析】（1）利用函数解析式分别求出对应的函数值，利用描点法画出图象即可．
（2）观察图象可知：①当时，随的增大而增大．②当时，随的增大而减小．
（3）利用图象即可解决问题．
【详解】解：（1）把，代入得，把代入得，
，．
故答案为，2．
画出函数的图象如图所示，

（2）观察函数图象，
①当时，随的增大而增大．
②当时，随的增大而减小．
故答案为：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
（3）①在同一坐标系画出直线如图，

观察图象可知直线与函数图象的交点有一个，
故答案为一；
②在同一坐标系画出直线，
当直线过时，函数的图象与函数的图象有两个交点，此时，
由图象可知，当时，函数的图象与函数的图象交点个数不少于两个，
故答案为．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查反比例函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．
【题型二】比较反比例函数值或自变量的大小
典例2．已知反比例函数y＝的图象经过点A（3，﹣2）．
（1）求k的值．
（2）点C（x1，y1），B（x2，y2）均在反比例函数y＝的图象上，若0＜x1＜x2，直接写出y1，y2的大小关系．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数的解析式即可得；
（2）根据反比例函数的增减性即可得．
【详解】解：（1）由题意，将点代入得：，
解得；
（2）由（1）得：反比例函数的解析式为，
在每一象限内，随的增大而增大，
均在反比例函数的图象上，且，
．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题关键．
1．如图，直线与双曲线（m≠0）相交于A（1，2），B（-2，-1）两点，

(1)若为双曲线上的三点，且，则的大小关系为 ；
(2)观察图象，请直接写时，x的取值范围为 ；
(3)分别连接OA、OB，求△OAB的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）先利用待定系数法求出双曲线的解析式，再利用反比例函数的性质即可得；
（2）结合点的坐标，找出一次函数的图象位于反比例函数的图象上方时，的取值范围即可得；
（3）设直线与轴的交点为点，先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据的面积等于的面积与的面积即可得．
【详解】（1）解：由题意，将点代入得：，
则双曲线的解析式为，
所以在每一象限内，随的增大而减小，
，
，
故答案为：．
（2）解：不等式表示一次函数的图象位于反比例函数的图象上方，
则的取值范围或，
故答案为：或．
（3）解：将点代入得：，
解得，
则直线的解析式为，
如图，设直线与轴的交点为点，

当时，，解得，即，

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、一次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A（－1，n）、B（2，－1）两点，与y轴相交于点C．

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；
(3)若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数上的两点，当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．
【答案】(1)一次函数为：y=-x+1，反比例函数为：，
(2)3；
(3)当x1＜x2＜0时，y2＞y1 ；
【分析】（1）由B点坐标求得反比例函数解析式，再由反比例函数解析式求得A点坐标，由A、B两点坐标求得一次函数解析式；
（2）由一次函数解析式求得C点坐标，再求得D点坐标，根据△ABD面积=△ACD面积+△BCD面积便可解答；
（3）根据反比例函数在x1＜x2＜0时的增减性判断即可；
【详解】（1）解：B点代入反比例函数得：m=-2，
∴反比例函数为：，
A点代入反比例函数得：n=2，
∴A（-1，2），B（2，-1），
代入一次函数得：，
解得：，
∴一次函数为：y=-x+1，
（2）解：一次函数y=-x+1，与y轴交点为：C（0，1），
若点D与点C关于x轴对称，
则D点为（0，-1），
∵CD=2，A（-1，2）到y轴距离为1，B（2，-1）到y轴距离为2，
∴△ABD面积=△ACD面积+△BCD面积=；
（3）解：∵反比例函数，在x＜0时递增，
∴当x1＜x2＜0时，y2＞y1 ；
【点睛】本题考查了反比例函数解析式，一次函数解析式，坐标的对称特征，掌握反比例函数的性质是解题关键．
3．阅读下面的材料：
如果函数y=满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，
①若x1 ②若x1 例题：证明函数是增函数．
证明：任取x10，x2>0．
则．
x10，x2>0，
．
，即．
函数是增函数．根据以上材料解答下列问题：
(1)函数 ，,…, f（10）= ；
(2)猜想 是 函数（填“增”或“减”），并证明你的猜想．
【答案】(1)
(2)减；证明见解析
【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题；
（2）根据题目中例子的证明方法可以证明猜想成立．
【详解】（1）解：将x=10代入，
得，
故答案为；
（2）猜想：是减函数，
证明：任取x1＜x2，x1＞0，x2＞0，
则，
∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，
∴，
即即,
∴函数是减函数，
故答案为：减．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
【题型三】已知反比例系数求特殊图形的面积
典例3．如图，在同一平面直角坐标系中，P是y轴正半轴上的一点，过点P作直线AB//x轴，分别与双曲线y＝﹣（x＜0）、y＝（x＞0）相交于点A、B，连接OA、OB，求△AOB的面积．

【答案】S△AOB＝．
【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可．
【详解】解：∵AB⊥y轴，
∴S△OAP＝，S△OBP＝＝2，
∴S△AOB＝S△OBP+S△OAP＝+2＝．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是理解反比例函数的比例系数k的几何意义，属于中考常考题型．
1．已知反比例函数与正比例函数相交与点A，点A的坐标是．
(1)求此正比例函数解析式；
(2)若正比例函数与反比例函数的图象在第一象限内相交于点B，过点A和点B分别做x轴的垂线，分别交x轴于点C和点D，和相交于点P，求梯形的面积；
(3)连接，求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出，再把代入正比例函数，即可求解；
（2）先求出点，可得，，，再由，即可求解；
（3）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数过点，
∴，即，
把代入正比例函数得：，
即正比例函数解析式为；
（2）解：如图，

联立得：，解得：，
∵点B在一象限，
∴，
∵过点A和点B分别做x轴的垂线，分别交x轴于点C和点D，
∴，，
对于，当时，，
∴点，
∴，，，
∴；
（3）解：∵点A和点B在反比例函数图象上，  
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中的几何图形的面积，反比例函数的图象和性质，把点坐标转化为平面直角坐标系中的线段长度，结合割补法和反比例函数的几何意义求几何图形的面积．
2．如图，点M是反比例函数图像上的一个动点，过点M作x轴的平行线交反比例函数图像于点N．

(1)若点M（，3），求点N的坐标；
(2)若点P是x轴上的任意一点，那么△PMN的面积是否发生变化？若不变，求出它的面积是多少？若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不变，5
【分析】（1）将y=3代入，求得点N的坐标；
（2）连接OM，ON，记MN与y轴的交点为点H，由反比例函数系数k的几何意义求得△MOH和△NOH的面积，得到△MON的面积，由MN∥x轴得到△MON和△MNP的面积相等，从而得到△PMN的面积不变．
【详解】（1）∵MNy轴，
∴点M、N的y值相等，
将y=3代入，
得，
∴；
（2）不变，
如图，连接OM，ON，记MN与y轴的交点为点H，

∵MNx轴，点M和点N分别在函数和函数图象上，
∴，
∴，
∴S△PMN=5，
∴△PMN的面积不变，且△PMN的面积为5．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是连接MO和NO，得到△MON和△PMN的面积相等．
3．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与轴交于点，交轴于点．

(1)分别求出这两个函数的表达式；
(2)连接、，求的面积；
(3)点为坐标平面内的点，若点，，，组成的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)点的坐标为：，，
【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出一次函数与反比例函数解析式；
（2）利用三角形面积的和差求解，即可得出结论；
（3）利用平行四边形的性质结合当AP∥OC且AP=OC时，当AP′∥OC且AP′=OC时，当AO∥P″C，且AO=P″C时，分别得出答案．
【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上，
，解得：，
∴反比例函数的表达式是：；
在反比例函数的图象上，
，
，
将点，代入，可得：，
解得：，
∴一次函数表达式是：；
（2）由（1）知，直线的解析式为，则，，
；
（3）如图所示：

当且时，则，
，
点坐标为；
当且时，则，
，
点坐标为：；
当，且时，则点与到轴距离相等，且点横坐标为，
点坐标为：
综上所述：点的坐标为：，，．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质等知识，正确数形结合分析是解题关键．
【题型四】已知特殊图形面积求反比例函的系数
典例4．如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于A（1，m），B（3，n）两点，过点A作AC垂直于x轴于点C，

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)当时，求x的取值范围．
【答案】(1)反比例函数关系式为，一次函数的关系式为
(2)0＜x＜1或x＞3
【分析】（1）根据＝3＝|k|，求出k的值，确定反比例函数的关系式，进而求出点A、B的坐标，再根据待定系数法求出一次函数的关系式；
（2）根据图像，直观得出当时，求x的取值范围．
（1）
解：∵＝3＝|k|，k＞0，
∴k＝6，
∴反比例函数关系式为，
把A（1，m），B（3，n）两点坐标代入得：
m＝6，n＝2，
∴A（1，6），B（3，2）代入一次函数关系式得，
，解得：，
∴一次函数的关系式为，
答：反比例函数关系式为，一次函数的关系式为．
（2）
解：由图像可知，当时，x的取值范围为：0＜x＜1或x＞3．
【点睛】本题主要考查一次函数、反比例函数图像上点的坐标特征，理解反比例函数k的几何意义是求函数关系式的关键，待定系数法是求函数关系式的基本方法．
1．如图，Rt△ABO的顶点A是反比例函数y＝的图象与一次函数y＝－x－（k＋1）的图象在第二象限的交点，AB⊥x轴于点B，且S△ABO＝

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若点A的纵坐标为3，点C的横坐标为3时，求当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．
【答案】(1)反比例函数的解析式为y＝－，一次函数的解析式为y＝－x＋2
(2)x<－1或0 【分析】（1）根据S△OAB=|k|，可求k的值，即可求解析式；
（2）利用函数的解析式求得A的横坐标，然后根据图象即可求得．
（1）
解：∵AB⊥x轴于点B，且S△ABO＝，
∴|k|＝，
∴k＝±3.
∵反比例函数图象在第二、四象限，
∴k<0，
∴k＝－3.
∴反比例函数的解析式为y＝－，一次函数的解析式为y＝－x＋2.
（2）
解：∵点A，点C都在y＝－上，
当y=3时，x=-1.
∴A(－1，3)，
当x=3时，y=-1；
∴C(3，－1)，
∴当x<－1或0 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
2．如图，A为反比例函数的图象上一点，轴，垂足为P．

(1)联结，当时，求反比例函数的解析式；
(2)联结，若，y轴上是否存在点M，使得，若存在，求出M的坐标：若不存在，说明理由，
(3)点B在直线上，且，过点B作直线轴，交反比例函数的图象于点C，若的面积为4，求k的值．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)k的值为或
【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义即可求解；
（2）求得，即可求得从而求得点；
（3）当B点在P点右侧，如图，设，则可表示出，，利用三角形面积公式得到；当B点在P点左侧，设，则可表示出，，利用三角形面积公式得到，然后分别解关于k的方程即可．
【详解】（1）解：∵轴，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）解：存在，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当B点在P点右侧，如图，

设，
∵，
∴，
∵轴，
∴，  
∵的面积为4，
∴，解得；
当B点在P点左侧，如图

设，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∵的面积为4，
∴，解得；
综上所述，k的值为或．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
3．如图，点是函数图像上的任意一点，过点作ABx轴，交另一个函数的图像于点．

(1)若，则________．
(2)当时，若点的横坐标是1，则线段________．
(3)若无论点在何处，函数图像上总存在一点，使得四边形为平行四边形，求的值．
【答案】(1)－6
(2)
(3)存在，
【分析】（1）如图：AB交y轴于M，根据反比例函数的比例系数的几何意义得，，由于，则，即可得出k的值；
（2）由可得出，再由可得出，即可得出的长度；
（3）如图，作轴于点，于点，证，得出D点的坐标即可得出的值．
【详解】（1）解：如图：AB交y轴于M，
∵点是函数，点是函数，
∴由反比例函数的比例系数的几何意义得：，,
∵,
∴,
∴；
故答案为：；

（2）由题意得：
当时，，
∴，
当时，，
当时，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）存在，点在点上方，
如图，作轴于点，于点，
设，则，则，，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得．

【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义和平行四边形的性质是解题的关键．
【题型五】反比例函数与几何问题综合
典例5．如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）反比例函数的解析式为；（2）阴影部分的面积为8．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据点B是小正方形在第一象限的一个点，知其横纵坐标相等，求得点B的坐标，继而求得小正方形的面积，再求得大正方形的面积，从而求得阴影部分的面积．
【详解】解：（1）由题意，点A(1，2)在反比例函数y=的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）点B是小正方形在第一象限的一个点，由题意知其横纵坐标相等，
设B(a，a)，则有，
∴，即B(，)，
∴小正方形的边长为，
∴小正方形的面积为，
大正方形经过点A(1，2)，则大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，
∴图中阴影部分的面积为16-8=8．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式．
1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数的图象上（点A的纵坐标大于点B的纵坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连结OA，AB．

(1)求k的值．
(2)若CD＝2OD，求四边形OABC的面积．
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）将点A的坐标（2，4）代入，可得结果；
（2）利用反比例函数的解析式可得点B的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．
【详解】（1）解：将点A的坐标（2，4）代入，
可得k＝xy＝2×4＝8，
∴k的值为8；
（2）∵k的值为8，
∴函数的解析式为，
∵CD＝2OD，OD＝2，
∴CD＝4，
∴OC＝6，
∴点B的横坐标为6，
将x＝6代入，得，
∴点B的坐标为（6，），
∴S四边形OABC＝S△AOD＋S梯形ABCD＝×2×4＋×(＋4)×4＝．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，运用数形结合思想是解答此题的关键．
2．如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图像上，，，动点在轴的上方，且满足．

(1)若点在这个反比例函数的图像上，求点的坐标；
(2)连接、，求的最小值；
(3)若点是平面内一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)，，或
【分析】（1）由矩形的性质可得出点的坐标，利用反比例函数图像上点的坐标特征可求出的值，进而可得出反比例函数解析式，由可求出点的纵坐标，再利用反比例函数图像上点的坐标特征可求出点的坐标；
（2）作点关于直线的对称点，连接'交直线于点，利用两点之间线段最短可得出此时取得最小值，由点的坐标可求出点的坐标，再利用勾股定理即可求出的最小值；
（3）设点的坐标为，由线段的长及点的纵坐标可得出只能为边，分点在点的上方及点在点的下方两种情况考虑：①当点在点的上方时，由可求出的值，进而可得出点，的坐标，结合可得出点，的坐标；②当点在点的下方时，由可求出的值，进而可得出点，的坐标，结合可得出点，的坐标．综上，此题可得解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，，
∴点的坐标为，，
∵点在反比例函数的第一象限内的图像上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
设点的纵坐标为，
∵，
∴，
∴，
当时，，解得：，
∴当点在这个反比例函数的图像上，点的坐标为；
（2）如图1，由（1）可知，点在直线上，作点关于直线的对称点，连接'交直线于点，
∵点和点关于直线的对称，
∴直线垂直平分，
∴，
∴，
即此时取得最小值，最小值为的长，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
∵点的坐标为，，
∴．
∴的最小值为．

（3）∵轴，，点的纵坐标为，
∴不能为对角线，只能为边，
设点的坐标为，
分两种情况考虑，如图2所示：
①当点在点的上方时，由，
∴，
解得：，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
又∵，且轴，
∴点的坐标为，点的坐标为；
②当点在点的下方时，由，
∴，
解得：，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
又∵，且轴，
∴点的坐标为，点的坐标为．
综上所述：当以、、、为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为，，或．

【点睛】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、三角形的面积、轴对称最短问题，勾股定理等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的方法思考问题．
3．如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段BC为边向上作正方形ABCD，顶点A在正比例函数y＝2x的图象上，反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过点A，且与边CD相交于点E．

(1)若BC＝4，求点E的坐标；
(2)连接AE，OE，若△AOE的面积为16，求k的值．
【答案】(1)E（6，）
(2)12
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB=BC=4，求得A（2，4），得到k=2×4=8，求得点E的坐标为(6，)；
（2）设A（a，2a）（a＞0），则点E(3a，)，根据梯形的面积公式即可得到答案．
【详解】（1）解：在正方形ABCD中，AB=BC=4，
∴A（2，4），
∵A（2，4）在y＝的图象上，
∴k=2×4=8，
∵OC=OB+BC=6，
∴=6，
将=6代入y＝中，得：＝，
∴点E的坐标为(6，)．
（2）解：设A（a，2a）（a＞0），则点E(3a，)，
根据反比例函数的几何意义得，
∴，
∴
得，
∴k=．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，反比例函数与一次函数的交点问题，正方形的性质，反比例函数的几何意义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
4．如图，直线与反比例函数的图像相交于点、点，与 轴交于点，其中点的坐标为，点的横坐标为．

(1)试确定反比例函数的关系式；
(2)求点的坐标．
(3)点是轴上的一个动点，
①若点在线段上，且的面积为，求点的坐标．
②点是平面直角坐标系中的一点，当以、、、四点为顶点的四边形是菱形时， 请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②或
【分析】（1）把点的坐标代入反比例函数中，可得的值，写出反比例函数的关系式；
（2）先利用待定系数法求一次函数的解析式，再令，可得点的坐标；
（3）(3)①设，根据面积差列式：，可得的值，从而确定点的坐标；
②以、、、四点为顶点的四边形是菱形时，分为边和对角线两种情况讨论，根据勾股定理和菱形的性质可计算点的坐标.
【详解】（1）解：∵点的坐标为，且在反比例函数的图像上，
∴，
∴反比例函数的关系式为：.
（2）当时，，
∴，
∵点、点在直线上，
∴，
解得：，
∴直线的关系式为：，
当时，，
解得：，
∴.
（3）①如图1，设，
∴，，
∵直线的关系式为：，
∴当时，，
∴，，
又∵，
∴，
∵的面积为，
∴，
即：，
解得：，
∴.

②如图2，过点作轴，过点作轴，过点作轴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
分两种情况：
第一种情况：以为边时，
当点在点的右侧：
则有：，
∵
∴，
∴，
∴点平移到点的规律：向右平移2个单位，再向下平移2个单位，
∵四边形是菱形，
∴且，
∴点平移到点的规律和点平移到点的规律相同，即：向右平移2个单位，再向下平移2个单位，
∴；
当点在点的左侧：
则有：，
∵，，
∴，
∴，
∴点与点重合，点，，共线，
此时以、、、四点为顶点的菱形不存在；

第二种情况：如图3，以为对角线时，连接、、，交于点，
∵四边形是菱形，点在轴上
∴，，，
由（2）知：直线的关系式为：，，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，，
，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即点与点重合，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴.
综上所述，点的坐标为：或.

【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了菱形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，也考查了三角形面积公式，待定系数法求函数的解析式，正方形的判定和性质，勾股定理，点平移的规律等知识.运用分类讨论的思想解决问题是解题的关键.
【题型六】反比例函数与一次函数综合
典例6．如图，一次函数与反比例函数的图像交于A、B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（﹣6，n）．

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)连接AO、OB，求△AOB的面积；
(3)由图像直接写出：当时，自变量x的取值范围．
【答案】(1)，
(2)8
(3)或
【分析】（1）根据待定系数法就可以求出函数的解析式；
（2）求出OC，根据三角形面积公式求出即可；
（3）根据图像即可求得．
【详解】（1）解：∵点A（2，3）在反比例函数的图像上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵点B（﹣6，n）在反比例函数的图像上，
∴，
∴点B的坐标为（﹣6，-1），
∵点A（2，3）和点B（﹣6，-1）在一次函数的图像上，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：在中，令，则，
∴点C的坐标为（-4，0），
∴，
∴△AOB的面积为8；
（3）解：由图像可知，当时，自变量x的取值范围为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式是解题的关键．
1．如图1，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上．已知点A（0，m），C（n，0），且m、n是关于x的方程x2－6x＋8＝0的两个根（m＜n）．点D是OC的中点，连接AD．

(1)求点B的坐标；
(2)若反比例函数(k≠0)的图像经过点B，点Q为y轴上一点，点P为反比例函数图像上一点，是否存在点Q，使以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，若反比例函数(k≠0)的图像恰好与四边形ABCD的边有两个交点，则k的取值范围是 ．
【答案】(1)（4，2）
(2)（0，6）或（0，-6）或（0，-2）
(3)1＜k＜8
【分析】（1）解方程x2-6x+8=0，得出m和n的值，可得点B的坐标；
（2）首先求出点D的坐标和反比例解析式，再分AD为边和对角线，分别画出图形，从而得到点Q的坐标；
（3）首先求出当直线AD与双曲线只有有个交点时k的值，从而得出k的范围．
【详解】（1）解：∵m、n是关于x的方程x2-6x+8=0的两个根，
∴m=2，n=4，
∴OA=2，OC=4，
∵四边形OABC是矩形，
∴B（4，2）；
（2）∵点B在反比例函数上，
∴k=2×4=8，
∴；
∵点D是OC的中点，
∴D（2，0），
当AD为边时，若点P在第一象限，如图，

则DP∥y轴，
∴当x=2时，y=4，
∴PD=4，
∴Q（0，6），
当点P在第三象限时，由四边形ADQP是平行四边形可得，点P的横坐标为-2，

∴点P的纵坐标为-4，
∴点Q的纵坐标为-6，
∴点Q的坐标为（0，-6），
当AD为对角线时，如图，点P（2，4），

∴AQ=PD=4，
∴Q（0，-2），
综上：Q（0，6）或（0，-6）或（0，-2）；
（3）由题意知，直线AD的解析式为y=-x+2，
当（k≠0）的图象与直线AD恰好有一个交点时，则-x+2=，
∴x2-2x+k=0，
∴Δ=4-4k=0，
∴k=1，
∴反比例函数（k≠0）的图象恰好与四边形ABCD的边有两个交点时，1＜k＜8，
故答案为：1＜k＜8．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，一元二次方程的解法，根的判定式，方程和函数的关系等知识，分AD为边或对角线是解题的关键．
2．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（﹣2，n）两点．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．
【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为
(2)或
【分析】（1）先根据点的坐标，利用待定系数法可得反比例函数的表达式，从而可得点的坐标，再根据点的坐标，利用待定系数法可得一次函数的表达式；
（2）设点的坐标为，先求出点的坐标，从而可得的长，再根据“的面积是4”建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：将代入得：，
则反比例函数的表达式为，
将点代入得：，
所以，
将点代入得：，解得，
则一次函数的表达式为．
（2）解：由题意，设点的坐标为，
对于一次函数，
当时，，解得，即，
则，
，
的边上的高为2，
的面积是4，
，
解得或，
所以点的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、一次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
3．如图，直线与双曲线（k为常数，）在第一象限内交于点，且与x轴，y轴分别交于B，C两点．

(1)求直线和双曲线的解析式；
(2)点P在坐标轴上，且的面积等于8，求P点的坐标；
(3)将直线AB绕原点旋转180°后与x轴交于点D，与双曲线第三象限内的图像交于点E，猜想四边形ABED的形状，并证明你的猜想．
【答案】(1)，
(2)，，或
(3)平行四边形，理由见解析
【分析】（1）将点代入直线与双曲线求出k、b的值，即可得出解析式；
（2）利用解析式求出B、C的坐标，分类讨论：当P在x轴、y轴上时，可求出P点的坐标；
（3）根据：对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证．
【详解】（1）解：把代入双曲线（k为常数， ），可得，
∴双曲线的解析式为
把代入直线，可得，
∴直线的解析式为；
（2）在中，令，则；令，则，
，
①当P在x轴上时，设P点的坐标为，
∵的面积等于8
，解得或，  
∴P点的坐标为或；
②当P在y轴上时，同理可得P点的坐标为或
综合①②，P点的坐标为，，或．
（3）四边形ABED为平行四边形．
理由如下：，绕原点旋转后对应的的坐标为，，
设旋转后的直线解析式为

解得
∴旋转后的直线解析式为，

由反比例函数的对称性可知：，
即，，
∴四边形ABED为平行四边形．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合、待定系数法求解析式、三角形面积、平行四边形的判断、旋转，涉及数形结合、分类讨论思想，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象性质是解题的关键．
4．【模型建立】（1）如图一，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于D，过点B作BE⊥ED于E．求证：AD＝CE．
【模型应用】（2）如图二，直线l1：y＝x＋4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点B顺时针旋转45°得到直线l2，求直线l2的函数表达式；
【拓展探究】（3）如图三，一次函数的图象与坐标轴分别相交于点A、B，点C在反比例函数的图象上，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出k的所有可能的值 ．

【答案】（1）见解析；（2）y＝x＋4；（3）－112、－84、－49
【详解】（1）根据为等腰直角三角形，，，可判定，从而得结论；
（2）根据，求得，最后运用待定系数法求直线的函数表达式；
（3）根据为等腰直角三角形分三种情况：以A，B，C三个顶点为直角顶点，作辅助线构建三角形全等可得点C的坐标，根据可得结论．
解：（1）如图1，
∵△ABC为等腰直角三角形，

∴CB＝CA，∠ACD＋∠BCE＝90°．
又∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D＝∠E＝90°，∠EBC＋∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ACD与△CBE中
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）
∴AD＝CE；
（2）∵直线y＝x＋4与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴A（0，4）、B（－3，0），
如图2，

图2
过点B做BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴，
在△BDC和△AOB中，
，
∴△BDC≌△AOB（AAS），
∴CD＝BO＝3，BD＝AO＝4，
∴OD＝OB＋BD＝3＋4＝7，
∴C点坐标为（－7，3），
设l2的解析式为y＝kx＋b，将A，C点坐标代入，
得，
解得，
∴l2的函数表达式为y＝x＋4；
（3）分三种情况：
①如图3，，过点C作轴于E，

当时，，
当时，，
∴，
∴，．
∵是等腰直角三角形，
∴，，
由（1）同理可得，
∴，，
∴，
∴；
②如图4，，过点C作轴于F，

由（1）同理可得，
∴，，
∴，
∴；
③如图5，，过点C作轴，过点B作轴，

同（1）可得，
∴，，
设，
则，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上，k的所有可能的值是-112或－84或-49．
故答案为：-112、－84、-49．
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，解题时注意分类思想的运用．
5．如图，动点M在函数（x＞0）的图像上，过点M分别作x轴和y平行线，交函数 （x＞0）的图像于点B、C，作直线BC，设直线BC的函数表达式为y ＝kx＋b．

(1)若点M的坐标为（1，4）．
①直线BC的函数表达式为______；
②当 时，x的取值范围是______；
③点D在x轴上，点E在y轴上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D、E的坐标；
(2)连接BO、CO．求证：△BOC的面积是个定值．
【答案】(1)①y＝－4x＋5；② 0＜x＜或x＞1；③ D（，0）E（0，3）或D（－，0）E（0，－3）
(2)见解析
【分析】（1）①首先求出点B和C的坐标，代入直线BC的函数表达式为y＝kx+b，解方程即可；
②首先求出直线BC与x轴交点横坐标，再根据图象可得答案；
③设D（m，0），E（0，n），分三种情形，分别根据平行四边形的性质和中点坐标公式可得答案；
（2）延长MC、MB分别交x轴于G，交y轴于H，设m（a，），表示出△OBC的面积即可．
【详解】（1）解：①当M（1，4）时，则B，C（1，1），
∴ ，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣4x+5，
故答案为：y＝﹣4x+5；
②当y＝0时，x＝，
由图象知，当0＜x＜或1＜x＜时，y＜y2，
故答案为：0＜x＜或1＜x＜；
③设D（m，0），E（0，n），
当BD、CE为对角线时， ，
∴ ，
∴D（，0）E（0，3），
当BC、DE为对角线时，，
∴，
此时点B、C、D、E共线，故舍去，
当BE、CD为对角线时，，
∴，
∴D（，0）E（0，﹣3），
综上：D（，0）E（0，3）或D（，0）E（0，﹣3）；
（2）解：证明：延长MC、MB分别交x轴于G，交y轴于H，设m（a，），

∴B（），C（a，），
∴S△OBC＝S矩形OGMH﹣S△OCG﹣S△BCM﹣S△BHO
＝a×﹣﹣（）×﹣
＝4﹣
＝，
∴△BOC的面积是个定值．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，由特殊到一般，设出点M的坐标，从而得出点B和C的坐标是解决问题（2）的关键．
【题型七】反比例函数的实际应用
典例7．某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．

(1)写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；
(2)求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；
(3)广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？
【答案】(1)；
(2)8
(3)能
【分析】（1）分类讨论当时或当时，分别设函数解析式，代入求值即可；
（2）分类讨论当时或当时，分别不等式即可求解；
（3）分类讨论当时或当时，分别不等式即可求解；
【详解】（1）解：根据题意可知：
当时，设与的函数解析式为，
∴，
解得：，
∴；
当时，设与的函数解析式为，
∴，
解得：
∴
综上所述，该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式为：；．    
（2）解：当时，
令，
解得：，
∴，
∴销量不到36万件的天数为8天；
当时，
令，
解得： （不符合题意），
∴上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数为8天；
（3）解：当时，
令，
解得：
∴，
∴销量超过100万件的天数为6天，
当时，
令，
解得：
∴，
销量超过100万件的天数为6天，
综上所述，销售量不低于100万件，并且持续天数为12天，广告设计师可以拿到“特殊贡献奖”．
【点睛】本题考查了分段函数的实际运用，把握正比函数、反比例函数的图像及性质和运用分类讨论思想是解决本题的关键．
1．为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
　　
(1)求这个函数的表达式；
(2)当气体体积为时，求气体压强的值；
(3)若注射器内气体的压强不能超过，则其体积V要控制在什么范围?
【答案】(1)
(2)气体压强为
(3)体积V应不少于
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）把代入反比例函数解析式求解即可；
（3）把代入反比例函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：设，
由图可得，反比例函数图象过，
，
解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）当时，
，
∴气体压强为；
（3）当时，
，
解得，
∴体积V应不少于．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：

桌面所受压强P（Pa）
400
500
800
1000
1250
受力面积S（）
0.5
0.4
a
0.2
0.16
(1)根据表中数据，求出压强P（Pa）关于受力面积S（）的函数表达式及a的值．
(2)如图2，将另一长，宽，高分别为60cm，20cm，10cm，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．

【答案】(1)，0.25
(2)这种摆放方式不安全，理由见解析
【分析】（1）观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，然后用待定系数法可得函数关系式，令P=800，可得a的值；
（2）算出S，即可求出P，比较可得答案．
【详解】（1）解：观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，
设压强P（Pa）关于受力面积S（）的函数表达式为，
把（400，0.5）代入得：，
解得：k=200，
∴压强P（Pa）关于受力面积S（）的函数表达式为，
当P=800时，，
∴a=0.25；
（2）解：这种摆放方式不安全，理由如下：
由图可知S=0.1×0.2=0.02（），
∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上的压强为，
∵10000>2000，
∴这种摆放方式不安全．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
3．某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强P（Pa）与气球体积V（）之间成反比例关系，其图像如图所示．

(1)求P与V之间的函数关系式；
(2)当时，求P的值；
(3)当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于多少？
【答案】(1)P=
(2)千帕
(3)不少于m3
【分析】（1）设出反比例函数的解析式，代入点A的坐标，即可解决；
（2）由题意可得V=1.8m3，代入到解析式中即可求解；
（3）为了安全起见，P≤40000kPa，列出关于V的不等式，解不等式，即可解决．
【详解】（1）解：设这个函数解析式为：P=，
代入点A的坐标（1.5，16000）得， =16000，
∴k=24000，
∴这个函数的解析式为P=；
（2）由题可得，V=1.8m3，
∴P=（kPa），
∴气球内气体的压强是千帕；
（3）∵气球内气体的压强大于144kPa时，气球将爆炸，
∴为了安全起见，P≤40000kPa，
∴≤40000，
∴V≥m3，
∴为了安全起见，气球的体积不少于m3．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意，利用待定系数法求出解析式是解决此题的突破口．