2024届高考第一轮复习：理科数学2010-2018高考真题分类训练之专题十三 推理与证明第三十九讲 数学归纳法答案

这是一份2024届高考第一轮复习：理科数学2010-2018高考真题分类训练之专题十三 推理与证明第三十九讲 数学归纳法答案，共10页。试卷主要包含了【解析】用数学归纳法证明，【解析】的定义域为，，【解析】由已知，得，【解析】证，【解析】，【解析】，令，解得.，【解析】由，而，等内容，欢迎下载使用。
专题十三  推理与证明第三十九讲  数学归纳法答案部分1．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：当时，假设时，，那么时，若，则，矛盾，故．因此所以因此（Ⅱ）由得记函数函数在上单调递增，所以=0，因此 故（Ⅲ）因为所以得由得所以 故综上， ．2．【解析】（Ⅰ）的定义域为，．当，即时，单调递增；当，即时，单调递减．故的单调递增区间为，单调递减区间为．当时，，即．令，得，即．  ① （Ⅱ）；；．由此推测： ．  ②下面用数学归纳法证明②．（1）当时，左边右边，②成立．（2）假设当时，②成立，即．当时，，由归纳假设可得．所以当时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．（Ⅲ）由的定义，②，算术-几何平均不等式，的定义及①得，即．3．【解析】（Ⅰ）由已知，得于是所以故（Ⅱ）证明：由已知，得等式两边分别对x求导，得，即，类似可得，，.下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.(i)当n=1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立, 即.因为，所以.所以当n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.令，可得().所以()．4．【解析】（Ⅰ）证：用数学归纳法证明（1）当时，，原不等式成立。（2）假设时，不等式成立当时，所以时，原不等式成立。综合（1）（2）可得当且时，对一切整数，不等式均成立。（Ⅱ）证法1：先用数学归纳法证明。（1）当时由假设知成立。（2）假设时，不等式成立由易知当时由得由（Ⅰ）中的结论得因此，即所以当时，不等式也成立。综合（1）（2）可得，对一切正整数，不等式均成立。再由得，即综上所述，证法2：设，则，并且，由此可见，在上单调递增，因而当时。（1）当时由，即可知，并且，从而故当时，不等式成立。      （2）假设时，不等式成立，则当时，即有，所以当时原不等式也成立。综合（1）（2）可得，对一切正整数，不等式均成立。5．【解析】：（Ⅰ）解法一：再由题设条件知从而是首项为0公差为1的等差数列，故=，即解法二：可写为.因此猜想.下用数学归纳法证明上式：当时结论显然成立.假设时结论成立，即.则这就是说，当时结论成立.所以（Ⅱ）解法一：设，则.令，即，解得.下用数学归纳法证明加强命题：当时，，所以，结论成立.假设时结论成立，即易知在上为减函数，从而即再由在上为减函数得.故，因此，这就是说，当时结论成立.综上，符合条件的存在，其中一个值为.解法二：设，则先证：…………………………①当时，结论明显成立.假设时结论成立，即易知在上为减函数，从而即这就是说，当时结论成立，故①成立.再证：………………………………②当时，，有，即当时结论②成立假设时，结论成立，即由①及在上为减函数，得这就是说，当时②成立，所以②对一切成立.由②得，即因此又由①、②及在上为减函数得，即所以解得.综上，由②③④知存在使对一切成立.6．【解析】（Ⅰ），令，解得.当时，，所以在内是减函数；当 时，，所以在内是增函数.故函数在处取得最小值. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，有，即   ①若，中有一个为0，则成立；若，均不为0，又，可得，于是在①中令，，可得，即，亦即.综上，对，，为正有理数且，总有.   ②（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：设为非负实数，为正有理数. 若，则.            ③ 用数学归纳法证明如下：（1）当时，，有，③成立. （2）假设当时，③成立，即若为非负实数，为正有理数，且，则. 当时，已知为非负实数，为正有理数，且，此时，即，于是=.因，由归纳假设可得，从而. 又因，由②得，从而．故当时，③成立．由（1）（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立．说明：（Ⅲ）中如果推广形式中指出③式对成立，则后续证明中不需讨论的情况.7．【解析】（Ⅰ）由，而，的一个零点，且在（1，2）内有零点。因此至少有两个零点。解法1：记则当上单调递增，则内至多只有一个零点。又因为内有零点，所以内有且只有一个零点，记此零点为；当时，所以，当单调递减，而内无零点；当单调递减，而内无零点；当单调递增，而内至多只有一个零点。从而内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。解法2：由，则当从而上单调递增，则内至多只有一个零点，因此内也至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。（Ⅱ）记的正零点为   （1）当而由此猜测：。下面用数学归纳法证明。①当显然成立。②假设当时，由因此，当成立。故对任意的成立。   （2）当，由（I）知，上单调递增，则，即，由此猜测：，下面用数学归纳法证明，①当显然成立。②假设当成立，则当时，由因此，当成立，故对任意的成立综上所述，存在常数，使得对于任意的