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2022-2023学年度重庆市西南大学附属中学校九年级上学期10月月考数学试题
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这是一份2022-2023学年度重庆市西南大学附属中学校九年级上学期10月月考数学试题，文件包含重庆市西南大学附属中学校九年级上学期10月月考数学试题原卷版docx、重庆市西南大学附属中学校九年级上学期10月月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
10.4数学定时练习
一、选择题
1. 使得有意义的b的取值范围是（ ）
A. b≥﹣3 B. b＞3 C. b＞﹣3 D. b≥3
【答案】A
【解析】
【分析】二次根式有意义即根式下的数要大于或等于0，据此条件列出不等式，即可得解．
【详解】∵二次根式有意义，
∴，解得，
即b的取值范围为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件及解不等式的知识，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键．
2. 如图是自动测温仪记录的图象，它反映了某市某天气温（℃）如何随时间的变化而变化．下列从图象中得到的信息正确的是（ ）
A. 当日6时的气温最低
B. 当日最高气温为26℃
C. 从6时至14时，气温随时间的推移而上升
D. 从14时至24时，气温随时间的推移而下降
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中所给函数图象依次判断四个选项即可．
【详解】解：A选项，当日气温最低的时间在6时以前，故A选项不符合题意；
B选项，当日最高气温未达到26℃，故B选项不符合题意；
C选项，从6时至14时，气温随时间的推移而上升，故C选项符合题意；
D选项，从14时至24时，气温随时间的推移先上升然后下降，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查从函数图象中获取信息，正确理解函数图象是解题关键．
3. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于原点O位似，OB＝2OE，若△AOB的面积为4，则△OEF的面积为（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据位似图形的定义可确定，再根据相似三角形的判定定理和性质即可求出△OEF的面积．
【详解】解：∵△ABC与△DEF关于原点O位似，OB＝2OE，
∴．
∵∠AOB=∠FOE，
∴．
∴△AOB和△FOE的相似比是2．
∴△AOB面积和△FOE面积的比值是4．
∵△AOB的面积是4．
∴△FOE的面积是1．
故选：C．
【点睛】本题考查位似图形的定义，相似三角形的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键．
4. 教育部制定颁布《中小学教育惩戒规则（试行）》回应了社会关切的教育热点问题，受到了各方面高度关注．某校为了了解学生对《中小学教育惩戒规则（试行）》这一规则的了解情况，随机对全校2066名学生进行调查，则下列说法正确的是（ ）
A. 2066名是样本容量
B. 被抽取的2066名学生是调查的样本
C. 被抽取的2066名学生对《中小学教育惩戒规则（试行）》的了解情况是调查的样本
D. 全校学生对《中小学教育惩戒规（试行）》的了解情况是调查的样本
【答案】C
【解析】
【分析】根据样本、样本容量、总体等概念各自的含义进行辨析，即可得出答案．
【详解】解：A、样本容量不带单位，2066是样本容量，选项说法错误，不符合题意；
B、被抽取的2066名学生对《中小学教育惩戒规则（试行）》的了解情况是调查的样本，选项说法错误，不符合题意；
C、选项说法正确，符合题意；
D、本次调查活动中，全校学生对《中小学教育惩戒规则（试行）》的了解情况是调查的总体，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了样本、样本容量、总体的概念，正确理解相关概念是解题的关键，注意在描述样本容量时，不应带单位．
5. 估计（）的值应在（ ）
A. 1和2之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间
【答案】B
【解析】
【分析】原式利用多项式除以单项式法则计算，估算确定出范围即可．
【详解】解：原式＝
＝
＝；
∵1＜2＜4，
∴1＜＜2，
即3＜2+＜4，
则原式的值应在3和4之间．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
6. 下列说法：
①等弧所对的圆心角相等；
②经过三点可以作一个圆；
③劣弧一定比优弧短；
④平分弦的直径垂直于这条弦；
⑤圆的内接平行四边形是矩形．
其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①等弧所对圆心角相等，正确，符合题意；
②经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故原说法错误，不符合题意；
③同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短，故原说法错误，不符合题意；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故原说法错误，不符合题意；
⑤圆内接四边形对角互补，平行四边形对角相等，所以圆的内接平行四边形是矩形，正确，符合题意，
正确的有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理、确定圆的条件、垂径定理及圆内接四边形的性质等知识，熟练利用相关知识是解题关键．
7. 如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为，则m的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，又A（0，2），C（m，3），即得，可得，，从而，即可解得．
【详解】解：过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图所示：
∵CD⊥x轴，CE⊥y轴，
∴∠CDO=∠CEO=∠DOE＝90°，
∴四边形EODC是矩形，
∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∵A（0，2），C（m，3），
∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，
∴AE＝OE−OA＝CD−OA＝1，
∴，
在Rt△BCD中，，
Rt△AOB中，，
∵OB＋BD＝OD＝m，
∴，
化简变形得：3m4−22m2−25＝0，
解得：或（舍去），
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度．
8. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在DC，BC上，BF=CE=4，连接AE、DF，AE与DF相交于点G，连接AF，取AF的中点H，连接HG，则HG的长为（ ）
A. B. C. 5 D.
【答案】A
【解析】
【分析】先证明△ADE≌△DCF，进而得∠AGF=90°，用勾股定理求得AF，便可得GH．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADE=∠C=90°，AD=DC=BC，
∵BF=CE，
∴CF=DE，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE=∠CDF，
∵∠DAE+∠DEA=90°，
∴∠CDF+∠DEA=90°，
∴∠AGF=∠DGE=90°，
∵点H为AF的中点，
∴GH=AF，
∵AB=6，BF=4，
∴AF=，
∴GH=，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
9. 把一根起点为的数轴弯折成如图所示的样子，虚线最下面第个数字是，往上第个数字是，第个数字是，，则第个数字是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据前4个数字先作差得出二级差等差，归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．
【详解】解：根据前四项二级差为等差
第1个数字为0，
第2个数字为，
第3个数字为，
第4个数字为，
归纳类推得：第个数字为，其中且为整数，
则第10个数字是，
故选：A．
【点睛】本题考查了数字规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
10. 若数a使关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（ ）
A. ﹣21 B. ﹣12 C. ﹣14 D. ﹣18
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式组，根据不等式组的有且仅有5个整数解确定的范围，根据分式方程的解为整数，确定的值，进而即可求解．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∵不等式组有且仅有5个整数解，
∴
解得
解
解得，
且y为整数，又
∴a=−8,−4
故选B
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，掌握解分式方程，解一元一次不等式组是解题的关键．
11. 如图，在平面直角坐标中，平行四边形ABCD与y轴分别交于E、F两点，对角线BD在x轴上，反比例函数y（k≠0）的图象过点A并交AD于点G，连接DF．若BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，且△FCD的面积为，则k的值是（ ）
A. B. 3 C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，GN⊥x轴于点N，设点 ，则AM=b，OM=a，
可得△DGN∽△DAM， ，再由BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，可得到， ，从而得到 ，进而得到 ，继而，再由平行四边形的性质，可得△BOF∽△DNG，从而得到 ，再由，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作AM⊥x轴于点M，GN⊥x轴于点N，
设点 ，则AM=b，OM=a，
∴AM∥NG，AM∥y轴，
∴△DGN∽△DAM， ，
∴ ，
∵BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵点A、G在反比例函数y（k≠0）的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠OBF=∠GDN，，
∵∠BOF=∠GND=90°，
∴△BOF∽△DNG，
∴ ，即，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，反比例函数的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
12. 对于五个整式，A：2x2；B：x+1；C：﹣2x；D：y2；E：2x-y有以下几个结论：①若y为正整数，则多项式的值一定是正数；②存在实数x，y，使得A+D+2E的值为-2；③若关于x的多项式(m为常数)不含x的一次项，则该多项式M的值一定大于-3．上述结论中，正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据整式的四则运算法则逐个运算即可判断．
【详解】解：对于①：，显然当时代入化简后的式子中结果为负数，故①错误；
对于②：时，整理得到：，显然当时代入化简后式子中满足，故②正确；
对于③：，
∵不含x的一次项，
∴，解出，
此时，即M的值一定大于等于-3，故③错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的四则运算，属于基础题，熟练掌握整式的四则运算法则是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
13. 计算：＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】先计算乘方，算术平方根，立方根和绝对值，再计算加减法．
【详解】解：
=1-
=
=．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，正确掌握实数混合运算的法则及运算顺序是解题的关键．
14. 如图，点O是边上一点，与边相切于点D，与线段相交于点E．若点P是上一点，且，则的度数为______度．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据切线的性质可得，再由圆周角定理可得，即可求解．
【详解】解∶如图，连接，
∵与边相切于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
15. 现有牌面编码为﹣1，1，2的三张卡片，背面向上，从中随机抽取一张卡片，记其数字为k，将抽到的卡片背面朝上，放回打乱后，再抽一张记其数字为m，则事件“关于a、b的方程组的解满足0≤a﹣b≤1，且二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴恰有2个交点”成立的概率为__．
【答案】
【解析】
【分析】先由方程组的解满足的条件，确定k的取值范围，再由二次函数与坐标轴有两个交点，确定m的取值范围，然后画树状图得出所有k、m的可能取值情况，从而得出答案．
【详解】解：由，
解得：a﹣b＝k﹣1，
当0≤a﹣b≤1时，即：0≤k﹣1≤1，
解得：1≤k≤2，
∵二次函数y＝x2﹣2x+m图象与x轴恰有2个交点，
∴△＝4﹣4m＞0，
∴m＜1，
∴m＝﹣1，
画树状图如图：
k和m所有可能出现的结果有9个，其中1≤k≤2且m为﹣1的结果有2个，
∴满足条件的概率为P＝，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
16. 某礼品店准备了甲、乙、丙、丁四种小礼品销售（单价与销量均为整数），在第一周销售时，乙的单价是甲的3倍，丙的单价是丁的5倍，丁的销量是乙的5倍，甲的销量是丙的3倍，且乙和丙的总销量不低于5件，第一周销售结束后，发现甲、乙两种礼品的销售总额比丙、丁两种礼品的销售总额多了105元．在第二周销售时，商家将甲礼品的单价提高了50%，丁礼品的单价为第一周的2倍，乙和丙的单价不变，而第二周甲的销量比第一周减少了，丙的销量是第一周的2倍，乙、丁的销量和第一周相同，则第二周这四种小礼品的销售总额最少为____元．
【答案】330
【解析】
【分析】设第一周甲，乙，丙，丁的单价分别为m元，3m元，5n元，n元，销量分别为3x件，y件，x件，5y件，销售额分别为3mx元，3my元，5nx元，5ny元，则第二周甲，乙，丙，丁的单价分别为1.5m元，3m元，5n元，2n元，销量分别为2x件，y件，2x件，5y件，销售额分别为3mx元，3my元，10nx元，10ny元，则第二周的销售总额为W＝（3m+10n）（x+y）元，根据甲、乙两种礼品的销售总额比丙、丁两种礼品的销售总额多了105元可得（3m﹣5n）（x+y）＝105，再根据m，n，x，y都为正整数，且x+y≥5，可得x+y＝5，3m﹣5n＝21或x+y＝7，3m﹣5n＝15或x+y＝15，3m﹣5n＝7或x+y＝21，3m﹣5n＝5或x+y＝35，3m﹣5n＝3或x+y＝105，3m﹣5n＝1，依此进行讨论即可求解．
【详解】解：设第一周甲，乙，丙，丁的单价分别为m元，3m元，5n元，n元，销量分别为3x件，y件，x件，5y件，销售额分别为3mx元，3my元，5nx元，5ny元，
则第二周甲，乙，丙，丁的单价分别为1.5m元，3m元，5n元，2n元，销量分别为2x件，y件，2x件，5y件，销售额分别为3mx元，3my元，10nx元，10ny元，
则第二周的销售总额为W＝3mx+3my+10nx+10ny＝（3m+10n）（x+y）元，
由题意得：3mx+3my﹣（5nx+5ny）＝105，
化简得（3m﹣5n）（x+y）＝105，
∵m，n，x，y都为正整数，且x+y≥5，
∴x+y＝5，3m﹣5n＝21或x+y＝7，3m﹣5n＝15或x+y＝15，3m﹣5n＝7或x+y＝21，3m﹣5n＝5或x+y＝35，3m﹣5n＝3或x+y＝105，3m﹣5n＝1，
①当x+y＝5，3m﹣5n＝21时，3m＝21+5n，
∴n最小为3，此时m最小为12，
∴W最小为（3×12+10×3）×5＝330（元）；
②当x+y＝7，3m﹣5n＝15时，3m＝15+5n，
∴n最小为3，此时m最小为10，
∴W最小为（3×10+10×3）×7＝420（元）；
③当x+y＝15，3m﹣5n＝7时，3m＝7+5n，
∴n最小为1，此时m最小为4，
∴W最小为（3×4+10×1）×15＝330（元）；
④当x+y＝21，3m﹣5n＝5时，3m＝5+5n，
∴n最小为2，此时m最小为5，
∴W最小为（3×5+10×2）×21＝735（元）；
⑤当x+y＝35，3m﹣5n＝3时，3m＝3+5n，
∴n最小为3，此时m最小为6，
∴W最小为（3×6+10×3）×35＝1680（元）；
⑥当x+y＝105，3m﹣5n＝1时，3m＝1+5n，
∴n最小为1，此时m最小为2，
∴W最小为（3×2+10×1）×105＝1680（元）；
故第二周这四种小礼品的销售总额最少为330元．
故答案为：330．
【点睛】本题考查了应用类问题，不定方程的应用，解题的关键是正确读懂题意列出方程和代数式．
三．解答题（共9小题）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据整式的混合运算可进行求解；
（2）根据分式的混合运算可进行求解．
【小问1详解】
解：原式=
=；
【小问2详解】
解：原式=
=
=．
【点睛】本题主要考查整式及分式运算，熟练掌握整式及分式的运算是解题的关键．
18. 已知四边形为矩形（）．
（1）尺规作图：在上取一点E，使；过点D作，交于点F（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论：
（2）求证：．（请补全答题卡上面的证明过程，不写证明理由）
【答案】（1）见解析；见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据作一条线段等于已知线段，过已知点作已知直线的垂线的作法，即可求解；
（2）证明，即可求证．
【小问1详解】
解：如图，点E，点F即为所求；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，尺规作图，等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
19. 021年为了减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，中国开始推行双减政策，为了了解某校双减政策的落实情况，从七、八年级中各随机抽取了20名学生，统计这部分学生的课后作业时间的数据（单位：h），进行整理和分析（课后作业时间用x表示，共分为四个等级：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
七年级20名学生的课后作业时间：0.7，0.9，0.9，1.0，1.0，1.1，1.1，1.1，1.2，1.2，1.2，1.3，1.3，1.3，1.3，1.5，1.6，1.8，2.0，2.5
八年级20名学生的课后作业时间中B等级包含的所有数据：1.3，1.3，1.3，1.5，1.5，1.5，1.5
七八年级抽取的学生课后作业时间统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
1.3
1.2
a
0.166
八年级
1.3
b
1.5
0.170
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中a，b，m的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级的双减政策，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）双减政策中要求初中生课后作业时间不超过1.5h，若该校八年级共有3200名学生，估计八年级符合双减政策要求的学生有多少人？
【答案】（1）a＝1.3，b＝1.3，m＝40；
（2）七年级落实得更好，理由见解析（答案不唯一）；
（3）八年级符合双减政策要求的学生有2400人．
【解析】
【分析】（1）从七年级20名学生的课后作业时间可找出现次数最多的数据，即可求出a的值，找到八年级20名学生的课后作业时间中间两个数据，求其平均数，即可得到b的值,先求出B等级所占百分比，再求A等级所占百分比即可得到m的值；
（2）从中位数、众数、方差选取一个方面进行计较即可；
（3）用八年级20名学生课后作业时间不超过1.5h的人数占的百分比乘以八年级总人数即可．
【小问1详解】
解：∵从七年级20名学生的课后作业时间可以看出，出现次数最多的是1.3h，共出现了4次，
∴七年级20名学生的课后作业时间的众数为1.3h，即a＝1.3；
∵八年级20名学生的课后作业时间中B等级包含7个数据，
∴B等级所占百分比为×100%＝35%，
∴A等级所占百分比为m%＝1-5%－20%－35%＝40%，
故m＝40，
∵A等级数据个数为20×40%＝8，B等级包含的所有数据为：1.3，1.3，1.3，1.5，1.5，1.5，1.5，
∴八年级抽取的学生课后作业时间的中位数为（h），即b＝1.3；
综上所述，a＝1.3，b＝1.3，m＝40；
【小问2详解】
解：该校七、八年级的双减政策，七年级落实得更好，因为：
七年级20名学生的课后作业时间的中位数1.2h低于八年级20名学生的课后作业时间的中位数1.3h；
【小问3详解】
解：∵ 八年级20名学生的课后作业时间不超过1.5h的人数为A等级8人，B等级7人，即 8＋7＝15（人）
∴八年级符合双减政策要求的学生有×100%×3200＝2400（人）
答：估计八年级符合双减政策要求的学生有2400人．
【点睛】此题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，还考查了统计表和扇形统计图，关键在于根据题目中的信息结合统计图表进行分析即可．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且与轴交于点，点的坐标为(2，1)．
（1）求及的值；
（2）连接、，求的面积；
（3）结合图象直接写出不等式组的解集．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把点坐标分别代入一次函数和反比例函数解析式，可求得结果；
（2）通过解方程组求出交点坐标，再求面积；
（3）根据函数图象比较函数值大小即可做出判断.
【小问1详解】
由题意可得：点在函数的图象上，
∴
解得，
又∵点在函数的图象上，
∴，
解得，
【小问2详解】
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，
∴，
解得，或，
∴，
令中，得，
∴
∴
=，
∴的面积=；
【小问3详解】
由图象可知不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，坐标与图形，一次函数与坐标轴交点，待定系数法求解析式，综合运用以上知识是解题的关键．
21. 接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，为保障人民群众的身体健康，我市启动新冠疫苗加强针接种工作，已知今年3月甲接种点平均每天接种加强针的人数比乙接种点平均每天接种加强针的人数多20%，两接种点平均每天共有440人接种加强针．
（1）求3月平均每天分别有多少人前往甲、乙两接种点接种加强针？
（2）4月份，甲接种点平均每天接种加强针的人数比3月少10m人，乙接种点平均每天接种加强针的人数比3月多30%，在m天期间，甲、乙两接种点共有2250人接种加强针，求m的值．
【答案】（1）3月平均每天有240人前往甲接种点接种加强针，有200人前往乙接种点接种加强针；
（2）m的值为5．
【解析】
【分析】（1）设3月平均每天有x人前往乙接种点接种加强针，则3月平均每天有（1+20%）x人前往甲接种点接种加强针，根据3月两接种点平均每天共有440人接种加强针，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出3月平均每天前往乙接种点接种加强针的人数，再将其代入（1+20%）x中即可求出3月平均每天前往甲接种点接种加强针的人数；
（2）根据4月份在m天期间甲、乙两接种点共有2250人接种加强针，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合每天前往甲接种点接种加强针的人数为正值，即可得出m的值为5．
【小问1详解】
解：设3月平均每天有x人前往乙接种点接种加强针，则3月平均每天有（1+20%）x人前往甲接种点接种加强针，
依题意得：（1+20%）x+x=440，
解得：x=200，
∴（1+20%）x=（1+20%）×200=240．
答：3月平均每天有240人前往甲接种点接种加强针，有200人前往乙接种点接种加强针；
【小问2详解】
解：依题意得：（240-10m）m+200×（1+30%）m=2250，
整理得：m2-50m+225=0，
解得：m1=5，m2=45．
当m=5时，240-10m=240-10×5=190＞0，符合题意；
当m=45时，240-10m=240-10×45=-210＜0，不符合题意，舍去．
答：m值为5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22. 东西走向海岸线上有一个码头（图中线段AB），已知AB的长为132米，小明在A处测得海上一艘货船M在A的东北方向，小明沿海岸线向东走60米后到达点C，在C测得M在C处的北偏东15°方向（参考数据：，，）
（1）求AM的长；（结果精确到1米）
（2）如图，货船从M出发，沿着南偏东30°方向行驶，问该货船是否能行驶到码头所在的线段AB上？请说明理由．
【答案】（1）116米
（2）该货船是否能行驶到码头所在的线段AB上，理由见解析
【解析】
【分析】（1）如图所示，过点C作CD⊥AM于D，先求出∠ACD=45°=∠CAD，∠AMC=30°，然后解直角三角形分别求出AD，DM即可得到答案；
（2）如图所示， 过点M作MF交AB于F，设货船从M出发，沿着南偏东30°方向行驶，最后行驶到直线AB上的点G，分别解直角三角形求出AF，FG，从而求出AG即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示，过点C作CD⊥AM于D，
由题意得∠CAD=45°，∠ACE=90°，∠ECM=15°，AC=60米
∴∠ACM=105°，∠ACD=45°=∠CAD，
∴∠AMC=30°，
∴（米），（米），
∴(米），
∴（米）；
【小问2详解】
解：该货船能行驶到码头所在的线段AB上，理由如下：
如图所示， 过点M作MF交AB于F，设货船从M出发，沿着南偏东30°方向行驶，最后行驶到直线AB上的点G，
由题意得∠FMG=30°，
在Rt△AFM中，，，
在Rt△MFG中，米，
∴米，
∵，
∴，
∴，
∴该货船能行驶到码头所在的线段AB上．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定，实数比较大小，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23. 材料一：对于一个四位数，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个数为“间位等和数”，例如：
，∵，∴5247是“间位等和数”；
，∵，∴3145不是“间位等和数”
材料二：将一个四位数千位上的数字与百位上的数字对调，十位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位 数，记．例如，对调千位上的数字与百位上的数字及十位上的数字与个位上的数字得到2574，所以．
（1）判断3564和1572是否为“间位等和数”，并说明理由；
（2）若和都是“间位等和数”，其中，（，，，且，，，均为整数），规定：，若，求的最小值．
【答案】（1）3564是“间位等和数”， 1572不是“间位等和数”；（2）0
【解析】
【分析】（1）直接根据满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个数为“间位等和数”判断即可；
（2）将和化为各数位数字关系式，根据题意分别写出和，然后根据得出，然后根据a，x的取值范围，分类讨论确定a，x的值，从而可得k的最小值．
【详解】解：（1）
是“间位等和数”；
，
不是“间位等和数”；
（2），
其千位数为5，百位数为，十位数为4，个位数为b，
，即，
，
其千位数为x，百位数为3，十位数为，个位数为2，
，即
，
，
，
解得：，
则由或或，
对应的y和b的值分别为：；；，
，，，且，，，均为整数，
以上情况均符合，
，
则k的值分别为；；，
故k的最小值为：0．
【点睛】本题主要考查新定义下的实数运算，整式的加减，解题的关键是利用类比的思想进行解题．
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，连接BC．点A的坐标为(，0)，tan∠OBC＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为线段BC下方的抛物线上一动点，过点P作轴交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为点E，求PD+DE的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+3沿射线CA方向平移3个单位长度，得到抛物线y'，M为y'对称轴上一动点，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以B、M、N、C四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出N点的坐标，若不存在，在请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣x+3
（2），(3，﹣)
（3）存在，(0，3+)或(0，3﹣)或(8，3)或(0，﹣)
【解析】
【分析】（1）先利用tan∠OBC＝求解B的坐标，再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）设为 先求解的解析式，设点P的坐标为则点D的坐标为，再表示PD+DE，再利用二次函数的性质求解最大值即可；
（3）先求解平移后新抛物线为，新抛物线的对称轴为，再设点M的坐标为，可得点M与点横坐标相同，可得轴，再分两种情况讨论：①当BC是边时，②当BC是对角线时，如图，设点N的坐标为（t，s），再根据菱形的性质与中点坐标公式求解即可.
【小问1详解】
解：由抛物线的表达式知，c＝3＝OC，则点C（0，3），
则tan∠OBC＝，解得OB＝，
故点B的坐标为，
故设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）
，
把代入可得
12a＝3，
解得a＝，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x+3；
【小问2详解】
解：设为
解得：
则直线BC的表达式为，
设点P的坐标为则点D的坐标为，
则PD+DE＝（）＝，
∵＜0，
故PD+DE有最大值，
当x＝时，其最大值为，
此时点P的坐标为(3，﹣)；
【小问3详解】
解：存在，理由：
∵，
当抛物线y＝ax2+bx+3沿射线CA方向平移个单位长度，相当于向右平移了个单位，向下平移了个单位，
故，新抛物线的对称轴为，
故设点M的坐标为，
则点M与点横坐标相同，
即轴，
①当BC是边时，
如图，当点N在BM的右侧时，则点N、C关于BM对称，
故点N的坐标为；
如图，当点N在MB的左侧时，的上方与下方各一点，
则，即点N在y轴上，
则CN＝BC＝，
则点N的坐标为或；
②当BC是对角线时，如图，
设点N的坐标为（t，s），
则BC的中点即为NM的中点，且CM＝CN，
即3+0＝s+m且
解得t＝0，s＝，
故点N的坐标为，
综上，点N的坐标为(0，3+)或(0，3﹣)或(8，3)或(0，﹣)．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，菱形的性质与判定，锐角三角函数的应用，熟练的利用抛物线的性质，清晰的分类讨论都是解本题的关键.
25. 在△ABC中，AB=BC=CA，将线段BC绕点C顺时针旋转至DC的位置，连接BD．
（1）如图1，当∠BCD=15°时，CD与AB交于点E，若AE=4，求CE的长；
（2）如图2，当∠BCD=20°时，∠DBC的角平分线交△ABC的中线AF于点G，连接CG、DG，求证：BD＋BG=BC；
（3）如图3，线段BD与边AC交于点H，连接DA，DA=DH，点I为线段AB上一动点（不与A，B重合），连接ID，将△BDI沿BD翻折至△（点与△ABC在同一平面内），连接I，C，H，设H=a，当I，，C三点共线时，请直接用含a的式子表示△BDI的面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）过点E作EM⊥AC于点M，首先解直角三角形求出EM长，再利用直角三角形MEC求出结果；
（2）延长CG到N，使CN=CD，连接DN，证明ND=NG=BD，得出结果；
（3）首先证明△BCD、是等腰直角三角形，四边形是菱形，在BG上取点M，使MI= ，连接，得到等边三角形，然后求出BD和TG长，得出面积．
【小问1详解】
解：过点E作EM⊥AC于点M，
∵AB=CB=AC，
∴∠A=∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB-∠BCD=60°-15°=45°，
在中，∠A=60°，
∴ ，
在直角△MEC中，
EC= ；
【小问2详解】
解：延长CG到N，使CN=CD，连接DN，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB= ，
又∵BG平分∠CBD，
∴∠GBC= ，
又∵AF为等边三角形BC边上的中线，
∴AF垂直平分BC，
∴GB=GC，
∴∠GCB=∠GBC=40°，
∴∠ACG=∠BCD=∠DCN，
又∵CB=CD=CN，
∴△CDB≌△CND，
∴BD=DN，
又∵CG=CG，
∴△CAG≌△CDG，
∴∠CDG=∠CAG=30°，
∴∠NGD=∠DCG+∠CDG=50°，
∴∠NDG=∠CDN-∠CDG=80°-30°=50°，
∴ND=NG，
∴CN=CG+NG=BG+BD,
即BD＋BG=BC；
【小问3详解】
解：∵CB=CD=CA，
∴∠CAD=∠CDA，
又∵DA=DH，
∴∠DAH=∠DHA，
∴∠ACD=∠ADH，
设∠ACD=∠ADH=x°，则∠CDA= ，∠CDB=∠CDA-∠ADH=，
∴∠CBD=∠CDB=，
又∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+x°，
∴++60°+x°=180°，
解得x=30，
∴△CBD是等腰直角三角形，
∴∠TBG=∠ABC-∠GBC=15°，
由折叠知IB=，ID=，，
BD垂直平分，
当C、I、三点共线时，
BG=DG，
∴四边形BID是菱形，
∴HI=H，
又∵∠HIG=180°-∠AIM-∠BIC=45°，
∴△HI是等腰直角三角形，
∴I= = ,
在BG上取点M，使MI=I，连接I，
又∵MI=M，
∴△MI是等边三角形，MG= ，∠MBI=∠MIB=15°，MB=MI= ，
∴BG=BM+MG= ，
∴BD=2BG= ，
∴ I G= ．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是做辅助线构造基本图形把相关信息联系起来．
10.4数学定时练习
一、选择题
1. 使得有意义的b的取值范围是（ ）
A. b≥﹣3 B. b＞3 C. b＞﹣3 D. b≥3
【答案】A
【解析】
【分析】二次根式有意义即根式下的数要大于或等于0，据此条件列出不等式，即可得解．
【详解】∵二次根式有意义，
∴，解得，
即b的取值范围为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件及解不等式的知识，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键．
2. 如图是自动测温仪记录的图象，它反映了某市某天气温（℃）如何随时间的变化而变化．下列从图象中得到的信息正确的是（ ）
A. 当日6时的气温最低
B. 当日最高气温为26℃
C. 从6时至14时，气温随时间的推移而上升
D. 从14时至24时，气温随时间的推移而下降
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中所给函数图象依次判断四个选项即可．
【详解】解：A选项，当日气温最低的时间在6时以前，故A选项不符合题意；
B选项，当日最高气温未达到26℃，故B选项不符合题意；
C选项，从6时至14时，气温随时间的推移而上升，故C选项符合题意；
D选项，从14时至24时，气温随时间的推移先上升然后下降，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查从函数图象中获取信息，正确理解函数图象是解题关键．
3. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于原点O位似，OB＝2OE，若△AOB的面积为4，则△OEF的面积为（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据位似图形的定义可确定，再根据相似三角形的判定定理和性质即可求出△OEF的面积．
【详解】解：∵△ABC与△DEF关于原点O位似，OB＝2OE，
∴．
∵∠AOB=∠FOE，
∴．
∴△AOB和△FOE的相似比是2．
∴△AOB面积和△FOE面积的比值是4．
∵△AOB的面积是4．
∴△FOE的面积是1．
故选：C．
【点睛】本题考查位似图形的定义，相似三角形的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键．
4. 教育部制定颁布《中小学教育惩戒规则（试行）》回应了社会关切的教育热点问题，受到了各方面高度关注．某校为了了解学生对《中小学教育惩戒规则（试行）》这一规则的了解情况，随机对全校2066名学生进行调查，则下列说法正确的是（ ）
A. 2066名是样本容量
B. 被抽取的2066名学生是调查的样本
C. 被抽取的2066名学生对《中小学教育惩戒规则（试行）》的了解情况是调查的样本
D. 全校学生对《中小学教育惩戒规（试行）》的了解情况是调查的样本
【答案】C
【解析】
【分析】根据样本、样本容量、总体等概念各自的含义进行辨析，即可得出答案．
【详解】解：A、样本容量不带单位，2066是样本容量，选项说法错误，不符合题意；
B、被抽取的2066名学生对《中小学教育惩戒规则（试行）》的了解情况是调查的样本，选项说法错误，不符合题意；
C、选项说法正确，符合题意；
D、本次调查活动中，全校学生对《中小学教育惩戒规则（试行）》的了解情况是调查的总体，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了样本、样本容量、总体的概念，正确理解相关概念是解题的关键，注意在描述样本容量时，不应带单位．
5. 估计（）的值应在（ ）
A. 1和2之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间
【答案】B
【解析】
【分析】原式利用多项式除以单项式法则计算，估算确定出范围即可．
【详解】解：原式＝
＝
＝；
∵1＜2＜4，
∴1＜＜2，
即3＜2+＜4，
则原式的值应在3和4之间．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
6. 下列说法：
①等弧所对的圆心角相等；
②经过三点可以作一个圆；
③劣弧一定比优弧短；
④平分弦的直径垂直于这条弦；
⑤圆的内接平行四边形是矩形．
其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①等弧所对圆心角相等，正确，符合题意；
②经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故原说法错误，不符合题意；
③同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短，故原说法错误，不符合题意；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故原说法错误，不符合题意；
⑤圆内接四边形对角互补，平行四边形对角相等，所以圆的内接平行四边形是矩形，正确，符合题意，
正确的有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理、确定圆的条件、垂径定理及圆内接四边形的性质等知识，熟练利用相关知识是解题关键．
7. 如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为，则m的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，又A（0，2），C（m，3），即得，可得，，从而，即可解得．
【详解】解：过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图所示：
∵CD⊥x轴，CE⊥y轴，
∴∠CDO=∠CEO=∠DOE＝90°，
∴四边形EODC是矩形，
∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∵A（0，2），C（m，3），
∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，
∴AE＝OE−OA＝CD−OA＝1，
∴，
在Rt△BCD中，，
Rt△AOB中，，
∵OB＋BD＝OD＝m，
∴，
化简变形得：3m4−22m2−25＝0，
解得：或（舍去），
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度．
8. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在DC，BC上，BF=CE=4，连接AE、DF，AE与DF相交于点G，连接AF，取AF的中点H，连接HG，则HG的长为（ ）
A. B. C. 5 D.
【答案】A
【解析】
【分析】先证明△ADE≌△DCF，进而得∠AGF=90°，用勾股定理求得AF，便可得GH．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADE=∠C=90°，AD=DC=BC，
∵BF=CE，
∴CF=DE，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE=∠CDF，
∵∠DAE+∠DEA=90°，
∴∠CDF+∠DEA=90°，
∴∠AGF=∠DGE=90°，
∵点H为AF的中点，
∴GH=AF，
∵AB=6，BF=4，
∴AF=，
∴GH=，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
9. 把一根起点为的数轴弯折成如图所示的样子，虚线最下面第个数字是，往上第个数字是，第个数字是，，则第个数字是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据前4个数字先作差得出二级差等差，归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．
【详解】解：根据前四项二级差为等差
第1个数字为0，
第2个数字为，
第3个数字为，
第4个数字为，
归纳类推得：第个数字为，其中且为整数，
则第10个数字是，
故选：A．
【点睛】本题考查了数字规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
10. 若数a使关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（ ）
A. ﹣21 B. ﹣12 C. ﹣14 D. ﹣18
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式组，根据不等式组的有且仅有5个整数解确定的范围，根据分式方程的解为整数，确定的值，进而即可求解．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∵不等式组有且仅有5个整数解，
∴
解得
解
解得，
且y为整数，又
∴a=−8,−4
故选B
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，掌握解分式方程，解一元一次不等式组是解题的关键．
11. 如图，在平面直角坐标中，平行四边形ABCD与y轴分别交于E、F两点，对角线BD在x轴上，反比例函数y（k≠0）的图象过点A并交AD于点G，连接DF．若BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，且△FCD的面积为，则k的值是（ ）
A. B. 3 C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，GN⊥x轴于点N，设点 ，则AM=b，OM=a，
可得△DGN∽△DAM， ，再由BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，可得到， ，从而得到 ，进而得到 ，继而，再由平行四边形的性质，可得△BOF∽△DNG，从而得到 ，再由，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作AM⊥x轴于点M，GN⊥x轴于点N，
设点 ，则AM=b，OM=a，
∴AM∥NG，AM∥y轴，
∴△DGN∽△DAM， ，
∴ ，
∵BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵点A、G在反比例函数y（k≠0）的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠OBF=∠GDN，，
∵∠BOF=∠GND=90°，
∴△BOF∽△DNG，
∴ ，即，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，反比例函数的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
12. 对于五个整式，A：2x2；B：x+1；C：﹣2x；D：y2；E：2x-y有以下几个结论：①若y为正整数，则多项式的值一定是正数；②存在实数x，y，使得A+D+2E的值为-2；③若关于x的多项式(m为常数)不含x的一次项，则该多项式M的值一定大于-3．上述结论中，正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据整式的四则运算法则逐个运算即可判断．
【详解】解：对于①：，显然当时代入化简后的式子中结果为负数，故①错误；
对于②：时，整理得到：，显然当时代入化简后式子中满足，故②正确；
对于③：，
∵不含x的一次项，
∴，解出，
此时，即M的值一定大于等于-3，故③错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的四则运算，属于基础题，熟练掌握整式的四则运算法则是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
13. 计算：＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】先计算乘方，算术平方根，立方根和绝对值，再计算加减法．
【详解】解：
=1-
=
=．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，正确掌握实数混合运算的法则及运算顺序是解题的关键．
14. 如图，点O是边上一点，与边相切于点D，与线段相交于点E．若点P是上一点，且，则的度数为______度．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据切线的性质可得，再由圆周角定理可得，即可求解．
【详解】解∶如图，连接，
∵与边相切于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
15. 现有牌面编码为﹣1，1，2的三张卡片，背面向上，从中随机抽取一张卡片，记其数字为k，将抽到的卡片背面朝上，放回打乱后，再抽一张记其数字为m，则事件“关于a、b的方程组的解满足0≤a﹣b≤1，且二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴恰有2个交点”成立的概率为__．
【答案】
【解析】
【分析】先由方程组的解满足的条件，确定k的取值范围，再由二次函数与坐标轴有两个交点，确定m的取值范围，然后画树状图得出所有k、m的可能取值情况，从而得出答案．
【详解】解：由，
解得：a﹣b＝k﹣1，
当0≤a﹣b≤1时，即：0≤k﹣1≤1，
解得：1≤k≤2，
∵二次函数y＝x2﹣2x+m图象与x轴恰有2个交点，
∴△＝4﹣4m＞0，
∴m＜1，
∴m＝﹣1，
画树状图如图：
k和m所有可能出现的结果有9个，其中1≤k≤2且m为﹣1的结果有2个，
∴满足条件的概率为P＝，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
16. 某礼品店准备了甲、乙、丙、丁四种小礼品销售（单价与销量均为整数），在第一周销售时，乙的单价是甲的3倍，丙的单价是丁的5倍，丁的销量是乙的5倍，甲的销量是丙的3倍，且乙和丙的总销量不低于5件，第一周销售结束后，发现甲、乙两种礼品的销售总额比丙、丁两种礼品的销售总额多了105元．在第二周销售时，商家将甲礼品的单价提高了50%，丁礼品的单价为第一周的2倍，乙和丙的单价不变，而第二周甲的销量比第一周减少了，丙的销量是第一周的2倍，乙、丁的销量和第一周相同，则第二周这四种小礼品的销售总额最少为____元．
【答案】330
【解析】
【分析】设第一周甲，乙，丙，丁的单价分别为m元，3m元，5n元，n元，销量分别为3x件，y件，x件，5y件，销售额分别为3mx元，3my元，5nx元，5ny元，则第二周甲，乙，丙，丁的单价分别为1.5m元，3m元，5n元，2n元，销量分别为2x件，y件，2x件，5y件，销售额分别为3mx元，3my元，10nx元，10ny元，则第二周的销售总额为W＝（3m+10n）（x+y）元，根据甲、乙两种礼品的销售总额比丙、丁两种礼品的销售总额多了105元可得（3m﹣5n）（x+y）＝105，再根据m，n，x，y都为正整数，且x+y≥5，可得x+y＝5，3m﹣5n＝21或x+y＝7，3m﹣5n＝15或x+y＝15，3m﹣5n＝7或x+y＝21，3m﹣5n＝5或x+y＝35，3m﹣5n＝3或x+y＝105，3m﹣5n＝1，依此进行讨论即可求解．
【详解】解：设第一周甲，乙，丙，丁的单价分别为m元，3m元，5n元，n元，销量分别为3x件，y件，x件，5y件，销售额分别为3mx元，3my元，5nx元，5ny元，
则第二周甲，乙，丙，丁的单价分别为1.5m元，3m元，5n元，2n元，销量分别为2x件，y件，2x件，5y件，销售额分别为3mx元，3my元，10nx元，10ny元，
则第二周的销售总额为W＝3mx+3my+10nx+10ny＝（3m+10n）（x+y）元，
由题意得：3mx+3my﹣（5nx+5ny）＝105，
化简得（3m﹣5n）（x+y）＝105，
∵m，n，x，y都为正整数，且x+y≥5，
∴x+y＝5，3m﹣5n＝21或x+y＝7，3m﹣5n＝15或x+y＝15，3m﹣5n＝7或x+y＝21，3m﹣5n＝5或x+y＝35，3m﹣5n＝3或x+y＝105，3m﹣5n＝1，
①当x+y＝5，3m﹣5n＝21时，3m＝21+5n，
∴n最小为3，此时m最小为12，
∴W最小为（3×12+10×3）×5＝330（元）；
②当x+y＝7，3m﹣5n＝15时，3m＝15+5n，
∴n最小为3，此时m最小为10，
∴W最小为（3×10+10×3）×7＝420（元）；
③当x+y＝15，3m﹣5n＝7时，3m＝7+5n，
∴n最小为1，此时m最小为4，
∴W最小为（3×4+10×1）×15＝330（元）；
④当x+y＝21，3m﹣5n＝5时，3m＝5+5n，
∴n最小为2，此时m最小为5，
∴W最小为（3×5+10×2）×21＝735（元）；
⑤当x+y＝35，3m﹣5n＝3时，3m＝3+5n，
∴n最小为3，此时m最小为6，
∴W最小为（3×6+10×3）×35＝1680（元）；
⑥当x+y＝105，3m﹣5n＝1时，3m＝1+5n，
∴n最小为1，此时m最小为2，
∴W最小为（3×2+10×1）×105＝1680（元）；
故第二周这四种小礼品的销售总额最少为330元．
故答案为：330．
【点睛】本题考查了应用类问题，不定方程的应用，解题的关键是正确读懂题意列出方程和代数式．
三．解答题（共9小题）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据整式的混合运算可进行求解；
（2）根据分式的混合运算可进行求解．
【小问1详解】
解：原式=
=；
【小问2详解】
解：原式=
=
=．
【点睛】本题主要考查整式及分式运算，熟练掌握整式及分式的运算是解题的关键．
18. 已知四边形为矩形（）．
（1）尺规作图：在上取一点E，使；过点D作，交于点F（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论：
（2）求证：．（请补全答题卡上面的证明过程，不写证明理由）
【答案】（1）见解析；见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据作一条线段等于已知线段，过已知点作已知直线的垂线的作法，即可求解；
（2）证明，即可求证．
【小问1详解】
解：如图，点E，点F即为所求；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，尺规作图，等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
19. 021年为了减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，中国开始推行双减政策，为了了解某校双减政策的落实情况，从七、八年级中各随机抽取了20名学生，统计这部分学生的课后作业时间的数据（单位：h），进行整理和分析（课后作业时间用x表示，共分为四个等级：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
七年级20名学生的课后作业时间：0.7，0.9，0.9，1.0，1.0，1.1，1.1，1.1，1.2，1.2，1.2，1.3，1.3，1.3，1.3，1.5，1.6，1.8，2.0，2.5
八年级20名学生的课后作业时间中B等级包含的所有数据：1.3，1.3，1.3，1.5，1.5，1.5，1.5
七八年级抽取的学生课后作业时间统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
1.3
1.2
a
0.166
八年级
1.3
b
1.5
0.170
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中a，b，m的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级的双减政策，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）双减政策中要求初中生课后作业时间不超过1.5h，若该校八年级共有3200名学生，估计八年级符合双减政策要求的学生有多少人？
【答案】（1）a＝1.3，b＝1.3，m＝40；
（2）七年级落实得更好，理由见解析（答案不唯一）；
（3）八年级符合双减政策要求的学生有2400人．
【解析】
【分析】（1）从七年级20名学生的课后作业时间可找出现次数最多的数据，即可求出a的值，找到八年级20名学生的课后作业时间中间两个数据，求其平均数，即可得到b的值,先求出B等级所占百分比，再求A等级所占百分比即可得到m的值；
（2）从中位数、众数、方差选取一个方面进行计较即可；
（3）用八年级20名学生课后作业时间不超过1.5h的人数占的百分比乘以八年级总人数即可．
【小问1详解】
解：∵从七年级20名学生的课后作业时间可以看出，出现次数最多的是1.3h，共出现了4次，
∴七年级20名学生的课后作业时间的众数为1.3h，即a＝1.3；
∵八年级20名学生的课后作业时间中B等级包含7个数据，
∴B等级所占百分比为×100%＝35%，
∴A等级所占百分比为m%＝1-5%－20%－35%＝40%，
故m＝40，
∵A等级数据个数为20×40%＝8，B等级包含的所有数据为：1.3，1.3，1.3，1.5，1.5，1.5，1.5，
∴八年级抽取的学生课后作业时间的中位数为（h），即b＝1.3；
综上所述，a＝1.3，b＝1.3，m＝40；
【小问2详解】
解：该校七、八年级的双减政策，七年级落实得更好，因为：
七年级20名学生的课后作业时间的中位数1.2h低于八年级20名学生的课后作业时间的中位数1.3h；
【小问3详解】
解：∵ 八年级20名学生的课后作业时间不超过1.5h的人数为A等级8人，B等级7人，即 8＋7＝15（人）
∴八年级符合双减政策要求的学生有×100%×3200＝2400（人）
答：估计八年级符合双减政策要求的学生有2400人．
【点睛】此题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，还考查了统计表和扇形统计图，关键在于根据题目中的信息结合统计图表进行分析即可．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且与轴交于点，点的坐标为(2，1)．
（1）求及的值；
（2）连接、，求的面积；
（3）结合图象直接写出不等式组的解集．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把点坐标分别代入一次函数和反比例函数解析式，可求得结果；
（2）通过解方程组求出交点坐标，再求面积；
（3）根据函数图象比较函数值大小即可做出判断.
【小问1详解】
由题意可得：点在函数的图象上，
∴
解得，
又∵点在函数的图象上，
∴，
解得，
【小问2详解】
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，
∴，
解得，或，
∴，
令中，得，
∴
∴
=，
∴的面积=；
【小问3详解】
由图象可知不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，坐标与图形，一次函数与坐标轴交点，待定系数法求解析式，综合运用以上知识是解题的关键．
21. 接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，为保障人民群众的身体健康，我市启动新冠疫苗加强针接种工作，已知今年3月甲接种点平均每天接种加强针的人数比乙接种点平均每天接种加强针的人数多20%，两接种点平均每天共有440人接种加强针．
（1）求3月平均每天分别有多少人前往甲、乙两接种点接种加强针？
（2）4月份，甲接种点平均每天接种加强针的人数比3月少10m人，乙接种点平均每天接种加强针的人数比3月多30%，在m天期间，甲、乙两接种点共有2250人接种加强针，求m的值．
【答案】（1）3月平均每天有240人前往甲接种点接种加强针，有200人前往乙接种点接种加强针；
（2）m的值为5．
【解析】
【分析】（1）设3月平均每天有x人前往乙接种点接种加强针，则3月平均每天有（1+20%）x人前往甲接种点接种加强针，根据3月两接种点平均每天共有440人接种加强针，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出3月平均每天前往乙接种点接种加强针的人数，再将其代入（1+20%）x中即可求出3月平均每天前往甲接种点接种加强针的人数；
（2）根据4月份在m天期间甲、乙两接种点共有2250人接种加强针，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合每天前往甲接种点接种加强针的人数为正值，即可得出m的值为5．
【小问1详解】
解：设3月平均每天有x人前往乙接种点接种加强针，则3月平均每天有（1+20%）x人前往甲接种点接种加强针，
依题意得：（1+20%）x+x=440，
解得：x=200，
∴（1+20%）x=（1+20%）×200=240．
答：3月平均每天有240人前往甲接种点接种加强针，有200人前往乙接种点接种加强针；
【小问2详解】
解：依题意得：（240-10m）m+200×（1+30%）m=2250，
整理得：m2-50m+225=0，
解得：m1=5，m2=45．
当m=5时，240-10m=240-10×5=190＞0，符合题意；
当m=45时，240-10m=240-10×45=-210＜0，不符合题意，舍去．
答：m值为5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22. 东西走向海岸线上有一个码头（图中线段AB），已知AB的长为132米，小明在A处测得海上一艘货船M在A的东北方向，小明沿海岸线向东走60米后到达点C，在C测得M在C处的北偏东15°方向（参考数据：，，）
（1）求AM的长；（结果精确到1米）
（2）如图，货船从M出发，沿着南偏东30°方向行驶，问该货船是否能行驶到码头所在的线段AB上？请说明理由．
【答案】（1）116米
（2）该货船是否能行驶到码头所在的线段AB上，理由见解析
【解析】
【分析】（1）如图所示，过点C作CD⊥AM于D，先求出∠ACD=45°=∠CAD，∠AMC=30°，然后解直角三角形分别求出AD，DM即可得到答案；
（2）如图所示， 过点M作MF交AB于F，设货船从M出发，沿着南偏东30°方向行驶，最后行驶到直线AB上的点G，分别解直角三角形求出AF，FG，从而求出AG即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示，过点C作CD⊥AM于D，
由题意得∠CAD=45°，∠ACE=90°，∠ECM=15°，AC=60米
∴∠ACM=105°，∠ACD=45°=∠CAD，
∴∠AMC=30°，
∴（米），（米），
∴(米），
∴（米）；
【小问2详解】
解：该货船能行驶到码头所在的线段AB上，理由如下：
如图所示， 过点M作MF交AB于F，设货船从M出发，沿着南偏东30°方向行驶，最后行驶到直线AB上的点G，
由题意得∠FMG=30°，
在Rt△AFM中，，，
在Rt△MFG中，米，
∴米，
∵，
∴，
∴，
∴该货船能行驶到码头所在的线段AB上．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定，实数比较大小，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23. 材料一：对于一个四位数，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个数为“间位等和数”，例如：
，∵，∴5247是“间位等和数”；
，∵，∴3145不是“间位等和数”
材料二：将一个四位数千位上的数字与百位上的数字对调，十位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位 数，记．例如，对调千位上的数字与百位上的数字及十位上的数字与个位上的数字得到2574，所以．
（1）判断3564和1572是否为“间位等和数”，并说明理由；
（2）若和都是“间位等和数”，其中，（，，，且，，，均为整数），规定：，若，求的最小值．
【答案】（1）3564是“间位等和数”， 1572不是“间位等和数”；（2）0
【解析】
【分析】（1）直接根据满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个数为“间位等和数”判断即可；
（2）将和化为各数位数字关系式，根据题意分别写出和，然后根据得出，然后根据a，x的取值范围，分类讨论确定a，x的值，从而可得k的最小值．
【详解】解：（1）
是“间位等和数”；
，
不是“间位等和数”；
（2），
其千位数为5，百位数为，十位数为4，个位数为b，
，即，
，
其千位数为x，百位数为3，十位数为，个位数为2，
，即
，
，
，
解得：，
则由或或，
对应的y和b的值分别为：；；，
，，，且，，，均为整数，
以上情况均符合，
，
则k的值分别为；；，
故k的最小值为：0．
【点睛】本题主要考查新定义下的实数运算，整式的加减，解题的关键是利用类比的思想进行解题．
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，连接BC．点A的坐标为(，0)，tan∠OBC＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为线段BC下方的抛物线上一动点，过点P作轴交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为点E，求PD+DE的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+3沿射线CA方向平移3个单位长度，得到抛物线y'，M为y'对称轴上一动点，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以B、M、N、C四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出N点的坐标，若不存在，在请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣x+3
（2），(3，﹣)
（3）存在，(0，3+)或(0，3﹣)或(8，3)或(0，﹣)
【解析】
【分析】（1）先利用tan∠OBC＝求解B的坐标，再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）设为 先求解的解析式，设点P的坐标为则点D的坐标为，再表示PD+DE，再利用二次函数的性质求解最大值即可；
（3）先求解平移后新抛物线为，新抛物线的对称轴为，再设点M的坐标为，可得点M与点横坐标相同，可得轴，再分两种情况讨论：①当BC是边时，②当BC是对角线时，如图，设点N的坐标为（t，s），再根据菱形的性质与中点坐标公式求解即可.
【小问1详解】
解：由抛物线的表达式知，c＝3＝OC，则点C（0，3），
则tan∠OBC＝，解得OB＝，
故点B的坐标为，
故设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）
，
把代入可得
12a＝3，
解得a＝，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x+3；
【小问2详解】
解：设为
解得：
则直线BC的表达式为，
设点P的坐标为则点D的坐标为，
则PD+DE＝（）＝，
∵＜0，
故PD+DE有最大值，
当x＝时，其最大值为，
此时点P的坐标为(3，﹣)；
【小问3详解】
解：存在，理由：
∵，
当抛物线y＝ax2+bx+3沿射线CA方向平移个单位长度，相当于向右平移了个单位，向下平移了个单位，
故，新抛物线的对称轴为，
故设点M的坐标为，
则点M与点横坐标相同，
即轴，
①当BC是边时，
如图，当点N在BM的右侧时，则点N、C关于BM对称，
故点N的坐标为；
如图，当点N在MB的左侧时，的上方与下方各一点，
则，即点N在y轴上，
则CN＝BC＝，
则点N的坐标为或；
②当BC是对角线时，如图，
设点N的坐标为（t，s），
则BC的中点即为NM的中点，且CM＝CN，
即3+0＝s+m且
解得t＝0，s＝，
故点N的坐标为，
综上，点N的坐标为(0，3+)或(0，3﹣)或(8，3)或(0，﹣)．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，菱形的性质与判定，锐角三角函数的应用，熟练的利用抛物线的性质，清晰的分类讨论都是解本题的关键.
25. 在△ABC中，AB=BC=CA，将线段BC绕点C顺时针旋转至DC的位置，连接BD．
（1）如图1，当∠BCD=15°时，CD与AB交于点E，若AE=4，求CE的长；
（2）如图2，当∠BCD=20°时，∠DBC的角平分线交△ABC的中线AF于点G，连接CG、DG，求证：BD＋BG=BC；
（3）如图3，线段BD与边AC交于点H，连接DA，DA=DH，点I为线段AB上一动点（不与A，B重合），连接ID，将△BDI沿BD翻折至△（点与△ABC在同一平面内），连接I，C，H，设H=a，当I，，C三点共线时，请直接用含a的式子表示△BDI的面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）过点E作EM⊥AC于点M，首先解直角三角形求出EM长，再利用直角三角形MEC求出结果；
（2）延长CG到N，使CN=CD，连接DN，证明ND=NG=BD，得出结果；
（3）首先证明△BCD、是等腰直角三角形，四边形是菱形，在BG上取点M，使MI= ，连接，得到等边三角形，然后求出BD和TG长，得出面积．
【小问1详解】
解：过点E作EM⊥AC于点M，
∵AB=CB=AC，
∴∠A=∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB-∠BCD=60°-15°=45°，
在中，∠A=60°，
∴ ，
在直角△MEC中，
EC= ；
【小问2详解】
解：延长CG到N，使CN=CD，连接DN，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB= ，
又∵BG平分∠CBD，
∴∠GBC= ，
又∵AF为等边三角形BC边上的中线，
∴AF垂直平分BC，
∴GB=GC，
∴∠GCB=∠GBC=40°，
∴∠ACG=∠BCD=∠DCN，
又∵CB=CD=CN，
∴△CDB≌△CND，
∴BD=DN，
又∵CG=CG，
∴△CAG≌△CDG，
∴∠CDG=∠CAG=30°，
∴∠NGD=∠DCG+∠CDG=50°，
∴∠NDG=∠CDN-∠CDG=80°-30°=50°，
∴ND=NG，
∴CN=CG+NG=BG+BD,
即BD＋BG=BC；
【小问3详解】
解：∵CB=CD=CA，
∴∠CAD=∠CDA，
又∵DA=DH，
∴∠DAH=∠DHA，
∴∠ACD=∠ADH，
设∠ACD=∠ADH=x°，则∠CDA= ，∠CDB=∠CDA-∠ADH=，
∴∠CBD=∠CDB=，
又∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+x°，
∴++60°+x°=180°，
解得x=30，
∴△CBD是等腰直角三角形，
∴∠TBG=∠ABC-∠GBC=15°，
由折叠知IB=，ID=，，
BD垂直平分，
当C、I、三点共线时，
BG=DG，
∴四边形BID是菱形，
∴HI=H，
又∵∠HIG=180°-∠AIM-∠BIC=45°，
∴△HI是等腰直角三角形，
∴I= = ,
在BG上取点M，使MI=I，连接I，
又∵MI=M，
∴△MI是等边三角形，MG= ，∠MBI=∠MIB=15°，MB=MI= ，
∴BG=BM+MG= ，
∴BD=2BG= ，
∴ I G= ．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是做辅助线构造基本图形把相关信息联系起来．
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