2022-2023学年度河北省石家庄市高三三模数学试题
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数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如图，集合均为子集，表示的区域为（ ）
A. I B. II C. III D. IV
2. 已知函数同时满足性质：①；②对于，，则函数可能是（ ）
A. B.
C. D.
3. 观察下列四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当很大时，（常数）.利用以上公式，可以估计的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，其中下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C 若，则
D. 若，则
7. 已知直线经过圆的圆心，其中且，则的最小值为（ ）
A. 9 B. C. 1 D.
8. 中国结是一种盛传于民间的手工编织工艺品，它原本是旧石器时代的缝衣打结，后推展至汉朝的仪礼记事，再演变成今日的装饰手艺.中国结显示的精致与智慧正是中华民族古老文明中的一个侧面.已知某个中国结的主体部分可近似地视为由一个大正方形（内部是16个边长为2的小正方形）和16个半圆所组成，如图，是中国结主体部分上的定点，点是16个半圆上的动点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9. 已知复数，复数满足，则（ ）
A.
B.
C. 复数在复平面内所对应的点的坐标是
D. 复数在复平面内所对应的点为，则
10. 设函数的定义域为是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A. B. 是极大值点
C. 是的极小值点 D. 是的极大值点
11. 已知函数图象上的点都满足，则下列说法中正确的有（ ）
A.
B. 若直线与函数的图象有三个交点，且满足，则直线的斜率为.
C. 若函数在处取极小值，则.
D. 存在四个顶点都在函数图象上的正方形，且这样的正方形有两个.
12. 已知曲线为上一点，则（ ）
A. 与曲线有四个交点
B. 的最小值为1
C. 的取值范围为
D. 过点的直线与曲线有三个交点，则直线的斜率
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的展开式中的常数项为___________.
14. 已知数列的通项公式为，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，则___________.
15. 已知正四面体的棱长为是外接圆上的动点，是四面体内切球球面上的动点，则的取值范围是___________.
16. 我们常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用0~9这10个数字.而电子计算机用的数是二进制数，只需0和1两个数字，如四位一进制的数，等于十进制的数9，现有一组十进制表示的数列，定义（表示的乘积），若将表示成二进制数，其中有1011个数末位是0，若将表示成二进制数，则末位是0的数至多有______个.
四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知中，角，，的对边长分别是，，，，且.
（1）证明：；
（2）若，求外接圆的面积
18. 如图，在中，，为的中点，将绕所在的直线逆时针旋转至形成如图所示的几何体，.
（1）求几何体的体积；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19. 已知为抛物线上不同两点，为坐标原点，，过作于，且点.
（1）求直线的方程及抛物线的方程；
（2）若直线与直线关于原点对称，为抛物线上一动点，求到直线的距离最短时，点的坐标.
20. 已知各项均为正数的等比数列满足，数列的前项和，满足.
（1）求数列和通项公式；
（2）若存在正整数，使得成立，求实数的取值范围..
21. 肝脏疾病是各种原因引起的肝脏损伤，是一种常见的危害性极大的疾病，研究表明有八成以上的肝病，是由乙肝发展而来，身体感染乙肝病毒后，病毒会在体内持续复制，肝细胞修复过程中形成纤维化，最后发展成肝病.因感染乙肝病毒后身体初期没有任何症状，因此忽视治疗，等到病情十分严重时，患者才会出现痛感，但已经错过了最佳治疗时机，对乙肝病毒应以积极预防为主，通过接种乙肝疫苗可以预防感染乙肝病毒､体检是筛查乙肝病毒携带者最好的方法，国家在《中小学生健康体检管理办法》中规定：中小学校每年组织一次在校学生健康体检，现某学校有4000名学生，假设携带乙肝病毒的学生占m%，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验次数4000次.为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照k个人进行分组，将各组k个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人血样再分别化验一次.假设每人血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立.
（1）若，记每人血样化验次数为X，当k取何值时，X的数学期望最小，并求化验总次数；
（2）若，设每人血样单独化验一次费用5元，k个人混合化验一次费用k+4元.求当k取何值时，每人血样化验费用的数学期望最小，并求化验总费用.
参考数据及公式：.
22. 若定义在区间上的函数，其图象上存在不同两点处的切线相互平行，则称函数为区间上的“曲折函数”，“现已知函数.
（1）证明：是上的“曲折函数”；
（2）设，证明：，使得对于，均有.
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