2022-2023学年河南省驻马店市驿城区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省驻马店市驿城区七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  碳纳米管是一种一维量子材料，与传统金属、高分子材料相比，碳纳米管的电、热力学性能优异，凭借突出性能，碳纳米管逐渐成为场发射电子源中最常用的纳米材料，我国已具备研制直径为米的碳纳米管数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，在中，为边上任意一点，按以下步骤作图：
以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；
以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；
以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；
作射线交于点若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是(    )

A. 从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B. 两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短
C. 把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线
D. 从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

5.  如图，在中，，，为的平分线，于点，则度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，现有如下条件：；；；；其中能判断的有(    )

A.  B.  C.  D.

7.  周末李强和朋友到森林公园游玩，为测量园内湖岸，两点之间的距离，如图，李强在湖的一侧选取了一点，测得，，则，间的距离可能是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  下列运算中，不能用平方差公式运算的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离与出发时间之间的对应关系的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且阴影部分图形面积等于平方厘米，则的面积为(    )

A. 平方厘米 B. 平方厘米 C. 平方厘米 D. 平方厘米

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  一副三角板按如图所示放置，，则的度数为______．

12.  ______ ．

13.  某商场将一商品在保持销售价元件不变的前提下，规定凡购买超过件者，所购商品全部打折出售．若顾客购买件，应付元，则与间的关系式是______．

14.  如图，中，，点、分别在、上，则 ______ ．

15.  如图，将一副三角板中的两个直角顶点放在一起，，，点在直线的上方，且，当这两块三角板有一组边互相平行时，的度数是______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：
；
．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

18.  本小题分
阅读理解，补全证明过程及推理依据．
已知：如图，点在直线上，点在直线上，，．
求证：
证明：已知
______ ，
等量代换，
______ ______ ______ ，
______ ______ ，
又已知，
等量代换，
______ ______ ______ ，
______

19.  本小题分
如图，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则阴影部分的面积是______ ；若将图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图的一个长方形，则它的长为______ ；宽为______ ；面积为______ ．
由可以得到一个公式：______ ．
利用你得到的公式计算：．

 

20.  本小题分
为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如表：

如表反映的两个变量中，自变量是______ ，因变量是______ ．
根据表可知，汽车行驶小时时，该车油箱的剩余油量为______ 升，汽车每小时耗油______ 升
请直接写出两个变量之间的关系式用来表示．

21.  本小题分
学校组织同学们去郊区实践活动，安排校车送同学们，大多数同学选择在学校乘车，学校还安排了第二个站点接学生，在第二个站点停车的时间为十分钟．小明迟到了没有赶上校车，只能让爸爸开私家车从学校出发独自去目的地．如图是校车和私家车离开学校的路程千米随时间分钟的变化图象．认真分析图中的信息，回答下列问题：
小明迟到了______分钟．______先到目的地．填小明或校车
校车第二次开动后的速度是______．
小明出发后用多长时间追上校车？在距离目的地多远的地方追上校车？

22.  本小题分
图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．

图中的阴影部分的面积为______ ；
观察图，三个代数式，，之间的等量关系是______ ；
若，，求；
观察图，你能得到怎样的代数恒等式呢？

23.  本小题分
问题情境：如图，，，，求度数．
小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．
按小明的思路，易求得的度数为______度；直接写出答案
问题迁移：如图，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由；
在的条件下，如果点在、两点外侧运动时点与点、、三点不重合，请直接写出与，之间的数量关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：与不是同类项，不能合并，
故A不符合题意；
，
故B不符合题意；
，
故C不符合题意；
，
故D符合题意，
故选：．
根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法运算分别判断即可．
本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
由作图可知，
，
，
故选：．
利用三角形内角和定理求出，再利用拼手速的性质求解．
本题考查作图复杂作图，三角形内角和定理，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

4.【答案】 

【解析】解：从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故原命题错误；
B.两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短，正确；
C.一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，正确；
D.从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确．
故选：．
根据垂线段最短、直线和线段的性质即可得到结论．
本题考查了垂线段最短，直线和线段的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：在中，
，，
．
是的平分线，
．
于点，
．
，


．
故选：．
利用三角形的内角和定理求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数数，根据直角三角形的性质得出的度数，进而可得出结论．
本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是”及角平分线的性质是解决本题的关键，
 

6.【答案】 

【解析】解：当时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定，不能判定，不符合题意；
当时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定，符合题意；
由不能判定，不符合题意；
当时，由“同位角相等，两直线平行”可以判定，符合题意；
当时，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定，不能判定，不符合题意．
故选：．
利用平行线的判定方法判断即可得到正确的选项．
此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
则，即．
则符合条件的只有．
故选：．
根据三角形的三边关系确定的范围，据此即可判断．
本题考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．已知两边确定第三边的范围时，第三边的长大于已知两边的差，且小于已知两边的和．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．
本题考查的是应用平方差公式进行计算的能力，掌握平方差公式的结构特征是正确解题的关键．
【解答】
解：、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
B、，不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
C、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：从家出发步行至学校时，为一次函数图象，是一条从原点开始的线段；
停留一段时间时，离家的距离不变，
乘车返回时，离家的距离减小至零，
纵观各选项，只有选项符合．
故选：．
从家出发步行至学校时，停留一段时间时，乘车返回时三段分析得到相应的函数图象，然后即可得解．
本题是对函数图象的考查，根据题意，理清从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，明确离开家的距离随时间的变化情况是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：为的中点，
，
阴影部分图形面积等于平方厘米，
平方厘米，
是的中点，
，
平方厘米，
为的中点，
平方厘米，
同理，平方厘米，
的面积为：平方厘米，
故选：．
本题利用中线平分面积这一结论，由为的中点，可以得到的面积为，因为是的中点，可以得到的面积，同理，得到和的面积，问题即可解决．
本题是一道三角形的面积题目，考查了中线平分三角形的面积这一结论的应用，利用题目中的中点条件，将面积进行转化是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由图可知，
，，
，
，
，
故答案为：．
根据题意和图形，利用平行线的性质，可以得到的度数，再根据，即可得到的度数．
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

12.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先由积的乘方法则化简，再由单项式乘以单项式的法则计算可得结果．
此题主要是考查了整式的混合运算，能够熟练运用积的乘方法则，同底数幂的乘法公式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：
理解题意，根据“总价单价数量”列函数关系式．
本题考查了列函数关系式，理解题意是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
故答案为：．
利用三角形内角和定理求出可得结论．
本题考查三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 

15.【答案】或 

【解析】解：当时，
，
当时，
，
，，
．
综上所述，为或．
故答案为：或．
分类讨论，两种情况，利用平行线的性质定理解答即可．
本题考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质．
 

16.【答案】解：

；


． 

【解析】根据多项式乘多项式的法则计算即可；
根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的法则计算即可．
本题考查了多项式乘多项式、有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂，熟记这些计算法则是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

，
当，时，原式． 

【解析】根据平方差公式、多项式除以单项式的运算法则把原式化简，把、的值代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】对顶角相等      同位角相等，两直线平行    两直线平行，同旁内角互补      同旁内角互补，两直线平行  两直线平行，内错角相等 

【解析】证明：已知，
 对顶角相等，
等量代换，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，同旁内角互补 ，
又已知，
等量代换，
 同旁内角互补，两直线平行，
两直线平行，内错角相等．
故答案为：对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
由题意可求得，则可判定，有，从而求得，可判定，即可求证．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定定理与性质并灵活运用．
 

19.【答案】         

【解析】解：根据题意可得：
图阴影部分的面积，
图长方形的长为：，
图长方形的宽为：，
面积为：，
故答案为：，，，；
由可得：，
故答案为：；




．
利用正方形的面积公式，图阴影部分的面积为大正方形的面积小正方形的面积，图长方形的长为，宽为，利用长方形的面积公式可得结论；
由建立等量关系即可；
根据平方差公式进行计算即可．
本题主要考查平方差公式的推导，利用面积建立等量关系是解答此题的关键．
 

20.【答案】汽车行驶时间，  汽车油箱的剩余油量
， 
由表格可知，汽车一开始的油量为升，每行驶一小时汽车耗油升，则汽车油箱刺余油量和汽车行驶时间的关系为．
故答案为：． 

【解析】解：由题意可知，自变量为汽车行驶时间，因变量为汽车油箱的剩余油量．
故答案为：汽车行驶时间，汽车油箱的剩余油量．
由表格可知，当行驶小时的时候，汽车油箱的剩余油量为升，且汽车每行驶一小时，耗油量为升．
故答案为，．
见答案．
根据变量的定义即可判断．
当时，此时油箱剩余油量即为油箱大小，根据表格可知，小时共耗油升．
根据即可求出的关系式．
解题的关键是正确理解变量与常量，本题属于基础题型．
 

21.【答案】，小明 

设小明出发后小时追上校车，
小明家私家车的速度为：，
由题意可得：，
解得，


千米，
答：小明出发后用小时追上校车，在距离目的地千米的地方追上校车． 

【解析】解：由图象可得，
小明迟到了分钟，小明先到目的地，
故答案为：，小明；
由图象可得，
校车第二次开动后的速度是：，
故答案为：；
见答案；
根据图象中的数据，可以写出小明迟到的时间和谁先到目的地；
根据图象中的数据，可以计算出校车第二次开动后的速度；
根据图象中的数据和中的结果，可以计算出小明出发后用多长时间追上校车，在距离目的地多远的地方追上校车．
本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：；
；
因为，，
所以，
则；
． 

【解析】

【分析】
本题考查了完全平方公式的几何背景，注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键．
表示出阴影部分的边长，即可得出其面积；
大正方形的面积减去个小长方形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式、、之间的等量关系；
根据所得出的关系式，可求出，继而可得出的值；
利用两种不同的方法表示出大长方形的面积即可得出等式．
【解答】
解：图中的阴影部分的面积为，
故答案为；
，
故答案为；
见答案；
见答案．  

23.【答案】解：；
，
理由：如图，过作交于，

，
，
，，
；
或． 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．
过作，通过平行线性质求即可；
过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
分两种情况：在延长线上；在延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案．
【解答】
解：过点作，
，
，
，，
，，
，，
．
故答案为：．
见答案；

如图所示，当在延长线上时，过点作，
，
，
，，
；

如图所示，当在延长线上时，．

综上，或．