【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第39-41讲 总体百分位数、集中趋势、离散程度的估计 讲义

第40课 总体集中趋势的估计

知识点01众数、中位数、平均数

1．众数：一组数据中出现最多的数．

2．中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的)叫做这组数据的中位数．

3．平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数．

【即学即练1】　在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：

分别求出这些运动员的成绩的众数、中位数与平均数．

反思感悟　平均数、众数、中位数的计算方法

平均数一般是根据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据相关数据的总数是奇数还是偶数而定；众数是看出现次数最多的数．

知识点02总体集中趋势的估计

问题1　我们知道平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关．从下面的三幅图中，你能发现平均数和中位数的大小存在什么关系吗？

提示　一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的(如图(1))，那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”(如图(2))，那么平均数大于中位数．如果直方图在左边“拖尾”(如图(3))，那么平均数小于中位数．也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边．

问题2　什么样的问题可以用平均数描述？什么样的问题可以用中位数描述？什么样的问题可以用众数描述？

提示　一般地，对数值型的数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数．

知识点03利用频率分布直方图估计总体的集中趋势

【即学即练3】某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，画出如图所示的频率分布直方图．观察图中的信息，回答下列问题：

(1)估计这次考试的物理成绩的众数m与中位数n(结果保留一位小数)；

(2)估计这次考试的物理成绩的及格率(60分及以上为及格)和平均分．

反思感悟　利用频率分布直方图求众数、中位数以及平均数的方法

(1)众数即为出现次数最多的数，所以它的频率最大，在最高的小矩形中．中位数即为从小到大中间的数(或中间两数的平均数)．平均数约为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和．

(2)用频率分布直方图求得的众数、中位数不一定是样本中的具体数．

考法01众数、中位数、平均数

【典例1】某学习小组共10人，在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为(　　)

A．85,85,85 B．87,85,86

C．87,85,85 D．87,85,90

考法02总体集中趋势的估计

【典例2】某快餐店所有工作人员一周的收入如下表所示：

(1)计算所有人员的一周的平均收入；

(2)这个平均收入能反映打工人员周收入的一般水平吗？为什么？

(3)去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员周收入的一般水平吗？

反思感悟　众数、中位数、平均数的意义

(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大．

(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大或较小时，可用中位数描述其集中趋势．

【变式训练】某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示：

(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？每天用水量的中位数是多少？

(2)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个来描述该公司每天的用水量？

考法03利用频率分布直方图估计总体的集中趋势

【典例3】我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．估计居民月均用水量的中位数．

题组A基础过关练

1．在一次体育测试中，某班6名同学的成绩(单位：分)分别为66,83,87,83,77,96.关于这组数据，下列说法错误的是(　　)

A．众数是83 B．中位数是83

C．极差是30 D．平均数是83

2．(多选)下列关于平均数、中位数、众数的说法中错误的是(　　)

A．中位数可以准确地反映出总体的情况

B．平均数可以准确地反映出总体的情况

C．众数可以准确地反映出总体的情况

D．平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况

3．已知一组数据0,2，x,4,5的众数是4，那么这组数据的平均数是________．

4．某班全体学生参加物理测试成绩的频率分布直方图如图所示，则估计该班物理测试的平均成绩是________分．

题组B能力提升练

1．一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19,x,23,27,28,31，其中位数为22，则x等于(　　)

A．21B．22C．20D．23

2．某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如下：

91　89　90　92　94　87　93　96

则这组数据的中位数和平均数分别是(　　)

A．91.5和91.5 B．91.5和92

C．91和91.5 D．92和92

3．某书店新进了一批书籍，下表是某月6日至11日连续6天的销售情况记录：

根据上表估计该书店该月(按30天计算)的销售总量是(　　)

A．1147本 B．1110本

C．1340本 D．1278本

4．(多选)下列说法中正确的是(　　)

A．数据2,4,6,8的中位数是4,6

B．数据1,2,3,4,4的众数是4

C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据

D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是

5．某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表：

如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是(　　)

A．平均数 B．众数

C．中位数 D．极差

6．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为(　　)

A．20B．25C．22.5D．22.75

7．某校开展“爱我家乡”摄影比赛，9位评委给参赛作品A打出的分数如下：88,89,89,93,92，9■,92,91,94.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91.复核员在复核时，发现有一个数的个位数字无法看清．若记分员计算无误，则该数应该是________．

8．已知一组数据按从小到大排列为－1,0,4，x,6,15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数是________，平均数是________．

9．高一三班有男同学27名、女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．

(1)求这次测验全班的平均分(精确到0.01)；

(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？

(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？

10．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷．现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下．

(1)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；

(2)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？

题组C培优拔尖练

1．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　)

A．a>b>c B．b>c>a

C．c>a>b D．c>b>a

2．箱子中共有40个网球(质量不完全相同)，其平均质量为M，如果把M当成一个网球的质量，与原来的40个网球一起，算出这41个网球的平均质量为N，那么为(　　)

A.B．1C.D．2

3．(多选)在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值代表，则下列说法中正确的是(　　)

A．成绩在[70,80)分的考生人数最多

B．不及格的考生人数为1000

C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分

D．考生竞赛成绩的中位数为75分

4．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为________．

5．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)如图所示，假设得分的中位数为m，众数为n，平均数为，则m，n，的大小关系为________．(用“<”连接)

6．某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表：

(1)请你对下面的一段话给予简要分析：

甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！”

(2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议．