高考数学二轮复习知识 方法篇 专题4　三角函数与平面向量 第17练 含答案

这是一份高考数学二轮复习知识 方法篇 专题4　三角函数与平面向量 第17练 含答案，共10页。
[题型分析·高考展望] 三角函数的化简与求值在高考中频繁出现，重点考查运算求解能力.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，属于比较简单的题目，这就要求在解决此类题目时不能丢分，由于三角函数部分公式比较多，要熟练记忆、掌握并能灵活运用.
体验高考
1.(2015·课标全国Ⅰ)sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°等于( )
A.－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C.－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°＝sin 20°cs 10°＋cs 20°sin 10°＝sin 30°＝eq \f(1,2).
2.(2015·重庆)若tan α＝2tan eq \f(π,5)，则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))
＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,5))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(sin αcs\f(π,5)＋cs αsin\f(π,5),sin αcs\f(π,5)－cs αsin\f(π,5))＝eq \f(\f(tan α,tan\f(π,5))＋1,\f(tan α,tan\f(π,5))－1)＝eq \f(2＋1,2－1)＝3.
3.(2016·课标全国甲)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(3,5)，则sin 2α等于( )
A.eq \f(7,25) B.eq \f(1,5) C.－eq \f(1,5) D.－eq \f(7,25)
答案 D
解析 因为sin 2α＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1，
又因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(3,5)，
所以sin 2α＝2×eq \f(9,25)－1＝－eq \f(7,25)，
故选D.
4.(2016·课标全国丙)若tan α＝eq \f(3,4)，则cs2α＋2sin 2α等于( )
A.eq \f(64,25) B.eq \f(48,25) C.1 D.eq \f(16,25)
答案 A
解析 tan α＝eq \f(3,4)，
则cs2α＋2sin 2α＝eq \f(cs2α＋4sin αcs α,cs2α＋sin2α)＝eq \f(1＋4tan α,1＋tan2α)＝eq \f(64,25).
5.(2016·四川)cs2eq \f(π,8)－sin2eq \f(π,8)＝________.
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 由题可知，cs2eq \f(π,8)－sin2eq \f(π,8)＝cseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2).
高考必会题型
题型一 利用同角三角函数基本关系式化简与求值
基本公式：sin2α＋cs2α＝1；tan α＝eq \f(sin α,cs α).
基本方法：(1)弦切互化；(2)“1”的代换，即1＝sin2α＋cs2α；(3)在进行开方运算时，注意判断符号.
例1 已知tan α＝2，求：
(1)eq \f(4sin α－2cs α,5sin α＋3cs α)的值；
(2)3sin2α＋3sin αcs α－2cs2α的值.
解 (1)方法一 ∵tan α＝2，∴cs α≠0，
∴eq \f(4sin α－2cs α,5sin α＋3cs α)＝eq \f(\f(4sin α,cs α)－\f(2cs α,cs α),\f(5sin α,cs α)＋\f(3cs α,cs α))＝eq \f(4tan α－2,5tan α＋3)＝eq \f(4×2－2,5×2＋3)＝eq \f(6,13).
方法二 由tan α＝2，得sin α＝2cs α，代入得
eq \f(4sin α－2cs α,5sin α＋3cs α)＝eq \f(4×2cs α－2cs α,5×2cs α＋3cs α)＝eq \f(6cs α,13cs α)＝eq \f(6,13).
(2)3sin2α＋3sin αcs α－2cs2α
＝eq \f(3sin2α＋3sin αcs α－2cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(3tan2α＋3tan α－2,tan2α＋1)
＝eq \f(3×22＋3×2－2,22＋1)＝eq \f(16,5).
点评 本题(1)(2)两小题的共同点：都是正弦、余弦的齐次多项式.对于这样的多项式一定可以化成切函数，分式可以分子分母同除“cs α”的最高次幂，整式可以看成分母为“1”，然后用sin2α＋cs2α代换“1”，变成分式后再化简.
变式训练1 已知sin(3π＋α)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))，求下列各式的值：
(1)eq \f(sin α－4cs α,5sin α＋2cs α)；
(2)sin2α＋sin 2α.
解 由已知得sin α＝2cs α.
(1)原式＝eq \f(2cs α－4cs α,5×2cs α＋2cs α)＝－eq \f(1,6).
(2)原式＝eq \f(sin2α＋2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(sin2α＋sin2α,sin2α＋\f(1,4)sin2α)＝eq \f(8,5).
题型二 利用诱导公式化简与求值
1.六组诱导公式分两大类，一类是同名变换，即“函数名不变，符号看象限”；一类是异名变换，即“函数名称变，符号看象限”.
2.诱导公式化简的基本原则：负化正，大化小，化到锐角为最好！
例2 (1)设f(α)＝eq \f(2sinπ＋αcsπ－α－csπ＋α,1＋sin2α＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin α≠－\f(1,2)))，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,6)))＝______.
(2)化简：eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),csπ＋α)＋eq \f(sinπ－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),sinπ＋α)＝________.
答案 (1)eq \r(3) (2)0
解析 (1)∵f(α)＝eq \f(－2sin α－cs α＋cs α,1＋sin2α＋sin α－cs2α)
＝eq \f(2sin αcs α＋cs α,2sin2α＋sin α)＝eq \f(cs α1＋2sin α,sin α1＋2sin α)＝eq \f(1,tan α)，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,6)))＝eq \f(1,tan－\f(23π,6))＝eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,6))))＝eq \f(1,tan\f(π,6))＝eq \r(3).
(2)原式＝eq \f(cs αsin α,－cs α)＋eq \f(sin α－sin α,－sin α)＝－sin α＋sin α＝0.
点评 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键.另外，切化弦是常用的规律技巧.
变式训练2 (1)(2016·课标全国乙)已知θ是第四象限角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝________.
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝a(|a|≤1)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－θ))＝________.
答案 (1)－eq \f(4,3) (2)0
解析 (1)将θ－eq \f(π,4)转化为(θ＋eq \f(π,4))－eq \f(π,2).
由题意知sin(θ＋eq \f(π,4))＝eq \f(3,5)，θ是第四象限角，
所以cs(θ＋eq \f(π,4))＞0，
所以cs(θ＋eq \f(π,4))＝ eq \r(1－sin2θ＋\f(π,4))＝eq \f(4,5).
tan(θ－eq \f(π,4))＝tan(θ＋eq \f(π,4)－eq \f(π,2))＝－tan[eq \f(π,2)－(θ＋eq \f(π,4))]
＝－eq \f(sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ＋\f(π,4))),cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ＋\f(π,4))))＝－eq \f(csθ＋\f(π,4),sinθ＋\f(π,4))＝－eq \f(\f(4,5),\f(3,5))＝－eq \f(4,3).
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋θ))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝－a.
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－θ))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝a，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－θ))＝0.
题型三 利用其他公式、代换等化简求值
两角和与差的三角函数的规律有三个方面：(1)变角，目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等.(3)变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”“逆用变用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等.
例3 化简：
(1)sin 50°(1＋eq \r(3)tan 10°)；
(2)eq \f(2cs4x－2cs2x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))).
解 (1)sin 50°(1＋eq \r(3)tan 10°)
＝sin 50°(1＋tan 60°tan 10°)
＝sin 50°·eq \f(cs 60°cs 10°＋sin 60°sin 10°,cs 60°cs 10°)
＝sin 50°·eq \f(cs60°－10°,cs 60°cs 10°)＝eq \f(2sin 50°cs 50°,cs 10°)
＝eq \f(sin 100°,cs 10°)＝eq \f(cs 10°,cs 10°)＝1.
(2)原式＝eq \f(2cs2xcs2x－1＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))
＝eq \f(－4cs2xsin2x＋1,4cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))＝eq \f(1－sin22x,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x)))
＝eq \f(cs22x,2cs 2x)＝eq \f(1,2)cs 2x.
点评 (1)二倍角公式是三角变换的主要公式，应熟记、巧用，会变形应用.
(2)重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的公式恒等变形.
变式训练3 (1)在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan eq \f(A,2)＋tan eq \f(C,2)＋eq \r(3)tan eq \f(A,2)tan eq \f(C,2)的值为________.
(2)eq \f(2cs 10°－sin 20°,sin 70°)的值是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \r(3) D.eq \r(2)
(3)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且3cs 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))，则sin 2α的值为( )
A.eq \f(1,18) B.－eq \f(1,18) C.eq \f(17,18) D.－eq \f(17,18)
答案 (1)eq \r(3) (2)C (3)D
解析 (1)因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝eq \f(2π,3)，eq \f(A＋C,2)＝eq \f(π,3)，tan eq \f(A＋C,2)＝eq \r(3)，
所以tan eq \f(A,2)＋tan eq \f(C,2)＋eq \r(3)tan eq \f(A,2)tan eq \f(C,2)
＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A,2)＋\f(C,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－tan \f(A,2)tan \f(C,2)))＋eq \r(3)tan eq \f(A,2)tan eq \f(C,2)
＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－tan \f(A,2)tan \f(C,2)))＋eq \r(3)tan eq \f(A,2)tan eq \f(C,2)＝eq \r(3).
(2)原式＝eq \f(2cs30°－20°－sin 20°,sin 70°)
＝eq \f(2cs 30°·cs 20°＋sin 30°·sin 20°－sin 20°,sin 70°)
＝eq \f(\r(3)cs 20°,cs 20°)＝eq \r(3).
(3)cs 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))
代入原式，
得6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))，
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin(eq \f(π,4)－α)≠0，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(1,6)，
∴sin 2α＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1＝－eq \f(17,18).
高考题型精练
1.(2015·陕西)“sin α＝cs α”是“cs 2α＝0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵sin α＝cs α⇒cs 2α＝cs2α－sin2α＝0；
cs 2α＝0⇔cs α＝±sin α⇏sin α＝cs α，故选A.
2.(2016·课标全国丙)若tan θ＝－eq \f(1,3)，则cs 2θ等于( )
A.－eq \f(4,5) B.－eq \f(1,5) C.eq \f(1,5) D.eq \f(4,5)
答案 D
解析 tan θ＝－eq \f(1,3)，则cs 2θ＝cs2θ－sin2θ＝eq \f(cs2θ－sin2θ,cs2θ＋sin2θ)＝eq \f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝eq \f(4,5).
3.若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,2)，且－eq \f(π,2)＜α＜0，则eq \f(2sin2α＋sin 2α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))))等于( )
A.－eq \f(2\r(5),5) B.eq \f(3\r(5),10) C.－eq \f(3\r(5),10) D.eq \f(2\r(5),5)
答案 A
解析 由taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋1,1－tan α)＝eq \f(1,2)，得tan α＝－eq \f(1,3).
又－eq \f(π,2)＜α＜0，所以sin α＝－eq \f(\r(10),10).
故eq \f(2sin2α＋sin 2α,csα－\f(π,4))＝eq \f(2sin αsin α＋cs α,\f(\r(2),2)sin α＋cs α)＝2eq \r(2)sin α＝－eq \f(2\r(5),5).
4.已知f(x)＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，若a＝f(lg 5)，b＝f(lg eq \f(1,5))，则( )
A.a＋b＝0 B.a－b＝0
C.a＋b＝1 D.a－b＝1
答案 C
解析 a＝f(lg 5)＝sin2(lg 5＋eq \f(π,4))＝eq \f(1－cs2lg 5＋\f(π,2),2)＝eq \f(1＋sin2lg 5,2)，
b＝f(lg eq \f(1,5))＝sin2(lg eq \f(1,5)＋eq \f(π,4))＝eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2lg \f(1,5)＋\f(π,2))),2)＝eq \f(1－sin2lg 5,2)，
则可得a＋b＝1.
5.已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))的值是( )
A.－eq \f(2\r(3),5) B.eq \f(2\r(3),5) C.eq \f(4,5) D.－eq \f(4,5)
答案 D
解析 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)⇒sin eq \f(π,3)cs α＋cseq \f(π,3)sin α＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)⇒eq \f(3,2)sin α＋eq \f(\r(3),2)cs α＝eq \f(4\r(3),5)⇒eq \f(\r(3),2)sin α＋eq \f(1,2)cs α＝eq \f(4,5)，
故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))＝sin αcseq \f(7π,6)＋cs αsineq \f(7π,6)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin α＋\f(1,2)cs α))＝－eq \f(4,5).
6.若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)等于( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C.4 D.12
答案 C
解析 由已知得4tan α－16tan αtan β＋1－4tan β＝17，
∴tan α－tan β＝4(1＋tan αtan β)，
∴tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)＝4.
7.(2015·江苏)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝eq \f(1,7)，则tan β的值为________.
答案 3
解析 ∵tan α＝－2，
∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(－2＋tan β,1＋2tan β)＝eq \f(1,7)，
解得tan β＝3.
8.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cs x取得最大值，则cs θ＝________.
答案 －eq \f(2\r(5),5)
解析 f(x)＝sin x－2cs x＝eq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)sin x－\f(2\r(5),5)cs x))＝eq \r(5)sin(x－φ)，
其中sin φ＝eq \f(2\r(5),5)，cs φ＝eq \f(\r(5),5)，
当x－φ＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，函数f(x)取到最大值，
即θ＝2kπ＋eq \f(π,2)＋φ时，函数f(x)取到最大值，
所以cs θ＝－sin φ＝－eq \f(2\r(5),5).
9.已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且2sin2α－sin α·cs α－3cs2α＝0，则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))),sin 2α＋cs 2α＋1)＝_______.
答案 eq \f(\r(26),8)
解析 ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且2sin2α－sin α·cs α－3cs2α＝0，
∴(2sin α－3cs α)(sin α＋cs α)＝0，
∴2sin α＝3cs α，
又sin2α＋cs2α＝1，
∴cs α＝eq \f(2,\r(13))，sin α＝eq \f(3,\r(13))，
∴eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))),sin 2α＋cs 2α＋1)＝eq \f(\f(\r(2),2)sin α＋cs α,sin α＋cs α2＋cs2α－sin2α)＝eq \f(\r(26),8).
10.(2015·四川)已知sin α＋2cs α＝0，则2sin αcs α－cs2α的值是________.
答案 －1
解析 ∵sin α＋2cs α＝0，
∴sin α＝－2cs α，
∴tan α＝－2.
又∵2sin αcs α－cs2α＝eq \f(2sin αcs α－cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tan α－1,tan2α＋1)，
∴原式＝eq \f(2×－2－1,－22＋1)＝－1.
11.(2015·广东)已知tan α＝2.
(1)求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值；
(2)求eq \f(sin 2α,sin2α＋sin αcs α－cs 2α－1)的值.
解 (1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan \f(π,4),1－tan αtan \f(π,4))
＝eq \f(tan α＋1,1－tan α)＝eq \f(2＋1,1－2)＝－3.
(2)eq \f(sin 2α,sin2α＋sin αcs α－cs 2α－1)
＝eq \f(2sin αcs α,sin2α＋sin αcs α－2cs2α－1－1)
＝eq \f(2sin αcs α,sin2α＋sin αcs α－2cs2α)
＝eq \f(2tan α,tan2α＋tan α－2)＝eq \f(2×2,22＋2－2)＝1.
12.已知函数f(x)＝cs2x＋sin xcs x，x∈R.
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))的值；
(2)若sin α＝eq \f(3,5)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,24))).
解 (1)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝cs2eq \f(π,6)＋sin eq \f(π,6)cs eq \f(π,6)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3＋\r(3),4).
(2)因为f(x)＝cs2x＋sin xcs x
＝eq \f(1＋cs 2x,2)＋eq \f(1,2)sin 2x
＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)(sin 2x＋cs 2x)
＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,24)))＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)＋\f(π,4)))
＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))
＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin α＋\f(\r(3),2)cs α)).
又因为sin α＝eq \f(3,5)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以cs α＝－eq \f(4,5)，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,24)))＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(3,5)－\f(\r(3),2)×\f(4,5)))
＝eq \f(10＋3\r(2)－4\r(6),20).