四川省绵阳南山中学2022-2023学年高二下学期期末热身考试数学（文）试卷（含答案）

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四川省绵阳南山中学2022-2023学年高二下学期期末热身考试数学（文）试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、已知集合，则( )
A. B. C. D.
2、已知i为虚数单位，，则( )
A.-1 B.i C. D.-i
3、若命题，，则为( )
A.， B.，
C.， D.，
4、下列四个函数中是偶函数，且在上单调递减的是( )
A. B.
C. D.
5、设，若，则( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
6、函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
7、函数的图像大致是( )
A. B.
C. D.
8、短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一一六名),记“甲得第一名”为p,“乙得第二名”为q,“丙得第三名”为r,若是真命题,是假命题,是真命题,则选拔赛的结果为( )
A.甲第一,乙第二,丙第三 B.甲第二,乙第一,丙第三
C.甲第一,乙第三,丙第二 D.甲第一,乙没得第二名,丙第三
9、“青年兴则国家兴，青年强则国家强”，作为当代青少年，我们要努力奋斗，不断进步.假设我们每天进步1%，则一年后的水平是原来的倍，这说明每天多百分之一的努力，一年后的水平将成倍增长.如果将我们每天的“进步”率从目前的10%提高到20%，那么大约经过_______天后，我们的水平是原来应达水平的1500倍( )
（参考数据：，，）
A.82 B.84 C.86 D.88
10、设是定义在R上的周期为2的偶函数，已知当时，，则当 时，的解析式为( )
A. B. C. D.
11、设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如:，．已知函数，若，，则函数的值域为( )
A. B. C. D.
12、若，,则a,b,c的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13、计算：_________．
14、幂函数在上单调递减，则实数m的值为_______
15、已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围为______．
16、已知函数，若有六个零点，则实数t的取值范围是________．
三、解答题
17、已知命题，当命题p为真命题时，实数a的取值集合为A．
（1）求集合A；
（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18、为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场.根据市场调研情况，预计每枚纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下表.
上市时间x/天
2
6
32
市场价y/元
148
60
73
（1）根据上表数据，从①，②，③中选取一个恰当的函数描述每枚纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系（无需说明理由），并求出该函数的解析式；
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及每枚纪念章的最低市场价.
19、已知函数，且．
（1）求实数a的值及曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求的最大值．
20、已知函数，，.
（1）若的最大值为6，求a的值；
（2）当时，设，若的最小值为，求实数的值.
21、已知函数，其中.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，判断函数零点的个数.
22、在直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数）.
（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
（2）若点，直线l与圆C相交于A，B两点，求的值.
23、已知函数.
(1)求不等式 的解集;
(2)若关于x的不等式 恒成立,求m的取值范围.
参考答案
1、答案：B
解析：由得，所以,
故选：B
2、答案：B
解析：因为，
所以
故选：B
3、答案：D
解析：因为命题，，
所以为，，
故选：D
4、答案：D
解析：对于A，是偶函数，当时是增函数；
对于B，是偶函数，当时是增函数；
对于C，，不是偶函数；
对于D，设，则，，
当时，，，是偶函数，
当时，，是对称轴，开口向上的抛物线，是减函数；
故选：D.
5、答案：C
解析：依题意，，则，解得，
所以.
故选：C
6、答案：A
解析：的定义域为，
而，令，则，
而，故，
故的增区间为.
故选：A.
7、答案：D
解析：由函数，令，即，解得或，
所以当或时，；当时，，可排除A、C项；
又由，令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
则可排除B项，选项D符合题意.
故选：D.
8、答案：D
解析:是真命题意味着为真,q为假(乙没得第二名)且r为真(丙得第三名);
是真命题,由于q为假,只能p为真(甲得第一名),这与是假命题相吻合;
由于还有其他三名队员参赛,只能肯定其他队员得第二名,乙没得第二名,
故选:D.
9、答案：B
解析：设大约经过x天后，我们的水平是原来应达水平的1500倍，
可得，两边取对数得，
，
，
又因为
,
又因为
，
所以
故选：B.
10、答案：C
解析：当时，，，
当时，，，
因为函数为偶函数，则，
综上所述，当时，.
故选：C.
11、答案：B
解析：当时,，
，
当时,，
，
函数的值域为.
故选:B.
12、答案：D
解析：记，因为，
令，解得；令，解得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以，,
因为，所以，即；
令，，
所以在单调递增，，
所以当时，，即，
所以，
又，，所以.
故.
故选：D.
13、答案：
解析：原式.
故答案为：
14、答案：2
解析：因为是幂函数，所以，
解得或，因为函数在上单调递减，
当时，函数化为，符合题意，
当时，，不符合题意，综上.
故答案为：2
15、答案：
解析：由题意得．
因为，
当时，，故在上单调递增，．
因为，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，．
由，即，解得．
故答案为：．
16、答案：或或
解析：由，解得或；
由，解得.
因为，所以或或，
即，,
因为有六个零点，
所以函数的图象与三条直线,,共有六个交点．
因为函数的图象与三条直线,,共有三个交点，
所以的图象与三条直线共有三个交点，
当时，，
所以在区间,,递增，在区间,,递减，
所以时，取得极大值也即是最大值，
，，
结合的图象，可知或或，
所以或或．
故答案为：或或．

17、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为p为真命题，所以方程有解，即，
所以，即；
（2）因为是的必要不充分条件，所以且，
i）当时，，解得；
ii）当时，，且,等号不会同时取得，
解得，
综上，.
18、答案：（1），
（2）当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元.
解析：（1）每枚纪念章的最低市场价不是关于上市时间的单调函数，故选.
分别把，代入，得
解得，，，.
此时该函数的图象恰经过点，，.
（2）由（1）知，
当且仅当，即时，y有最小值，且.
故当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元.
19、答案：（1）；
（2）2
解析：（1）由题意可得，所以，即，
所以，，所以，.
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）由(1)得，
令，则或．
列表得：
x
-2

-1

1

2


＋
0
﹣
0
＋


-2

2

-2

2
所以当时，在时取得极小值，在时取得极大值，且，故的最大值为2.
20、答案：（1）或
（2）
解析：（1）依题意，函数的对称轴方程为，令，
当，即时，当时，取到最大值，
所以，解得；
当，即时，当时，取到最大值，
所以，解得；
综上所述，或.
（2）因为，
①当时，，
令，，，
当时，，.
当时，，；
②当时，，即，
因为，
所以，
若，此时符合题意；
若，（舍）；
若，此时不符合题意.
综上，实数.
21、答案：（1）答案见解析
（2）一个零点，理由见解析
解析：（1），
令得，
当时，，则函数在上单调递增，
当时，或时，，
时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
当时， 或时，，时，，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为在，，单调递减区间为.
（2）当时，函数仅有一个零点的个数，理由如下，
由（1）得当时，函数在，单调递增，在单调递减；
则函数的极大值为，
且极小值为，令，，
则，，
所以在上单调递增，
所以，
所以当时，，
，
因为，所以，，可得，
如下图，作出函数的大致图象，
由图象可得当时，函数仅有一个零点的个数.

22、答案：（1）
（2）3
解析：（1）由圆C的参数方程（为参数）得：
，根据，则圆C的极坐标方程为：；
（2）把直线l的参数方程，代入圆C的方程得，设A，B两点对应的参数分别为，，.
23、答案：(1)或
(2)
解析：(1),
当时,令, 得, 所以;当时, 令,得, 无解;当时, 令,得,所以.综上,原不等式的解集为或.
(2),当且仅当时,取得最小值,
,在时取得最大值.又因为关于x的不等式 恒成立,所以, 即, 所以m的取值范围为 .