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2022-2023学年广东省中山市中学联盟八年级（下）月考数学试卷（5月份）（含解析）
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这是一份2022-2023学年广东省中山市中学联盟八年级（下）月考数学试卷（5月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省中山市中学联盟八年级（下）月考数学试卷（5月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若式子 3x−4在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x>34 B. x≥34 C. x>43 D. x≥43
2. 下列二次根式中是最简二次根式的是( )
A. 1.5 B. 33 C. 9 D. 13
3. 已知三组数据①2，3，4；②3，4，5；③ 2， 3， 5.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有( )
A. ② B. ①② C. ①③ D. ②③
4. 3个旅游团游客年龄的方差分别是：S甲2=1.4，S乙2=18.8，S丙2=2.5，导游小方喜欢带游客年龄相近的团队，则他应该选择( )
A. 甲团 B. 乙团 C. 丙团 D. 哪一个都可以
5. 小明的作业本上有以下四题：
① 16a4=4a2
② 5a⋅ 10a=5 2a
③a 1a= a2⋅1a= a；
④ 3a− 2a= a．
做错的题是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
6. 下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x−2y=2的解是( )
A. B.
C. D.
7. 对于函数y=−3x+1，下列结论正确的是( )
A. 它的图象必经过点(−1,3) B. 它的图象经过第一、二、三象限
C. 当x>13时，y<0 D. y的值随x值的增大而增大
8. 下列命题是假命题的是( )
A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
9. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是( )
A. 485cm
B. 245cm
C. 125cm
D. 5 3cm
10. 在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值为( )
A. 54 B. 52 C. 53 D. 65
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11. 计算： 50+ 8− 2= ______ ．
12. 若使式子 x+3x在实数范围内有意义，则x的取值范围是______ ．
13. 直线y=2x−1沿y轴向上平移3个单位，则平移后直线与x轴的交点坐标为______．
14. 正方形对角线长为 6，则正方形边长为______．
15. 一组数据3，5，9，10，x，12的众数是9，则这组数据的方差是______ ．
16. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，有下列条件：①AO=CO，BO=DO；②AO=BO=CO=DO.其中能判断ABCD是矩形的条件是______ (填序号)．
17. 如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P(1,1)，C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y=x交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q，则点Q的坐标为______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
18. 某乡镇企业生产部有技术工人15人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了15人某月的加工零件个数：
加工件数
540
450
300
240
210
120
人数
1
1
2
6
3
2
(1)写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数．
(2)假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为260(件)，你认为这个定额是否合理，为什么？
四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算： 18−12÷2−1+1 2+1−( 2−1)0．
20. (本小题6.0分)
如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，以格点为顶点分别按下列要求画图．
(1)在图①中画三角形，使三角形三边长为3,2 2, 5．
(2)在图②中画平行四边形，使平行四边形有一锐角为45°，且面积为4．
21. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形．
(2)当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？请说明理由．
22. (本小题8.0分)
已知A，B两地相距60km，甲骑自行车、乙骑摩托车沿同一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地.设行驶时间为x，甲、乙离开A地的路程分别记为y1，y2，它们与x之间的关系如图所示．
(1)分别求出线段OD，EF所在直线的函数解析式．
(2)试求点F的坐标，并说明其实际意义．
23. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CG．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
24. (本小题10.0分)
某服装店准备购进甲、乙两种服装出售，甲种服装每件售价120元，乙种服装每件售价90元，每件甲种服装的进价比乙种服装贵20元，购进3件甲种服装的费用和购进4件乙种服装的费用相等．
(1)甲种服装的进价为______ 元/件，乙种服装的进价为______ 元/件；
(2)现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件，且购进这100件服装的总费用不超过7500元：
①求甲种服装最多购进多少件；
②该服装店将甲种服装每件降价a元，服装都可售完，那么该服装店如何进货才能获得最大利润？
25. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，∠CAO=30°．
(1)求A，B两点的坐标．
(2)把矩形沿直线DE对折使点A落在点C处，DE与AC相交于点F，求直线DE的函数解析式．
(3)若点M在直线DE上，平面内是否存在点N，使以O，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：若式子 3x−4在实数范围内有意义，
则3x−4≥0，
解得：x≥43．
故选：D．
直接利用二次根式有意义的条件解不等式求出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、 1.5= 62，不是最简二次根式，错误；
B、 33是最简二次根式，正确；
C、 9=3不是最简二次根式，错误；
D、 13= 33不是最简二次根式，错误；
故选：B．
根据最简二次根式的定义判断即可．
此题考查最简二次根式问题，关键是根据最简二次根式的定义解答．
3.【答案】D
【解析】解：①∵22+32=4+9=13，42=16，即22+32≠42，
∴2，3，4不是勾股数，故①构不成直角三角形；
②∵32+42=9+16=25，52=25，即32+42=52，
∴3，4，5是勾股数，故②构成直角三角形；
③∵( 2)2+( 3)2=2+3=5，( 5)2=5，即( 2)2+( 3)2=( 5)2，
∴ 2， 3， 5是勾股数，故③构成直角三角形；
则构成直角三角形的有：②③．
故选：D．
利用勾股定理的逆定理判断即可得到结果．
此题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵S甲2=1.4，S乙2=18.8，S丙2=2.5，
∴S甲2
故选：A．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5.【答案】D
【解析】解：①和②是正确的；
在③中，由式子可判断a>0，从而③正确；
在④中，左边两个不是同类二次根式，不能合并，故错误．
故选：D．
①②③④分别利用二次根式的性质及其运算法则计算即可判定．
此题主要考查了二次根式的性质及其简单的计算，注意二次公式的性质： a2=|a|.同时二次根式的加减运算实质上是合并同类二次根式．
6.【答案】C
【解析】解：∵x−2y=2，
∴y=12x−1，
∴当x=0时，y=−1，当y=0时，x=2，
∴一次函数y=12x−1，与y轴交于点(0,−1)，与x轴交于点(2,0)，
即可得出C符合要求，
故选：C．
根据两点确定一条直线，当x=0时，求出y的值，再利用y=0，求出x的值，即可得出一次函数图象与坐标轴交点，即可得出图象．
此题主要考查了一次函数与二元一次方程的关系，将方程转化为函数关系，进而得出与坐标轴交点坐标是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：A、∵当x=−1时，y=4≠3，∴它的图象必经过点(−1,3)，故A错误；
B、∵k=−3<0，b=1>0，∴它的图象经过第一、二、四象限，故B错误；
C、∵当x=13时，y=0，∴当x>13时，y<0，故C正确；
D、∵k=−3<0，∴y的值随x值的增大而减小，故D错误．
故选：C．
根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系、一次函数的增减性是解答此题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A、正确，符合矩形的判定定理；
B、正确，符合平行四边形的判定定理；
C、正确，符合菱形的判定定理；
D、错误，例如对角线互相垂直的等腰梯形．
故选：D．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO=12AC=3cm，BO=12BD=4cm，AO⊥BO，
∴BC= AO2+BO2=5cm，
∴S菱形ABCD=BD⋅AC2=12×6×8=24cm2，
∵S菱形ABCD=BC×AE，
∴BC×AE=24，
∴AE=24BC=245cm．
故选：B．
根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．
此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
10.【答案】D
【解析】解：在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM=12EF=12AP．
∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，
∴AP=3×45=125，
∴AM=12AP=65．
故选：D．
根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=12EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
此题考查的是勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．
11.【答案】6 2
【解析】解：原式=5 2+2 2− 2
=6 2．
故答案为：6 2．
先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减法，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
12.【答案】x≥−3且x≠0
【解析】解：根据题意得：x+3≥0且x≠0，
解得：x≥−3且x≠0．
故答案是：x≥−3且x≠0．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13.【答案】(−1,0)
【解析】解：直线y=2x−1沿y轴向上平移3个单位，
则平移后直线解析式为：y=2x−1+3=2x+2，
当y=0时，则x=−1，
故平移后直线与x轴的交点坐标为：(−1,0)．
故答案为：(−1,0)．
利用一次函数平移规律，上加下减进而得出平移后函数解析式，再求出图象与坐标轴交点即可．
此题主要考查了一次函数平移变换，正确记忆一次函数平移规律是解题关键．
14.【答案】 3
【解析】解：∵正方形对角线长为 6，
∴设正方形边长为x，则2x2=( 6)2，
解得：x= 3．
故答案为： 3．
利用勾股定理得出关于正方形边长的等式求出即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键．
15.【答案】283
【解析】解：∵一组数据3，5，9，10，x，12的众数是9，
∴x=9，
则这组数据为：3，5，9，10，9，12，
平均数是16(3+5+9+10+9+12)=8，
这组数据的方差是16[(3−8)2+(5−8)2+(9−8)2+(10−8)2+(9−8)2+(12−8)2]=283，
故答案为：283．
先根据众数求出x，再求这组数据的平均数，最后求出方差即可．
此题考查了众数、平均数和方差，熟练掌握方差的求法是解题的关键．
16.【答案】②
【解析】
【分析】
本题主要考查了矩形的判定方法，理解平行四边形与矩形的联系与区别并熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
根据矩形的判定方法解答即可．
【解答】
解：能判定四边形ABCD是矩形的条件为②．
理由如下：AO=BO=CO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴▱ABCD是矩形．
故答案为②．
17.【答案】(94,94)
【解析】解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，
∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，
∴∠MCP+∠CPM=90°，∠MPC+∠DPN=90°，
∴∠MCP=∠DPN，
∵P(1,1)，
∴OM=BN=1，PM=1，
在△MCP和△NPD中
∠CMP=∠PND∠MCP=∠NPDPC=DP
∴△MCP≌△NPD(AAS)，
∴DN=PM，PN=CM，
∵BD=2AD，
∴设AD=a，BD=2a，
∵P(1,1)，
∴DN=2a−1，
则2a−1=1，
a=1，即BD=2．
∵直线y=x，
∴AB=OB=3，
在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC=PD= (3−1)2+(2−1)2= 5，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM= ( 5)2−12=2，
则C的坐标是(0,3)，
设直线CD的解析式是y=kx+3，
把D(3,2)代入得：k=−13，
即直线CD的解析式是y=−13x+3，
即方程组y=−13x+3y=x得：x=94y=94，
即Q的坐标是(94,94)，
②当点C在y轴的负半轴上时，作PN⊥AD于N，交y轴于H，此时不满足BD=2AD，
故答案为：(94,94).
过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，求出∠MCP=∠DPN，证△MCP≌△NPD，推出DN=PM，PN=CM，设AD=a，求出DN=2a−1，得出2a−1=1，求出a=1，得出D的坐标，在Rt△DNP中，由勾股定理求出PC=PD= 5，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM=2，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y=kx+3，把D(3,2)代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．
本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
18.【答案】解：(1)平均数：540+450+300×2+240×6+210×3+120×215=260(件)；
中位数：240(件)；
众数：240(件)；
(2)不合理，因为表中数据显示，每月能完成260件的人数一共是4人，还有11人不能达到此定额，尽管260是平均数，但不利于调动多数员工的积极性，因为240既是中位数，又是众数，是大多数人能达到的定额，故定额为240较为合理．
【解析】(1)平均数=加工零件总数÷总人数，中位数是将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．本题中应是第7个数．众数又是指一组数据中出现次数最多的数据．240出现6次．
(2)应根据中位数和众数综合考虑．
在做本题的平均数时，应注意先算出15个人加工的零件总数．为了大多数人能达到的定额，制定标准零件总数时一般应采用中位数或众数．
19.【答案】解：原式=3 2−12×2+ 2−1−1=4 2−3．
【解析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的运算．
20.【答案】解：(1)如图：三角形ABC为所求．
(2)如图：平行四边形DGFE为所求，
其中∠EDG=45°°，且面积为2×2=4．
【解析】(1)根据勾股定理即可画出三边长为3,2 2, 5的三角形ABC；
(2)根据网格即可画出平行四边形DGFE，使平行四边形有一锐角为45°且面积为4．
本题主要考查了作图−、勾股定理、平行四边形的性质等知识定，熟练运用勾股定理．是解决本题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，
∴EF是△ABD的中位线，GH是△ABC的中位线，
∴EF=12AB，EF//AB，GH=12AB，GH//AB，
∴EF=GH，EF//GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
(2)解：当AB=CD时，四边形EFGH是菱形，
理由如下：由(1)可知：GF是△BDC的中位线，
∴GF=12CD，
当AB=CD时，EF=GF，
∴平行四边形EFGH是菱形．
【解析】(1)根据三角形中位线定理得到EF=12AB，EF//AB，GH=12AB，GH//AB，得到EF=GH，EF//GH，根据平行四边形的判定定理证明；
(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形解答．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设直线OD解析式为y1=k1x，由图象得，直线经过D(6,60)，
∴6k1=60，
解得：k1=10，
∴直线OD解析式为y1=10x；
当x=4时，y=10×4=40，
∴C(4,40)，
设直线EF的解析式为y2=k2x+b，则有
3k2+b=04k2+b=40，
解得：k2=40b=−120，
∴直线EF的解析式为y2=40x−120．
(2)解：当y2=60时，40x−120=60，
解得：x=4.5，
∴F(4.5,60)，
∴F的意义是甲出发后的4.5小时，乙到达B地．
【解析】(1)设直线OD解析式为y1=k1x，由图象得，直线经过D(6,60)，代入求解即可；由y1的解析式可求出C的坐标，设直线EF的解析式为y2=k2x+b，将C、E坐标代入即可求解．
(2)根据y2的解析式，可求出F的坐标，根据自变量和因变量的实际意义解释即可．
本题考查了待定系数法求直线解析式及直线交点的意义，掌握求法，理解变量的实际意义是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，OB=OD，OA=OC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE=12OB，DF=12OD，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD ∠ABE=∠CDF BE=DF ,
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
(2)解：当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；
理由如下：
∵AC=2OA，AC=2AB，
∴AB=OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG=90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG//CF，
∴EG//CF，
由(1)得：△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵EG=AE，
∴EG=CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG=90°，
∴四边形EGCF是矩形．
【解析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
(1)由平行四边形的性质得出AB=CD，AB//CD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，证出BE=DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；
(2)证出AB=OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG//CF，EG=CF，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．
24.【答案】80 100
【解析】解：(1)设甲种服装进价为x元/件，乙种服装进价为y元/件，
根据题意得：x=y+203x=4y，
解得：x=80y=60，
即甲种服装进价为80元/件，乙种服装进价为60元/件；
故答案为：80，60．
(2)①设甲种服装购进m件，则乙种服装购进(100−m)件，
根据题意得：m≥6580m+60(100−m)≤7500，
解得：65≤m≤75，
∴甲种服装最多购进75件；
②设总利润为w元，购进甲种服装m件，
则w=(120−80−a)m+(90−60)(100−m)，且65≤m≤75，
整理得w=(10−a)m+3000，
当00，w随m的增大而增大，
故当m=75时，w有最大值，即购进甲种服装75件，乙种服装25件，
当a=10时，所有进货方案利润相同，
当10
(1)设甲种服装进价为x元/件，乙种服装进价为y元/件，根据“每件甲服装的进价比乙服装的进价贵20元“和“购进3件甲服装的费用和购进4件乙服装的费用相等”列出方程组解答即可；
(2)①设甲种服装购进m件，则乙种服装购进(100−m)件，根据“甲种服装不少于65件”和“购进这100件服装的费用不得超过7500元”，列出不等式组解答即可；
②求出总利润w的表达式，针对a的不同取值范围分别进行讨论，进而确定其进货方案．
本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是找出不等关系列出不等式组．
25.【答案】解：(1)矩形OABC的对角线AC=12，∠CAO=30°，
∴OC=AB，OA=CB，
∴在Rt△AOC中，OC=12AC=12×12=6，OA= 3OC=6 3，
∴A(6 3,0)，B(6 3,6)．
(2)根据折叠的性质得，如图所示，
∴AD=CD，设AD=x，则OD=6 3−x，
在Rt△COD中，CD2=CO2+OD2，即x2=62+(6 3−x)2，解得，x=4 3，
∴D(2 3,0)，
同理得，CE=4 3，E(4 3,6)，
设DE所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∴2 3k+b=04 3k+b=6，解得，k= 3b=−6，
∴DE所在直线的解析式为y= 3x−6．
(3)①如图所示，OF，FM为边，
∵F是AC的中点，
∴F(3 3,3)，
∵直线DE的解析式为y= 3x−6，存在菱形ONMF，
∴OF=ON，ON//DE，
∴直线ON的解析式为y= 3x，设N(a, 3a)，
∴a2+( 3a)2=(3 3)2+32，解得，a=±3，
∴N(3, 3)或N(−3, 3)；
②如图所示，以FM为边，OF为对角线，
∵CDAE是菱形，
∴CD=AD=4 3，∠DCA=∠DAC=30°，
∴∠OCD=30°，
∴∠OCD=∠DCA，CD=CD，∠COD=∠CFD=90°，
∴△COD≌△CFD(ASA)，
∴CO=CF，OD=FD，
∴CD是OF的垂直平分线，
∴M与D重合，即M(2 3,0)，设N(b,c)，
∵OF与DN互相平分，
∴b+2 32=3 32，32=c2，
∴b= 3,c=3，
∴N( 3,3)；
③如图所示，以OF为边，FM为对角线，
∵直线DE的解析式为y= 3x−6，
∴直线与y轴的交点为(0,−6)，
∵F(3 3,3)，
∴OF=6，
存在菱形OFNM，
∴OM=OF=6，FN//OM，FN=6，
∴M是直线y= 3x−6与y轴的交点，
∴N(3 3,−3)；
综上所示，存在以O，F，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为(3, 3)或(−3,− 3)或( 3,3)或(3 3,−3)．
【解析】(1)利用含30°角的直角三角形的性质即可求解及；
(2)根据折叠，可知直线DE是AC的垂直平分线，利用待定系数法，垂直平分线的性质即可求解；
(3)分类讨论，①如图所示，OF，FM为边；②如图所示，以FM为边，OF为对角线；③如图所示，以OF为边，FM为对角线；图形结合，由此即可求解．
本题主要考查一次函数与几何图形的变换的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形的特点，勾股定理，垂直平分线的性质，中点坐标等知识是解题的关键．
2022-2023学年广东省中山市中学联盟八年级（下）月考数学试卷（5月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若式子 3x−4在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x>34 B. x≥34 C. x>43 D. x≥43
2. 下列二次根式中是最简二次根式的是( )
A. 1.5 B. 33 C. 9 D. 13
3. 已知三组数据①2，3，4；②3，4，5；③ 2， 3， 5.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有( )
A. ② B. ①② C. ①③ D. ②③
4. 3个旅游团游客年龄的方差分别是：S甲2=1.4，S乙2=18.8，S丙2=2.5，导游小方喜欢带游客年龄相近的团队，则他应该选择( )
A. 甲团 B. 乙团 C. 丙团 D. 哪一个都可以
5. 小明的作业本上有以下四题：
① 16a4=4a2
② 5a⋅ 10a=5 2a
③a 1a= a2⋅1a= a；
④ 3a− 2a= a．
做错的题是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
6. 下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x−2y=2的解是( )
A. B.
C. D.
7. 对于函数y=−3x+1，下列结论正确的是( )
A. 它的图象必经过点(−1,3) B. 它的图象经过第一、二、三象限
C. 当x>13时，y<0 D. y的值随x值的增大而增大
8. 下列命题是假命题的是( )
A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
9. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是( )
A. 485cm
B. 245cm
C. 125cm
D. 5 3cm
10. 在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值为( )
A. 54 B. 52 C. 53 D. 65
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11. 计算： 50+ 8− 2= ______ ．
12. 若使式子 x+3x在实数范围内有意义，则x的取值范围是______ ．
13. 直线y=2x−1沿y轴向上平移3个单位，则平移后直线与x轴的交点坐标为______．
14. 正方形对角线长为 6，则正方形边长为______．
15. 一组数据3，5，9，10，x，12的众数是9，则这组数据的方差是______ ．
16. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，有下列条件：①AO=CO，BO=DO；②AO=BO=CO=DO.其中能判断ABCD是矩形的条件是______ (填序号)．
17. 如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P(1,1)，C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y=x交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q，则点Q的坐标为______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
18. 某乡镇企业生产部有技术工人15人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了15人某月的加工零件个数：
加工件数
540
450
300
240
210
120
人数
1
1
2
6
3
2
(1)写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数．
(2)假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为260(件)，你认为这个定额是否合理，为什么？
四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算： 18−12÷2−1+1 2+1−( 2−1)0．
20. (本小题6.0分)
如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，以格点为顶点分别按下列要求画图．
(1)在图①中画三角形，使三角形三边长为3,2 2, 5．
(2)在图②中画平行四边形，使平行四边形有一锐角为45°，且面积为4．
21. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形．
(2)当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？请说明理由．
22. (本小题8.0分)
已知A，B两地相距60km，甲骑自行车、乙骑摩托车沿同一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地.设行驶时间为x，甲、乙离开A地的路程分别记为y1，y2，它们与x之间的关系如图所示．
(1)分别求出线段OD，EF所在直线的函数解析式．
(2)试求点F的坐标，并说明其实际意义．
23. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CG．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
24. (本小题10.0分)
某服装店准备购进甲、乙两种服装出售，甲种服装每件售价120元，乙种服装每件售价90元，每件甲种服装的进价比乙种服装贵20元，购进3件甲种服装的费用和购进4件乙种服装的费用相等．
(1)甲种服装的进价为______ 元/件，乙种服装的进价为______ 元/件；
(2)现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件，且购进这100件服装的总费用不超过7500元：
①求甲种服装最多购进多少件；
②该服装店将甲种服装每件降价a元，服装都可售完，那么该服装店如何进货才能获得最大利润？
25. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，∠CAO=30°．
(1)求A，B两点的坐标．
(2)把矩形沿直线DE对折使点A落在点C处，DE与AC相交于点F，求直线DE的函数解析式．
(3)若点M在直线DE上，平面内是否存在点N，使以O，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：若式子 3x−4在实数范围内有意义，
则3x−4≥0，
解得：x≥43．
故选：D．
直接利用二次根式有意义的条件解不等式求出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、 1.5= 62，不是最简二次根式，错误；
B、 33是最简二次根式，正确；
C、 9=3不是最简二次根式，错误；
D、 13= 33不是最简二次根式，错误；
故选：B．
根据最简二次根式的定义判断即可．
此题考查最简二次根式问题，关键是根据最简二次根式的定义解答．
3.【答案】D
【解析】解：①∵22+32=4+9=13，42=16，即22+32≠42，
∴2，3，4不是勾股数，故①构不成直角三角形；
②∵32+42=9+16=25，52=25，即32+42=52，
∴3，4，5是勾股数，故②构成直角三角形；
③∵( 2)2+( 3)2=2+3=5，( 5)2=5，即( 2)2+( 3)2=( 5)2，
∴ 2， 3， 5是勾股数，故③构成直角三角形；
则构成直角三角形的有：②③．
故选：D．
利用勾股定理的逆定理判断即可得到结果．
此题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵S甲2=1.4，S乙2=18.8，S丙2=2.5，
∴S甲2
故选：A．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5.【答案】D
【解析】解：①和②是正确的；
在③中，由式子可判断a>0，从而③正确；
在④中，左边两个不是同类二次根式，不能合并，故错误．
故选：D．
①②③④分别利用二次根式的性质及其运算法则计算即可判定．
此题主要考查了二次根式的性质及其简单的计算，注意二次公式的性质： a2=|a|.同时二次根式的加减运算实质上是合并同类二次根式．
6.【答案】C
【解析】解：∵x−2y=2，
∴y=12x−1，
∴当x=0时，y=−1，当y=0时，x=2，
∴一次函数y=12x−1，与y轴交于点(0,−1)，与x轴交于点(2,0)，
即可得出C符合要求，
故选：C．
根据两点确定一条直线，当x=0时，求出y的值，再利用y=0，求出x的值，即可得出一次函数图象与坐标轴交点，即可得出图象．
此题主要考查了一次函数与二元一次方程的关系，将方程转化为函数关系，进而得出与坐标轴交点坐标是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：A、∵当x=−1时，y=4≠3，∴它的图象必经过点(−1,3)，故A错误；
B、∵k=−3<0，b=1>0，∴它的图象经过第一、二、四象限，故B错误；
C、∵当x=13时，y=0，∴当x>13时，y<0，故C正确；
D、∵k=−3<0，∴y的值随x值的增大而减小，故D错误．
故选：C．
根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系、一次函数的增减性是解答此题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A、正确，符合矩形的判定定理；
B、正确，符合平行四边形的判定定理；
C、正确，符合菱形的判定定理；
D、错误，例如对角线互相垂直的等腰梯形．
故选：D．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO=12AC=3cm，BO=12BD=4cm，AO⊥BO，
∴BC= AO2+BO2=5cm，
∴S菱形ABCD=BD⋅AC2=12×6×8=24cm2，
∵S菱形ABCD=BC×AE，
∴BC×AE=24，
∴AE=24BC=245cm．
故选：B．
根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．
此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
10.【答案】D
【解析】解：在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM=12EF=12AP．
∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，
∴AP=3×45=125，
∴AM=12AP=65．
故选：D．
根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=12EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
此题考查的是勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．
11.【答案】6 2
【解析】解：原式=5 2+2 2− 2
=6 2．
故答案为：6 2．
先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减法，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
12.【答案】x≥−3且x≠0
【解析】解：根据题意得：x+3≥0且x≠0，
解得：x≥−3且x≠0．
故答案是：x≥−3且x≠0．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13.【答案】(−1,0)
【解析】解：直线y=2x−1沿y轴向上平移3个单位，
则平移后直线解析式为：y=2x−1+3=2x+2，
当y=0时，则x=−1，
故平移后直线与x轴的交点坐标为：(−1,0)．
故答案为：(−1,0)．
利用一次函数平移规律，上加下减进而得出平移后函数解析式，再求出图象与坐标轴交点即可．
此题主要考查了一次函数平移变换，正确记忆一次函数平移规律是解题关键．
14.【答案】 3
【解析】解：∵正方形对角线长为 6，
∴设正方形边长为x，则2x2=( 6)2，
解得：x= 3．
故答案为： 3．
利用勾股定理得出关于正方形边长的等式求出即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键．
15.【答案】283
【解析】解：∵一组数据3，5，9，10，x，12的众数是9，
∴x=9，
则这组数据为：3，5，9，10，9，12，
平均数是16(3+5+9+10+9+12)=8，
这组数据的方差是16[(3−8)2+(5−8)2+(9−8)2+(10−8)2+(9−8)2+(12−8)2]=283，
故答案为：283．
先根据众数求出x，再求这组数据的平均数，最后求出方差即可．
此题考查了众数、平均数和方差，熟练掌握方差的求法是解题的关键．
16.【答案】②
【解析】
【分析】
本题主要考查了矩形的判定方法，理解平行四边形与矩形的联系与区别并熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
根据矩形的判定方法解答即可．
【解答】
解：能判定四边形ABCD是矩形的条件为②．
理由如下：AO=BO=CO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴▱ABCD是矩形．
故答案为②．
17.【答案】(94,94)
【解析】解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，
∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，
∴∠MCP+∠CPM=90°，∠MPC+∠DPN=90°，
∴∠MCP=∠DPN，
∵P(1,1)，
∴OM=BN=1，PM=1，
在△MCP和△NPD中
∠CMP=∠PND∠MCP=∠NPDPC=DP
∴△MCP≌△NPD(AAS)，
∴DN=PM，PN=CM，
∵BD=2AD，
∴设AD=a，BD=2a，
∵P(1,1)，
∴DN=2a−1，
则2a−1=1，
a=1，即BD=2．
∵直线y=x，
∴AB=OB=3，
在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC=PD= (3−1)2+(2−1)2= 5，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM= ( 5)2−12=2，
则C的坐标是(0,3)，
设直线CD的解析式是y=kx+3，
把D(3,2)代入得：k=−13，
即直线CD的解析式是y=−13x+3，
即方程组y=−13x+3y=x得：x=94y=94，
即Q的坐标是(94,94)，
②当点C在y轴的负半轴上时，作PN⊥AD于N，交y轴于H，此时不满足BD=2AD，
故答案为：(94,94).
过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，求出∠MCP=∠DPN，证△MCP≌△NPD，推出DN=PM，PN=CM，设AD=a，求出DN=2a−1，得出2a−1=1，求出a=1，得出D的坐标，在Rt△DNP中，由勾股定理求出PC=PD= 5，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM=2，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y=kx+3，把D(3,2)代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．
本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
18.【答案】解：(1)平均数：540+450+300×2+240×6+210×3+120×215=260(件)；
中位数：240(件)；
众数：240(件)；
(2)不合理，因为表中数据显示，每月能完成260件的人数一共是4人，还有11人不能达到此定额，尽管260是平均数，但不利于调动多数员工的积极性，因为240既是中位数，又是众数，是大多数人能达到的定额，故定额为240较为合理．
【解析】(1)平均数=加工零件总数÷总人数，中位数是将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．本题中应是第7个数．众数又是指一组数据中出现次数最多的数据．240出现6次．
(2)应根据中位数和众数综合考虑．
在做本题的平均数时，应注意先算出15个人加工的零件总数．为了大多数人能达到的定额，制定标准零件总数时一般应采用中位数或众数．
19.【答案】解：原式=3 2−12×2+ 2−1−1=4 2−3．
【解析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的运算．
20.【答案】解：(1)如图：三角形ABC为所求．
(2)如图：平行四边形DGFE为所求，
其中∠EDG=45°°，且面积为2×2=4．
【解析】(1)根据勾股定理即可画出三边长为3,2 2, 5的三角形ABC；
(2)根据网格即可画出平行四边形DGFE，使平行四边形有一锐角为45°且面积为4．
本题主要考查了作图−、勾股定理、平行四边形的性质等知识定，熟练运用勾股定理．是解决本题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，
∴EF是△ABD的中位线，GH是△ABC的中位线，
∴EF=12AB，EF//AB，GH=12AB，GH//AB，
∴EF=GH，EF//GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
(2)解：当AB=CD时，四边形EFGH是菱形，
理由如下：由(1)可知：GF是△BDC的中位线，
∴GF=12CD，
当AB=CD时，EF=GF，
∴平行四边形EFGH是菱形．
【解析】(1)根据三角形中位线定理得到EF=12AB，EF//AB，GH=12AB，GH//AB，得到EF=GH，EF//GH，根据平行四边形的判定定理证明；
(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形解答．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设直线OD解析式为y1=k1x，由图象得，直线经过D(6,60)，
∴6k1=60，
解得：k1=10，
∴直线OD解析式为y1=10x；
当x=4时，y=10×4=40，
∴C(4,40)，
设直线EF的解析式为y2=k2x+b，则有
3k2+b=04k2+b=40，
解得：k2=40b=−120，
∴直线EF的解析式为y2=40x−120．
(2)解：当y2=60时，40x−120=60，
解得：x=4.5，
∴F(4.5,60)，
∴F的意义是甲出发后的4.5小时，乙到达B地．
【解析】(1)设直线OD解析式为y1=k1x，由图象得，直线经过D(6,60)，代入求解即可；由y1的解析式可求出C的坐标，设直线EF的解析式为y2=k2x+b，将C、E坐标代入即可求解．
(2)根据y2的解析式，可求出F的坐标，根据自变量和因变量的实际意义解释即可．
本题考查了待定系数法求直线解析式及直线交点的意义，掌握求法，理解变量的实际意义是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，OB=OD，OA=OC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE=12OB，DF=12OD，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD ∠ABE=∠CDF BE=DF ,
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
(2)解：当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；
理由如下：
∵AC=2OA，AC=2AB，
∴AB=OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG=90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG//CF，
∴EG//CF，
由(1)得：△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵EG=AE，
∴EG=CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG=90°，
∴四边形EGCF是矩形．
【解析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
(1)由平行四边形的性质得出AB=CD，AB//CD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，证出BE=DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；
(2)证出AB=OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG//CF，EG=CF，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．
24.【答案】80 100
【解析】解：(1)设甲种服装进价为x元/件，乙种服装进价为y元/件，
根据题意得：x=y+203x=4y，
解得：x=80y=60，
即甲种服装进价为80元/件，乙种服装进价为60元/件；
故答案为：80，60．
(2)①设甲种服装购进m件，则乙种服装购进(100−m)件，
根据题意得：m≥6580m+60(100−m)≤7500，
解得：65≤m≤75，
∴甲种服装最多购进75件；
②设总利润为w元，购进甲种服装m件，
则w=(120−80−a)m+(90−60)(100−m)，且65≤m≤75，
整理得w=(10−a)m+3000，
当0
故当m=75时，w有最大值，即购进甲种服装75件，乙种服装25件，
当a=10时，所有进货方案利润相同，
当10
(1)设甲种服装进价为x元/件，乙种服装进价为y元/件，根据“每件甲服装的进价比乙服装的进价贵20元“和“购进3件甲服装的费用和购进4件乙服装的费用相等”列出方程组解答即可；
(2)①设甲种服装购进m件，则乙种服装购进(100−m)件，根据“甲种服装不少于65件”和“购进这100件服装的费用不得超过7500元”，列出不等式组解答即可；
②求出总利润w的表达式，针对a的不同取值范围分别进行讨论，进而确定其进货方案．
本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是找出不等关系列出不等式组．
25.【答案】解：(1)矩形OABC的对角线AC=12，∠CAO=30°，
∴OC=AB，OA=CB，
∴在Rt△AOC中，OC=12AC=12×12=6，OA= 3OC=6 3，
∴A(6 3,0)，B(6 3,6)．
(2)根据折叠的性质得，如图所示，
∴AD=CD，设AD=x，则OD=6 3−x，
在Rt△COD中，CD2=CO2+OD2，即x2=62+(6 3−x)2，解得，x=4 3，
∴D(2 3,0)，
同理得，CE=4 3，E(4 3,6)，
设DE所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∴2 3k+b=04 3k+b=6，解得，k= 3b=−6，
∴DE所在直线的解析式为y= 3x−6．
(3)①如图所示，OF，FM为边，
∵F是AC的中点，
∴F(3 3,3)，
∵直线DE的解析式为y= 3x−6，存在菱形ONMF，
∴OF=ON，ON//DE，
∴直线ON的解析式为y= 3x，设N(a, 3a)，
∴a2+( 3a)2=(3 3)2+32，解得，a=±3，
∴N(3, 3)或N(−3, 3)；
②如图所示，以FM为边，OF为对角线，
∵CDAE是菱形，
∴CD=AD=4 3，∠DCA=∠DAC=30°，
∴∠OCD=30°，
∴∠OCD=∠DCA，CD=CD，∠COD=∠CFD=90°，
∴△COD≌△CFD(ASA)，
∴CO=CF，OD=FD，
∴CD是OF的垂直平分线，
∴M与D重合，即M(2 3,0)，设N(b,c)，
∵OF与DN互相平分，
∴b+2 32=3 32，32=c2，
∴b= 3,c=3，
∴N( 3,3)；
③如图所示，以OF为边，FM为对角线，
∵直线DE的解析式为y= 3x−6，
∴直线与y轴的交点为(0,−6)，
∵F(3 3,3)，
∴OF=6，
存在菱形OFNM，
∴OM=OF=6，FN//OM，FN=6，
∴M是直线y= 3x−6与y轴的交点，
∴N(3 3,−3)；
综上所示，存在以O，F，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为(3, 3)或(−3,− 3)或( 3,3)或(3 3,−3)．
【解析】(1)利用含30°角的直角三角形的性质即可求解及；
(2)根据折叠，可知直线DE是AC的垂直平分线，利用待定系数法，垂直平分线的性质即可求解；
(3)分类讨论，①如图所示，OF，FM为边；②如图所示，以FM为边，OF为对角线；③如图所示，以OF为边，FM为对角线；图形结合，由此即可求解．
本题主要考查一次函数与几何图形的变换的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形的特点，勾股定理，垂直平分线的性质，中点坐标等知识是解题的关键．
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