沪科版 初中数学 八年级上册 13.1.1　三角形中边的关系

沪科版数学八年级上册同步学案

第13章　三角形中的边角关系、命题与证明

13.1　三角形中的边角关系

13.1.1　三角形中边的关系

要  点  讲  解

要点一　三角形及有关概念

1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形．

2. 表示方法

如图所示，线段AB，AC，BC叫做三角形ABC的边．点A，B，C叫做三角形ABC的顶点．

∠A，∠B，∠C叫做三角形ABC的内角(简称三角形的角)．三角形ABC记作“△ABC”，读作“三角形ABC”．

3. 等腰三角形及相关概念

等腰三角形中，相等的两边叫做腰，第三边叫做底边：两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．

特别地，腰与底边相等的等腰三角形(即三条边都相等的三角形)叫做等边三角形，又叫做正三角形．

要点二　三角形按边分类

三角形

要点三　三角形的三边关系

1. 三角形中任何两边的和大于第三边；三角形中任何两边的差小于第三边．

2. 应用三角形的三边关系可以判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，则这三条线段可以组成三角形，反之，则不能组成三角形．

经典例题1　如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是(　　　)

A．2                    B．3　　　　         C．4                 D．8

解析：由题意，令第三边长为x，则5－3<x<5＋3，即2<x<8，因为第三边长为偶数，所以第三边长是4或6.所以三角形的第三边长可以为4.故选C.

答案：C

易错易混警示　因对三角形的三边关系理解不透而出错

在三角形的三边关系“任何两边的和大于第三边”中，注意对关键词“任何”的理解，即三条线段中任何两条线段的和必须大于第三边，只有这样，三条线段才能组成三角形．如4cm，3cm，1cm长的三条线段，尽管4＋3>1，可是1＋3＝4，所以，这样的三条线段不能组成三角形．也可以采用简捷的方法，即判断两条较短的线段之和是否大于第三条(较长)线段．当两条较短的线段的和大于第三条(较长)线段时，就可断定任何两条线段的和都大于第三条线段了．

经典例题2　长度为3cm，6cm，2cm的三条线段能否组成三角形？为什么？

解：因为2＋3＝5<6，所以长度为3cm，6cm，2cm的三条线段不能组成三角形．

点拨：本题给出3cm，6cm，2cm长的三条线段，虽然其中的3cm＋6cm>2cm或6cm＋2cm>3cm，但是3cm＋2cm<6cm，所以这三条线段不能组成三角形．为了简化计算，可直接比较两条较短线段之和是否大于较长的线段，如果大于，则能组成三角形，否则就不能组成三角形．

当  堂  检  测

1. 如图所示的是小强用三根小木棒组成的图形，其中符合三角形概念的是(　　)

A                    B                    C                  D

2. 三角形按边可分为(　　)

A. 等腰三角形，直角三角形                     B. 直角三角形，不等边三角形

C. 等腰三角形，不等边三角形                   D. 等腰三角形，等边三角形

3. 长为9，6，5，4的四根木条，选其中三条组成三角形，选法有(　　)

A. 1种                    B. 2种              C. 3种              D. 4种

4. 已知三角形的两边长分别是4和7，则这个三角形的第三条边的长可能是(　　)

A. 12                     B. 11　　            C. 8                 D. 3

5. 如图，以BD为边的三角形是              ；以∠DAC为一个内角的三角形是          ；△AED的三个内角分别是                              .

6. 在△ABC中，AB＝3，BC＝7，AC＝a－1，则a的范围是               .

7. 三角形的一边是8，另一边是1，第三边如果是整数，则第三边是            ，这个三角形是             三角形.

8. 在平面内，分别用3根、5根、6根…小木棒首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示，问：

(1)4根小木棒能搭成三角形吗？

(2)8根、12根小木棒能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图.

9. 把一条长为18米的细绳围成一个三角形，其中两段长分别为x米和4米.

(1)求x的取值范围；

(2)若围成的三角形是等腰三角形时，求x的值.

当堂检测参考答案

1. C  2. C  3. C  4. C

5. △ABD  △DAC  ∠DAE，∠ADE，∠AED 

6. 5<a<11 

7. 8  等腰 

8. 解：(1)4根小木棒不能搭成三角形.　

(2)8根小木棒能搭成一种等腰三角形，示意图为；12根小木棒能搭成三种不同的三角形：(4，4，4)(5，5，2)(3，4，5)，示意图如下.

9. 解：(1)依题意可得18－4－x－4<x<18－4－x＋4，解得5<x<9.　

(2)当x为底边长时，则有4＋4＋x＝18，解得x＝10(不合题意，舍去)；当x为腰长时，则有x＋x＋4＝18，解得x＝7.此时，三角形的三边长为4，7，7，符合题意.