九师联盟3月在线公益联考2020届高三数学（文科）试题 Word版含解析

这是一份九师联盟3月在线公益联考2020届高三数学（文科）试题 Word版含解析，共23页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，函数的部分图象大致是，已知数列是等差数列，若，，则等内容，欢迎下载使用。

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九师联盟3月在线公益联考
高三数学（理科）
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先由题意求出，再与集合求交集，即可得出结果.
【详解】因为，，所以，
又，所以.
故选：D
【点睛】本题主要考查集合的交集与补集的混合运算，熟记交集与补集的定义即可，属于基础题型.
2.若是虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用复数的除法运算将复数先化简，然后利用复数模的计算公式计算即可.
【详解】，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.
3.在“新零售”模式的背景下，自由职业越来越流行，诸如淘宝店主、微商等等．现调研某行业自由职业者的工资收入情况，对该行业10个自由职业者人均年收入千元与平均每天的工作时间小时进行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且线性回归方程为，若自由职业者平均每天工作的时间为5小时，估计该自由职业者年收入为（ ）
A. 50千元 B. 60千元 C. 120千元 D. 72千元
【答案】C
【解析】
【分析】
将代入回归直线即可求得结果.
【详解】令得：，即估计该自由职业者年收入为千元.
故选：.
【点睛】本题考查根据线性回归直线计算预估值的问题，属于基础题.
4.设，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先判断哪些为正，哪些为负；正的中哪些大于1，哪些小于1即可得到答案.
【详解】因为，，，所以.
故选：C.
【点睛】本题考查对数式、指数式大小的比较，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
5.已知平面向量，满足，，且，则向量在方向上的投影是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据数量积的几何意义可知，在方向上的投影为||与向量，夹角的余弦值的乘积，即可求得答案．
【详解】设向量与的夹角是，
则向量在方向上投影为.
故选：
【点睛】本题考查向量投影的定义，熟练记准投影的求解公式是解决问题的关键，属基础题．
6.函数的部分图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和函数图象上的特殊点进行排除，由此确定正确选项.
【详解】函数的定义域为，且
，所以为奇函数，由此排除CD选项.而，所以B选项错误.
故选：A
【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.
7.《算经十书》是指汉、唐一千多年间十部著名的数学著作，它们曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书.十部书的名称是：《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《五曹算经》《孙子算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》《五经算术》《缉古算经》《缀术》.小明计划从这十部书中随机选择两部书购买，则选择到《九章算术》的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用古典概型的概率计算公式计算即可.
【详解】从十部书中随机选择两部书共有种方法，其中选择的两部书中含有《九章算术》净
的方法为9种，所以所求的概率为.
故选：D.
【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
8.若执行如图所示的程序框图，则输出k的值是( )

A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序框图一步一步往下执行，即可得答案.
【详解】



，退出循环，输出.
故选：B.
【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，考查简单阅读程序框图能力，属于基础题.
9.要得到函数的图象，需将函数的图象上所有的点（ ）
A. 向右平移个单位长度后，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变
B. 向左平移个单位长度后，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变
C. 向左平移个单位长度后，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
D. 向右平移个单位长度后，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【答案】A
【解析】
【分析】
因为，所以将函数的图象向右平移个单位长度得到，再将此图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变即可得到函数的图象.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到，
即函数的图象，再将此图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，
所得图象对应的函数解析式为.
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.
10.已知数列是等差数列，若，，则（ ）
A. B. C. 或 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
设数列的公差为，由已知可得，即，进一步得到，又，可得公差，即可得到的通项，要注意.
【详解】设数列的公差为，由已知，，即，
又是等差数列，所以，又，所以，
即，，解得，
当时，，，所以；
当时，，此时，不符合题意.
故选：B.
【点睛】本题考查等差数列的性质及基本量的计算，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
11.已知是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
由双曲线的定义及，可得或，再由得到即可建立的方程.
【详解】据题意，得，或，
，，，，
即，，故双曲线的离心率为.
故选：C.
【点睛】本题考查求双曲线的离心率，此类题的关键是找到之间的关系，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
12.如果定义在上的函数满足:对于任意，都有,则称为“函数”.给出下列函数:①；②；③ ；④其中为“函数”的是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据题中条件，得到函数是定义在上的减函数，逐项判断所给函数单调性，即可得出结果.
【详解】∵对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，
∴不等式等价为恒成立，
即函数是定义在上的减函数.
①，则函数在定义域上不单调.
②函数是由复合而成，根据同增异减的原则，函数单调递减，满足条件.
③根据指数函数单调性可得：为减函数，满足条件.
④.当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，不满足条件.
综上满足“函数”的函数为②③，
故选:B
【点睛】本题主要考查函数单调性的判定，熟记函数单调性的定义，以及基本初等函数单调性即可，属于常考题型.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.曲线在点处的切线的斜率为____.
【答案】7
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义计算即可.
【详解】，.
故答案为：
【点睛】本题考查导数的几何意义，涉及到导数的运算法则，是一道容易题.
14.已知首项为3的等比数列的前项和为，若，则的值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为，由可得，进一步可得，，令代入计算即可.
【详解】设等比数列的公比为，
，，
，，又，，
.
故答案为：
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.
15.已知等边三角形的三个顶点都在以点为球心、2为半径的球面上，若三棱锥的高为1，则三棱锥的体积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
设等边中心为，边长为，由，得，解得m，再利用三棱锥体积公式计算即可.
【详解】设等边的中心为，边长为，由题意，，所以
，，
由，得，所以（舍）或，
所以三棱锥的体积.
故答案为：

【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，涉及到球的内接问题，考查学生的空间想象能力，数学运算能力，是一道中档题.
16.已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），则△PMF周长的最小值是_____.
【答案】5
【解析】
【分析】
△PMF的周长最小，即求最小，过做抛物线准线的垂线，垂足为，转化为求最小，数形结合即可求解.
【详解】如图，F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），
抛物线C：x2＝8y的焦点为F（0，2），准线方程为y＝﹣2.
过作准线的垂线，垂足为，则有
，
当且仅当三点共线时，等号成立，
所以△PMF的周长最小值为55.
故答案为：5.

【点睛】本题考查抛物线定义的应用，考查数形结合与数学转化思想方法，属于中档题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.甲、乙两个班级（各40名学生）进行一门考试，为易于统计分析，将甲、乙两个班学生的成绩分成如下四组：，，，，并分别绘制了如下的频率分布直方图：

规定：成绩不低于90分的为优秀，低于90分的为不优秀.
（1）根据这次抽查的数据，填写下面的列联表：

优秀
不优秀
合计
甲班



乙班



合计





（2）根据（1）中的列联表，能否有的把握认为成绩是否优秀与班级有关？
附：临界值参考表与参考公式

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


（，其中）
【答案】（1）填表见解析；（2）没有的把握认为成绩是否优秀与班级有关
【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图求出甲班、乙班优秀的人数即可；
（2）直接利用卡方公式结合临界值参考表即可得到答案.
【详解】（1）由题意，甲班优秀的人数为人，
乙班优秀的人数为，
所以列联表，如下：

优秀
不优秀
合计
甲班
10
30
40
乙班
6
34
40
合计
16
64
80


（2），
所以没有的把握认为成绩是否优秀与班级有关.
【点睛】本题考查频率分布直方图以及独立性检验，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
18.已知在中，角的对边分别为，.
（1）求的值；
（2）若，，求.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由诱导公式及正弦定理可得，进一步得到即可得到的值；
（2）由的值得到，，由得到，利用计算得到，再利用正弦定理即可得到.
【详解】（1）因为，，
所以，
所以，由正弦定理，得
.
又因为，，，
所以，
所以.
（2）因为，，
所以，
因为，，
所以，
所以



.
由正弦定理，得，即，
所以.
【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，涉及到诱导公式、两角和的正弦公式的应用，考查学生的计算能力，是一道容易题.
19.如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面三角形是等边三角形）中，，分别是的中点.

（1）求证：平面∥平面；
（2）在线段上是否存在一点使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在；点在处
【解析】
【分析】
（1）要证明平面∥平面，只需证明∥平面，∥平面即可；
（2）在线段上存在一点，它就是点，连接，过点作垂直于，垂足为，连接，只需证明，，再利用线面垂直的判定定理即可得到证明.
【详解】证明：（1）因为分别是的中点，
所以∥，
又因为平面，平面，所以∥平面.
因为分别是的中点，四边形为平行四边形，
所以，且∥，
所以四边形是平行四边形，
所以∥.
又因为平面，平面，
所以∥平面.
又因为，平面，平面，
所以平面∥平面.
（2）在线段上存在一点，它就是点，使得平面.
连接，过点作垂直于，垂足，连接.

因为在正三棱柱中，，底面三角形是等边三角形，
所以四边形是正方形，
所以.
易证，
所以，
所以，
所以，
因为，三棱柱为直三棱柱，
所以平面.
又因为平面，
所以.
又因为，平面，平面，
所以平面.
又因为平面，所以.
又，平面，平面，
所以平面.
【点睛】本题考查面面平行的判定定理以及线面垂直的判定定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.
20.已知函数.
（1）当时，若，求函数的最值；
（2）若函数在处取得极值，求实数的值.
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】
（1）当时，，求导得到的单调性，利用单调性求得最值；
（2）由题意，解方程得到，要注意检验.
【详解】（1）当时，，
，
当时，，
函数在区间上单调递增，
当时，，.
（2），

.
又函数在处取得极值，
，
.
经验证知，满足题意
综上，所求实数的值是.
【点睛】本题考查利用导数求函数的最值以及已知函数的极值点求参数，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.
21.已知椭圆的焦距为2，且长轴长是短轴长的倍.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，点在轴非负半轴上，且点到坐标原点的距离为2，求取得最大值时的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意，解方程组即可；
（2）分直线垂直于轴和直线不垂直于轴两种情况讨论，当直线垂直于轴时，易得三点坐标，再利用数量积的坐标运算即可算得；当直线不垂直于轴时，设，，直线方程为，联立椭圆方程得到根与系数的关系，代入的坐标表示中，即可得到关于的函数，求出范围结合第一种情况即可得到取的最大值，进一步得到三角形的面积.
【详解】（1）据题意，得
解得，，
椭圆的标准方程为.
（2）据题设知，.
设，.
讨论：
当直线垂直于轴时，，，或，，，
；
当直线不垂直于轴时，设直线方程为.
据得.
，，






.
综上，，
此时.
【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系中的最值问题，涉及到向量的数量积，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22.已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.
（1）若以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，试求曲线的极坐标方程；
（2）求直线被曲线截得线段的长.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；
（2）联立直线与椭圆方程得到两个交点的坐标，利用两点间的距离公式计算即可.
【详解】（1）
，
即曲线的普通方程为，
曲线的极坐标方程为，即.
（2）直线的普通方程为.
解得或
直线被曲线截得线段的长.
【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，以及弦长的计算，考查学生的计算能力，是一道容易题.
选修4-5：不等式选讲
23.已知实数满足.
（1）求的最小值；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用柯西不等式即可得到；
（2）将代入中得到，再利用基本不等式即可得到的最大值.
【详解】（1）因为，当且仅当时等号成立，
即，当且仅当时等号成立.
又因为，
所以，当且仅当，，时等号成立.
即的最小值为.
（2）因为，，
所以，
所以.
又因为，
所以，即，当且仅当时，等号成立.
【点睛】本题考查利用基本不等式、柯西不等式求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.