2021届西藏拉萨中学高三第二次月考数学（理）试卷

这是一份2021届西藏拉萨中学高三第二次月考数学（理）试卷，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
拉萨中学高三年级（2021届）第二次月考
理科数学试题
（满分：150分，考试时间：120分钟。请将答案填写在答题卡上）

一、单选题（共12题；共60分）
1．已知集合，，则
A． B．
C． D．
2．若复数满足，则的虚部为
A．－4 B． C．4 D．
3.设，则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．已知函数，则
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
5．设函数，则
A．3 B．6 C．9 D．12
6．设为等比数列的前n项和，则
A．5 B．－8 C．－11 D．11
7．函数的零点个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
8．已知，那么
A． B． C． D．
9.已知曲线在点处的切线方程为y=2x+b，则
A．a=e，b=-1 B．a=e-1，b=1 C．a=e，b=1 D．a=e-1，b=1
10．函数f(x)=在[-π，π]的图像大致为
A． B．
C． D．
11．已知函数 满足对任意的实数都有 成立，则实数的取值范围为
A. (0,1) B. C. D.
12．已知，则的大小关系为
A． B． C． D．
二、填空题（共4题；共20分）
13．若满足约束条件 则的最大值为 ．
14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种
15．设函数 其中．
① 若，则 ；
② 若函数有两个零点，则的取值范围是 ．
16. 已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆. 若的面积为，，则球的表面积为 .
三、解答题（共计70分）
17．（本小题满分12分）
在等差数列中，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，其中，求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：
手机编号
1
2
3
4
5
A型待机时间（h）
120
125
122
124
124
B型待机时间（h）
118
123
127
120
a
已知 A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）判断A，B两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；
（Ⅲ）从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率．
（注：n个数据的方差，其中为数据的平均数）
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，， ，，，，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若为的中点，求证：平面；
20. （本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设函数，求证：当时，在上存在极小值.
21. （本小题满分12分）
已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当点为直线上的定点时，求直线的方程；
（Ⅲ）当点在直线上移动时，求的最小值．

22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A，B两点.
（Ⅰ）求｜AB｜;
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.
23.[选修4—5：选讲不等式]（10分）
设均为正数，且，证明：
（Ⅰ）
（Ⅱ）





















理科数学答案


一、单选题（共12题；共60分）
1.A 2.D 3.B 4.A 5.C 6.C 7. B 8. C 9.B 10.D 11. D 12. A
二、填空题（共4题；共20分）
13. 9 14. 36 15. ； 16 .
三、解答题（共计70分）
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则有

解得 ，．
所以数列的通项公式为．
（Ⅱ）．
因为数列是首项为，公比为的等比数列，
所以
．
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）

由 ， 解得 ．
（Ⅱ）设A，B两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为，，
则．
（Ⅲ）设A型号手机为，，，，；B型号手机为，，，，，“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C．
从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，不同的抽取方法有25种．

抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：
，，，，共4种．
因此 ， 所以 ．
所以 至少有1台的待机时间超过122小时的概率是．
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为，所以，
又因为 ，
所以 平面．
所以 平面平面．
（Ⅱ）取的中点，连接，．
因为为的中点，所以，，
又因为 ，，
所以 ，．
所以四边形是平行四边形，．
又 平面，平面，
所以平面．
20. （本小题满分12分）
解：（1）由，，可得
当时，，所以函数的增区间为；
当时，若，，若，，
所以此时函数的增区间为，减区间为.
（2）由及题设得，
由可得，由(Ⅱ)可知函数在上递增，
所以，
取，显然，
，
所以存在满足，即
存在满足，
所以在区间上的情况如下：






0



极小


所以当时，在上存在极小值.
（本题所取的特殊值不唯一，注意到），因此只需要即可）
21. （本小题满分12分）
解（Ⅰ）依题意，解得（负根舍去）
抛物线的方程为．
（Ⅱ）设点,，，
由,即得．
∴抛物线在点处的切线的方程为，
即．
∵， ∴．
∵点在切线上, ∴. ①
同理， . ②
综合①、②得，点的坐标都满足方程 .
∵经过两点的直线是唯一的，
∴直线 的方程为，即．
（Ⅲ）由抛物线的定义可知，
所以
联立，消去得，




当时，取得最小值为
22. （本小题满分10分）

23. （本小题满分10分）
解:（Ⅰ）得

由题设得，即．
所以，即
（Ⅱ）∵
∴
即
∴