2021届五省（适用于河北重庆广东福建湖南）高三解题能力数学试题（解析版）

这是一份2021届五省（适用于河北重庆广东福建湖南）高三解题能力数学试题（解析版），共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021届五省（适用于河北重庆广东福建湖南）高三解题能力数学试题


一、单选题
1．已知集合，，则集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分别化简集合，，利用交集的定义计算可得答案．
【详解】
集合，
则集合
故选：B
【点睛】
本题考查集合的交并补运算，考查学生计算能力，属于基础题．
2．提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，，下列判断错误的是（ ）
A．当，时，辅助角
B．当，时，辅助角
C．当，时，辅助角
D．当，时，辅助角
【答案】B
【解析】分别判断出，的值，对辅助角的影响．
①，，则辅助角在第一象限；
②，，则辅助角在第四象限；
③，，则辅助角在第三象限；
④，，则辅助角在第二象限．
【详解】
解：因为，，，
对于，因为，，则辅助角在第一象限，
，，故选项正确；
对于，因为，，则辅助角在第四象限；
， ，故选项错误；
对于，因为，，则辅助角在第二象限；
， ，故选项正确；
对于，因为，，则辅助角在第三象限，
， ，故选项正确；
故选：．
【点睛】
本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力，属于中档题．
3．在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足 ，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设出的坐标为，依据题目条件，求出点的轨迹方程，
写出点的参数方程，则，根据余弦函数自身的范围，可求得结果.
【详解】
设 ，则
∵，
∴
∴
∴为点的轨迹方程
∴点的参数方程为（为参数）
则由向量的坐标表达式有：

又∵
∴
故选：D
【点睛】
考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法
4．已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】把要求的式子变形为，再利用基本不等式求得它的最小值．
【详解】
已知，，，
则，
当且仅当 时，即当，且，等号成立，
故的最小值为，
故选：．
【点睛】
本题考查基本不等式的运用，考查常数代换法，注意最值取得的条件，考查运算能力，属于中档题．
5．在可行域内任取一点，如果执行如图所示的程序框图，那么输出数对的概率是( )

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出条件所表示的正方形区域，和圆，再利用几何概型计算概率，即可得答案.
【详解】
如图所示：分别作出条件所表示的正方形区域、圆，
由程序框图的程序得：当输出数对的概率是.
故选：B.

【点睛】
本题考查程序框图与几何概型，考查数形结合思想和运算求解能力，属于基础题.
6．已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据所给条件和三角形面积公式，求得，的关系式，即可求得离心率的范围.
【详解】
设的内切圆半径为，
则，，，
因为，
所以，
由双曲线的定义可知，，
所以，即.
故选：B.
【点睛】
本题考查了求双曲线离心率的范围，其主要方法为根据条件得出一个关于的齐次式，再化简转化成关于的不等式即可得解，本题属于较难题.
7．一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量X，男生的人数为变量Y，则等于( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】求出,即得解.
【详解】
由题得,
所以.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查超几何分布概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走了几个单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点处的所有不同走法共有（ ）

A．21种 B．22种 C．25种 D．27种
【答案】D
【解析】正方形的周长为8，抛掷三次骰子的点数之和为8或16，分别求出两种情况下三次骰子的点数情况，进而求出对应的排列方法即可.
【详解】
由题意，正方形的周长为8，抛掷三次骰子的点数之和为8或16，
①点数之和为8的情况有：；；；；，排列方法共有种；
②点数之和为16的情况有：；，排列方法共有种.
所以，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点处的所有不同走法共有种.
故选：D.
【点睛】
本题考查排列组合问题，注意两种计数原理的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.

二、多选题
9．已知，．若有唯一的零点，则的值可能为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】ACD
【解析】通过只有一个零点，化为只有一个实数根．
令，利用函数的导数，判断函数的单调性，结合函数的图象，通过①当时，②当时，③当时，④当时，验证函数的零点个数，推出结果即可．
【详解】
解：，．
只有一个零点，
只有一个实数根，
即只有一个实数根．
令，则，
函数在上单调递减，且时，，
函数的大致图象如图所示，
所以只需关于的方程有且只有一个正实根．
①当时，方程为，解得，符合题意；
②当时，方程为，解得或，不符合题意；
③当时，方程为，得，只有，符合题意．
④当时，方程为，得，只有，符合题意．

故选：ACD．
【点睛】
本题考查函数的导数的应用，函数的零点以及数形结合，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题．
10．下列四个条件中，是的充分条件的是（ ）
A．，
B．为双曲线，
C．，
D．，
【答案】BC
【解析】依次分析判断每个选项可知.
【详解】
对于A，若，则，故 p不是q的充分条件；
对于B，若为双曲线，则异号，即，故 p是q的充分条件；
对于C，单调递增，当时，，故 p是q的充分条件；
对于D，当时，成立，不成立，故不是q的充分条件.
故选：BC.
【点睛】
本题考查充分条件的判断，属于基础题.
11．在正三棱锥中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是( )
A．EF与AD所成角的正切值为 B．EF与AD所成角的正切值为
C．AB与面ACD所成角的余弦值为 D．AB与面ACD所成角的余弦值为
【答案】BC
【解析】如图所示，先找出EF与AD所成角再求解，再找出AB与面ACD所成角求解.
【详解】

（1）设中点为，的中点为，连接、、、，
因为，，，
所以，，
所以就是直线与所成的角或补角，
在三角形中，，，
由于三棱锥是正三棱锥，，，
又因为平面，，所以平面，
平面，所以，所以，
所以，所以A错误B正确.
（2）过点作垂直，垂足为.

因为，，平面，
所以平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
所以就是与平面所成角.
由题得，所以.
所以C正确D错误.
故答案为：BC.
【点睛】
本题主要考查空间异面直线所成的角的求法，考查直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（ ）．
A．当时，
B．函数有五个零点
C．若关于的方程有解，则实数的取值范围是
D．对，恒成立
【答案】AD
【解析】根据函数是奇函数，求出时的解析式，可判断A；利用导数求出函数在上的单调区间及极值，再结合是奇函数，可作出函数在上的大致图象，从而可逐项判断B、C、D．
【详解】
设，则，所以，
又函数是定义在上的奇函数，所以，
所以，即
故A正确．
当时，，所以，
令，解得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，函数取得极小值，
当时，，又，故函数在仅有一个零点．
当时，，所以函数在没有零点，
所以函数在上仅有一个零点，函数是定义在上的奇函数，
故函数在上仅有一个零点，又，
故函数是定义在上有3个零点．
故B错误．
作出函数的大致图象，由图可知

若关于的方程有解，则实数的取值范围是.
故C错误．
由图可知，对，
故D正确．
故选：AD．
【点睛】
本题主要考查利用函数奇偶性求函数解析式；利用导数研究函数的单调性及最值；同时也考查函数的零点，综合性较强．


三、填空题
13．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP，该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块，某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有______种.
【答案】432
【解析】根据分类计数原理，结合排列数和组合数的计算公式进行求解即可.
【详解】
根据题意学习方法有二类：
一类是：在“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块，
这样的学习方法数为：；
另一类是：在“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间不间隔一个答题板块，
这样的学习方法数为：，
因此某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法数为：.
故答案为：432
【点睛】
本题考查了分类计算原理的应用，考查了排列数与组合数的计算，考查了数学运算能力和数学阅读能力.
14．函数的定义域为，其图象如图所示.函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，.给出下列三个结论：①；②函数在内有且仅有个零点；③不等式的解集为.其中，正确结论的序号是__________.

【答案】①③
【解析】利用的奇偶性和可求出的周期为，对于①，即可判断；对于②，令求出，再利用周期即可判断；对于③，令，求，观察图像即可得出结论.

【详解】
因为函数是奇函数，所以，
又，所以，即，
所以，函数的周期为.
对于①，由于函数是上的奇函数，所以，，故①正确；
对于②，，令，可得，得，
所以，函数在区间上的零点为和.
因为函数的周期为，所以函数在内有个零点，分别是、、、、，故②错误；
对于③，令，则需求的解集，由图象可知，，所以，故③正确.
故答案为：①③.
【点睛】
本题主要考查了函数的性质，利用函数的奇偶性和周期求区间内零点的个数以及观察图像解不等式.属于较易题.
15．已知等差数列中，若，则等式恒成立；运用类比思想方法，可知在等比数列中，若，则与此相应的等式_________________恒成立.
【答案】
【解析】根据等差数列的性质有，等比数列的性质有，类比即可得到结论.
【详解】
已知等差数列中，

,
.
,由等差数列的性质得，
.
等比数列，且，有等比数列的性质得，
.
所以类比等式，可得
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，得出结论,属于中档题.

四、双空题
16．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面，，，，为中点，为内的动点（含边界），且.①当在上时，______；②点的轨迹的长度为______.

【答案】2
【解析】(1)根据与鳖臑的性质证明平面再求解即可.
(2)根据(1)中的计算可知垂直于所在的平面,再得出垂直于在平面内的轨迹再计算长度即可.
【详解】
(1)当在上时,因为平面,故,又,故平面.
故.又,为中点,故所以为中点.
故.
(2)取中点则由(1)有平面,故,又,
设平面则有平面.故点的轨迹为.
又此时,,故.
所以.

故答案为：(1). 2 (2).
【点睛】
本题主要考查了根据线面垂直与线面垂直的性质求解立体几何中的轨迹问题,需要根据垂直关系求解对应的线段长度.属于中档题.

五、解答题
17．已知圆柱底面半径为1，高为，是圆柱的一个轴截面，动点从点出发沿着圆柱的侧面到达点，其距离最短时在侧面留下的曲线如图所示.将轴截面绕着轴逆时针旋转后，边与曲线相交于点.

（1）求曲线的长度；
（2）当时，求点到平面的距离.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）将圆柱的一半展开,可知曲线的长度为矩形的对角线长度.其中矩形的宽为圆柱的高,长为底面的半圆长,即可求得曲线的长度.
（2）当时,以底面的圆心O为原点建立空间直角坐标系.写出各个点的坐标,求得平面的法向量,即可求得点到平面的距离.
【详解】
（1）曲线的长度为矩形的对角线长度.其中矩形的宽为圆柱的高,长为底面的半圆长,
其中,底面的半圆长为
∴的长为
（2）当时,建立如图所示的空间直角坐标系:

则有、、、,
所以、、.
设平面的法向量为,
则,代入可得,
令,得,
所以点到平面的距离为.
【点睛】
本题考查了圆柱的展开图及距离的求法,利用空间向量求点到平面距离,属于中档题.
18．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析，
【解析】试题分析：（Ⅰ）找出“星队”至少猜对3个成语所包含的基本事件，由独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；（Ⅱ）由题意，随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得到的分布列，根据期望公式求解.
试题解析：
（Ⅰ）记事件A:“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，
记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，
记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”.
由题意，
由事件的独立性与互斥性，


,
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.
（Ⅱ）由题意，随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,6.
由事件的独立性与互斥性，得
,
,
,
,
,
.
可得随机变量的分布列为


0

1

2

3

4

6

P














所以数学期望.
【考点】独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，分布列和数学期望
【名师点睛】本题主要考查独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本题较难，能很好的考查考生的数学应用意识、基本运算求解能力等.

19．为了缓解城市交通压力，某市市政府在市区一主要交通干道修建高架桥，两端的桥墩现已建好，已知这两桥墩相距m米，“余下的工程”只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记“余下工程”的费用为y万元．
(1)试写出工程费用y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使工程费用y最小？并求出其最小值．
【答案】（1）；（2）需新建9个桥墩才能使工程费用y取得最小值，且最少费用为8 704万元．
【解析】试题分析：（1）设出相邻桥墩间距米，需建桥墩个，根据题意余下工程的费用为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到的解析式；（2）把米代入到的解析式中并求出令其等于0，然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时的值代入中求出桥墩个数即可.
试题解析：（1）相邻桥墩间距米，需建桥墩个，则，()
（2）当米时，，，∵且时，，单调递增，时，，单调递减，∴，∴需新建桥墩个.
20．已知直线与抛物线交于两点.
（1）求证：若直线过抛物线的焦点，则；
（2）写出（1）的逆命题，判断真假，并证明你的判断.
【答案】（1）证明见解析；（2）逆命题：若，则直线过抛物线的焦点；真命题.见解析
【解析】（1）不妨设抛物线方程为 ，则焦点坐标为，
当直线的斜率不存在时，直线方程为 代入，验证.当直线的斜率存在时，设直线方程为 代入，得，再由韦达定理验证.

（2）逆命题：直线过抛物线的焦点. 是真命题.证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为 代入，解得 ，再由，求解.当直线的斜率存在时，设直线方程为 代入，得 ，由韦达定理得再由，求得 与 的关系现求解.
【详解】
（1）设抛物线方程为 ，则焦点坐标为，
两个交点 ，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，
代入，得 ，
所以.
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
代入，
得 ，
由韦达定理得 .
所以若直线过抛物线的焦点时，则.
（2）逆命题：若，则直线过抛物线的焦点. 是真命题
证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为 代入得
因为，
所以，
解得 ，
所以直线过抛物线的焦点.
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
代入，
得 ，
由韦达定理得 ，
又因为，
所以 ，
所以直线的方程，
所以直线过定点
即直线过抛物线的焦点.
【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21．在股票市场上，投资者常参考股价(每一股的价格)的某条平滑均线的变化情况来决定买入或卖出股票.股民老张在研究股票的走势图时，发现一只股票的均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系，则股价(元)和时间的关系在段可近似地用解析式来描述，从点走到今天的点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且点和点正好关于直线：对称.老张预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里段与段关于直线对称，段是股份延续段的趋势(规律)走到这波上升行情的最高点.现在老张决定取点，点，点来确定解析式中的常数，，，，并且求得.

（1）请你帮老张算出，，中，并回答股价什么时候见顶(即求点的横坐标)
（2）老张如能在今天以点处的价格买入该股票3000股，到见顶处点的价格全部卖出，不计其它费用，这次操作他能赚多少元？
【答案】（1），，，当时，股价见顶；（2）(元).
【解析】（1）根据､关于直线对称，.得到点坐标为，然后将､､的坐标代入求得段的解析式，然后再利用为称性得到段的解析式.
（2）利用（1）的解析式先求得，再由求解.
【详解】
（1）∵､关于直线对称，.
∴点坐标为，即把､､的坐标代入解析式，
得，
②-①得，，
③-①得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，代入②，得.
再由①得，，
∴，，，
于是，段的解析式为，
由对称性得段的解析式为，
∴，解得.
因此可知，所以当时，股价见顶.
（2）由（1）可知，，故这次操作老张能赚(元).
【点睛】
本题主要考查函数解析式的求法和应用，还考查了数形结合的思想和运算求解能力，属于中档题.
22．在平面直角坐标系，．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，点为上的动点，为的中点．
（1）请求出点轨迹的直角坐标方程；
（2）设点的极坐标为若直线经过点且与曲线交于点，弦的中点为，求的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，可得点满足．利用相关点法即可得出点轨迹的直角坐标方程；
（2）根据已知条件求出直线的参数方程，把直线的参数方程代入，利用根与系数关系求出，由直线的参数方程中的几何意义可将用表示，再将代入即可求出的取值范围．
【详解】
（1）因为的直角坐标方程为，
所以点满足．
设，因为为的中点，
所以，，所以，，
所以，
整理得的轨迹方程为．
（2）因为直线过点，
所以直线的参数方程为 (为参数)，
为直线倾斜角，,
代入得对应的参数为，
则对应的参数为，
所以，，
所以．
【点睛】
本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线的参数方程中参数的几何意义，本题中求的关键是联立直线的参数方程与的直角坐标方程的基础上，利用直线的参数方程的几何意义并结合根与系数关系求解．
23．已知，为正实数，．
（1）证明：．
（2）证明：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）利用基本不等式，证得，再利用作差法证得，然后由基本不等式即可得证；
（2）由知，，结合（1）中，证得即得证.
【详解】
（1）证明：因为，，
由基本不等式可得，
，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以，
所以，即，
由基本不等式可得，，
所以，即得证.
（2）证明：因为，
所以，
即，
由（1）知，，所以，
所以，即得证.
【点睛】
本题主要考查利用两个正数的基本不等式进行不等式的证明；考查运算求解能力和逻辑推理能力；灵活运用两个正数的基本不等式是求解本题的关键；属于中档题.