2023年湖南省郴州市中考数学质检试卷（含解析）

这是一份2023年湖南省郴州市中考数学质检试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省郴州市中考数学质检试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2023的倒数是(    )
A. 2023 B. −2023 C. −12023 D. 12023
2. 如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是(    )
A.
B.
C.
D.
3. 下列计算正确的是(    )
A. a7÷a5=a2 B. 5a−4a=1
C. (m2)3=m5 D. (a−b)2=a2−b2
4. 如图，有4张形状大小质地均相同的卡片，正面印有速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶四种不同的图案，背面完全相同，现将这4张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的概率是(    )


A. 14 B. 13 C. 12 D. 34
5. 反比例函数y=−1x的图象位于(    )
A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限
6. 如图，直线l1，l2被l3所截，若l1//l2，∠1=50°，则∠2等于(    )
A. 150°
B. 130°
C. 100°
D. 50°
7. 如图，已知点A，B，C都在⊙O上，∠BOC=110°，则∠A等于(    )
A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 70°
8. 如图，折叠三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B′处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN分别交AD，AB′，AC于点M，P，N.若BC=8，则MP+MN等于(    )

A. 4 B. 8 C. 10 D. 16
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 二次根式 x−3有意义，则x的取值范围是          ．
10. 若ab=23，则a+bb=          ．
11. 一个正多边形的一个外角等于30°，则这个正多边形的边数为______．
12. 某校开展主题为“我身边的雷锋”的演讲比赛.比赛从演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面打分，最终得分按4：2：4的比例计算.若选手甲在演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面的得分分别为90分、80分、90分，则选手甲的最终得分为______ 分.
13. 设x1，x2是一元二次方程x2+3x−4=0的两个根，则x1+x2的值是______．
14. 如图，扇形OAB的圆心角∠O=120°，半径OA=6，则扇形OAB的面积是______ ．


15. 如图，函数y=kx+b(k<0)的图象经过点P(−1,3)，则关于x的不等式kx+b>3的解集为______ ．


16. 将二次函数y=x2+2x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后的二次函数的图象的顶点坐标是______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：|−3|+ 8−(13)−1−2sin45°．
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：m−3m2+6m+9÷(1−6m+3)，其中m= 3−3．
19. (本小题6.0分)
某校九年级有600名男生，为增强体质，拟在九年级男生中开展引体向上达标测试活动.为合理的制定合格标准，开展如下调查统计活动．
(1)A调查组从九年级体育社团中随机抽取20名男生进行引体向上测试，B调查组从九年级所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，其中______ (填“A”或“B”)调查组收集的测试成绩数据能较好地反映该校九年级男生引体向上的水平状况；
(2)某调查组收集到的测试成绩数据记录如下：
成绩/个
2
3
4
5
7
13
14
15
人数/人
1
3
3
4
5
1
2
1
这组测试成绩数据的众数为______ ，中位数为______ ；
(3)若以(2)中测试成绩的中位数作为该校九年级男生引体向上的合格标准，请估计该校九年级有多少名男生能达到合格标准．
20. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD是平行四边形．
(1)尺规作图：作∠ABC的平分线BE，交AD于点E；(要求：保留作图痕迹，不写作法)
(2)点F是BC上一点，连接EF.已知BF=AB，求证：四边形ABFE为菱形．

21. (本小题8.0分)
如图1，笔记本电脑平放在桌面上，如图2是该笔记本电脑的侧面示意图.已知屏幕侧边OA=24cm，展开角∠AOB=150°，小明为了观看更舒适，转动屏幕，使得点A上升到点A′，且∠A′OB=120°，求点A到桌面的高度上升了多少cm.(结果精确到0.1cm，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73.)


22. (本小题8.0分)
为深入贯彻习近平总书记关于劳动教育的重要论述，全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某学校计划购买A，B两种型号的劳动教育教学设备.已知购买1台A型设备和1台B型设备需5500元，购买2台A型设备和1台B型设备需8500元．
(1)求A，B型设备单价分别是多少元？
(2)该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的13，设购买a台A型设备，购买A、B型两种设备的总费用为w元，求w关于a的函数表达式，并求出购买两种设备的总费用最少需要多少元？
23. (本小题8.0分)
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是直径.作射线BD，使得∠ABC=∠DBC，过点C作CE⊥BD，垂足为点E．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若BE=5，cos∠EBC=12，求CB的长度．

24. (本小题10.0分)
定义：若一个函数图象存在横坐标与纵坐标互为相反数的点，则称该点为函数图象的“和零点”.例如，求函数y=x−2图象的“和零点”．
解：∵“和零点”的横坐标与纵坐标互为相反数，∴“和零点”在函数y=−x的图象上，
∴y=−xy=x−2，解得：x=1y=−1．
∴函数y=x−2图象的“和零点”是(1,−1)．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)求函数y=12x−2图象的“和零点”；
(2)若函数y=x2−3x+k图象存在唯一的一个“和零点”，求k的值；
(3)如图，点A，B是函数y=−x2+4x+6图象的“和零点”，点C是函数y=12x−2图象的“和零点”，过点C作CD⊥x轴，垂足为D.连接AB，AD，BD，求△ABD的面积．

25. (本小题10.0分)
如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=9，AC=12，点D是AB上一点(不与点A，B重合)，作DE//BC，交AC于点E.如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转α度(0<α<90)，连接BD，BE，CE.在△ADE旋转过程中，完成以下问题，：
(1)如图2，求证：△ADB∽△AEC；
(2)如图3，若点F，H，G分别是DE，BC，BE的中点，求GFGH的值；
(3)如图2，若AD=3，求△BCE面积的最小值．


26. (本小题12.0分)
如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，B，与y轴交于点C，且CO=3AO，连接AC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，若点M是直线BC下方抛物线上一动点(不与点B，C重合)，是否存在△BCM，使∠BCM=90°，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在y轴上找一点P，使得△ACP是等腰三角形，并求出点P的坐标．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：2023的倒数是12023．
故选：D．
乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的意义．

2.【答案】C 
【解析】解：从正面看，底层是一个比较长的矩形，上层中间是一个比较窄的矩形．
故选：C．
根据主视图是从正面看得到的视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是正视图，注意圆柱的主视图是矩形．

3.【答案】A 
【解析】解：∵a7÷a5=a2，
∴A选项的运算正确，符合题意；
∵5a−4a=a，
∴B选项的运算不正确，不符合题意；
∵(m2)3=m6，
∴C选项的运算不正确，不符合题意；
∵(a−b)2=a2−2ab+b2，
∴D选项的运算不正确，不符合题意．
故选：A．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方的性质和完全平方公式对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了合并同类项的法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方的性质和完全平方公式，熟练掌握上述法则与公式是解题的关键．

4.【答案】A 
【解析】解：∵有4张形状、大小、质地均相同的卡片，冰壶项目图案的有1张，
∴从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的概率是14；
故选：A．
先找出冰壶项目图案的张数，再根据概率公式即可得出答案．
本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

5.【答案】B 
【解析】解：∵y=−1x，k=−1<0，
∴函数图象过二、四象限．
故选：B．
根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k>0，位于一、三象限；k<0，位于二、四象限．
本题考查反比例函数的图象和性质，比较简单，容易掌握．

6.【答案】B 
【解析】解：∵l1//l2，
∴∠3=∠1=50°，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=130°．
故选：B．
由平行线的性质求出∠3的度数，由邻补角的性质即可求出2的度数．
本题考查平行线的性质，邻补角的性质，关键是由平行线的性质得到∠3的度数，即可由邻补角的性质求出∠2的度数．

7.【答案】A 
【解析】解：∵∠A和∠BOC都对BC，
∴∠A=12∠BOC=12×110°=55°．
故选：A．
直接根据圆周角定理求解．
本题考查了周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

8.【答案】B 
【解析】解：如图，

由折叠得：AM=MD，MN⊥AD，AD⊥BC，
∴GN//BC，
∴AG=BG，
∴GN是△ABC的中位线，
∴GN=12BC=12×16=8，
∵PM=GM，
∴MP+MN=GM+MN=GN=8，
故选：B．
先把图补全，由折叠得：AM=MD，MN⊥AD，AD⊥BC，证明GN是△ABC的中位线，得GN=8，即可求解．
本题考查了三角形的中位线定理，折叠的性质，解题的关键是将图形补全证明GN是△ABC的中位线．

9.【答案】x≥3 
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题的关键．
根据二次根式的被开方数x−3≥0.即可得出答案．
【解答】
解：根据题意，得x−3≥0，
解得，x≥3；
故答案为：x≥3．  
10.【答案】53 
【解析】解：ab=23，根据等式的性质，得ab+1=23+1，
则a+bb=53，
故答案为：53．
根据题意，即可得出答案．
本题考查等式的性质，属于基础题．

11.【答案】12 
【解析】解：依题意，得
多边形的边数=360°÷30°=12，
故答案为：12．
正多边形的一个外角等于30°，而多边形的外角和为360°，则：多边形边数=多边形外角和÷一个外角度数．
题考查了多边形内角与外角．关键是明确多边形的外角和为定值，即360°，而当多边形每一个外角相等时，可作除法求边数．

12.【答案】88 
【解析】解：选手小明的最终得分为：90×4+80×2+90×44+2+4=88010=88(分)．
故答案为：88．
根据加权平均数的计算公式列出式子，再进行计算即可．
此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出式子，是一道基础题，比较简单．

13.【答案】−3 
【解析】解：由根与系数的关系可知：x1+x2=−3，
故答案为：−3
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查根与系数，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．

14.【答案】12π 
【解析】解：∵在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA=6，
∴扇形OAB的面积是：120π⋅62360=12π，
故答案为：12π．
直接利用扇形面积公式代入求出面积即可．
此题主要考查了扇形面积的计算，正确掌握扇形面积公式是解题关键．

15.【答案】x<−1 
【解析】解：由图象可得，
当x=−1时，y=3，该函数y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b>3的解集为x<−1，
故答案为：x<−1．
根据函数图象中的数据和一次函数的性质，可以写出等式kx+b>3的解集．
本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合的思想解答．

16.【答案】(0,1) 
【解析】解：∵y=x2+2x=(x+1)2−1，
∴二次函数y=x2+2x的图象的顶点坐标是(−1,−1)，
图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到函数图象的顶点坐标是(0,1)．
故答案为：(0,1)．
按照“左加右减，上加下减”的规律解答．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．

17.【答案】解：原式=3+2 2−3−2× 22
=2 2− 2
= 2． 
【解析】利用绝对值的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，掌握上述法则与性质解答是解题的关键．

18.【答案】解：原式=m−3(m+3)2÷m+3−6m+3
=m−3(m+3)2÷m−3m+3
=m−3(m+3)2⋅m+3m−3
=1m+3，
当m= 3−3时，
原式=1 3−3+3
=1 3
= 33． 
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，掌握分式的化简求值的方法是关键．

19.【答案】B  7  5 
【解析】解：(1)从九年级所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，收集的测试成绩数据能较好地反映该校九年级男生引体向上的水平状况，
故答案为：B；
(2)这组测试成绩的众数为7，
中位数为：5，
故答案为：7，5；
(3)600×1320=390(人)，
答：该校九年级大约有390名男生能达到合格标准．
(1)根据抽样调查的特点解答即可；
(2)根据众数，中位数计算公式解答即可；
(3)用样本估计总体的思想解答即可．
本题主要考查的统计相关知识，熟练掌握平均数，中位数的计算，用样本估计总体的思想是解决本题的关键．

20.【答案】(1)解：如图，射线BE即为所求；

(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE//BF，
由作图可知AE=AB，
∵BF=AB，
∴AE=BF，
∴四边形ABFFE是平行四边形，
∴四边形ABFE为菱形． 
【解析】(1)在线段AD上截取线段AE，使得AE=AB，作射线BE即可；
(2)根据已知条件结合作图可得AB=BF=AE，AE//BF，由菱形的判定即可证得结论．
本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

21.【答案】解：延长BO到E，过点A作AC⊥BE，垂足为C，过点A′作A′D⊥BE，垂足为D，过点A作AF⊥A′D，垂足为F．
∵AC⊥BE，A′D⊥BE，AF⊥A′D，
∴四边形ACDF是矩形．
∴AC=FD．
∵∠AOB=150°，∠A′OB=120°，
∴∠AOC=180°−150°=30°，
∠A′OD=180°−120°=60°．
在Rt△AOC中，
∵sin∠AOC=ACOA，
∴AC=sin∠AOC⋅OA=sin30°×24=12×24=12(cm)．
在Rt△A′OD中，
∵sin∠A′OD=A′DOA′，
∴A′D=sin∠A′OD⋅OA′=sin60°×24= 32×24=12 3(cm)．
∴A′F=A′D−FD
=A′D−AC
=12 3−12
≈12×(1.73−1)
=12×0.73
=8.76
≈8.8(cm)．
答：点A到桌面的高度上升了8.8cm． 
【解析】延长BO到E，过点A作AC⊥BE，AF⊥A′D，过点A′作A′D⊥A′D，先说明四边形ACDF是矩形．在Rt△AOC、Rt△A′OD中，再求出AC、A′D，最后利用线段的和差关系得结论．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及矩形的性质和判定是解决本题的关键．

22.【答案】解：(1)设A型设备单价是x元，B型设备单价是y元，
根据题意得：x+y=55002x+y=8500，
解得：x=3000y=2500，
∴A型设备单价是3000元，B型设备单价是2500元；
(2)∵A型设备数量不少于B型设备数量的13，
∴a≥13(60−a)，
解得：a≥15，
根据题意得：
w=3000a+2500(60−a)=500a+150000，
∵500>0，
∴w随a的增大而增大，
∴a=15时，w取最小值，最小值为500×15+150000=157500(元)，
答：w关于a的函数表达式是w=500a+150000，购买两种设备的总费用最少需要157500元． 
【解析】(1)设A型设备单价是x元，B型设备单价是y元，根据购买1台A型设备和1台B型设备需5500元，购买2台A型设备和1台B型设备需8500元得：x+y=55002x+y=8500，即可解得答案；
(2)由A型设备数量不少于B型设备数量的13，可得：a≥15，由题意可得w=3000a+2500(60−a)=500a+150000，再根据一次函数性质可得答案．
本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．

23.【答案】(1)证明：连接OC，如图，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC．
∵∠ABC=∠DBC，
∴∠DBC=∠OCB，
∴OC//BD．
∵CE⊥BD，
∴OC⊥EC．
∵OC为⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
(2)解：∵cos∠EBC=12，
∴∠EBC=60°．
∵OC//BE，
∴∠OCB=∠EBC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°．
在Rt△BEC中，
∵cos∠EBC=12=BEBC，
∴BC=2BE=10，
∴OB=OB=BC=10，
∴CB的长度=60π×10180=103π． 
【解析】(1)连接OC，利用同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质得到OC⊥EC，再利用圆的切线的判定定理解答即可；
(2)利用特殊角的三角函数值求得∠EBC=60°，则得△OBC为等边三角形，∠BOC=60°，在Rt△BEC中，利用直角三角形的边角关系定理求得BC，则圆的半径可得，利用圆的弧长公式解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，平行线的判定与性质，垂直的意义，等边三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．

24.【答案】解：(1)由题意得：12x−2+x=0，
解得：x=43，
∴12x−2=−43．
∴函数y=12x−2图象的“和零点”为(43,−43)；
(2)∵函数y=x2−3x+k图象存在唯一的一个“和零点”，
∴x2−3x+k+x=0有两个相等的实数根，
方程整理得x2−2x+k=0，则Δ=(−2)2−4k=0，
解得k=1，
故函数y=x2−3x+k图象存在唯一的一个“和零点”，k的值为1；
(3)由题意得−x2+4x+6+x=0，即−x2+5x+6=0，
解得x1=6，x2=−1，
∴A(−1,1)，B(6,−6)，
由(1)可知C(43,−43)，
∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=12×43×(6+1)=143． 
【解析】(1)根据定义列出方程，解方程即可得出结论；
(2)根据定义列出方程，由题意可知x2−3x+k+x=0有两个相等的实数根，利用Δ=0求得k的值即可；
(3)解方程−x2+5x+6=0求得A、B的坐标，由(1)可知C(43,−43)，利用S△ABC=S△ACD+S△BCD求得即可．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，三角形面积．本题是阅读型题目，理解新定义并熟练应用是解题的关键．

25.【答案】(1)证明：如图1，∵△ADE绕点A旋转前，DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC，
即ADAE=ABAC，
如图2，△ADE绕点A顺时针旋转α度过程中，
∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE=90°，
∴∠DAB=∠CAE，
∴△ADB∽△AEC．
(2)解：∵点F，H，G分别是DE，BC，BE的中点，
∴GF是△BED的中位线，
∴GF=12BD.同理，GH=12EC．
由(1)得△ADB∽△AEC，且AB=9，AC=12．
∴DBEC=ABAC=34，
∴GFGH=12DB12EC=DBEC=34；
(3)解：如图，

BC= AB2+AC2=15．
∵AD=3，
∴AE=4．
∵△ADE绕点A旋转，则AE是⊙A的半径，
要使S△BCE达到最小值，即：使以BC为底，点E到BC上的距离达到最小值．
过点A作AM⊥BC于点M．
∵在△ADE绕点A顺时针旋转α度(0<α<90)的过程中，△AEM的三边关系有：AE+ME>AM，
∴当点A，E，M三点共线时，ME有最小值，即ME=AM−AE，
∴12⋅AB⋅AC=12⋅CB⋅AM，
∴AM=365，
∴S△BCE=12BC⋅ME，
∴S△BCE=12×15×(365−4)=24．
即△BCE面积的最小值为24． 
【解析】(1)由△ADE∽△ABC，得ADAB=AEAC，再说明∠DAB=∠CAE，可得△ADB∽△AEC；
(2)由三角形中位线定理知GF=12BD.同理，GH=12EC.由(1)知DBEC=ABAC=34，进而解决问题；
(3)根据△ADE绕点A旋转，则AE是⊙A的半径，要使S△BCE达到最小值，即：使以BC为底，点E到BC上的距离达到最小值．过点A作AM⊥BC于点M.当点A，E，M三点共线时，ME有最小值，即ME=AM−AE，进而解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，旋转的性质等知识，确定点E的运动路径是解题的关键．

26.【答案】解：(1)∵点A(−1,0)，
∴OA=1，
∵CO=3AO，
∴CO=3，
∴C(0,−3)，
将A(−1,0)，C(0,−3)代入y=x2+bx+c，
∴1−b+c=0，c=−3，
解得b=−2，
∴抛物线的表达式为y=x2−2x−3；
(2)存在△BCM，使∠BCM=90°，理由如下：
当y=0时，x2−2x−3=0，
解得x=3或x=−1，
∴B(3,0)，
设M(m,m2−2m−3)，
∴CM= m2+(m2−2m)2，BM= (m−3)2+(m2−2m−3)2，BC=3 2，
当∠BCM=90°时，( (m−3)2+(m2−2m−3)2)2=( m2+(m2−2m)2)2+(3 2)2，
解得m=0(舍)或m=1，
∴M(1,−4)；
(3)设P(0,y)，
∴CP=|y+3|，AC= 10，AP= 1+y2，
当AC=AP时， 10= 1+y2，
解得y=3或y=−3(舍)，
∴P(0,3)；
当AC=CP时， 10=|y+3|，
解得y= 10−3或y=− 10−3，
∴P(0, 10−3)或(0,− 10−3)；
当CP=AP时， 1+y2=|y+3|，
解得y=−43，
∴P(0,−43)；
综上所述：P点坐标为(0,3)或(0, 10−3)或(0,− 10−3)或(0,−43). 
【解析】(1)求出C点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)设M(m,m2−2m−3)，分别求出CM= m2+(m2−2m)2，BM= (m−3)2+(m2−2m−3)2，BC=3 2，再由勾股定理建立方程求出m的值即可求M点坐标；
(3)设P(0,y)，可得CP=|y+3|，AC= 10，AP= 1+y2，再根据等腰三角形的腰的关系分三种情况讨论即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用是解题的关键．