高考数学一轮复习考点测试刷题本17 导数在函数中的综合应用（含答案解析）

2020高考数学(文数)考点测试刷题本17

导数在函数中的综合应用

1.设函数，已知是奇函数。

（1）求b、c的值。    

（2）求函数的单调区间

2.已知函数f(x)=(x－1)ex＋1，x∈[0,1]．　

(1)证明：f(x)≥0；

(2)若a<<b对任意的x∈(0,1)恒成立，求b－a的最小值．

3.已知函数f(x)=x3＋ax＋b(a，b∈R)在x=2处取得极小值-.

(1)求f(x)的单调递增区间.

(2)若f(x)≤m2＋m＋在[-4,3]上恒成立，求实数m的取值范围.

4.设函数f(x)=－kln x，k＞0.

(1)求f(x)的单调区间和极值．

(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， ]上仅有一个零点．

5.已知函数R.

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．

6.设函数f(x)=lnx-0.5ax2-bx.

(1)当a=b=0.5时，求f(x)的最大值；

(2)令，其图像上任意一点P(x0,y0)处切线的斜率k≤0.5恒成立，

求实数a的取值范围.

7.已知函数

（1）当k=0时，求函数的图像与直线所围封闭图形的面积；

（2）当k>0时,求函数的单调区间.

8.已知函数f（x）=axlnx﹣x+1（a≥0）．

（1）当a=1时，求f（x）的最小值；

（2）若x∈（1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；

（3）证明：当m＞n＞1时，mn﹣1＜nm﹣1．

答案解析

1.解：（1），,（2）单调增区间

2.解：

(1)证明：因为f ′(x)=xex≥0，即f(x)在[0,1]上单调递增，

所以f(x)≥f(0)=0，即结论成立．

(2)令g(x)=，则g ′(x)=>0，x∈(0,1)，

所以当x∈(0,1)时，g(x)<g(1)=e－1，

要使<b，只需b≥e－1.

要使>a成立，只需ex－ax－1>0在x∈(0,1)恒成立，

令h(x)=ex－ax－1，x∈(0,1)，则h ′(x)=ex－a.

由x∈(0,1)，得ex∈(1，e)．

①当a≤1时，h ′(x)>0，此时x∈(0,1)，有h(x)>h(0)=0成立，所以a≤1满足条件；

②当a≥e时，h′(x)<0，此时x∈(0,1)，有h(x)<h(0)=0，不符合题意，舍去；

③当1<a<e时，令h′(x)=0，得x=ln a．

当x∈(0，ln a)时，h′(x)<0，即x∈(0，ln a)时，h(x)<h(0)=0，不符合题意，舍去．

综上，a≤1.又b≥e－1，所以b－a的最小值为e－2.

3.

4.解：

(1)由f(x)=－kln x(k＞0)得f′(x)=x－=.

由f′(x)=0解得x=.

f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：

所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，

单调递增区间是(，＋∞)；

f(x)在x=处取得极小值f()=.

(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()=.

因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e.

当k=e时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()=0，

所以x=是f(x)在区间(1，]上的唯一零点．

当k＞e时，f(x)在区间(0，)上单调递减，

且f(1)=＞0，f()=＜0，所以f(x)在区间(1， ]上仅有一个零点．

综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， ]上仅有一个零点．

5.解：

6.解：

7.

8.