2021届高三上学期第一次月考数学试题 Word版含答案

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东明一中高三年级第一次月考数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题
1.已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则复数（ ）
A. B. C. D.
3.“”是“函数为奇函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.设，则的值是（ ）
A. B. C. D.
5.函数在是增函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（ ）
A. B. C.或 D.或
8.已知向量，，，若，的夹角为，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.函数的图象与轴有两个交点
C.函数的最小值为
D.函数的最大值为
10.将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则下列结论正确的是（ ）
A. B.最小正周期为
C.的图象关于对称 D.在区间上单调递增
11.设公差不为的等差数列的前项和为，若，则下列各式的值为的是（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数，给出下述论述，其中正确的是（ ）
A.当时，的定义域为
B.一定有最小值
C.当时，的定义域为
D.若在区间上单调递增，则实数的取值范围是
第II卷（非选择题）
三、填空题
13.已知向量，满足，，与的夹角为，，则_______
14.已知数列是等差数列，是其前项和，若，，则的通项公式_______
15.《益古演段》是我国古代数学家李治（1192~1279）的一部数学著作，内容主要是已知平面图形的信息，求圆的半径、正方形的边长和周长等等，其中有这样一个问题：如图，已知，点、分别在的两个边上移动，且保持、两点间的距离为，则点、在移动过程中，线段的中点到点的最大距离为_______

16.已知，且是与的等差中项，则的最大值为______
四、解答题
17.已知集合是函数的定义域，集合是不等式的解集，，
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围
18.在中，角，，所对的边分别为，，，已知
（1）求的值；
（2）若，，求的面积
19.已知向量和，其中，函数的最小正周期为
（1）求的值；
（2）求在区间上的值域.
20.新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供（万元）的专项补贴，并以每套元的价格收购其生产的全部防护服公司在收到政府（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中为工厂工人的复工率，公司生产万件防护服还需投入成本（万元）
（1）将公司生产的防护服的利润（万元）表示为补贴（万元）的函数；
（2）对任意的（万元），当复工率达到多少时，公司才能不产生亏损？（精确到0.01）
21.已知函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，，为图象与x轴的交点，且为等腰直角三角形

（1）求的值及函数的值域；
（2）若，且，求的值；
（3）已知函数的图象是由的图象上的各点的横坐标缩短到原来的倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若存在，使成立，求的取值范围
22.已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求实数的取值范围

数学试题参考答案
1.C 2.C 3.C 4.B 5.C
6.D【详解】

当时，因为
所以，即，；
当时，即；
当时，，由图可知；
综上的取值范围是，故选：D
7.D 8.A【详解】，，，
，，故选：A
9.ABC 【详解】 A正确，；
B正确，令，得
解得或，即的图象与有两个交点；
C正确，因为，所以当
即时，取最小值；
D错误，没有最大值；故选：ABC
10.BCD 【详解】得函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象
对A，函数，故A错误；对B，最小正周期为，故B正确；
对C，当，求得为最小值，故的图象关于直线对称，故C正确；在区间上，，单调递增；故D正确
11.BD 【详解】因为，所以，所以
因为公差，所以，故A不正确；
，故B正确；
，故C不正确；
，故D正确，故选：BD
12AC 【详解】对A，当时，解有，故A正确；对B，当时，，此时，，
此时值域为，故B错误；
对C，同B，故C正确；
对D，若在区间上单调递增，此时在上单调递增，
所以对称轴，解得，但当时，在处无定义，故D错误，故选：AC
13. 14.
15.3

【详解】如图，延长到点，使，是线段的中点，四边形是平行四边形，
在中，
，当且仅当等号成立
在中，
，即，故答案为
16. 【详解】是与的等差中项，，可得，当时，，当时，，所以要使有最大值，则，不妨设，（，时，范围一样），则
当时，等号成立，即的最大值为，故答案为
17.【详解】（1）由条件得：……1分
……………………..2分
若，则必须满足………………4分
所以，的取值范围为：………………..5分
（2）易得：或…………….6分
是的充分不必要条件
是的真子集，…………7分
则，解得：……………………….9分
a的取值范围为：…………………10分
18.（1）由正弦定理可得，………….2分
则
即
则，……………………….4分
所以，
因为，所以………………………6分
（2）由，可得，………………..8分
由余弦定理，即，解得，…………………….10分
所以……………………12分
19.【详解】（1）


…….6分
，……………………….8分
（2）时，，，
在的值域为……………………..12分
20.【详解】（1）因为公司生产万件防护服还需投入成本，政府以每套元的价格收购其生产的全部防护服，且提供（万元）的专项补贴，
所以，A公司生产防护服的利润……………………….4分
（2）为使公司不产生亏损，只需利润在上恒成立；即在上恒成立；……………..6分
因为
令，因为，所以
记
任取
则
因为，，所以，即
所以，即
所以函数在上单调递增；……….10分
因此，即的最大值为；
所以只需，即……………….12分
21.【详解】（1）因为，即的值域为；………….2分
所以点纵坐标为
又为等腰直角三角形，所以，因此最小正周期为；
所以…………………….4分
（2）由（1）知，因为，所以，
又，所以
因此………………6分
所以…………….8分
（3）由题意，可得，
若，则，所以，…..9分
令，则可化为
即，因为函数是开口向上，对称轴为的二次函数
所以时，函数单调递减；时，函数单调递增，所以.
又当时；当时，
所以；………………..11分
因为存在，使成立
所以存在使成立
因此只需……………………….12分
22.解（1）的定义域为
…………..2分
当时，即时，在区间上恒成立，
在区间上单调递减；............3分
当，即时，
当，得时，
令，得
在区间上单调递增，在区间上单调递减…………..5分
综上所述，当时，在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减……6分
（2）令
成立的一个充分条件是
即………………….8分
设

当时，，所以
故最大值为，
所以………………………………..10分
当时，取，
在区间上，且
所以且
所以
所以
所以在区间上，单调递减，，不符合题意，舍去
综上：……………………12分