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2022-2023学年山东省泰安市岱岳区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）
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2022-2023学年山东省泰安市岱岳区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若3a=4b(ab≠0)，则下列比例式成立的是( )
A. a4=b3 B. a3=b4 C. ab=34 D. a4=3b
2. 下列计算中，正确的是( )
A. 2+ 3= 5 B. 3 2−2 2= 2
C. 15÷ 3=5 D. 15× 3=5 3
3. 如图所示，直线l1//l2//l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB=3，BC=2，DF=8，则DE的长为( )
A. 4 B. 4.5 C. 4.8 D. 5
4. 一元二次方程2x2=x的解( )
A. x=0 B. x=12
C. x1=0，x2=12 D. x1=0，x2=−12
5. 如图，△OAB和△OCD是以点O为位似中心的位似图形，已知A(−4,2)，△OAB与△OCD的相似比为2：1，则点C的坐标为( )
A. (2,−1) B. (−2,1) C. (1,−2) D. (−1,2)
6. 如图，在三角形纸片ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是( )
A. B.
C. D.
7. 如表是嘉嘉和淇淇比较 2+ 3与 2+3的过程，下列关于两人的思路判断正确的是( )
嘉嘉
淇淇
分别将两式平方，得( 2+ 3)2=5+2 6，( 2+3)2=5，∵5+2 6>5，∴ 2+ 3> 2+3
作一个直角三角形，两直角边长分别为 2， 3，
利用勾股定理，得斜边长为： ( 2)2+( 3)2= 5．
由三角形中两边之和大于第三边，
得 2+ 3> 2+3．
A. 嘉嘉对，淇淇错 B. 嘉嘉错，淇淇对 C. 两人都对 D. 两人都错
8. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=4，BD=8，E为边BC的中点，连接OE，则线段OE的长为( )
A. 3 B. 2 5 C. 5 D. 2
9. 若关于x的一元二次方程(k−2)x2+2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围( )
A. k≤73 B. k>73 C. k<73且k≠2 D. k≤73且k≠2
10. 小明在学习了正方形以后，给同桌小文出了道题：从下列四个条件：
①AB=BC；
②∠ABC=90°；
③AC=BD；
④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形．
现有下列四种选法你认为错误的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
11. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为x cm，根据题意可列方程( )
A. (30+x)(20+x)=600
B. (30+2x)(20+2x)=600
C. (30−2x)(20−2x)=1200
D. (30+2x)(20+2x)=1200
12. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EH//CD，交BF于点H，则线段GH的长度是( )
A. 56 B. 1 C. 54 D. 53
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 化简 98= ______ ．
14. 如图，矩形ABCD中，对角线AB，CD相交于点O，∠ACB=30°，OB=4，则矩形ABCD的面积是______ ．
15. 用配方法解一元二次方程时，需将方程配方化成(x+m)2=n的形式，一元二次方程x2−3x+1=0用配方法解时化成该形式是______ ．
16. 如图，△ABC中，E，F分别是△ABC边AB，AC的中点，则△AEF与四边形BCFE的面积比是______ ．
17. 若2n(n≠0)是关于x的方程x2−2mx+2n=0的根，则m−n的值为______．
18. E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB=1，则矩形ABCD的面积为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
计算：
(1) 12+ 8× 6；
(2) 27−15 13−(1− 3)2．
20. (本小题10.0分)
解方程：
(1)x2−4x−2=0；
(2)x(2x−5)=4x−10．
21. (本小题10.0分)
如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度.他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米.已知小明的身高是1.8米，他的影长是2米．
(1)图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？
(2)求信号发射塔的高度．
22. (本小题11.0分)
如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE//AC交AB于点E，DF//AB交AC于点F．
(1)求证：四边形AEDF是菱形；
(2)若∠B=35°，当∠C= ______ 度时，四边形AEDF为正方形(直接填空)．
23. (本小题12.0分)
如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在CB、AC的延长线上，∠ADE=60°．
(1)求证：AD2=AE⋅AC；
(2)求证：△ABD∽△DCE．
24. (本小题12.0分)
某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，一月份销售256件.二、三月该商品十分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件.设二、三这两个月的月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
25. (本小题13.0分)
知识探究：如图1，点E是正方形ABCD对角线AC上任意一点，以点E为直角顶点的直角△EFG两边EF，EG分别角与AD，AB相交于M点，N点.当EF⊥AD时，请探究EM与EN的数量关系，并说明理由；
拓展探究：当△EFG绕点E顺时针旋转到点M与点D重合时，如图2，请探究EM与EN的数量关系，并说明理由；
迁移运用：在图2的基础上，过点E作EH⊥AB于点H，如图3，证明H是线段BN的中点．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵3a=4b(ab≠0)，
∴a：4=b：3，
∴a4=b3，
故选：A．
根据两内项之积等于两外项之积即可得出正确选项．
本题考查了比例的性质：两内项之积等于两外项之积，熟记比例的性质是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解： 2与 3不是同类二次根式，不能合并，故选项A错误，不符合题意；
3 2−2 2= 2，故选项B正确，符合题意；
15÷ 3= 5，故选项C错误，不符合题意；
15× 3= 45=3 5，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵直线l1//l2//l3，
∴ABBC=DEEF，
∵AB=3，BC=2，DF=8，
∴32=DE8−DE，
∴DE=4.8．
故选：C．
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：2x2=x，
2x2−x=0，
x(2x−1)=0，
则x=0或2x−1=0，
解得：x1=0，x2=12．
故选：C．
直接移项，再利用提取公因式法分解因式，进而解方程即可．
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵△OAB与△OCD的相似比为2：1，
∴OA：OC=2：1，
过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F．
∵A(−4,2)，
∴AE=2，OE=4，
∵AE//CF，
∴△AOE∽△COF，
∴AECF=OEOF=OAOC，
∴2CF=4OF=2，
CF=1，OF=2，
∴C(2,−1)，
故选：A．
根据坐标，相似比，点的位置确定坐标即可．
本题考查了坐标系中的位似，熟练掌握坐标与位似比的关系是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：在三角形纸片ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，
A.因为6BC=612=12，对应边ABBC=912=34，12≠34，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，
故此选项不符合题意；
B.因为4AC=46=23，对应边ACAB=69=23，又∠A=∠A，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，
故此选项符合题意；
C.因为4AB=49，对应边ABBC=912=34，
即：49≠34，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，
故此选项不符合题意；
D.因为46=23，对应边ACBC=612=12，23≠12，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，
故此选项不符合题意；
故选：B．
根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：嘉嘉用的代数方法，计算正确，
而淇淇用的几何方法，计算也正确．
故选：C．
根据代数和几何方法的运算过程可以判断两人结果．
本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算方法是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO=2，BO=DO=4，
∴BC= OB2+OC2= 42+22=2 5，
∵E是边BC的中点，∠BOC=90°，
∴OE=12BC= 5，
故选：C．
由菱形的性质可得AC⊥BD，AO=CO=2，BO=DO=4，由勾股定理可求BC的长，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，求出BC的长是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意得k−2≠0且Δ=22−4(k−2)×3≥0，
解得k≤73且k≠2，
故选：D．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k−2≠0且Δ=22−4(k−2)×3≥0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可．
本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于k的不等式是解此题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：A.∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意；
B.∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意；
C.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当③AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
D.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意．
故选：C．
利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可．
此题主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，正确掌握正方形的判定方法是解题关键．
11.【答案】D
【解析】解：∵原画面是长为30cm，宽为20cm的矩形，且彩纸的宽度为x cm，
∴原画四周镶上彩纸后的长为(30+2x)cm，宽为(20+2x)cm．
根据题意得：(30+2x)(20+2x)=2×30×20，
即(30+2x)(20+2x)=1200．
故选：D．
根据原画的长、宽及四周彩纸的宽，可得出原画四周镶上彩纸后的长为(30+2x)cm，宽为(20+2x)cm，再结合原画四周镶上彩纸后的面积等于原画面面积的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，AD=4，
∴DC=AB=6，BC=AD=4，∠C=90°，
∵点E、F分别为BC、CD的中点，
∴DF=CF=12DC=3，CE=BE=12BC=2，
∵EH//CD，
∴FH=BH，
∵BE=CE，
∴EH=12CF=32，
由勾股定理得：BF= BC2+CF2= 42+32=5，
∴BH=FH=12BF=52，
∵EH//CD，
∴△EHG∽△DFG，
∴EHDF=GHFG，
∴323=GH52−GH，
解得：GH=56，
故选：A．
根据矩形的性质得出DC=AB=6，BC=AD=4，∠C=90°，求出DF=CF=12DC=3，CE=BE=12BC=2，求出FH=BH，根据勾股定理求出BF，求出FH=BH=52，根据三角形的中位线求出EH，根据相似三角形的判定得出△EHG∽△DFG，根据相似三角形的性质得出EHDF=GHFG，再求出答案即可．
本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
13.【答案】3 24
【解析】解：原式= 9 8
=32 2
=3 24，
故答案为：3 24．
根据二次根式的性质进行化简即可．
本题考查二次根式的性质及化简，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
14.【答案】16 3
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AB，CD相交于点O，
∴OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，且AC=BD，
∴OA=OB=4，
∴AC=2OA=8，
∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴∠OAB=90°−∠ACB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB=4，
∴BC= AC2−AB2= 82−42=4 3，
∴S矩形ABCD=AB⋅BC=4×4 3=16 3，
故答案为：16 3．
由矩形的性质得OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，且AC=BD，则OA=OB=4，所以AC=2OA=8，由∠ABC=90°，∠ACB=30°，求得∠OAB=60°，则△AOB是等边三角形，所以AB=OB=4，则BC= AC2−AB2=4 3，即可求得S矩形ABCD=16 3，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、勾股定理、矩形的面积公式等知识，证明△AOB是等边三角形是解题的关键．
15.【答案】(x−32)2=54
【解析】解：∵x2−3x+1=0
∴x2−3x=−1，
∴x2−3x+94=−1+94，
∴(x−32)2=54，
故答案为：(x−32)2=54．
根据配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
16.【答案】1：3
【解析】解：∵E、F是分别是△ABC的AB、AC边的中点，
∴EF是△ABC的中位线，AB=2AE，
∴EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴S△AEFS△ABC=(AEAB)2=14，
∴△AEF与四边形BCFE的面积之比为：1：3；
故答案为：1：3．
根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质解答即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
17.【答案】12
【解析】解：∵2n(n≠0)是关于x的方程x2−2mx+2n=0的根，
∴4n2−4mn+2n=0，
∴4n−4m+2=0，
∴m−n=12．
故答案是：12．
根据一元二次方程的解的定义，把x=2n代入方程得到x2−2mx+2n=0，然后把等式两边除以n即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
18.【答案】 2
【解析】解：∵E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，
∴AE=12AD，BF=12BC，
∵矩形ABCD∽矩形EABF，
∴AEAB=ABAD，
∴AE⋅AD=1，即12AD2=1，
解得，AD= 2，
∴矩形ABCD的面积为AB⋅AD= 2，
故答案为： 2．
根据相似多边形的性质列出比例式求出AD，根据矩形的面积公式计算即可．
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
19.【答案】解：(1) 12+ 8× 6
=2 3+ 48
=2 3+4 3
=6 3；
(2) 27−15 13−(1− 3)2
=3 3−15× 33−(1−2 3+3)
=3 3−5 3−1+2 3−3
=−4．
【解析】(1)先根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的加法法则进行计算即可；
(2)先根据二次根式的性质和完全平方公式进行计算，再根据二次根式的加法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
20.【答案】解：(1)∵a=1，b=−4，c=−2，
∴Δ=b2−4ac=(−4)2−4×(−2)=24，
∴x=4± (−4)2−4×4×(−2)2×1=4±2 62=2± 6，
∴x1=2+ 6，x2=2− 6；
(2)移项得：x(2x−5)−2(2x−5)=0，
分解因式得：(2x−5)(x−2)=0，
∴2x−5=0或x−2=0，
解得：x1=2，x2=52．
【解析】(1)方程利用公式法求出解即可；
(2)方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)∵BC⊥AC，DE⊥AC，
∴DE//BC，
∴△ABC∽△ADE，
(2)∵△ABC∽△ADE，
∴DEBC=AEAC，
即1.8BC=220+2，
∴DC=19.8(米)，
∴古塔的高度为19.8米．
【解析】(1)根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似；
(2)利用相似三角形的性质求得相应线段的长即可．
本题考查了相似三角形应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
22.【答案】55
【解析】(1)证明：∵DE//AC交AB于点E，DF//AB交AC于点F，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠ADF=∠FAD，
∴FA=FD，
∴四边形AEDF是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)；
(2)解：当△ABC是直角三角形，∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形，
理由：∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
由(1)知四边形AEDF是菱形，
∴四边形AEDF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)．
∵∠B=35°，∠BAC=90°，
∴∠C=55°，
故答案为：55．
(1)根据DE//AC交AB于点E，DF//AB交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立；
(2)根据有一个角是直角的菱形是正方形可以解答本题．
本题考查正方形的判定、菱形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的需要的条件，利用正方形的判定、菱形的判定与性质解答．
23.【答案】证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADE=∠ACB，
∵∠CAD=∠DAB，
∴△ACD∽△ADE，
∴ADAE=ACAD，
∴AD2=AE⋅AC；
(2)由(1)得：△ACD∽△ADE，
∴∠ADC=∠AED，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=∠DCE=120°，
∴△ABD∽△DCE．
【解析】(1)由等边三角形的性质可得∠ACB=60°，从而得∠ADE=∠ACB，可判定△ACD∽△ADE，即可求得AD2=AE⋅AC；
(2)由(1)可得△ACD∽△ADE，则有∠ADC=∠AED，再由等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°，可求得∠ABD=∠DCE=120°，即可判定△ABD∽△DCE．
本题主要考查相似三角形的判定，等边三角形的性质，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件并灵活运用．
24.【答案】解：(1)设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
256(1+x)2=400，
解得：x1=14，x2=−94(不合题意舍去)．
答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
(2)设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：
(40−25−m)(400+5m)=4250，
解得：m1=5，m2=−70(不合题意舍去)．
答：当商品降价5元时，商品获利4250元．
【解析】(1)由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：256(1+x)件；三月份的销售量为：256(1+x)(1+x)件，又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
(2)利用销量×每件商品的利润=4250求出即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
25.【答案】解：知识探究：EM=EN，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，
∵EF⊥AD，
∴∠AME=90°，
∵∠FEN=90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∴∠ANE=90°，
∴EM=EN；
拓展探究：EM=EN，
理由：过点E作EP⊥AD，垂足为P，过点E作EQ⊥AB，垂足为Q，
∴∠APE=∠AQE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，
∴四边形AQEP是矩形，
∴∠QEP=90°，
∵∠QEP=∠GEF=90°，
∴∠QEP−∠NEP=∠GEF−∠NEP，
∴∠NEQ=∠DEP，
∵AC平分∠BAD，EP⊥AD，EQ⊥AB，
∴EQ=EP，
∴△NEQ≌△DEP(AAS)，
∴EM=EN；
迁移运用：连接EB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，AC平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵AE=AE，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，
∴BE=DE，
∵NE=DE，
∴BE=NE，
∵EH⊥AB，
∴H是线段BN的中点．
【解析】知识探究：根据正方形的性质可得∠BAD=90°，AC平分∠BAD，再根据垂直定义可得∠AME=90°，从而可得四边形ANEM是矩形，然后利用矩形的性质可得∠ANE=90°，从而利用角平分线的性质即可解答．
拓展探究：过点E作EP⊥AD，垂足为P，过点E作EQ⊥AB，垂足为Q，根据垂直定义可得∠APE=∠AQE=90°，再根据正方形的性质可得∠BAD=90°，AC平分∠BAD，从而可得四边形AQEP是矩形，进而可得∠QEP=∠GEF=90°，然后利用等式的性质可得∠NEQ=∠DEP，再利用角平分线的性质可得EQ=EP，从而利用AAS可证△NEQ≌△DEP，最后利用全等三角形的性质即可解答；
迁移运用：连接EB，根据正方形的性质可得AB=AD，AC平分∠BAD，从而可得∠BAE=∠DAE，然后利用SAS可证△ABE≌△ADE，从而可得BE=DE，进而可得BE=NE，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
2022-2023学年山东省泰安市岱岳区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若3a=4b(ab≠0)，则下列比例式成立的是( )
A. a4=b3 B. a3=b4 C. ab=34 D. a4=3b
2. 下列计算中，正确的是( )
A. 2+ 3= 5 B. 3 2−2 2= 2
C. 15÷ 3=5 D. 15× 3=5 3
3. 如图所示，直线l1//l2//l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB=3，BC=2，DF=8，则DE的长为( )
A. 4 B. 4.5 C. 4.8 D. 5
4. 一元二次方程2x2=x的解( )
A. x=0 B. x=12
C. x1=0，x2=12 D. x1=0，x2=−12
5. 如图，△OAB和△OCD是以点O为位似中心的位似图形，已知A(−4,2)，△OAB与△OCD的相似比为2：1，则点C的坐标为( )
A. (2,−1) B. (−2,1) C. (1,−2) D. (−1,2)
6. 如图，在三角形纸片ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是( )
A. B.
C. D.
7. 如表是嘉嘉和淇淇比较 2+ 3与 2+3的过程，下列关于两人的思路判断正确的是( )
嘉嘉
淇淇
分别将两式平方，得( 2+ 3)2=5+2 6，( 2+3)2=5，∵5+2 6>5，∴ 2+ 3> 2+3
作一个直角三角形，两直角边长分别为 2， 3，
利用勾股定理，得斜边长为： ( 2)2+( 3)2= 5．
由三角形中两边之和大于第三边，
得 2+ 3> 2+3．
A. 嘉嘉对，淇淇错 B. 嘉嘉错，淇淇对 C. 两人都对 D. 两人都错
8. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=4，BD=8，E为边BC的中点，连接OE，则线段OE的长为( )
A. 3 B. 2 5 C. 5 D. 2
9. 若关于x的一元二次方程(k−2)x2+2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围( )
A. k≤73 B. k>73 C. k<73且k≠2 D. k≤73且k≠2
10. 小明在学习了正方形以后，给同桌小文出了道题：从下列四个条件：
①AB=BC；
②∠ABC=90°；
③AC=BD；
④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形．
现有下列四种选法你认为错误的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
11. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为x cm，根据题意可列方程( )
A. (30+x)(20+x)=600
B. (30+2x)(20+2x)=600
C. (30−2x)(20−2x)=1200
D. (30+2x)(20+2x)=1200
12. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EH//CD，交BF于点H，则线段GH的长度是( )
A. 56 B. 1 C. 54 D. 53
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 化简 98= ______ ．
14. 如图，矩形ABCD中，对角线AB，CD相交于点O，∠ACB=30°，OB=4，则矩形ABCD的面积是______ ．
15. 用配方法解一元二次方程时，需将方程配方化成(x+m)2=n的形式，一元二次方程x2−3x+1=0用配方法解时化成该形式是______ ．
16. 如图，△ABC中，E，F分别是△ABC边AB，AC的中点，则△AEF与四边形BCFE的面积比是______ ．
17. 若2n(n≠0)是关于x的方程x2−2mx+2n=0的根，则m−n的值为______．
18. E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB=1，则矩形ABCD的面积为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
计算：
(1) 12+ 8× 6；
(2) 27−15 13−(1− 3)2．
20. (本小题10.0分)
解方程：
(1)x2−4x−2=0；
(2)x(2x−5)=4x−10．
21. (本小题10.0分)
如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度.他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米.已知小明的身高是1.8米，他的影长是2米．
(1)图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？
(2)求信号发射塔的高度．
22. (本小题11.0分)
如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE//AC交AB于点E，DF//AB交AC于点F．
(1)求证：四边形AEDF是菱形；
(2)若∠B=35°，当∠C= ______ 度时，四边形AEDF为正方形(直接填空)．
23. (本小题12.0分)
如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在CB、AC的延长线上，∠ADE=60°．
(1)求证：AD2=AE⋅AC；
(2)求证：△ABD∽△DCE．
24. (本小题12.0分)
某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，一月份销售256件.二、三月该商品十分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件.设二、三这两个月的月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
25. (本小题13.0分)
知识探究：如图1，点E是正方形ABCD对角线AC上任意一点，以点E为直角顶点的直角△EFG两边EF，EG分别角与AD，AB相交于M点，N点.当EF⊥AD时，请探究EM与EN的数量关系，并说明理由；
拓展探究：当△EFG绕点E顺时针旋转到点M与点D重合时，如图2，请探究EM与EN的数量关系，并说明理由；
迁移运用：在图2的基础上，过点E作EH⊥AB于点H，如图3，证明H是线段BN的中点．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵3a=4b(ab≠0)，
∴a：4=b：3，
∴a4=b3，
故选：A．
根据两内项之积等于两外项之积即可得出正确选项．
本题考查了比例的性质：两内项之积等于两外项之积，熟记比例的性质是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解： 2与 3不是同类二次根式，不能合并，故选项A错误，不符合题意；
3 2−2 2= 2，故选项B正确，符合题意；
15÷ 3= 5，故选项C错误，不符合题意；
15× 3= 45=3 5，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵直线l1//l2//l3，
∴ABBC=DEEF，
∵AB=3，BC=2，DF=8，
∴32=DE8−DE，
∴DE=4.8．
故选：C．
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：2x2=x，
2x2−x=0，
x(2x−1)=0，
则x=0或2x−1=0，
解得：x1=0，x2=12．
故选：C．
直接移项，再利用提取公因式法分解因式，进而解方程即可．
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵△OAB与△OCD的相似比为2：1，
∴OA：OC=2：1，
过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F．
∵A(−4,2)，
∴AE=2，OE=4，
∵AE//CF，
∴△AOE∽△COF，
∴AECF=OEOF=OAOC，
∴2CF=4OF=2，
CF=1，OF=2，
∴C(2,−1)，
故选：A．
根据坐标，相似比，点的位置确定坐标即可．
本题考查了坐标系中的位似，熟练掌握坐标与位似比的关系是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：在三角形纸片ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，
A.因为6BC=612=12，对应边ABBC=912=34，12≠34，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，
故此选项不符合题意；
B.因为4AC=46=23，对应边ACAB=69=23，又∠A=∠A，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，
故此选项符合题意；
C.因为4AB=49，对应边ABBC=912=34，
即：49≠34，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，
故此选项不符合题意；
D.因为46=23，对应边ACBC=612=12，23≠12，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，
故此选项不符合题意；
故选：B．
根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：嘉嘉用的代数方法，计算正确，
而淇淇用的几何方法，计算也正确．
故选：C．
根据代数和几何方法的运算过程可以判断两人结果．
本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算方法是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO=2，BO=DO=4，
∴BC= OB2+OC2= 42+22=2 5，
∵E是边BC的中点，∠BOC=90°，
∴OE=12BC= 5，
故选：C．
由菱形的性质可得AC⊥BD，AO=CO=2，BO=DO=4，由勾股定理可求BC的长，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，求出BC的长是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意得k−2≠0且Δ=22−4(k−2)×3≥0，
解得k≤73且k≠2，
故选：D．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k−2≠0且Δ=22−4(k−2)×3≥0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可．
本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于k的不等式是解此题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：A.∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意；
B.∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意；
C.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当③AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
D.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意．
故选：C．
利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可．
此题主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，正确掌握正方形的判定方法是解题关键．
11.【答案】D
【解析】解：∵原画面是长为30cm，宽为20cm的矩形，且彩纸的宽度为x cm，
∴原画四周镶上彩纸后的长为(30+2x)cm，宽为(20+2x)cm．
根据题意得：(30+2x)(20+2x)=2×30×20，
即(30+2x)(20+2x)=1200．
故选：D．
根据原画的长、宽及四周彩纸的宽，可得出原画四周镶上彩纸后的长为(30+2x)cm，宽为(20+2x)cm，再结合原画四周镶上彩纸后的面积等于原画面面积的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，AD=4，
∴DC=AB=6，BC=AD=4，∠C=90°，
∵点E、F分别为BC、CD的中点，
∴DF=CF=12DC=3，CE=BE=12BC=2，
∵EH//CD，
∴FH=BH，
∵BE=CE，
∴EH=12CF=32，
由勾股定理得：BF= BC2+CF2= 42+32=5，
∴BH=FH=12BF=52，
∵EH//CD，
∴△EHG∽△DFG，
∴EHDF=GHFG，
∴323=GH52−GH，
解得：GH=56，
故选：A．
根据矩形的性质得出DC=AB=6，BC=AD=4，∠C=90°，求出DF=CF=12DC=3，CE=BE=12BC=2，求出FH=BH，根据勾股定理求出BF，求出FH=BH=52，根据三角形的中位线求出EH，根据相似三角形的判定得出△EHG∽△DFG，根据相似三角形的性质得出EHDF=GHFG，再求出答案即可．
本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
13.【答案】3 24
【解析】解：原式= 9 8
=32 2
=3 24，
故答案为：3 24．
根据二次根式的性质进行化简即可．
本题考查二次根式的性质及化简，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
14.【答案】16 3
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AB，CD相交于点O，
∴OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，且AC=BD，
∴OA=OB=4，
∴AC=2OA=8，
∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴∠OAB=90°−∠ACB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB=4，
∴BC= AC2−AB2= 82−42=4 3，
∴S矩形ABCD=AB⋅BC=4×4 3=16 3，
故答案为：16 3．
由矩形的性质得OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，且AC=BD，则OA=OB=4，所以AC=2OA=8，由∠ABC=90°，∠ACB=30°，求得∠OAB=60°，则△AOB是等边三角形，所以AB=OB=4，则BC= AC2−AB2=4 3，即可求得S矩形ABCD=16 3，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、勾股定理、矩形的面积公式等知识，证明△AOB是等边三角形是解题的关键．
15.【答案】(x−32)2=54
【解析】解：∵x2−3x+1=0
∴x2−3x=−1，
∴x2−3x+94=−1+94，
∴(x−32)2=54，
故答案为：(x−32)2=54．
根据配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
16.【答案】1：3
【解析】解：∵E、F是分别是△ABC的AB、AC边的中点，
∴EF是△ABC的中位线，AB=2AE，
∴EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴S△AEFS△ABC=(AEAB)2=14，
∴△AEF与四边形BCFE的面积之比为：1：3；
故答案为：1：3．
根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质解答即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
17.【答案】12
【解析】解：∵2n(n≠0)是关于x的方程x2−2mx+2n=0的根，
∴4n2−4mn+2n=0，
∴4n−4m+2=0，
∴m−n=12．
故答案是：12．
根据一元二次方程的解的定义，把x=2n代入方程得到x2−2mx+2n=0，然后把等式两边除以n即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
18.【答案】 2
【解析】解：∵E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，
∴AE=12AD，BF=12BC，
∵矩形ABCD∽矩形EABF，
∴AEAB=ABAD，
∴AE⋅AD=1，即12AD2=1，
解得，AD= 2，
∴矩形ABCD的面积为AB⋅AD= 2，
故答案为： 2．
根据相似多边形的性质列出比例式求出AD，根据矩形的面积公式计算即可．
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
19.【答案】解：(1) 12+ 8× 6
=2 3+ 48
=2 3+4 3
=6 3；
(2) 27−15 13−(1− 3)2
=3 3−15× 33−(1−2 3+3)
=3 3−5 3−1+2 3−3
=−4．
【解析】(1)先根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的加法法则进行计算即可；
(2)先根据二次根式的性质和完全平方公式进行计算，再根据二次根式的加法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
20.【答案】解：(1)∵a=1，b=−4，c=−2，
∴Δ=b2−4ac=(−4)2−4×(−2)=24，
∴x=4± (−4)2−4×4×(−2)2×1=4±2 62=2± 6，
∴x1=2+ 6，x2=2− 6；
(2)移项得：x(2x−5)−2(2x−5)=0，
分解因式得：(2x−5)(x−2)=0，
∴2x−5=0或x−2=0，
解得：x1=2，x2=52．
【解析】(1)方程利用公式法求出解即可；
(2)方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)∵BC⊥AC，DE⊥AC，
∴DE//BC，
∴△ABC∽△ADE，
(2)∵△ABC∽△ADE，
∴DEBC=AEAC，
即1.8BC=220+2，
∴DC=19.8(米)，
∴古塔的高度为19.8米．
【解析】(1)根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似；
(2)利用相似三角形的性质求得相应线段的长即可．
本题考查了相似三角形应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
22.【答案】55
【解析】(1)证明：∵DE//AC交AB于点E，DF//AB交AC于点F，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠ADF=∠FAD，
∴FA=FD，
∴四边形AEDF是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)；
(2)解：当△ABC是直角三角形，∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形，
理由：∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
由(1)知四边形AEDF是菱形，
∴四边形AEDF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)．
∵∠B=35°，∠BAC=90°，
∴∠C=55°，
故答案为：55．
(1)根据DE//AC交AB于点E，DF//AB交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立；
(2)根据有一个角是直角的菱形是正方形可以解答本题．
本题考查正方形的判定、菱形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的需要的条件，利用正方形的判定、菱形的判定与性质解答．
23.【答案】证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADE=∠ACB，
∵∠CAD=∠DAB，
∴△ACD∽△ADE，
∴ADAE=ACAD，
∴AD2=AE⋅AC；
(2)由(1)得：△ACD∽△ADE，
∴∠ADC=∠AED，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=∠DCE=120°，
∴△ABD∽△DCE．
【解析】(1)由等边三角形的性质可得∠ACB=60°，从而得∠ADE=∠ACB，可判定△ACD∽△ADE，即可求得AD2=AE⋅AC；
(2)由(1)可得△ACD∽△ADE，则有∠ADC=∠AED，再由等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°，可求得∠ABD=∠DCE=120°，即可判定△ABD∽△DCE．
本题主要考查相似三角形的判定，等边三角形的性质，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件并灵活运用．
24.【答案】解：(1)设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
256(1+x)2=400，
解得：x1=14，x2=−94(不合题意舍去)．
答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
(2)设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：
(40−25−m)(400+5m)=4250，
解得：m1=5，m2=−70(不合题意舍去)．
答：当商品降价5元时，商品获利4250元．
【解析】(1)由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：256(1+x)件；三月份的销售量为：256(1+x)(1+x)件，又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
(2)利用销量×每件商品的利润=4250求出即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
25.【答案】解：知识探究：EM=EN，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，
∵EF⊥AD，
∴∠AME=90°，
∵∠FEN=90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∴∠ANE=90°，
∴EM=EN；
拓展探究：EM=EN，
理由：过点E作EP⊥AD，垂足为P，过点E作EQ⊥AB，垂足为Q，
∴∠APE=∠AQE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，
∴四边形AQEP是矩形，
∴∠QEP=90°，
∵∠QEP=∠GEF=90°，
∴∠QEP−∠NEP=∠GEF−∠NEP，
∴∠NEQ=∠DEP，
∵AC平分∠BAD，EP⊥AD，EQ⊥AB，
∴EQ=EP，
∴△NEQ≌△DEP(AAS)，
∴EM=EN；
迁移运用：连接EB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，AC平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵AE=AE，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，
∴BE=DE，
∵NE=DE，
∴BE=NE，
∵EH⊥AB，
∴H是线段BN的中点．
【解析】知识探究：根据正方形的性质可得∠BAD=90°，AC平分∠BAD，再根据垂直定义可得∠AME=90°，从而可得四边形ANEM是矩形，然后利用矩形的性质可得∠ANE=90°，从而利用角平分线的性质即可解答．
拓展探究：过点E作EP⊥AD，垂足为P，过点E作EQ⊥AB，垂足为Q，根据垂直定义可得∠APE=∠AQE=90°，再根据正方形的性质可得∠BAD=90°，AC平分∠BAD，从而可得四边形AQEP是矩形，进而可得∠QEP=∠GEF=90°，然后利用等式的性质可得∠NEQ=∠DEP，再利用角平分线的性质可得EQ=EP，从而利用AAS可证△NEQ≌△DEP，最后利用全等三角形的性质即可解答；
迁移运用：连接EB，根据正方形的性质可得AB=AD，AC平分∠BAD，从而可得∠BAE=∠DAE，然后利用SAS可证△ABE≌△ADE，从而可得BE=DE，进而可得BE=NE，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
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