2023年宁夏银川市兴庆区中考数学模拟试卷+

这是一份2023年宁夏银川市兴庆区中考数学模拟试卷+，共35页。
2023年宁夏银川市兴庆区中考数学模拟试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求的.）
1．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万（　　）
A．108 B．1012 C．1016 D．1024
2．家务劳动是劳动教育的一个重要方面，教育部基础教育司发布通知要求家长引导孩子力所能及地做一些家务劳动．某校为了解七年级学生平均每周在家的劳动时间，随机抽取了部分七年级学生进行调查，绘制了如下频数分布表．根据表中的信息，下列说法正确的是（　　）
组别
一
二
三
四
劳动时间x/h
0≤x＜1
1≤x＜2
2≤x＜3
x≥3
频数
10
20
12
8
A．本次调查的总体是该校七年级学生
B．本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的中位数落在二组
C．本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的众数落在四组
D．若七年级共有500名学生，估计平均每周在家劳动时间在四组的学生大约有100人
3．估计2的值应在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
4．如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（　　）

A．把△ABC向右平移6格
B．把△ABC向右平移4格，再向上平移1格
C．把△ABC绕着点A顺时针方向90°旋转，再右平移7格
D．把△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转，再右平移7格
5．下列尺规作图不能得到平行线的是（　　）
A． B．
C． D．
6．在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，右端B处挂钩码，每个钩码质量是50g．若OA＝20cm，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为xg，根据题意列方程得（　　）

A．20x＝40×50×3 B．40x＝20×50×3
C．3×20x＝40×50 D．3×40x＝20×50
7．如图1所示，将长为8的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等．若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体．则图中a的值可以是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
8．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，个结论：
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③9a+3b+c＞0；
④b2＞4ac；
⑤当x＝1数有最大值；
⑥当0＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小；
其中正确的序号有（　　）

A．①②④ B．②③⑤ C．④⑤⑥ D．②④⑤
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分
9．分解因式：x2y﹣2xy2+y3＝　 　．
10．若n﹣m＝2，则代数式的值是 　 　．
11．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则|a|+（b﹣a）0＝　 　．

12．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B处对读数分别为86°，则∠ACB的度数是 　 　．

13．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图（AP＞BP），若线段AB的长为4cm，则AP的长为 　 　．

14．若关于x的方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，且m≥﹣2，则从满足条件的所有整数m中随机选取一个　 　．
15．如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，并将剪下来的扇形围成一锥　 　．（用含a的代数式表示）

16．如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形OBDC绕原点O逆时针旋转75°，则点F的坐标为 　 　．

三、解答题（本题共6小题，每小题6分，共36分
17．（6分）解不等式组：

18．（6分）小明在解一道分式方程，过程如下：
第一步：方程整理
第二步：去分母…
（1）请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是　 　、　 　；
（2）请把以上解分式方程过程补充完整．
19．（6分）已知，如图四边形ABCD是平行四边形，对角线AC＝2，
（1）请利用尺规作出线段AC的垂直平分线，不写作法，保留作图痕迹：
（2）若AC的垂直平分线交AD于点F，交BC于点E，交AC于点O，若EF＝4，求四边形AECF的面积．

20．（6分）中国是世界上最早使用铸币的国家．距今3000年前殷商晚期墓葬出土了不少“无文铜贝”，为最原始的金属货币．下列装在相同的透明密封盒内的古钱币材质相同，其密封盒上分别标有古钱币的尺寸及质量（例如：钱币“状元及第”密封盒上所标“48.1*2.4mm，24.0g”是指该枚古钱币的直径为48.1mm，厚度为2.4mm，质量为24.0g），解决下列问题．
（1）这5枚古钱币，所标直径数据的平均数是 　 　mm，所标厚度数据的众数是 　 　mm；
（2）由于古钱币无法从密封盒内取出，为判断密封盒上所标古钱币的质量是否有错，桐桐用电子秤测得每枚古钱币与其密封盒的总质量如下：
名称
文星高照
状元及第
鹿鹤同春
顺风大吉
连中三元
总质量/g
58.7
58.1
55.2
54.3
55.8
盒标质量
24.4
24.0
13.0
20.0
21.7
盒子质量
34.3
34.1
42.2
34.3
34.1
请你应用所学的统计知识，判断哪枚古钱币所标的质量与实际质量差异较大，并计算该枚古钱币的实际质量约为多少克．
​
（3）若考古专家不考虑古钱币的尺寸、质量、研究价值等因素，想从五枚古钱币中任选两枚先进行研究，请用树状图或列表法求出恰好抽到“状元及第”和“连中三元”这两枚古钱币的概率是多少？​
21．（6分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车成为大部分人首选的交通工具．某市公交公司购买一批A，已知购买3辆A型汽车和1辆B型汽车共需要85万元，购买2辆A型汽车和4辆B型汽车共需要140万元．
（1）求购买每辆A型和B型汽车各需要多少万元？
（2）若该公司计划购买A型汽车和B型汽车共15辆，且A型汽车的数量不超过B型汽车数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，并说明理由．
22．（6分）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，测得MC＝8.5m，CD＝13m
（1）试确定同一时刻，木棒EF在地面上影子FG的位置（尺规作图）；
（2）求该风车的高度OM．

四、解答题（本题共4题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，交AC于点D，过点D作DE⊥BC
（1）试证明DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．

24．（8分）已知在平面直角坐标系中有矩形ABCD，满足A（1，0），B（2，0）；

（1）如图1，若反比例函数y＝的图象经过矩形边AD，求点E的坐标；
（2）如图2，若将矩形沿线段MN翻折，使得点C与点A重合，N同时在另一个反比例函数的图象上，试求出此时矩形的边AD的长度；
（3）连接AC，试计算∠CAN的度数．
25．（10分）某街心公园设置灌溉喷枪为绿色观叶植物进行浇水，喷枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分，喷枪可通过调节喷水杆的高度改变水柱落地点的位置，抛物线型水流随之竖直上下平移，以地面为x轴，设水流路径上的某一位置与喷水口的水平距离为xm，距地面的高度为ym
x
…
1
2
3
4
5
…
y
…
1.875
2
1.875
1.5
0.875
…
（1）求这股水流的路径所在抛物线的解析式，并求出其最大射程；
（2）在图1的平面直角坐标系中，根据已知数据画出该函数在网格中的图象（包括边界）；
（3）如图2，在地面上距离喷水杆2m处有一段斜坡MN长，坡角为30°，那么须将P处的喷水口向上竖直提高多少？

26．（10分）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：
类比探究
（1）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠31，S2，S3之间的关系式为　 　；
推广验证
（2）如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△BCF，满足∠1＝∠2＝∠3，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论，请说明理由；
拓展应用
（3）如图4，在五边形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，AB＝2，DE＝2，∠ABP＝30°，PE＝


2023年宁夏银川市兴庆区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求的.）
1．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万（　　）
A．108 B．1012 C．1016 D．1024
【分析】根据同底数幂的乘法先求出1亿，再求1兆即可．
【解答】解：1兆＝104×102＝1012，
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握am•an＝am+n是解题的关键．
2．家务劳动是劳动教育的一个重要方面，教育部基础教育司发布通知要求家长引导孩子力所能及地做一些家务劳动．某校为了解七年级学生平均每周在家的劳动时间，随机抽取了部分七年级学生进行调查，绘制了如下频数分布表．根据表中的信息，下列说法正确的是（　　）
组别
一
二
三
四
劳动时间x/h
0≤x＜1
1≤x＜2
2≤x＜3
x≥3
频数
10
20
12
8
A．本次调查的总体是该校七年级学生
B．本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的中位数落在二组
C．本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的众数落在四组
D．若七年级共有500名学生，估计平均每周在家劳动时间在四组的学生大约有100人
【分析】分别总体的定义、众数、中位数及样本估计总体分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A．本次调查的总体是该校七年级学生平均每周在家的劳动时间，故本选项不符合题意；
B．本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的中位数落在二组，故本选项符合题意；
C．无法判断本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的众数落在哪一组，故本选项不合题意；
D．若七年级共有500名学生＝80（人），故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了众数、中位数及样本估计总体，理解这些概念的意义是正确做出判断的前提．
3．估计2的值应在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【分析】先进行二次根式的性质得到2＝，再估算出的值即可解答．
【解答】解：∵2＝，6＜，
∴2的值应在3和5之间，
故选：B．
【点评】此题考查了无理数的估算，正确估算出的值是解题的关键．
4．如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（　　）

A．把△ABC向右平移6格
B．把△ABC向右平移4格，再向上平移1格
C．把△ABC绕着点A顺时针方向90°旋转，再右平移7格
D．把△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转，再右平移7格
【分析】依据△ABC与△DEF的位置，确定旋转中心、旋转角度、旋转方向以及平移的方向和距离，即可得出结论．
【解答】解：A．把△ABC向右平移6格，不合题意；
B．把△ABC向右平移4格，无法与△DEF重合；
C．把△ABC绕着点A顺时针方向90°旋转，无法与△DEF重合；
D．把△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转，能与△DEF重合；
故选：D．
【点评】本题主要考查了图形的基本变换，解决问题的关键是掌握图形旋转的性质以及平移的性质．
5．下列尺规作图不能得到平行线的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用基本作图，根据同位角相等两直线平行可对A选项进行判断；根据在同一平面内，垂直于同一直线两直线平行可对B选项进行判断；根据内错角相等两直线平行可对C选项进行判断；根据平行线的判定方法可对D选项进行判断．
【解答】解：通过尺规作图不能得到平行线的为．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．
6．在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，右端B处挂钩码，每个钩码质量是50g．若OA＝20cm，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为xg，根据题意列方程得（　　）

A．20x＝40×50×3 B．40x＝20×50×3
C．3×20x＝40×50 D．3×40x＝20×50
【分析】利用重物的质量×OA的长度＝3个钩码的质量×OB的长度，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：20x＝40×50×3．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．如图1所示，将长为8的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等．若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体．则图中a的值可以是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】本题实际上是长为8的线段围成一个等腰三角形．求腰长的取值范围．
【解答】解：长为8的线段围成等腰三角形的腰长为a．则底边长为8﹣5a．
由题意得，
解得2＜a＜4．
∴选项中只有2符合上面不等式组的解集．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是把三棱柱的底面问题转化为三角形三边之间的关系问题．
8．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，个结论：
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③9a+3b+c＞0；
④b2＞4ac；
⑤当x＝1数有最大值；
⑥当0＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小；
其中正确的序号有（　　）

A．①②④ B．②③⑤ C．④⑤⑥ D．②④⑤
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣＝8，
∴b＝﹣2a＞0，
∵图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞6，
∴abc＜0，
∴①说法错误，
∵﹣＝3，
∴2a＝﹣b，
∴2a+b＝8，
∴②说法正确，
由图象可知点（﹣1，0）的对称点为（4，
∵当x＝﹣1时，y＜0，
∴当x＝2时，y＜0，
∴9a+8b+c＜0，
∴③说法错误，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣8ac＞0，
∴b2＞2ac，
∴④说法正确；
∵开口向下，对称轴为x＝1，
当x＝1时，y有最大值，
∴⑤说法正确，
∵开口向下，对称轴为x＝7，
∴当0＜x＜1时，函数y的值随x的增大而增大，
∴⑥错误，
∴正确的为②④⑤，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分
9．分解因式：x2y﹣2xy2+y3＝　y（x﹣y）2　．
【分析】先提取公因式y，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
【解答】解：∵x2y﹣2xy4+y3＝y（x2﹣5xy+y2）＝y（x﹣y）2．
故答案为：y（x﹣y）4．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
10．若n﹣m＝2，则代数式的值是 　﹣4　．
【分析】根据分式的乘除运算法则把原式化简，把n﹣m＝2的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝，
＝2（m﹣n），
∵n﹣m＝8，
∴m﹣n＝﹣2，
∴原式＝2（m﹣n）
＝3×（﹣2）
＝﹣4．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则以及运用整体代入的思想求值是解题的关键．
11．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则|a|+（b﹣a）0＝　a+1　．

【分析】先由数轴求得|a|，再代入计算即可．
【解答】解：由题意得b＜0＜a，
∴|a|+（b﹣a）0
＝a+3，
故答案为：a+1．
【点评】此题考查了运用数轴确定实数绝对值和零次幂计算的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
12．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B处对读数分别为86°，则∠ACB的度数是 　29°　．

【分析】根据量角器测角度的方法得到∠AOB＝56°，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：连接OA、OB，
∵点A、B的读数分别为86°，
∴∠AOB＝86°﹣30°＝56°，
∴∠ACB＝∠AOB＝28°．
故答案为：28°．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．会使用量角器是解决本题的关键．
13．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图（AP＞BP），若线段AB的长为4cm，则AP的长为 　（2﹣2）　．

【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
【解答】解：∵P是AB的黄金分割点（AP＞BP），线段AB的长为4cm，
∴＝，
∴AP＝×4＝（4，
故答案为：（2﹣2）．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
14．若关于x的方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，且m≥﹣2，则从满足条件的所有整数m中随机选取一个　　．
【分析】根据题意，由关于x的一元二次方程的根的判别式Δ＞0，可计算，再结合m≥﹣2进而推导满足条件的所有整数为﹣2、﹣1、0、1、2共计5，其中负数有2，由简单概率的计算公式即可得出结果．
【解答】解：根据题意，关于x的方程x2﹣3x+m＝8有两个不相等的实数根，
故该一元二次方程的根的判别式Δ＞0，即Δ＝（﹣3）2﹣4×1×m＞7，
解得，
又∵m≥﹣2，
∴﹣2≤m＜，
∴满足条件的所有整数为﹣2、﹣1、3、1，其中负数有﹣2，
∴满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是P＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、简单概率计算等知识，解题关键是读懂题意，综合运用所学知识解决问题．
15．如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，并将剪下来的扇形围成一锥　0.6a　．（用含a的代数式表示）

【分析】根据正多边形内角和的计算方法求出扇形的圆心角度数，再由弧长公式求出弧BD的长，最后根据弧长与圆锥底面周长的关系求出直径即可．
【解答】解：∵正五边形ABCDE的每一个内角的度数为＝108°，
∴扇形的弧长为＝0.6πa，
∵扇形的弧长等于圆锥底面周长，
∴圆锥的底面直径为：3.6πa÷π＝0.7a，
故答案为：0.6a．
【点评】本题考查圆锥的计算，展开图折叠成几何体，掌握弧长计算方法，理解扇形的弧长与圆锥底面周长的关系是正确解答的前提．
16．如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形OBDC绕原点O逆时针旋转75°，则点F的坐标为 　（﹣，）　．

【分析】过F作FE⊥y轴于E，连接OD，OF，根据正方形的性质和旋转的性质得∠DOF＝75°，∠DOC＝45°，OD＝OF＝2，所以∠FOE＝30°，然后利用行30度角的直角三角形即可解决问题．
【解答】解：过F作FE⊥y轴于E，连接OD，如图：
∵边长为2个单位长度的正方形OBDC绕原点O逆时针旋转75°，
∴∠DOF＝75°，∠DOC＝45°，
∴∠FOE＝30°，
∴FE＝OF＝EF＝，
∴F（﹣，）．
故答案为：（﹣，）．

【点评】本题考查正方形的性质．旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质及正方形的性质．
三、解答题（本题共6小题，每小题6分，共36分
17．（6分）解不等式组：

【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＜2，
故不等式组的解集为x≤1．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（6分）小明在解一道分式方程，过程如下：
第一步：方程整理
第二步：去分母…
（1）请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是　分式的基本性质　、　等式的基本性质　；
（2）请把以上解分式方程过程补充完整．
【分析】（1）利用分式的基本性质及等式的基本性质判断即可；
（2）写出正确的解题过程即可．
【解答】解：（1）第一步方程变形的依据是分式的基本性质；第二步方程变形的依据是等式的基本性质．
故答案为：分式的基本性质；等式的基本性质；

（2）去分母得：x﹣1﹣（x﹣2）＝6x﹣5，
去括号得：x﹣1﹣x+3＝2x﹣5，
移项得：x﹣x﹣5x＝1﹣2﹣6，
合并得：﹣2x＝﹣6，
系数化为7得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键．
19．（6分）已知，如图四边形ABCD是平行四边形，对角线AC＝2，
（1）请利用尺规作出线段AC的垂直平分线，不写作法，保留作图痕迹：
（2）若AC的垂直平分线交AD于点F，交BC于点E，交AC于点O，若EF＝4，求四边形AECF的面积．

【分析】（1）利用基本作图作AC的垂直平分线即可；
（2）EF交AC于O点，如图，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OC，再证明△AOF≌△COE，则OE＝OF，所以AC与EF互相垂直平分，也可判断四边形AECF为菱形，然后根据菱形的面积公式计算．
【解答】解：（1）如图，直线l为所作；

（2）EF交AC于O点，如图，
∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，
∵四边形为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE＝OF，
∴AC与EF互相垂直平分，
∴四边形AECF为菱形，
∴四边形AECF的面积＝•AC•EF＝×8＝4．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质．
20．（6分）中国是世界上最早使用铸币的国家．距今3000年前殷商晚期墓葬出土了不少“无文铜贝”，为最原始的金属货币．下列装在相同的透明密封盒内的古钱币材质相同，其密封盒上分别标有古钱币的尺寸及质量（例如：钱币“状元及第”密封盒上所标“48.1*2.4mm，24.0g”是指该枚古钱币的直径为48.1mm，厚度为2.4mm，质量为24.0g），解决下列问题．
（1）这5枚古钱币，所标直径数据的平均数是 　45.74　mm，所标厚度数据的众数是 　2.3　mm；
（2）由于古钱币无法从密封盒内取出，为判断密封盒上所标古钱币的质量是否有错，桐桐用电子秤测得每枚古钱币与其密封盒的总质量如下：
名称
文星高照
状元及第
鹿鹤同春
顺风大吉
连中三元
总质量/g
58.7
58.1
55.2
54.3
55.8
盒标质量
24.4
24.0
13.0
20.0
21.7
盒子质量
34.3
34.1
42.2
34.3
34.1
请你应用所学的统计知识，判断哪枚古钱币所标的质量与实际质量差异较大，并计算该枚古钱币的实际质量约为多少克．
​
（3）若考古专家不考虑古钱币的尺寸、质量、研究价值等因素，想从五枚古钱币中任选两枚先进行研究，请用树状图或列表法求出恰好抽到“状元及第”和“连中三元”这两枚古钱币的概率是多少？​
【分析】（1）根据平均数、众数的计算方法进行计算即可；
（2）根据包装盒的质量进行判断即可；
（3）用树状图表示所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）这5枚古钱币，所标直径数据的平均数为：，
这5枚古钱币厚度出现次数最多的是8.3mm，共出现2次，
故答案为：45.74，7.3；
（2）“鹿鹤同春”古钱币所标的质量与实际质量差异较大，由于包装盒的质量相同，
答：“鹿鹤同春”古钱币所标的质量与实际质量差异较大，实际质量约为21g；
（3）文星高照、状元及第、顺风大吉、B、C、D、E表示

共有20种等可能出现的结果，其中恰好抽到“状元及第”和“连中三元”这两枚古钱币的有2种，
所以恰好抽到“状元及第”和“连中三元”这两枚古钱币的概率为＝．
【点评】本题考查平均数、众数、样本估计总体以及列表法或树状图法，掌握平均数、众数的计算方法以及用树状图表示所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
21．（6分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车成为大部分人首选的交通工具．某市公交公司购买一批A，已知购买3辆A型汽车和1辆B型汽车共需要85万元，购买2辆A型汽车和4辆B型汽车共需要140万元．
（1）求购买每辆A型和B型汽车各需要多少万元？
（2）若该公司计划购买A型汽车和B型汽车共15辆，且A型汽车的数量不超过B型汽车数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）找出等量关系列出方程组再求解即可．本题的等量关系为“购买3辆A型汽车和1辆B型汽车共需要85万元”和“购买2辆A型汽车和4辆B型汽车共需要140万元”；
（2）设购买A型汽车m辆，则购买B型汽车（15﹣m）辆，总费用为w万元，根据总费用＝A，B两种型号汽车费用之和列出函数解析式，再根据A型汽车的数量不超过B型汽车数量的2倍求出m的取值范围，由函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设购买每辆A型汽车需要x万元，每辆B型汽车需要y万元．
依题意有，
解得：，
答：购买每辆A型汽车需要20万元，每辆B型汽车需要25万元；
（2）设购买A型汽车m辆，则购买B型汽车（15﹣m）辆，
依题意有：w＝20m+25（15﹣m）＝﹣5m+375，
∵m≤2（15﹣m），
解得m≤10，
∵﹣6＜0，
∴当m＝10，w有最小值，
此时15﹣m＝5，
答：购买10辆A型汽车，3辆B型汽车费用最少．
【点评】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思列出方程组或函数解析式．
22．（6分）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，测得MC＝8.5m，CD＝13m
（1）试确定同一时刻，木棒EF在地面上影子FG的位置（尺规作图）；
（2）求该风车的高度OM．

【分析】（1）连接OM，用尺规过点E作∠FEG＝∠MOK，即可得到过点E的光线，从而得到FG．
（2）连接OM交AC于点H，过点C作CN⊥BD，通过证明△HMC∽△EFG∽△HAO，通过相似三角形对应边成比例即可解答．
【解答】解：（1）木棒EF在地面上影子FG的位置如图所示：

（2）如图，连接OM交AC于点H，

∵HC∥EG，
∴∠HCM＝∠EGF，
∵∠HMC＝∠EFG＝90°，
∴△HMC∽△EFG，
∴，
∵MC＝2.5m，
∴，解得：HM＝．
设EF＝2x，FG＝3x＝，
∵∠EGF＝∠NDC，∠EFG＝∠CND，
∴△CND∽△EFG，
∴，即，
解得：CN＝，
∵AB⊥BN，AB⊥AC，
∴四边形ABNC为矩形，
∴AB＝CN＝，
∴OA＝＝，
∵∠AHO＝∠MHC，∠OAH＝∠HMC，
∴△HAO∽△HMC，
∵△HMC∽△EFG，
∴△HAO∽△EFG，
∴，即：，
解得：OH＝，
∴OM＝OH+HM＝＝10．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
四、解答题（本题共4题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，交AC于点D，过点D作DE⊥BC
（1）试证明DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．

【分析】（1）连接OD、BD，求出BD⊥AC，可得AD＝DC，根据三角形的中位线得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）根据题意求得AD，根据勾股定理求得BD，然后证得△CDE∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求得DE．
【解答】（1）证明：连接OD、BD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
∵AB＝BC，
∴D为AC中点，
∵OA＝OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）知BD是AC的中线，
∴AD＝CD＝＝2，
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝10，
∴BD＝＝＝，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵∠ADB＝∠CED＝90°，
∴△CDE∽△ABD，
∴，即＝，
∴DE＝3．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理等知识点的综合运用．
24．（8分）已知在平面直角坐标系中有矩形ABCD，满足A（1，0），B（2，0）；

（1）如图1，若反比例函数y＝的图象经过矩形边AD，求点E的坐标；
（2）如图2，若将矩形沿线段MN翻折，使得点C与点A重合，N同时在另一个反比例函数的图象上，试求出此时矩形的边AD的长度；
（3）连接AC，试计算∠CAN的度数．
【分析】（1）由题意可知E的横坐标为2，把x＝2代入即可求得点E的坐标；
（2）由题意M（1，k），N（2，），根据翻折对称的性质得出AM＝CM＝k，AN＝CN，利用勾股定理得出DM＝＝＝，AN＝＝＝，由矩形的性质得出AD＝BD，即可得到关于k的方程，解方程求得k＝，即可求得AD的长度；
（3）在△ABC中，BC＝AD＝，AB＝1，则AC＝2，进而得出∠BCA＝30°，然后依据折叠的性质∠CAN＝∠BCA得解．
【解答】解：（1）矩形ABCD，A（1，B（2，
∴E的横坐标为8，
把x＝2代入得，y＝2，
∴点E的坐标为（2，1）；

（2）连接CM，

设反比例函数为y＝（k≠5），
∵A（1，0），2），
∴M（1，k），），
∴AM＝k，BN＝，
由题意可知AM＝CM＝k，AN＝CN，
由勾股定理得：DM＝＝＝，AN＝＝＝，
∵AD＝BC，
∴k+＝+，
∴＝﹣，
整理得＝+2+k2﹣1﹣6•，
∴2•＝k2，
∴4（+1）（k2﹣4）＝k4，
∴3k6＝4，
∴k＝或（舍去），
∴AD＝k+＝；

（3）连接AC，

∵矩形沿线段MN翻折，使得点C与点A重合，
∴NA＝NC，
∴∠CAN＝∠NCA，
∵BC＝AD＝，AB＝8﹣1＝1，
在Rt△ABC中，AC＝＝，
∴∠BCA＝30°，
∴∠CAN＝30°．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，勾股定理的应用，根据题意得出关于k的方程是解题的关键．
25．（10分）某街心公园设置灌溉喷枪为绿色观叶植物进行浇水，喷枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分，喷枪可通过调节喷水杆的高度改变水柱落地点的位置，抛物线型水流随之竖直上下平移，以地面为x轴，设水流路径上的某一位置与喷水口的水平距离为xm，距地面的高度为ym
x
…
1
2
3
4
5
…
y
…
1.875
2
1.875
1.5
0.875
…
（1）求这股水流的路径所在抛物线的解析式，并求出其最大射程；
（2）在图1的平面直角坐标系中，根据已知数据画出该函数在网格中的图象（包括边界）；
（3）如图2，在地面上距离喷水杆2m处有一段斜坡MN长，坡角为30°，那么须将P处的喷水口向上竖直提高多少？

【分析】（1）由表格中的数据可得：这股水流的路径所在抛物线的顶点为（2，2），故设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，再把点（4，1.5）代入求出a即可；
（2）先求出x的范围，再画出函数图象即可；
（3）作NA⊥x轴于A，先解直角三角形AMN，求出，MA＝3m，进而可得点，然后设竖直向上平移后的抛物线为，再把点N坐标代入求出k即可．
【解答】解：（1）由表格中的数据可得：这股水流的路径所在抛物线的顶点为（2，2），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+2，
把（2，1.5）代入，
解得：，
∴这股水流的路径所在抛物线的解析式为；

（2）当x＝0时，y＝1.5，
当y＝0时，，
解得：x＝6或x＝﹣6（舍去）；
∴0≤x≤6，
则该函数在网格中的图象如图所示：


（3）作NA⊥x轴于A，如图，∠AMN＝30°，
∴，m，
∵OM＝2，
∴OA＝5，
∴点，
由题意可设竖直向上平移后的抛物线为，
当点N在抛物线上时，，解得，
∴须将P处的喷水口向上竖直提高m．

【点评】本题考查了二次函数的应用和解直角三角形的应用，正确理解题意、熟练掌握二次函数的相关知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
26．（10分）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：
类比探究
（1）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠31，S2，S3之间的关系式为　S1+S2＝S3　；
推广验证
（2）如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△BCF，满足∠1＝∠2＝∠3，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论，请说明理由；
拓展应用
（3）如图4，在五边形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，AB＝2，DE＝2，∠ABP＝30°，PE＝

【分析】类比探究
（1）通过证明△ADB∽△BFC，可得＝（）2，同理可得＝（）2，由勾股定理可得AB2+AC2＝BC2，可得结论；
推广验证
（2）通过证明△ADB∽△BFC，可得＝（）2，同理可得＝（）2，由勾股定理可得AB2+AC2＝BC2，可得结论；
拓展应用
（3）过点A作AH⊥BP于H，连接PD，BD，由直角三角形的性质可求AP＝，BP＝BH+PH＝3+，可求S△ABP＝，通过证明△ABP∽△EDP，可得∠EPD＝∠APB＝45°，，S△PDE＝，可得∠BPD＝90°，PD＝1+，可求S△BPD＝2+3，由（2）的结论可求S△BCD＝S△ABP+S△DPE＝+＝2+2，即可求解．
【解答】解：类比探究
（1）∵∠1＝∠3，∠D＝∠F＝90°，
∴△ADB∽△BFC，
∴＝（）7，
同理可得：＝（）2，
∵AB2+AC6＝BC2，
∴＝（）7+（）2＝＝1，
∴S4+S2＝S3，
故答案为：S6+S2＝S3．
（2）结论仍然成立，
理由如下：∵∠7＝∠3，∠D＝∠F，
∴△ADB∽△BFC，
∴＝（）2，
同理可得：＝（）5，
∵AB2+AC2＝BC6，
∴＝（）2+（）2＝＝1，
∴S1+S7＝S3，

（3）过点A作AH⊥BP于H，连接PD，

∵∠ABH＝30°，AB＝2，
∴AH＝，BH＝3，
∵∠BAP＝105°，
∴∠HAP＝45°，
∵AH⊥BP，
∴∠HAP＝∠APH＝45°，
∴PH＝AH＝，
∴AP＝，BP＝BH+PH＝3+，
∴S△ABP＝＝＝，
∵PE＝，ED＝2，AB＝2，
∴＝，＝，
∴，
且∠E＝∠BAP＝105°，
∴△ABP∽△EDP，
∴∠EPD＝∠APB＝45°，，
∴∠BPD＝90°，PD＝1+，
∴S△BPD＝＝＝2，
∵△ABP∽△EDP，
∴＝（）2＝，
∴S△PDE＝×＝
∵tan∠PBD＝，
∴∠PBD＝30°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABP﹣∠PBD＝30°，
∴∠ABP＝∠PDE＝∠CBD，
又∵∠A＝∠E＝∠C＝105°，
∴△ABP∽△EDP∽△CBD，
由（2）的结论可得：S△BCD＝S△ABP+S△DPE＝+＝2，
∴五边形ABCDE的面积＝++2+3＝2．
【点评】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质求三角形的面积是本题的关键．