高考数学一轮复习课时作业：30 数系的扩充与复数的引入 Word版含解析

课时作业30　数系的扩充与复数的引入

一、选择题

1．若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于(　C　)

A．{－1}   B．{1}

C．{1，－1}   D．∅

解析：因为A＝{i，i2，i3，i4}＝{i，－1，－i，1}，

B＝{1，－1}，所以A∩B＝{－1,1}．

2．已知i是虚数单位，复数z满足－＝，则|z|＝(　A　)

A．1   B.

C.   D．2

解析：因为＝，即＝，

即＝－i，故(1－i)z＝－1－i，

所以z＝－＝－＝－i，

则|z|＝1，应选A.

3．已知复数z＝|(－i)i|＋i5(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为(　A　)

A．2－i   B．2＋i

C．4－i   D．4＋i

解析：由题意知z＝|i＋1|＋i＝＋i

＝2＋i，则＝2－i.

4．设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则复数z对应的点位于复平面内(　A　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

解析：由i(z＋1)＝－3＋2i，

得z＝－1＝－1＝2＋3i－1＝1＋3i，

它在复平面内对应的点为(1,3)，位于第一象限．

5．已知i为虚数单位，若复数z＝(a∈R)的虚部为－3，则|z|＝(　C　)

A.   B．2

C.   D．5

解析：因为z＝＝

＝＝－i，

所以－＝－3，解得a＝5，所以z＝－2－3i，

所以|z|＝＝.

6．若复数m(3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围为(　D　)

A．m>1   B．m>

C．m<或m>1   D．<m<1

解析：m(3＋i)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i

由题意，得解得<m<1.

7．若复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则的虚部为(　A　)

A．－   B．－i

C．   D．i

解析：由题意得所以a＝1，

所以＝＝＝－i，

根据虚部的概念，可得的虚部为－.

8．已知复数z＝1＋，则1＋z＋z2＋…＋z2 015＝(　D　)

A．1＋i   B．1－i

C．i   D．0

解析：z＝1＋＝1＋＝i，

∴1＋z＋z2＋…＋z2 015＝

＝＝＝0.

二、填空题

9．(2018·天津卷)i是虚数单位，复数＝4－i.

解析：＝＝＝4－i.

10．若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为2.

解析：复数z＝＝(1＋2i)(－i)＝2－i的实部是2.

11．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝1.

解析：因为＝b＋i，所以2－ai＝b＋i.由复数相等的充要条件得b＝2，a＝－1.故a＋b＝1.

12．在复平面上，复数对应的点到原点的距离为.

解析：解法1：由题意可知

＝＝.

解法2：＝

＝＝

＝＝＋i，

＝

＝＝.

13．如图所示的网格纸中小正方形的边长是1，复平面内点Z对应的复数z满足(z1－i)·z＝1，则复数z1＝(　B　)

A．－＋i   B．＋i

C．－i   D．－－i

解析：由题意得z＝2＋i, 所以z1＝＋i＝＋i＝＋i.

14．(2019·枣庄模拟)已知m为实数，i为虚数单位，若m＋(m2－4)i>0，则＝i.

解析：因为m＋(m2－4)i>0，所以

⇒m＝2，故＝＝i.

15．(2019·江西南昌一模)欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e表示的复数位于复平面中的(　A　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

解析：由题意可得e＝cos＋isin＝＋i，即e表示的复数位于复平面中的第一象限．故选A.

16．(2019·福州四校联考)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足||≤1，则y≥x＋1的概率为(　B　)

A.－   B.－

C.＋   D.＋

解析：复数z＝x＋yi(x，y∈R)，||≤1，它的几何意义是以O(0,0)为圆心，1为半径的圆以及内部部分．满足y≥x＋1的图象如图中圆内阴影部分所示．则概率P＝＝－.