云南省临沧市民族中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题（解析版）

这是一份云南省临沧市民族中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 若集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式求得集合，通过求求得正确答案.
【详解】，解得，故，
阴影部分表示，
则.
故选：C
2. 若复数满足 (为虚数单位)，则的共轭复数为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】所以
【考点定位】复数除法运算中的分母实数化是必考点，而共轭复数既是运算的帮手，又是考查的目标.每年高考都将会对基本概念进行考查.
3. 已知向量，，，则（ ）
A. 5B. 10C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得，将两边平方，再代入，，即可得答案.
【详解】解:因为，所以，
又因为，，
所以，即，解得.
故选：A.
4. 设点在函数的图象上，点P关于直线的对称点为Q，则点Q在函数（ ）
A. 的图象上B. 的图象上
C. 的图象上D. 的图象上
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用指数函数的反函数为对数函数，再根据原函数与反函数的关系即可求出结果.
【详解】因为点在函数的图象上，点关于直线的对称点为，
所以点满足的曲线为函数的反函数，即，
故点在函数上.
故选：B
5. 设，是两个不同平面，是直线且．“”是“”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.
6. 化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是( )
A. (2x+2)5B. 2x5
C. (2x-1)5D. 32x5
【答案】D
【解析】
【分析】通过观察题目所给多项式的每一项，可看作，由此得到这个多项式是哪个对应的二项式的展开式.
【详解】依题意可知，多项式的每一项都可看作，故为的展开式，化简.故选D.
【点睛】本小题主要考查二项式的展开式的识别，考查逆用二项式展开式合并为初始的二项式，属于基础题.二项式的展开式的通项公式是，其中可以是一个表达式，如本题中的，不一定是单独的数字.逆用二项式展开式，需要对二项式的通项熟悉，还需要熟悉简单的组合数的值.
7. 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A. 243
B. 252
C. 261
D. 279
【答案】B
【解析】
【详解】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=252．
8. 已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是，因此，即②，由①②联立解得，所以双曲线方程为．故选D．
考点：双曲线的标准方程．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知，则（ ）
A. 的展开式中的常数项是56
B. 的展开式中的各项系数之和为0
C. 的展开式中的二项式系数最大值是70
D. 的展开式中不含的项
【答案】BC
【解析】
【分析】写出二项展开式通项公式，由的指数为0可得常数项，判断A，在原式中令可得所有项系数和，判断B，根据二项式系数的性质得最大值，判断C，由的指数是否为0可判断D．
【详解】二项展开式通项公式为，
，，常数项为，A错；
，，第6项是含的项，D错；
令得所有项系数和，B正确；
，因此二项式系数的最大值为，C正确．
故选：BC．
10. 如图，把等腰沿着其斜边BC上的中线AD折叠，将与折成互相垂直的两个平面．下面四个结论中正确的是（ ）
A. 平面
B. 为等边三角形
C. 平面平面
D. 点D在平面内的射影为的外接圆圆心
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由题意可得，然后由线面垂直的判定定理判断，对于B，由两两垂直，，可得，从而可得结论，对于C，取的中点，连接，则可得是平面与平面所成的角，然后利用余弦定理求解即可，对于D，由两两垂直，可得结论.
【详解】对于A，因为等腰沿着其斜边BC上的中线AD折叠，所以，
因为将与折成互相垂直的两个平面，平面平面，平面，
所以平面，所以A正确，
对于B，由选项A可知两两垂直，因为，
所以，所以为等边三角形，所以B正确，
对于C，取的中点，连接，因为，所以，
所以是平面与平面所成的角，设，则，
所以，，
所以，
所以，所以平面与平面不垂直，所以C错误，
对于D，由选项B可知，为等边三角形，所以三棱锥为正棱锥，
所以点D在平面内的射影为的外接圆圆心，所以D正确，
故选：ABD
11. 下列说法，正确的是（ ）
A. 是共线的充要条件
B. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
C. 对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点不共面
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义可判断A；利用基底的概念可判断B；根据共面向量的基本定理可判断C；代入向量数量积公式验证即可判断D.
【详解】对于A，充分性：若，则方向相反，且，充分性成立；
必要性：若共线且方向相同，则，即必要性不成立，
所以，是共线的充分不必要条件，故A 错误；
对于B，为空间的一个基底，则，不共面，
假设，共面，则存在唯一实数，使得，
所以，无解，故，也不共面，
所以构成空间的另一个基底，故B正确；
对于C，对空间任意一点和不共线的三点、B、，
若四点共面，可设，其中，
则，可得，
由于，所以，此时四点不共面，故C正确；
对于D，因为，故D错误.
故选：BC
12. 对于函数，给出下列选项其中不正确的是（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 存在，使
C. 存在，使函数的图象关于轴对称
D. 存在，使恒成立
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的对称性，函数的值域对称轴判断选项的正误即可.
【详解】函数，
对于：函数，当时，，
不能得到函数的图象关于点对称.不对；
对于，可得，，不存在；
不对.
对于：函数的对称轴方程为：，可得，
当，时，可得图象关于轴对称对.
对于说明是函数的周期，
函数的周期为，故，
不存在，使恒成立，不对.
故选：.
【点睛】本题考查和差公式及三角函数性质，根据公式对原式进行化简，再代入选项值判断对称性、周期性即可，属于中等题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13. 已知向量两两夹角为，且，则________．
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量数量积公式计算出，从而求出答案.
【详解】
，
故.
故答案为：
14. 若，则不等式的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用幂函数的单调性可判断函数的单调性，利用奇偶性和单调性求解即可.
【详解】由，定义域为，
，
所以函数为奇函数，
利用幂函数的单调性可知：
函数为上的增函数，
又，
得，
解得.
故答案为：.
15. 设函数，则在上的最小值是________．
【答案】##
【解析】
【分析】求导得到函数单调性，从而求出最小值.
【详解】因为，所以，
则在上恒成立，
故上单调递增，
故在的最小值为.
故答案为：
16. 如图，，是双曲线上的两点，是双曲线的右焦点.是以为顶点的等腰直角三角形，延长交双曲线于点.若，两点关于原点对称，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】结合双曲线的定义、对称性列方程，化简求得的关系式，从而求得双曲线的离心率.
【详解】设左焦点为，连接，
依题意：是以为顶点的等腰直角三角形，，两点关于原点对称，
结合双曲线的对称性可知：四边形是矩形，所以，
设，则，
，
由，
即，
整理得，.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）讨论在区间上的单调性.
【答案】（1）；（2）在区间上单调递增，在区间上单调递减.
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据两角和的正弦公式把展开，在利用二倍角公式即可把化成，由最小正周期为及周期公式即可求得的值；（2）由求得，根据正弦函数的图象找出单调区间，解出相应的范围即得在区间上的单调性.
试题解析：（1）
，的最小正周期为，且，从而.
（2）由（1）知，，若则当时，递增，当时，递减，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
考点：三角恒等变换及三角函数的性质.
【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换及三角函数的性质，属于基础题.本题解答的关键是通过两角和的正弦公式、二倍角公式等把函数化成“一角一名一次式”形式的正弦型函数，利用给出的最小正周期求得；对于给定区间上的单调区间可换元转化为正弦曲线由其图象求出，也可以求出其在上的单调区间，通过给取值，求出与给出的区间的交集来求解.
18. 在公差为d的等差数列中，已知，且，，成等比数列.
（1）求d，；
（2）若，求.
【答案】（1）或；（）或（）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据等比中项性质可得，求出公差d，再代入等差数列通项公式，即可得答案；
（2）由可得，再对分两种情况讨论，去绝对值，再进行求和运算；
【详解】（1）由题意得，且
即
整理得，
解得或.
∴（）或（）.
（2）设数列前n项和为.
∵，由（1）得，，
①当时，，此时
.
②当时，，此时
.
综上所述，
【点睛】本题考查等比中项的性质、等差数列的通项公式和前项和公式，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意分类讨论思想的应用.
19. 甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立．
（1）分别求甲队，，胜利的概率；
（2）若比赛结果或，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得3分的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）甲队胜利，则前三局全胜；甲队胜利，则前3局胜2局，第4局胜；甲队胜利，则前4局胜2局，第5局胜求解；
（3）乙队得3分,则前3局乙全胜或前3局胜2局第4局胜求解.
【小问1详解】
解：甲队胜利的概率为：；
甲队胜利的概率为：；
甲队胜利的概率为：.
【小问2详解】
由题意得：乙队得3分的概率为：
.
20. ，其中，曲线在点处的切线与轴相交于点．
（1）确定的值；
（2）求函数的单调区间与极值．
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）求出导数，得，写出题中切线方程，令，则，由此可得；
（2）解不等式得增区间，解不等式得减区间；的点就是极值点，由刚才的单调性可知是极大值点还是极小值点．
【详解】（1）因为，故．
令，得，，
所以曲线在点处的切线方程为，
由点在切线上，可得，解得；
（2）由（1）知，，
．
令，解得，．
当或时，，故的递增区间是，；
当时，，故的递减区间是．
由此可知在处取得极大值，
在处取得极小值．
考点：导数的几何意义，用导数研究函数的单调性与极值．
【点睛】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面
（1）已知切点求斜率，即求该点处的导数值：；
（2）已知斜率，求切点，即解方程；
（3）已知过某点（不是切点）的切线斜率为时，常需设出切点，利用求.
21. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．
（1）求PA的长；
（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直得F点坐标，即可求出结果；（2）利用空间向量求线面角.
【详解】（1）如图，连接BD交AC于点O
∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD
以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，
建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则OC=CDcs=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．
又∵OD=CDsin，
∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）
由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z）
∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），
∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，
∴=6﹣=0，解之得z=2（舍负）
因此，=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；
（2）由（1）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），
设平面FAD的法向量为=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为=（x2，y2，z2），
∵=0且=0，∴，取y1=得=（3，，﹣2），
同理，由=0且=0，解出=（3，﹣，2），
∴向量,的夹角余弦值为cs＜,＞=
因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于
22. 已知椭圆的离心率为，点和点都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．
（1）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）．
（2）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1），点M的坐标为
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的离心率以及过点P(0，1)，可以得出a，b，c的方程，求出，得出椭圆的方程．
（2）设点Q的坐标是，由条件转化到正切值的关系，进而转化为斜率求得．
【小问1详解】
由题意知，代入点，得，∴．
由离心率为，知，则．
由，得．
∴椭圆C的方程是．
由点和的坐标，得出直线PA的方程为．
令，得，∴点M的坐标为．
【小问2详解】
点在椭圆上，有．
点B的坐标为，直线PB的方程为．
令，得，∴点N的坐标为．
设点Q的坐标是，则，．
∵，∴，即．
∴．
∴，点Q的坐标为，∴在y轴上存在点，使得．