山东省日照国开中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（解析版）

这是一份山东省日照国开中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了 是数列的， 已知等比数列中，，，则， 一物体做直线运动，其位移， 已知函数，则， 下列求导运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
国开中学高二下学期数学月考试题
本试卷分为选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟
第一部分 选择题
一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 是数列的（ ）
A. 第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 第9项
【答案】A
【解析】
【分析】利用观察法分析数列的规律即可.
【详解】观察条件式可知原数列为：，而，即为第6项，
故选：A
2. 已知等比数列中，，，则( )
A. 27 B. 36 C. 54 D. 81
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列的定义求其公比即可求其第5项．
【详解】公比，∴．
故选：D．
3. 一物体做直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）的关系是，则该物体在时的瞬时速度为（ ）
A. 3 B. 6 C. 12 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】利用瞬时变化率的定义即可求解.
【详解】
所以
所以.
故选：A.
4. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得函数的导数，进而可求得的值.
【详解】，，因此，.
故选：A.
【点睛】本题考查导数值的计算，考查计算能力，属于基础题.
5. 已知为等差数列，，前10项和，则（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据等差数列的求和公式计算.
【详解】根据等差数列的求和公式，，解得.
故选：D
6. 已知数列为等比数列，且是与等差中项，若，则该数列的前5项和为（ ）
A. 2 B. 10 C. 31 D. 62
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列的基本量求出公比，然后求.
【详解】设等比数列的公比为，
因为是与的等差中项
所以
即，
又，所以
即，所以
所以
故选：D
7. 在等比数列中，，是方程的两个根，则（ ）
A. B. 2 C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用根与系数的关系和等比数列的性质求解即可
【详解】由题意可得
所以.
因为
所以，，所以，
所以，所以.
故选：A.
8. 已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于
A. 2 B. ﹣2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对函数进行求导，然后计算即可.
【详解】∵，∴，
令，则，
即，∴．
故选：D．
二．多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 设函数，当自变量由变化到时，下列说法正确的是（ ）
A. 可以是正数也可以是负数，但不能为0
B. 函数值的改变量为
C. 函数在上的平均变化率为
D. 函数在上的平均变化率
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用平均变化率的概念一一判定即可.
【详解】由平均变化率的定义可知自变量的改变量不能为零，可以为正数或负数，
函数值改变量为，平均变化率为函数值的改变量比自变量的改变量，即A、B、D正确；
故选：ABD
10. 下列求导运算正确的是（ ）
A. （为常数）
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据导数的四则运算，复合函数的求导法则逐一进行判断.
【详解】A选项，由于为常数，则也是常数，常数的导数是，即，A选项错误；
B选项，根据复合函数求导法则可知，，B选项正确；
C选项，根据幂函数的求导公式，，C选项正确；
D选项，根据导数的四则运算可知，，D选项正确.
故选：BCD
11. 已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列是递增数列 B. 数列不是等差数列
C. ，，成等差数列 D. ，，成等差数列
【答案】BCD
【解析】
【分析】由与的关系推导出数列的通项公式，判断选项A，B，分别计算出，，和，，，结合等差数列的定义判断选项C，D.
【详解】，
时，，
时，，即，.
，因此数列不是单调递增数列，故A错误；
又时，不满足，
数列不是等差数列，故B正确；
，，，
因此，，成等差数列，故C正确；
，，
．
成等差数列，故D正确.
故选：BCD.
12. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 公差 B.
C. 的最大值为 D. 满足的的最小值为16
【答案】AC
【解析】
【分析】根据求出与公差的关系即可判断AB；再根据等差数列前项和公式即可判断CD.
【详解】因为，
则，即，
则，故A正确；
，故B错误；
由，得，
,
因为，
所以数列是递减数列，且当时，，当时，，
所以的最大值为，故C正确；
，
令，解得，
所以满足的的最小值为，故D错误.
故选：AC.
第二部分 非选择题
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设函数．若，则a=_________．
【答案】1
【解析】
【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值
【详解】由函数的解析式可得：，
则：，据此可得：，
整理可得：，解得：.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.
14. 在数列中，若，前项和，则的最大值为______．
【答案】66
【解析】
【分析】根据得到，根据二次函数的性质计算最值即可.
【详解】=21，解得，故，属于二次函数，
对称轴为，故当或时取得最大值，
，，，
故的最大值为66.
故答案为：66.
15. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由等差数列的性质，，结合等差数列的前项和公式得到，在中取即可得出答案.
【详解】数列、为等差数列，且前项和分别为和，
则，且，
又，，
所以.
故答案为：
【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.
16. 数列中，，，设的前n项和为，则_______
【答案】
【解析】
【分析】根据递推公式得出的通项公式，再结合裂项相消法计算即可.
【详解】由已知可得：，
即是以3为首项，3为公差的等差数列，所以，
，
则.
故答案为：.
四．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知等差数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）当为何值时，数列的前项和取得最大值？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合等差数列通项公式，求出公差，进而可以求出结果；
（2）求出数列的前项和，结合二次函数的性质即可求出结果.
【小问1详解】
由，
得，解得，
，
所以数列的通项公式.
【小问2详解】
，
，
∴当时，取得最大值.
18. 已知曲线
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程.
【答案】（1）；（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；
（2）设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到（1）求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可.
【详解】（1）∵，∴在点处的切线的斜率，
∴曲线在点处的切线方程为，即．
（2）设曲线与过点的切线相切于点，
则切线的斜率，
∴切线方程为，即．
∵点在该切线上，∴，即，
∴，解得或．
故所求切线方程为或．
【点睛】本题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题，学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决，属于中档题.
19. 已知数列是等差数列，是等比数列，且，，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）设等差数列公差为，等比数列的公比为，根据已知条件可出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求得数列、的通项公式；
（2）求得，利用分组求和法可求得.
【小问1详解】
解：设等差数列公差为，等比数列的公比为，
由得，即①，
由得，即②，
由①②解得，，
所以，，.
【小问2详解】
解：，
所以
.
20. 在“①，；②，”两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.
已知正项等比数列的前项和为，满足___________.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）若选①由，作商整理可得，可解出.进而求出，即可得出表达式；若选②由，作商整理可得，可解出.进而求出，即可得出表达式；
（2）由（1）知，由，，两式作差整理即可得出.
【小问1详解】
解：若选①，：
设公比为，显然.
因为，，
因为，两式作商可得，整理可得，解得或（舍去），
将代入可得，
所以；
若选②，：
设公比为，显然.
由已知可得，，
因，两式作商可得，整理可得，
解得或（舍去），
将代入可得，，
所以.
【小问2详解】
解：由（1）知，，则.
所以，，
，
两式作差可得，，
所以.
21. 已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由得，可求得的通项公式；
（2）用裂项求和求得，再根据单调性求得范围.
【小问1详解】
由得，，
所以对任意恒成立，
于是，又，所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以，
因为，所以，
从而.
22. 设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】
【详解】解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝．
又f′(x)＝a＋，
于是，解得
故f(x)＝x－．
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．
令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－)．
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6．
曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．