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第2讲 立体几何解答题-【冲刺双一流】备战2023年高考数学二轮复习核心专题讲练（新高考版）
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第2讲 立体几何解答题
第一部分：重难点题型突破
突破一：异面直线夹角的向量求法
突破二：已知线线角求其它量
突破三：线面角的向量求法
突破四：已知线面角求其它量
突破五：面面角向量求法
突破六：已知面面角求其它量
突破七：点到平面距离
突破八：空间角的最值问题
第二部分：冲刺重难点特训
第一部分：重难点题型突破
突破一：异面直线夹角的向量求法
1．（2022·广东惠州·高二阶段练习）如图所示，三棱柱中，，，，，，，N是AB中点．
(1)若点M是棱所在直线上的点，设，，当时，求实数的值；
(2)求异面直线CB与所成角的余弦值．
2．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）如图，正方体的棱长为2,分别是的中点.
(1)求证：点四点共面；
(2)求异面直线与所成的角.
3．（2022·上海·高二专题练习）如图，已知是底面为正方形的长方体，，，为的中点，
(1)求证：直线平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
4．（2022·福建泉州·高二期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，为与的交点.若，，.
(1)用，，表示；
(2)求对角线的长；
(3)求异面直线与夹角的余弦值.
5．（2022·辽宁·大连市第三十六中学高二期中）如图，在四棱锥中，底面，底面四边形为菱形且，，为的中点，为的中点.
(1)证明：直线平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
突破二：已知线线角求其它量
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四中学校高二阶段练习）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，且，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱上的点．
(1)证明：；
(2)在棱A1B1上是否存在一点M，使得异面直线MF与AC所成的角为30°？ 若存在，指出M的位置；若不存在，说明理由．
2．（2022·广东·广州市协和中学高二阶段练习）如图，空间直角坐标系中，四棱锥的底面是边长为的正方形，底面OABC在xOy平面内，且抛物线Q：经过O、A、C三点．点B在y轴正半轴上，平面OABC，侧棱OP与底面所成角为．
(1)求m的值；
(2)若是抛物线Q上的动点，M是棱OP上的一个定点，它到平面OABC的距离为，写出M、N两点之间的距离，并求的最小值；
(3)是否存在一个实数，使得当取得最小值时，异面直线MN与OB互相垂直？请说明理由．
3．（2022·上海奉贤区致远高级中学高二期中）如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=，BC=4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图2．
(1)求证：A1O⊥BD；
(2)求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；
(3)线段A1C上是否存在点F，使得直线DF和BC所成角的余弦值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
4．（2022·辽宁·建平县实验中学高二期中）如图①，平面四边形由直角梯形和组成，，，，.如图②，沿着直线将直角梯形折起至点和点重合，点和点重合，使得二面角的大小为.
(1)求点到直线的距离；
(2)若点是线段上的动点，是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
5．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，是线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)试在线段上确定一点，使与所成角是60°.
6．（2022·湖北武汉·高二阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，.
(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)设为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，求的长.
突破三：线面角的向量求法
1．（2022·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高二阶段练习）如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E，F分别是AD，PB的中点．
(1)证明：EF平面PCD；
(2)求直线PA与平面CEF所成角的度数．
2．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）已知正方形的边长为2，点分别是边的中点，沿着将，折起，使得点重合为一点，得到一个三棱锥，点分别是线段的中点，在折起后的图形中：
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
3．（2022·湖北·咸丰春晖学校高二阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，PD=4，底面是边长为2的正方形，分别为的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值.
4．（2022·江西·高二阶段练习）在斜三棱柱中，点在底面的射影为边的中点，为正三角形，侧面与底面所成角的正切值为2，
(1)证明: ；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
5．（2022·山东枣庄·高二期中）四棱锥底面为平行四边形，且，平面.
(1)在棱上是否存在点，使得平面.若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
突破四：已知线面角求其它量
1．（2022·新疆·伊宁县第二中学高二期中（理））已知正方形的边长为4，E、F分别为AD、BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上．
(1)若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC；
(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°？若存在，求线段AM的长，若不存在，请说明理由．
2．（2022·江苏·南京田家炳高级中学高二期中）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1=，BC=1，AB=C1C=2，E是棱C1C的中点.
(1)求二面角A—EB1—A1的余弦值；
(2)在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
3．（2022·天津·塘沽二中高二期中）如图，在四棱柱中，侧棱⊥底面，，，，，为的中点．
(1)求平面与平面夹角的正弦值；
(2)设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值是，求线段的长．
4．（2022·广东·惠来县第一中学高二期中）已知四棱锥中，底面是矩形，且，是正三角形，平面，、、、分别是、、、的中点．
(1)求平面与平面所成角的大小；
(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
5．（2022·河北衡水中学高三阶段练习）如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点在底面上的射影为底面的中心，点在棱上，且的面积为1.
(1)若点是的中点，证明：平面平面；
(2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.
6．（2022·河南·高二阶段练习（理））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，点分别在上， 且．
(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求．
7．（2022·北京市陈经纶中学高二期中）如图，在四棱锥中，，，，，平面，且，点在棱上，点为中点.
(1)证明：若，则直线平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
突破五：面面角向量求法
1．（2022·山西·晋城市第二中学校高二阶段练习）如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是菱形.， ，点E是棱PC的中点.
(1)证明：PC⊥BD.
(2)求平面PAB与平面BDE所成角的余弦值.
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，是三棱锥的高，，，．
(1)求证：平面；
(2)若，，求二面角的正弦值．
3．（2022·湖北·高二阶段练习）如图1，在梯形中，，于，且，将梯形沿折叠成如图2所示的几何体，，为直线上一点，且于，为线段的中点，连接，.
(1)证明：；
(2)若图1中，，求当四棱锥的体积最大时，平面与平面所成锐角的正弦值.
4．（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，，、分别是、的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面和平面所成角的正弦值.
5．（2022·湖南省桃源县第一中学高三期中）如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为的菱形，.
(1)证明：；
(2)若，求平面和平面夹角的余弦值.
6．（2022·江苏·南京师大附中高三阶段练习）如图，梯形中，，，，将沿对角线翻折，使点至点，且使平面平面，如图．
(1)求证：；
(2)连接，当四面体体积最大时，求二面角的大小．
7．（2022·江苏常州·高三阶段练习）如图，为三棱锥的高，，在棱上，且.
(1)求证：平面；
(2)若，求二面角的正弦值.
突破六：已知面面角求其它量
1．（2022·河北·涉县第一中学高三期中）如图1，在等腰梯形中，分别是的中点，，，将沿着折起，使得点与点重合，平面平面，如图2.
(1)当时，证明：平面；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
2．（2022·河北南宫中学高三阶段练习）如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边，的中点，.沿将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥.
(1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；
(2)当四棱锥体积最大时，求点到面的距离；
(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.
3．（2022·浙江·高二阶段练习）如图1，在四边形中，.将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示.
(1)设平面与平面的交线为，证明：.
(2)若点在线段上（点不与端点重合），平面与平面夹角的正弦值为，求的值.
4．（2022·广东·广州市第十七中学高三阶段练习）如图所示，在梯形ABCD中，，四边形ACFE为矩形，且平面，．
(1)求证：平面BCF；
(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的正弦值为．
5．（2022·福建省厦门第二中学高二阶段练习）在四棱锥中，底面是正方形，平面底面，，E是的中点．
(1)求证：面；
(2)若，则棱PB上是否存在一点F，使得平面与平面EBD的夹角的余弦值为？若存在，请计算出的值，若不存在，请说明理由.
6．（2022·山西大同·高二期中）如图，在三棱锥中，侧面是等边三角形，，.
(1)证明：平面平面；
(2)若 ，则在棱上是否存在动点，使得平面与平面所成二面角的大小为 .
7．（2022·四川省遂宁市第二中学校高三阶段练习（理））如图，直角梯形中，，点为的中点，沿着翻折至，点为的中点，点在线段上.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面平面，平面与平面所成的锐二面角为，求的值.
突破七：点到平面距离
1．（2022·贵州贵阳·高三阶段练习（文））在直棱柱中，点为棱的中点，底面为等腰直角三角形，且，.
(1)证明：平面；
(2)若，求点到平面的距离.
2．（2022·福建·德化第八中学高二阶段练习）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，．
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离．
3．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）如图，矩形和梯形，，，平面平面，且，，过的平面交平面于．
(1)求证：；
(2)当为中点时，求点到平面的距离；
4．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）如图1，已知梯形ABCD中，，E是AB边的中点，，，.将沿DE折起，使点A到达点P的位置，且，如图2，M，N分别是PD，PB的中点.
(1)求平面MCN与平面BCDE夹角的余弦值；
(2)求点P到平面MCN的距离.
5．（2022·福建福州·高二期中）如图，菱形ABCD中，AB=2，，P为平面ABCD外一点，且平面PAD平面ABCD，O为AD的中点，M为PC的中点.
(1)求证：平面；
(2)若为等边三角形，求点M到平面PAB的距离.
6．（2022·福建南平·高二期中）如图，四边形为平行四边形，点在上，，且．以为折痕把折起，便点到达点的位置，且．
(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离．
突破八：空间角的最值问题
1．（2022·福建·高三阶段练习）四棱锥平面，底面是菱形，，平面平面.
(1)证明：；
(2)设为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值.
2．（2022·上海市进才中学高二期中）如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，，.
(1)证明：；
(2)线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说明理由；
(3)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长.
3．（2022·山东潍坊·高二期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，二面角为直二面角.
(1)求证：平面；
(2)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.
4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期中）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，为的中点，为线段上的点.
(1)若为线段的中点，求证：//平面；
(2)当时，求平面与平面夹角的余弦值的范围.
5．（2022·山西太原·高二期中）如图，在四棱椎中，底面为平行四边形，平面，点分别为的中点，且.
(1)若，求直线与平面所成角的正弦值；
(2)若直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围.
6．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校高二期中）如图①所示，长方形中，，，点是边靠近点的三等分点，将△沿翻折到△，连接，，得到图②的四棱锥.
(1)求四棱锥的体积的最大值；
(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值.
7．（2022·海南华侨中学高三阶段练习）已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，侧棱平面ABCD，点M在棱DP上，且，点N是在棱PC上的动点（不为端点）.
(1)若N是棱PC中点，完成：
（i）画出的重心G（在图中作出虚线），并指出点G与线段AN的关系：
（ii）求证：平面AMN；
(2)若四边形ABCD是正方形，且，当点N在何处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值取最大值.
8．（2022·山东省青岛第十七中学高二期中）如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点.
(1)求证：；
(2)若E，F分别是的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成角的取值范围.
第二部分：冲刺重难点特训
1．（2022·四川·广安二中模拟预测（理））在四棱锥中，，，，， 平面，与平面所成角，又于，于.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
2．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））如图，已知为圆锥底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，，，平分，D是上一点，且平面平面.
(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值.
3．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠BAD＝60°，过点A作CD的垂线交CD的延长线于点E，连接EB交AD于点F，如图1.将沿AD折起，使得点E到达点P的位置，如图2.
(1)证明：直线平面BFP；
(2)若∠BFP＝120°，求点F到平面BCP的距离．
4．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））如图，在长方体中，已知，E为BC中点，连接，F为线段上的一点，且．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
5．（2022·河南开封·一模（理））如图，是正三角形，在等腰梯形中，，．平面平面，M，N分别是，的中点，．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
6．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：
(1)证明：平面平面；
(2)若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值.
7．（2022·上海松江·一模）已知平面，
(1)求证：平面平面；
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值大小.
8．（2022·全国·模拟预测）如图，在直线三棱柱中，己知，，，D为棱AC的中点.
(1)求证：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.
9．（2022·浙江·三门县观澜中学模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点在底面内的投影恰为中点，且．
(1)若，求证：面；
(2)若平面与平面所成的锐二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．
10．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））如图，在三棱锥中，，且，为的中点，点在棱上，，若是边长为1的等边三角形，且.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
11．（2022·云南云南·模拟预测）如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，.
(1)求证：平面ABCD；
(2)设，当平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为时，求的值.
12．（2022·北京西城·二模）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E.
(1)求证：；
(2)若，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：.
13．（2022·天津二中模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，，．
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若点E在棱上，且平面，求线段的长．
14．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在三棱柱中，，．
(1)证明：平面平面．
(2)设P是棱上一点，且，求三棱锥体积．
15．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点.
(1)求证：；
(2)若E，F分别是的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成角的取值范围.
16．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（文））在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，点，分别是，上的点，且，．
(1)证明：平面；
(2)若平面平面，，，求三棱锥的体积．
第一部分：重难点题型突破
突破一：异面直线夹角的向量求法
突破二：已知线线角求其它量
突破三：线面角的向量求法
突破四：已知线面角求其它量
突破五：面面角向量求法
突破六：已知面面角求其它量
突破七：点到平面距离
突破八：空间角的最值问题
第二部分：冲刺重难点特训
第一部分：重难点题型突破
突破一：异面直线夹角的向量求法
1．（2022·广东惠州·高二阶段练习）如图所示，三棱柱中，，，，，，，N是AB中点．
(1)若点M是棱所在直线上的点，设，，当时，求实数的值；
(2)求异面直线CB与所成角的余弦值．
2．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）如图，正方体的棱长为2,分别是的中点.
(1)求证：点四点共面；
(2)求异面直线与所成的角.
3．（2022·上海·高二专题练习）如图，已知是底面为正方形的长方体，，，为的中点，
(1)求证：直线平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
4．（2022·福建泉州·高二期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，为与的交点.若，，.
(1)用，，表示；
(2)求对角线的长；
(3)求异面直线与夹角的余弦值.
5．（2022·辽宁·大连市第三十六中学高二期中）如图，在四棱锥中，底面，底面四边形为菱形且，，为的中点，为的中点.
(1)证明：直线平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
突破二：已知线线角求其它量
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四中学校高二阶段练习）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，且，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱上的点．
(1)证明：；
(2)在棱A1B1上是否存在一点M，使得异面直线MF与AC所成的角为30°？ 若存在，指出M的位置；若不存在，说明理由．
2．（2022·广东·广州市协和中学高二阶段练习）如图，空间直角坐标系中，四棱锥的底面是边长为的正方形，底面OABC在xOy平面内，且抛物线Q：经过O、A、C三点．点B在y轴正半轴上，平面OABC，侧棱OP与底面所成角为．
(1)求m的值；
(2)若是抛物线Q上的动点，M是棱OP上的一个定点，它到平面OABC的距离为，写出M、N两点之间的距离，并求的最小值；
(3)是否存在一个实数，使得当取得最小值时，异面直线MN与OB互相垂直？请说明理由．
3．（2022·上海奉贤区致远高级中学高二期中）如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=，BC=4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图2．
(1)求证：A1O⊥BD；
(2)求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；
(3)线段A1C上是否存在点F，使得直线DF和BC所成角的余弦值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
4．（2022·辽宁·建平县实验中学高二期中）如图①，平面四边形由直角梯形和组成，，，，.如图②，沿着直线将直角梯形折起至点和点重合，点和点重合，使得二面角的大小为.
(1)求点到直线的距离；
(2)若点是线段上的动点，是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
5．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，是线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)试在线段上确定一点，使与所成角是60°.
6．（2022·湖北武汉·高二阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，.
(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)设为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，求的长.
突破三：线面角的向量求法
1．（2022·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高二阶段练习）如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E，F分别是AD，PB的中点．
(1)证明：EF平面PCD；
(2)求直线PA与平面CEF所成角的度数．
2．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）已知正方形的边长为2，点分别是边的中点，沿着将，折起，使得点重合为一点，得到一个三棱锥，点分别是线段的中点，在折起后的图形中：
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
3．（2022·湖北·咸丰春晖学校高二阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，PD=4，底面是边长为2的正方形，分别为的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值.
4．（2022·江西·高二阶段练习）在斜三棱柱中，点在底面的射影为边的中点，为正三角形，侧面与底面所成角的正切值为2，
(1)证明: ；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
5．（2022·山东枣庄·高二期中）四棱锥底面为平行四边形，且，平面.
(1)在棱上是否存在点，使得平面.若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
突破四：已知线面角求其它量
1．（2022·新疆·伊宁县第二中学高二期中（理））已知正方形的边长为4，E、F分别为AD、BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上．
(1)若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC；
(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°？若存在，求线段AM的长，若不存在，请说明理由．
2．（2022·江苏·南京田家炳高级中学高二期中）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1=，BC=1，AB=C1C=2，E是棱C1C的中点.
(1)求二面角A—EB1—A1的余弦值；
(2)在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
3．（2022·天津·塘沽二中高二期中）如图，在四棱柱中，侧棱⊥底面，，，，，为的中点．
(1)求平面与平面夹角的正弦值；
(2)设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值是，求线段的长．
4．（2022·广东·惠来县第一中学高二期中）已知四棱锥中，底面是矩形，且，是正三角形，平面，、、、分别是、、、的中点．
(1)求平面与平面所成角的大小；
(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
5．（2022·河北衡水中学高三阶段练习）如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点在底面上的射影为底面的中心，点在棱上，且的面积为1.
(1)若点是的中点，证明：平面平面；
(2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.
6．（2022·河南·高二阶段练习（理））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，点分别在上， 且．
(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求．
7．（2022·北京市陈经纶中学高二期中）如图，在四棱锥中，，，，，平面，且，点在棱上，点为中点.
(1)证明：若，则直线平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
突破五：面面角向量求法
1．（2022·山西·晋城市第二中学校高二阶段练习）如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是菱形.， ，点E是棱PC的中点.
(1)证明：PC⊥BD.
(2)求平面PAB与平面BDE所成角的余弦值.
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，是三棱锥的高，，，．
(1)求证：平面；
(2)若，，求二面角的正弦值．
3．（2022·湖北·高二阶段练习）如图1，在梯形中，，于，且，将梯形沿折叠成如图2所示的几何体，，为直线上一点，且于，为线段的中点，连接，.
(1)证明：；
(2)若图1中，，求当四棱锥的体积最大时，平面与平面所成锐角的正弦值.
4．（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，，、分别是、的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面和平面所成角的正弦值.
5．（2022·湖南省桃源县第一中学高三期中）如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为的菱形，.
(1)证明：；
(2)若，求平面和平面夹角的余弦值.
6．（2022·江苏·南京师大附中高三阶段练习）如图，梯形中，，，，将沿对角线翻折，使点至点，且使平面平面，如图．
(1)求证：；
(2)连接，当四面体体积最大时，求二面角的大小．
7．（2022·江苏常州·高三阶段练习）如图，为三棱锥的高，，在棱上，且.
(1)求证：平面；
(2)若，求二面角的正弦值.
突破六：已知面面角求其它量
1．（2022·河北·涉县第一中学高三期中）如图1，在等腰梯形中，分别是的中点，，，将沿着折起，使得点与点重合，平面平面，如图2.
(1)当时，证明：平面；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
2．（2022·河北南宫中学高三阶段练习）如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边，的中点，.沿将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥.
(1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；
(2)当四棱锥体积最大时，求点到面的距离；
(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.
3．（2022·浙江·高二阶段练习）如图1，在四边形中，.将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示.
(1)设平面与平面的交线为，证明：.
(2)若点在线段上（点不与端点重合），平面与平面夹角的正弦值为，求的值.
4．（2022·广东·广州市第十七中学高三阶段练习）如图所示，在梯形ABCD中，，四边形ACFE为矩形，且平面，．
(1)求证：平面BCF；
(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的正弦值为．
5．（2022·福建省厦门第二中学高二阶段练习）在四棱锥中，底面是正方形，平面底面，，E是的中点．
(1)求证：面；
(2)若，则棱PB上是否存在一点F，使得平面与平面EBD的夹角的余弦值为？若存在，请计算出的值，若不存在，请说明理由.
6．（2022·山西大同·高二期中）如图，在三棱锥中，侧面是等边三角形，，.
(1)证明：平面平面；
(2)若 ，则在棱上是否存在动点，使得平面与平面所成二面角的大小为 .
7．（2022·四川省遂宁市第二中学校高三阶段练习（理））如图，直角梯形中，，点为的中点，沿着翻折至，点为的中点，点在线段上.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面平面，平面与平面所成的锐二面角为，求的值.
突破七：点到平面距离
1．（2022·贵州贵阳·高三阶段练习（文））在直棱柱中，点为棱的中点，底面为等腰直角三角形，且，.
(1)证明：平面；
(2)若，求点到平面的距离.
2．（2022·福建·德化第八中学高二阶段练习）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，．
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离．
3．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）如图，矩形和梯形，，，平面平面，且，，过的平面交平面于．
(1)求证：；
(2)当为中点时，求点到平面的距离；
4．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）如图1，已知梯形ABCD中，，E是AB边的中点，，，.将沿DE折起，使点A到达点P的位置，且，如图2，M，N分别是PD，PB的中点.
(1)求平面MCN与平面BCDE夹角的余弦值；
(2)求点P到平面MCN的距离.
5．（2022·福建福州·高二期中）如图，菱形ABCD中，AB=2，，P为平面ABCD外一点，且平面PAD平面ABCD，O为AD的中点，M为PC的中点.
(1)求证：平面；
(2)若为等边三角形，求点M到平面PAB的距离.
6．（2022·福建南平·高二期中）如图，四边形为平行四边形，点在上，，且．以为折痕把折起，便点到达点的位置，且．
(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离．
突破八：空间角的最值问题
1．（2022·福建·高三阶段练习）四棱锥平面，底面是菱形，，平面平面.
(1)证明：；
(2)设为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值.
2．（2022·上海市进才中学高二期中）如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，，.
(1)证明：；
(2)线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说明理由；
(3)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长.
3．（2022·山东潍坊·高二期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，二面角为直二面角.
(1)求证：平面；
(2)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.
4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期中）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，为的中点，为线段上的点.
(1)若为线段的中点，求证：//平面；
(2)当时，求平面与平面夹角的余弦值的范围.
5．（2022·山西太原·高二期中）如图，在四棱椎中，底面为平行四边形，平面，点分别为的中点，且.
(1)若，求直线与平面所成角的正弦值；
(2)若直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围.
6．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校高二期中）如图①所示，长方形中，，，点是边靠近点的三等分点，将△沿翻折到△，连接，，得到图②的四棱锥.
(1)求四棱锥的体积的最大值；
(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值.
7．（2022·海南华侨中学高三阶段练习）已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，侧棱平面ABCD，点M在棱DP上，且，点N是在棱PC上的动点（不为端点）.
(1)若N是棱PC中点，完成：
（i）画出的重心G（在图中作出虚线），并指出点G与线段AN的关系：
（ii）求证：平面AMN；
(2)若四边形ABCD是正方形，且，当点N在何处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值取最大值.
8．（2022·山东省青岛第十七中学高二期中）如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点.
(1)求证：；
(2)若E，F分别是的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成角的取值范围.
第二部分：冲刺重难点特训
1．（2022·四川·广安二中模拟预测（理））在四棱锥中，，，，， 平面，与平面所成角，又于，于.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
2．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））如图，已知为圆锥底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，，，平分，D是上一点，且平面平面.
(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值.
3．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠BAD＝60°，过点A作CD的垂线交CD的延长线于点E，连接EB交AD于点F，如图1.将沿AD折起，使得点E到达点P的位置，如图2.
(1)证明：直线平面BFP；
(2)若∠BFP＝120°，求点F到平面BCP的距离．
4．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））如图，在长方体中，已知，E为BC中点，连接，F为线段上的一点，且．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
5．（2022·河南开封·一模（理））如图，是正三角形，在等腰梯形中，，．平面平面，M，N分别是，的中点，．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
6．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：
(1)证明：平面平面；
(2)若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值.
7．（2022·上海松江·一模）已知平面，
(1)求证：平面平面；
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值大小.
8．（2022·全国·模拟预测）如图，在直线三棱柱中，己知，，，D为棱AC的中点.
(1)求证：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.
9．（2022·浙江·三门县观澜中学模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点在底面内的投影恰为中点，且．
(1)若，求证：面；
(2)若平面与平面所成的锐二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．
10．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））如图，在三棱锥中，，且，为的中点，点在棱上，，若是边长为1的等边三角形，且.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
11．（2022·云南云南·模拟预测）如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，.
(1)求证：平面ABCD；
(2)设，当平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为时，求的值.
12．（2022·北京西城·二模）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E.
(1)求证：；
(2)若，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：.
13．（2022·天津二中模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，，．
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若点E在棱上，且平面，求线段的长．
14．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在三棱柱中，，．
(1)证明：平面平面．
(2)设P是棱上一点，且，求三棱锥体积．
15．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点.
(1)求证：；
(2)若E，F分别是的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成角的取值范围.
16．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（文））在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，点，分别是，上的点，且，．
(1)证明：平面；
(2)若平面平面，，，求三棱锥的体积．
