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2022-2023学年江苏省南通市市区七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年江苏省南通市市区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，羊二，直金十九两；牛二等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南通市市区七年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 9的算术平方根是( )
A. 3 B. 3 C. 9 D. ±3
2. 若a
3. 若点M(−5,b)在第三象限内，则b可以是( )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
4. 双减政策下，为了解我市七年级学生每天的睡眠时间，对其中500名学生进行了随机调查，则下列说法正确的是( )
A. 以上调查属于全面调查 B. 500名学生是总体的一个样本
C. 样本容量是500 D. 随机调查的每个学生是个体
5. 若三角形两边a、b的长分别为3和4，则第三边c的取值范围是( )
A. 1≤c≤7 B. 1
A. 3 B. 6 C. −1 D. −2
7. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点B在直线EF上，点C在直线MN上，且直线EF//MN，∠ACN=116°，则∠ABF的度数为( )
A. 10°
B. 16°
C. 24°
D. 26°
8. 若关于x，y的二元一次方程组x−3y=4m−13x+5y=5的解满足x+y≤0，则m的取值范围是( )
A. m≤2 B. m<2 C. m>2 D. m≥2
9. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，高AD与角平分线BE相交于点F，∠DAC的平分线AG分别交BC，BE于点G，O，连接FG，下列结论：①∠C=∠EBG；②∠AEF=∠AFE；③AG⊥EF；④S△ACD=S△ABG，其中所有正确结论的序号是( )
A. ①②④ B. ②③ C. ③④ D. ②③④
10. 已知a，b，c是三个非负数，且满足a+c=5，2a+b−3c=1，设s=3a+b−7c，则s的最小值为( )
A. −3 B. −8 C. −19 D. 6
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）
11. 命题“同旁内角互补”是一个______命题(填“真”或“假”)
12. 若样本容量是40，在样本的频数分布直方图中各小长方形的高之比是3：2：4：1，则第二小组的频数为______．
13. 从一个多边形的一个顶点出发画了6条对角线，则这个多边形是______边形．
14. 若关于x，y的二元一次方程组ax+3y=92x−y=1的解互为相反数，则a= ______ ．
15. 平面直角坐标系中，点A(−3,2)，B(3,4)，C(x,y)，若AC//x轴，则线段BC取最小值时C的坐标为______．
16. 若关于x的不等式组x≤2x>m无解，则m的取值范围是______ ．
17. 如图，在△ABC中，点D在边AC上且AD=2CD，点E是BC的中点，且AE，BD相交于点O，若△BOE的面积为2，则△AOD的面积为______ ．
18. 已知正实数x的两个平方根是a和a+b，若2a2x+(a+b)2x=27，则x= ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
(1)计算：| 2−2|+(−1)2023+ 16；
(2)解方程组x+3y=−6x+y=2．
20. (本小题8.0分)
解不等式组x−3(x−2)≤41+2x3>x−1并写出所有的正整数解．
21. (本小题12.0分)
某校为了更好地开展七年级学生的研学活动，现随机抽取部分学生进行主题为“你最想去的景点是____”问卷调查，要求学生从“A啬园：B奇妙农场；C野生动物园：D狼山风景区”四个景点中选择一个.根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图.请根据图中的信息回答下列问题：
(1)本次被调查的学生有______ 人；扇形统计图中D所对应的m= ______ ；
(2)在扇形统计图中，B景点部分所占圆心角的度数为______ ；补全条形统计图；
(3)该校七年级共有550名学生，请估计最想去B景点的学生有多少人？
22. (本小题8.0分)
如图，AD是△ABC的高，∠DAC=∠C，∠B=65°，求∠BAC度数．
23. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(a,0)，B(b,0)，且a，b满足a= b−4+ 4−b−1，点C的坐标为(0,3)．
(1)求a，b的值及S△ABC．
(2)若点M在x轴上，且S△ACM=13S△ABC；，试求点M的坐标．
24. (本小题12.0分)
我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)某商人准备用28两银子买牛和羊(要求既有羊又有牛，且银两须全部用完)，且羊的数量不少于牛数量的2倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
25. (本小题14.0分)
如图，锐角∠EAF，点B，C分别在AE，AF上．
(1)如图1，若∠EAF=56°，连接BC，∠ABC=α，∠ACB=β，∠CBE的平分线与∠BCF的平分线交于点P，则a+β= ______ °，∠P= ______ °；
(2)若点Q在∠EAF内部(点Q不在线段BC上)，连接BQ，QC，∠EAF=56°，∠CQB=104°，BM，CN分别平分∠QBE和∠QCF，且BM与CN交于点D，求∠BDC的度数；
(3)如图2，点G是线段CB延长线上一点，过点G作GH⊥AE于点H，∠EAF与∠CGH的平分线交于点O，请直接写出∠ACG与∠AOG的数量关系．
26. (本小题14.0分)
如果一个未知数的值能使方程(组)与不等式(组)同时成立，则称它为此方程(组)与不等式(组)的“理想解”，例如：已知方程2x−1=1与不等式x+1>0，当x=1时，2x−1=2×1−1=1，1+1=2>0同时成立，则称“x=1”是方程2x=1=1与不等式x+1>0的“理想解”．
(1)请判断方程2x−3=5的解是此方程与以下哪些不等式(组)的“理想解”______ (直接填写序号)．
①2x+3>3x−2；
②3(x+1)≤6；
③x+1>0x−1≤3．
(2)若x=my=n是方程组x−3y=62x−y=3q与不等式x+2y<1的“理想解”，求q的取值范围；
(3)若关于x的不等式组x≥px
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
根据算术平方根的定义进行选择即可．
【解答】
解：9的算术平方根是3．
故选A．
2.【答案】C
【解析】解：A.∵a
B.∵a
C.∵a
∴选项C符合题意；
D.∵a
故选：C．
根据a
3.【答案】A
【解析】解：若点M(−5,b)在第三象限内，则b可以是−1，
故选：A．
根据第三象限点的坐标特征(−,−)，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、以上调查属于抽样调查，故A不符合题意；
B、500名学生的睡眠时间是总体的一个样本，故B不符合题意；
C、样本容量是500，故C符合题意；
D、随机调查的每个学生的睡眠时间是个体，故D不符合题意；
故选：C．
根据全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量的意义，逐一判断即可解答．
本题考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：根据三角形的三边关系可得：4−3
根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边c的取值范围．
本题考查了三角形的三边关系，熟记性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：将x=1y=−2代入方程mx+ny=3得：m−2n=3，
∴2m−4n=2(m−2n)=2×3=6．
故选：B．
把x与y的值代入方程计算即可求出m−2n=3，把所求式子因式分解后代入计算即可．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
7.【答案】D
【解析】解：∵EF//MN，
∴∠AKF=∠ACN=116°，
∵∠AKF=∠A+∠ABK，
∴∠ABF=∠AKF−∠A=26°．
故选：D．
由EF//MN，得到∠AKF=∠ACN=116°，由三角形外角的性质得到∠ABF=∠AKF−∠A=26°．
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质得到∠AKF=∠ACN=116°，由三角形外角的性质即可求出∠ABF的度数．
8.【答案】A
【解析】解：x−3y=4m−13①x+5y=5②，
①+②得：2x+2y=4m−8，
解得：x+y=2m−4，
∵x+y≤0，
∴2m−4≤0，
∴2m≤4，
∴m≤2，
故选：A．
利用整体的思想可得2x+2y=4m−8，从而可得x+y=2m−4，然后根据已知x+y≤0，可得2m−4≤0，最后进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：①根据已知条件无法判定CE与BE相等，
∴无法判定∠C与∠EBG相等，
∴结论①不正确；
②∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠DBF，
∵AD为△ABC的高，∠BAC=90°，
∴∠ABE+∠AEF=90°，∠DBF+∠DFB=90°，
又∠DFB=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴结论②正确；
③由结论②正确得：∠AEF=∠AFE，
∵AG平分∠ADC，
∴∠EAO=∠FAO，
在△EAO和△FAO中，
∠AEF=∠AFE，∠EAO=∠FAO，AO=AO，
∴△EAO≌△FAO(AAS)，
∴∠AOE=∠AOF，
∵∠AOE+∠AOF=180°，
∴∠AOE=∠AOF=90°，
∴AO⊥EF，
即：AG⊥EF，
∴结论③正确；
④∵AD为△ABC的高，
∴S△ACD=1/2CD⋅AD，S△ABG=1/2BG⋅AD，
∵根据已知条件无法判定CD与BG相等，
∴无法判定S△ACD与S△ABG相等，
∴结论④不正确．
综上所述：正确的结论是②③．
故选：B．
①根据已知条件无法判定CE与BE相等，进而可对结论①进行判断；
②先根据角平分线的定义得∠ABE=∠DBF，进而得∠ABE+∠AEF=90°，∠DBF+∠DFB=90°，∠DFB=∠AFE，据此可对结论②进行判断；
③先证△EAO和△FAO全等得∠AOE=∠AOF，然后根据平角的定义得∠AOE+∠AOF=180°，据此可对结论③进行判断；
④根据AD为△ABC的高得：S△ACD=12CD⋅AD，S△ABG=12BG⋅AD，根据已知条件无法判定CD与BG相等，对此可对结论④进行判断．
此题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理、全等三角形的判定方法和三角形的面积公式．
10.【答案】C
【解析】解：∵a+c=5，2a+b−3c=1，
∴a=5−c，b=5c−9，
∴s=3a+b−7c
=3(5−c)+(5c−9)−7c
=−5c+6，
∵a，b，c是三个非负数，
∴c≥05−c≥05c−9≥0，
解得95≤c≤5，
∴s=−5c+6≥−5×5+6，
解得s≥−19，
故选：C．
先分别用含有c的式子表示出a，b，再根据非负数的定义和列不等式组并求解出c的取值范围，最后将c的最大值5代入s进行求解．
本题考查了非负数和不等式组的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
11.【答案】假
【解析】解：两直线平行，同旁内角互补，所以命题“同旁内角互补”是一个假命题；
故答案为：假．
根据平行线的性质判断命题的真假．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
12.【答案】8
【解析】
【分析】
用样本容量乘以第二小组所占的份数，然后计算即可得解．
本题考查了频数分布直方图，读懂题目信息，熟记根据频率求频数的方法是解题的关键．
【解答】
解：40×22+3+4+1=8．
故答案为：8．
13.【答案】27
【解析】解：设这个多边形的边数是n，由题意，得n−3=6，
解得n=9，
所以这个多边形共有对角线：9×(9−3)2=27．
故答案为：27．
先由n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线，求出n的值，再根据n边形对角线的总条数为n(n−3)2，即可求出这个多边形所有对角线的条数．
本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线及n边形对角线的总条数为n(n−3)2是解题的关键．
14.【答案】30
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程组的解，充分利用隐含条件是解题的关键．由关于x，y的二元一次方程组ax+3y=92x−y=1的解互为相反数得知，x=−y，求出x、y的值，再代入ax+3y=9即可．
【解答】
解：∵关于x，y的二元一次方程组ax+3y=92x−y=1的解互为相反数，
∴x=−y，
将x=−y代入2x−y=1得，−2y−y=1，y=−13，则x=13，
将y=−13，x=13代入ax+3y=9得，13a−1=9，a=30，
故答案为30．
15.【答案】(3,2)
【解析】解：如图所示：
由垂线段最短可知：当BC⊥AC时，BC有最小值．
∴点C的坐标为(3,2)，线段的最小值为2．
故答案是：(3,2)．
由垂线段最短可知点BC⊥AC时，BC有最小值，从而可确定点C的坐标．
本题主要考查坐标与图形性质，掌握垂线段的性质是解题的关键．
16.【答案】m≥7
【解析】解：关于x的不等式组x≤2x>m无解，也就是两个不等式解集没有公共部分，
即x≤2，x>m没有公共部分，
∴m≥2，
故答案为：m≥2．
根据不等式组的解集的定义可知，不等式组中两个不等式的解集没有公共部分，进而得出m的取值范围．
本题考查不等式的解集，解题的关键是理解不等式组解集的定义．
17.【答案】163
【解析】解：∵点E为BC的中点，
∴BE=CE，
∴△BOE和△COE等底同高，△ABE和△ACE等底同高，
∴S△BOE=S△COE=2，S△ABE=S△ACE，
∴S△OBC=4，
∵△OAD和△COD等高，△ABD和△CBD等高，
∴S△OAD：S△COD=AD：CD，S△ABD：S△CBD=AD：CD，
∵AD=2CD，
∴AD：CD=2，
∴S△AOD：S△COD=2，S△ABD：S△CBD=2，
∴S△AOD=2S△COD，S△ABD=2S△CBD，
由S△ABD=2S△CBD，得：S△AOB+S△AOD=2(S△OBC+S△COD)，
∴S△AOB+2S△COD=2S△OBC+2S△COD，
∴S△AOB=2S△OBC=2×4=8，
∵△AOB和△BOE等高，
∴S△AOB：S△BOE=OA：OE，即：2：8=OA：OE，
∴OA：OE=1：4，
∵△AOC和△COE同高，
∴S△AOC：S△COE=OA：OE=1：4，
∴S△AOC=4S△COE=8，
∴S△AOC=S△AOD+S△COD=8，
∵S△AOD=2S△COD，
∴3S△COD=8，
∴S△COD=83，
∴S△AOD=2S△COD=163．
故答案为：163．
由点E为BC的中点得△BOE和△COE等底同高，△ABE和△ACE等底同高，则S△BOE=S△COE=2，S△ABE=S△ACE，从而得S△OBC=4，再根据△OAD和△COD等高，△ABD和△CBD等高得S△OAD：S△COD=AD：CD=1：2，S△ABD：S△CBD=AD：CD=1：2，由此即可得出S△AOB=8，然后根据△AOB和△BOE等高得OA：OE=1：4，而△AOC和△COE同高，则S△AOC：S△COE=OA：OE=1：4，据此得S△AOC=8，进而可求得△AOD的面积．
此题主要考查了三角形的面积，解答此题的关键是理解同底(等底)同高(等高)的两个三角形的面积相等，同高(或等高)的两个三角形的面积之比等于底边的比．
18.【答案】3
【解析】解：∵正实数x的两个平方根是a和a+b，
∴x=a2=(a+b)2，
∵2a2x+(a+b)2x=27，
∴2x⋅x+x⋅x=27，
即3x2=27，
则x2=9，
∵x为正实数，
∴x=3，
故答案为：3．
一个正数的两个平方根互为相反数，由此可得x=a2=(a+b)2，然后将其代入2a2x+(a+b)2x=27中，利用平方根的定义计算后根据题意确定x的值即可．
本题考查平方根的定义，结合已知条件得出x=a2=(a+b)2是解题的关键．
19.【答案】解：(1)| 2−2|+(−1)2023+ 16
=2− 2+(−1)+4
=5− 2．
(2)x+3y=−6①x+y=2②，
①−②，可得2y=−8，
解得y=−4，
把y=−4代入②，可得x+(−4)=2，
解得x=6，
∴原方程组的解是x=6y=−4．
【解析】(1)首先计算乘方、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
(2)应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了实数的运算，注意运算顺序，以及解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
20.【答案】解：解x−3(x−2)≤4得：x≥1，
解1+2x3>x−1得：x<4．
则不等式组的解集是：1≤x<4．
则正整数解是：1，2，3．
【解析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定解集中的整数解即可．
本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x>较小的数、<较大的数，那么解集为x介于两数之间．
21.【答案】50 10 108°
【解析】解：(1)根据题意得，本次被调查的学生有10÷20%=50(人)，
m%=550×100%=10%，m=10．
故答案为：50，10；
(2)最想去B景点的学生有50−10−20−5=15(人)，
B景点部分所占圆心角的度数为360°×1550=108°，
补全条形图如图：
故答案为：108°；
(3)550×1550=165(人)．
答：估计最想去B景点的学生有165人．
(1)由A的人数及其所占被调查人数的百分比可得本次被调查的学生数；用D的人数除以本次被调查的学生数可得m的值；
(2)用被调查的学生数减去A、C、D的人数得到B的人数，用360°乘以B对应的百分比可得B景点部分所占圆心角的度数；进而补全条形统计图；
(3)用样本中最想去B景点的学生人数占被调查人数的比例乘总人数即可．
此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．
22.【答案】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B+∠BAD+∠ADB=180°，∠C+∠DA+∠ADC=180°，
∵∠B=65°，∠DAC=∠C，
∴∠BAD=25°，∠DAC=∠C=45°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=70°．
【解析】首先根据AD是△ABC的高得∠ADB=∠ADC=90°，然后根据直角三角形的两个锐角互余分别求出∠BAD=25°，∠DAC=∠C=45°，进而可得∠BAC的度数．
此题主要考查了直角三角形的性质，三角形的高的定义，解答此题的关键是理解三角形的内角和等于180°．
23.【答案】解：(1)∵ab满足a= b−4+ 4−b−1，
∴b=4，a=−1，
∴A(−1,0).B(4,0)，
S△ABC=12AB⋅OC=12×5×3=152．
(2)设M的坐标为(m,0)，
∵S△ACM=13S△ABC=13×152=52，
∴S△ACM=12AM⋅OC=12AM⋅3=52，
∴AM=53，
∴m−(−1)=53时，m=23，
−1−m=53时，m=−83．
∴符合条件的点P有两个(23,0)和(83,0)．
【解析】(1)根据二次根式有意义的条件求出a、b的值，再根据坐标找到线段长，利用面积公式求出面积即可．
(2)利用面积公式计算出点P的坐标即可．
本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如 a(a≥0)的式子叫二次根式．
24.【答案】解：(1)设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，
依题意得：5x+2y=192x+5y=16，
解得：x=3y=2，
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子；
(2)设购买m头牛，n只羊，
依题意得：3m+2n=28，
整理得：n=14−32m，
∵m、n均为正整数，
∴m为2的倍数，
∵羊的数量不少于牛数量的2倍，
∴n≥2m，
∴m=2n=11或m=4n=8，
∴商人有2种购买方法：
①购买2头牛，11只羊；
②购买4头牛，8只羊．
【解析】(1)设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买m头牛，n只羊，根据某商人准备用28两银子买牛和羊，列出二元一次方程，再根据羊的数量不少于牛数量的2倍，得n≥2m，然后求出满足条件的正整数解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准数量关系，正确列出二元一次方程．
25.【答案】124 62
【解析】(1)∵∠EAF=56°，
∴∠ACB+∠ABC=180°−∠EAF=124°，
∴α+β=124°，
∵CP，BP分别平分∠FCB，∠CBE，
∴∠PCB=12∠BCF，∠CBP=12∠CBE，
∵∠BCF+∠CBE=360°−(α+β)=236°，
∴∠PCB+∠CBP=12(∠BCF+∠CBE)=118°，
∴∠P=180°−(∠BCP+∠CBP)=62°．
故答案为：124；62．
(2)①点Q在BC上方时，如图，
∵∠ACQ+∠ABQ=360°−(∠EAF+∠CQB)=360°−(56°+104°)=200°，
∴∠FCQ+∠QBE=360°−(∠ACQ+∠ABQ)=160°，
∵MN，CN分别平分∠QBE，∠QCF，
∴∠DCQ+∠QBD=12(∠FCQ+∠QBE)=80°，
∵∠QCB+∠CBQ=180°−∠CBQ=76°，∠DCB+∠DBC=80°+76°=156°，
∴∠BDC=180°−(∠DCB+∠DBC)=180°−15=24°；
②点Q在BC下方时，如图，
∵∠ACB+∠ABC=180°−∠EAF=124°，
∴∠FCB+∠CBE=360°−124°=236°，
∴∠DCB+∠DBC=12(∠FCB+∠CBE)=118°，
∴∠BDC=180°−118°=62°，
综上所述，∠BDC的度数为24°或62°．
(3)∴∠AOG−12∠ACG=45°，理由如下：
∵AO，OG分别是∠FAE和∠CGH的平分线，
∴∠CAO=12∠EAF，∠CGO=12∠CGH，
∵∠1=∠CAO+∠ACG=∠CGO+∠AOG，
∴12∠EAF+∠ACG=12∠CGH+∠AOG，
即∠AOG−∠ACG=12(∠EAF−∠CGH)，
∵∠ABC=∠GBH，
∴∠EAF=180°−∠ACG−∠ABC=180°−∠ACG−∠GBH，∠CGH=90°−∠GBH，
∴∠AOG−∠ACG=12(90°−∠ACG)，
∴∠AOG−12∠ACG=45°．
(1)根据三角形内角和定义即可求α+β的度数，根据邻补角定义以及角平分线性质求∠PCB+∠CBP的度数，再求∠P度数即可．
(2)分两种情况，两种情况均根据角平分线性质以及邻补角定义求∠DCB+∠DBC的度数，根据三角形内角和定义即可求解．
(3)由三角形外角性质可知∠CAO+∠ACG=∠CGO+∠AOG，再由角平分线性质可得12∠EAF+∠ACG=12∠CGH+∠AOG，由三角形内角和定义以及对顶角相等可得∠EAF=180°−∠ACG−∠ABC=180°−∠ACG−∠GBH，∠CGH=90°−∠GBH，即可求解．
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线性质，三角形外角性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理，角平分线性质，三角形外角性质．
26.【答案】①③
【解析】解：(1)由题意2x−3=5，
∴x=4．
把x=4代入①，左边=11>右边=10，符合题意；
把x=4代入②，左边=15>右边=6，不符合题意；
把x=4代入③，4+1>0，4−1≤3，符合题意．
故答案为：①③．
(2)由题意，先将x=my=n代入方程组x−3y=62x−y=3q得，m−3n=6①2m−n=3q②，
∴②−①得，m+2n=3q−6．
又由题意，m+2n<1，
∴3q−6<1．
∴q<73．
(3)由题意得，m是正整数，且p≤x
(1)依据题意，由“理想解”的定义，逐一分析可以得解；
(2)依据题意，先将x=my=n代入方程组x−3y=62x−y=3q，再结合x+2y<1可以得解；
(3)依据题意，可以利用特殊值法，看(m−2)是从第几个整数开始的，从而可以得解．
本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题时需要熟练掌握并读懂题意，理解题中的新定义是解题的关键．
2022-2023学年江苏省南通市市区七年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 9的算术平方根是( )
A. 3 B. 3 C. 9 D. ±3
2. 若a
3. 若点M(−5,b)在第三象限内，则b可以是( )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
4. 双减政策下，为了解我市七年级学生每天的睡眠时间，对其中500名学生进行了随机调查，则下列说法正确的是( )
A. 以上调查属于全面调查 B. 500名学生是总体的一个样本
C. 样本容量是500 D. 随机调查的每个学生是个体
5. 若三角形两边a、b的长分别为3和4，则第三边c的取值范围是( )
A. 1≤c≤7 B. 1
A. 3 B. 6 C. −1 D. −2
7. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点B在直线EF上，点C在直线MN上，且直线EF//MN，∠ACN=116°，则∠ABF的度数为( )
A. 10°
B. 16°
C. 24°
D. 26°
8. 若关于x，y的二元一次方程组x−3y=4m−13x+5y=5的解满足x+y≤0，则m的取值范围是( )
A. m≤2 B. m<2 C. m>2 D. m≥2
9. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，高AD与角平分线BE相交于点F，∠DAC的平分线AG分别交BC，BE于点G，O，连接FG，下列结论：①∠C=∠EBG；②∠AEF=∠AFE；③AG⊥EF；④S△ACD=S△ABG，其中所有正确结论的序号是( )
A. ①②④ B. ②③ C. ③④ D. ②③④
10. 已知a，b，c是三个非负数，且满足a+c=5，2a+b−3c=1，设s=3a+b−7c，则s的最小值为( )
A. −3 B. −8 C. −19 D. 6
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）
11. 命题“同旁内角互补”是一个______命题(填“真”或“假”)
12. 若样本容量是40，在样本的频数分布直方图中各小长方形的高之比是3：2：4：1，则第二小组的频数为______．
13. 从一个多边形的一个顶点出发画了6条对角线，则这个多边形是______边形．
14. 若关于x，y的二元一次方程组ax+3y=92x−y=1的解互为相反数，则a= ______ ．
15. 平面直角坐标系中，点A(−3,2)，B(3,4)，C(x,y)，若AC//x轴，则线段BC取最小值时C的坐标为______．
16. 若关于x的不等式组x≤2x>m无解，则m的取值范围是______ ．
17. 如图，在△ABC中，点D在边AC上且AD=2CD，点E是BC的中点，且AE，BD相交于点O，若△BOE的面积为2，则△AOD的面积为______ ．
18. 已知正实数x的两个平方根是a和a+b，若2a2x+(a+b)2x=27，则x= ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
(1)计算：| 2−2|+(−1)2023+ 16；
(2)解方程组x+3y=−6x+y=2．
20. (本小题8.0分)
解不等式组x−3(x−2)≤41+2x3>x−1并写出所有的正整数解．
21. (本小题12.0分)
某校为了更好地开展七年级学生的研学活动，现随机抽取部分学生进行主题为“你最想去的景点是____”问卷调查，要求学生从“A啬园：B奇妙农场；C野生动物园：D狼山风景区”四个景点中选择一个.根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图.请根据图中的信息回答下列问题：
(1)本次被调查的学生有______ 人；扇形统计图中D所对应的m= ______ ；
(2)在扇形统计图中，B景点部分所占圆心角的度数为______ ；补全条形统计图；
(3)该校七年级共有550名学生，请估计最想去B景点的学生有多少人？
22. (本小题8.0分)
如图，AD是△ABC的高，∠DAC=∠C，∠B=65°，求∠BAC度数．
23. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(a,0)，B(b,0)，且a，b满足a= b−4+ 4−b−1，点C的坐标为(0,3)．
(1)求a，b的值及S△ABC．
(2)若点M在x轴上，且S△ACM=13S△ABC；，试求点M的坐标．
24. (本小题12.0分)
我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)某商人准备用28两银子买牛和羊(要求既有羊又有牛，且银两须全部用完)，且羊的数量不少于牛数量的2倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
25. (本小题14.0分)
如图，锐角∠EAF，点B，C分别在AE，AF上．
(1)如图1，若∠EAF=56°，连接BC，∠ABC=α，∠ACB=β，∠CBE的平分线与∠BCF的平分线交于点P，则a+β= ______ °，∠P= ______ °；
(2)若点Q在∠EAF内部(点Q不在线段BC上)，连接BQ，QC，∠EAF=56°，∠CQB=104°，BM，CN分别平分∠QBE和∠QCF，且BM与CN交于点D，求∠BDC的度数；
(3)如图2，点G是线段CB延长线上一点，过点G作GH⊥AE于点H，∠EAF与∠CGH的平分线交于点O，请直接写出∠ACG与∠AOG的数量关系．
26. (本小题14.0分)
如果一个未知数的值能使方程(组)与不等式(组)同时成立，则称它为此方程(组)与不等式(组)的“理想解”，例如：已知方程2x−1=1与不等式x+1>0，当x=1时，2x−1=2×1−1=1，1+1=2>0同时成立，则称“x=1”是方程2x=1=1与不等式x+1>0的“理想解”．
(1)请判断方程2x−3=5的解是此方程与以下哪些不等式(组)的“理想解”______ (直接填写序号)．
①2x+3>3x−2；
②3(x+1)≤6；
③x+1>0x−1≤3．
(2)若x=my=n是方程组x−3y=62x−y=3q与不等式x+2y<1的“理想解”，求q的取值范围；
(3)若关于x的不等式组x≥px
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
根据算术平方根的定义进行选择即可．
【解答】
解：9的算术平方根是3．
故选A．
2.【答案】C
【解析】解：A.∵a
B.∵a
C.∵a
∴选项C符合题意；
D.∵a
故选：C．
根据a
3.【答案】A
【解析】解：若点M(−5,b)在第三象限内，则b可以是−1，
故选：A．
根据第三象限点的坐标特征(−,−)，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、以上调查属于抽样调查，故A不符合题意；
B、500名学生的睡眠时间是总体的一个样本，故B不符合题意；
C、样本容量是500，故C符合题意；
D、随机调查的每个学生的睡眠时间是个体，故D不符合题意；
故选：C．
根据全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量的意义，逐一判断即可解答．
本题考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：根据三角形的三边关系可得：4−3
根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边c的取值范围．
本题考查了三角形的三边关系，熟记性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：将x=1y=−2代入方程mx+ny=3得：m−2n=3，
∴2m−4n=2(m−2n)=2×3=6．
故选：B．
把x与y的值代入方程计算即可求出m−2n=3，把所求式子因式分解后代入计算即可．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
7.【答案】D
【解析】解：∵EF//MN，
∴∠AKF=∠ACN=116°，
∵∠AKF=∠A+∠ABK，
∴∠ABF=∠AKF−∠A=26°．
故选：D．
由EF//MN，得到∠AKF=∠ACN=116°，由三角形外角的性质得到∠ABF=∠AKF−∠A=26°．
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质得到∠AKF=∠ACN=116°，由三角形外角的性质即可求出∠ABF的度数．
8.【答案】A
【解析】解：x−3y=4m−13①x+5y=5②，
①+②得：2x+2y=4m−8，
解得：x+y=2m−4，
∵x+y≤0，
∴2m−4≤0，
∴2m≤4，
∴m≤2，
故选：A．
利用整体的思想可得2x+2y=4m−8，从而可得x+y=2m−4，然后根据已知x+y≤0，可得2m−4≤0，最后进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：①根据已知条件无法判定CE与BE相等，
∴无法判定∠C与∠EBG相等，
∴结论①不正确；
②∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠DBF，
∵AD为△ABC的高，∠BAC=90°，
∴∠ABE+∠AEF=90°，∠DBF+∠DFB=90°，
又∠DFB=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴结论②正确；
③由结论②正确得：∠AEF=∠AFE，
∵AG平分∠ADC，
∴∠EAO=∠FAO，
在△EAO和△FAO中，
∠AEF=∠AFE，∠EAO=∠FAO，AO=AO，
∴△EAO≌△FAO(AAS)，
∴∠AOE=∠AOF，
∵∠AOE+∠AOF=180°，
∴∠AOE=∠AOF=90°，
∴AO⊥EF，
即：AG⊥EF，
∴结论③正确；
④∵AD为△ABC的高，
∴S△ACD=1/2CD⋅AD，S△ABG=1/2BG⋅AD，
∵根据已知条件无法判定CD与BG相等，
∴无法判定S△ACD与S△ABG相等，
∴结论④不正确．
综上所述：正确的结论是②③．
故选：B．
①根据已知条件无法判定CE与BE相等，进而可对结论①进行判断；
②先根据角平分线的定义得∠ABE=∠DBF，进而得∠ABE+∠AEF=90°，∠DBF+∠DFB=90°，∠DFB=∠AFE，据此可对结论②进行判断；
③先证△EAO和△FAO全等得∠AOE=∠AOF，然后根据平角的定义得∠AOE+∠AOF=180°，据此可对结论③进行判断；
④根据AD为△ABC的高得：S△ACD=12CD⋅AD，S△ABG=12BG⋅AD，根据已知条件无法判定CD与BG相等，对此可对结论④进行判断．
此题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理、全等三角形的判定方法和三角形的面积公式．
10.【答案】C
【解析】解：∵a+c=5，2a+b−3c=1，
∴a=5−c，b=5c−9，
∴s=3a+b−7c
=3(5−c)+(5c−9)−7c
=−5c+6，
∵a，b，c是三个非负数，
∴c≥05−c≥05c−9≥0，
解得95≤c≤5，
∴s=−5c+6≥−5×5+6，
解得s≥−19，
故选：C．
先分别用含有c的式子表示出a，b，再根据非负数的定义和列不等式组并求解出c的取值范围，最后将c的最大值5代入s进行求解．
本题考查了非负数和不等式组的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
11.【答案】假
【解析】解：两直线平行，同旁内角互补，所以命题“同旁内角互补”是一个假命题；
故答案为：假．
根据平行线的性质判断命题的真假．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
12.【答案】8
【解析】
【分析】
用样本容量乘以第二小组所占的份数，然后计算即可得解．
本题考查了频数分布直方图，读懂题目信息，熟记根据频率求频数的方法是解题的关键．
【解答】
解：40×22+3+4+1=8．
故答案为：8．
13.【答案】27
【解析】解：设这个多边形的边数是n，由题意，得n−3=6，
解得n=9，
所以这个多边形共有对角线：9×(9−3)2=27．
故答案为：27．
先由n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线，求出n的值，再根据n边形对角线的总条数为n(n−3)2，即可求出这个多边形所有对角线的条数．
本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线及n边形对角线的总条数为n(n−3)2是解题的关键．
14.【答案】30
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程组的解，充分利用隐含条件是解题的关键．由关于x，y的二元一次方程组ax+3y=92x−y=1的解互为相反数得知，x=−y，求出x、y的值，再代入ax+3y=9即可．
【解答】
解：∵关于x，y的二元一次方程组ax+3y=92x−y=1的解互为相反数，
∴x=−y，
将x=−y代入2x−y=1得，−2y−y=1，y=−13，则x=13，
将y=−13，x=13代入ax+3y=9得，13a−1=9，a=30，
故答案为30．
15.【答案】(3,2)
【解析】解：如图所示：
由垂线段最短可知：当BC⊥AC时，BC有最小值．
∴点C的坐标为(3,2)，线段的最小值为2．
故答案是：(3,2)．
由垂线段最短可知点BC⊥AC时，BC有最小值，从而可确定点C的坐标．
本题主要考查坐标与图形性质，掌握垂线段的性质是解题的关键．
16.【答案】m≥7
【解析】解：关于x的不等式组x≤2x>m无解，也就是两个不等式解集没有公共部分，
即x≤2，x>m没有公共部分，
∴m≥2，
故答案为：m≥2．
根据不等式组的解集的定义可知，不等式组中两个不等式的解集没有公共部分，进而得出m的取值范围．
本题考查不等式的解集，解题的关键是理解不等式组解集的定义．
17.【答案】163
【解析】解：∵点E为BC的中点，
∴BE=CE，
∴△BOE和△COE等底同高，△ABE和△ACE等底同高，
∴S△BOE=S△COE=2，S△ABE=S△ACE，
∴S△OBC=4，
∵△OAD和△COD等高，△ABD和△CBD等高，
∴S△OAD：S△COD=AD：CD，S△ABD：S△CBD=AD：CD，
∵AD=2CD，
∴AD：CD=2，
∴S△AOD：S△COD=2，S△ABD：S△CBD=2，
∴S△AOD=2S△COD，S△ABD=2S△CBD，
由S△ABD=2S△CBD，得：S△AOB+S△AOD=2(S△OBC+S△COD)，
∴S△AOB+2S△COD=2S△OBC+2S△COD，
∴S△AOB=2S△OBC=2×4=8，
∵△AOB和△BOE等高，
∴S△AOB：S△BOE=OA：OE，即：2：8=OA：OE，
∴OA：OE=1：4，
∵△AOC和△COE同高，
∴S△AOC：S△COE=OA：OE=1：4，
∴S△AOC=4S△COE=8，
∴S△AOC=S△AOD+S△COD=8，
∵S△AOD=2S△COD，
∴3S△COD=8，
∴S△COD=83，
∴S△AOD=2S△COD=163．
故答案为：163．
由点E为BC的中点得△BOE和△COE等底同高，△ABE和△ACE等底同高，则S△BOE=S△COE=2，S△ABE=S△ACE，从而得S△OBC=4，再根据△OAD和△COD等高，△ABD和△CBD等高得S△OAD：S△COD=AD：CD=1：2，S△ABD：S△CBD=AD：CD=1：2，由此即可得出S△AOB=8，然后根据△AOB和△BOE等高得OA：OE=1：4，而△AOC和△COE同高，则S△AOC：S△COE=OA：OE=1：4，据此得S△AOC=8，进而可求得△AOD的面积．
此题主要考查了三角形的面积，解答此题的关键是理解同底(等底)同高(等高)的两个三角形的面积相等，同高(或等高)的两个三角形的面积之比等于底边的比．
18.【答案】3
【解析】解：∵正实数x的两个平方根是a和a+b，
∴x=a2=(a+b)2，
∵2a2x+(a+b)2x=27，
∴2x⋅x+x⋅x=27，
即3x2=27，
则x2=9，
∵x为正实数，
∴x=3，
故答案为：3．
一个正数的两个平方根互为相反数，由此可得x=a2=(a+b)2，然后将其代入2a2x+(a+b)2x=27中，利用平方根的定义计算后根据题意确定x的值即可．
本题考查平方根的定义，结合已知条件得出x=a2=(a+b)2是解题的关键．
19.【答案】解：(1)| 2−2|+(−1)2023+ 16
=2− 2+(−1)+4
=5− 2．
(2)x+3y=−6①x+y=2②，
①−②，可得2y=−8，
解得y=−4，
把y=−4代入②，可得x+(−4)=2，
解得x=6，
∴原方程组的解是x=6y=−4．
【解析】(1)首先计算乘方、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
(2)应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了实数的运算，注意运算顺序，以及解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
20.【答案】解：解x−3(x−2)≤4得：x≥1，
解1+2x3>x−1得：x<4．
则不等式组的解集是：1≤x<4．
则正整数解是：1，2，3．
【解析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定解集中的整数解即可．
本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x>较小的数、<较大的数，那么解集为x介于两数之间．
21.【答案】50 10 108°
【解析】解：(1)根据题意得，本次被调查的学生有10÷20%=50(人)，
m%=550×100%=10%，m=10．
故答案为：50，10；
(2)最想去B景点的学生有50−10−20−5=15(人)，
B景点部分所占圆心角的度数为360°×1550=108°，
补全条形图如图：
故答案为：108°；
(3)550×1550=165(人)．
答：估计最想去B景点的学生有165人．
(1)由A的人数及其所占被调查人数的百分比可得本次被调查的学生数；用D的人数除以本次被调查的学生数可得m的值；
(2)用被调查的学生数减去A、C、D的人数得到B的人数，用360°乘以B对应的百分比可得B景点部分所占圆心角的度数；进而补全条形统计图；
(3)用样本中最想去B景点的学生人数占被调查人数的比例乘总人数即可．
此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．
22.【答案】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B+∠BAD+∠ADB=180°，∠C+∠DA+∠ADC=180°，
∵∠B=65°，∠DAC=∠C，
∴∠BAD=25°，∠DAC=∠C=45°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=70°．
【解析】首先根据AD是△ABC的高得∠ADB=∠ADC=90°，然后根据直角三角形的两个锐角互余分别求出∠BAD=25°，∠DAC=∠C=45°，进而可得∠BAC的度数．
此题主要考查了直角三角形的性质，三角形的高的定义，解答此题的关键是理解三角形的内角和等于180°．
23.【答案】解：(1)∵ab满足a= b−4+ 4−b−1，
∴b=4，a=−1，
∴A(−1,0).B(4,0)，
S△ABC=12AB⋅OC=12×5×3=152．
(2)设M的坐标为(m,0)，
∵S△ACM=13S△ABC=13×152=52，
∴S△ACM=12AM⋅OC=12AM⋅3=52，
∴AM=53，
∴m−(−1)=53时，m=23，
−1−m=53时，m=−83．
∴符合条件的点P有两个(23,0)和(83,0)．
【解析】(1)根据二次根式有意义的条件求出a、b的值，再根据坐标找到线段长，利用面积公式求出面积即可．
(2)利用面积公式计算出点P的坐标即可．
本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如 a(a≥0)的式子叫二次根式．
24.【答案】解：(1)设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，
依题意得：5x+2y=192x+5y=16，
解得：x=3y=2，
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子；
(2)设购买m头牛，n只羊，
依题意得：3m+2n=28，
整理得：n=14−32m，
∵m、n均为正整数，
∴m为2的倍数，
∵羊的数量不少于牛数量的2倍，
∴n≥2m，
∴m=2n=11或m=4n=8，
∴商人有2种购买方法：
①购买2头牛，11只羊；
②购买4头牛，8只羊．
【解析】(1)设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买m头牛，n只羊，根据某商人准备用28两银子买牛和羊，列出二元一次方程，再根据羊的数量不少于牛数量的2倍，得n≥2m，然后求出满足条件的正整数解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准数量关系，正确列出二元一次方程．
25.【答案】124 62
【解析】(1)∵∠EAF=56°，
∴∠ACB+∠ABC=180°−∠EAF=124°，
∴α+β=124°，
∵CP，BP分别平分∠FCB，∠CBE，
∴∠PCB=12∠BCF，∠CBP=12∠CBE，
∵∠BCF+∠CBE=360°−(α+β)=236°，
∴∠PCB+∠CBP=12(∠BCF+∠CBE)=118°，
∴∠P=180°−(∠BCP+∠CBP)=62°．
故答案为：124；62．
(2)①点Q在BC上方时，如图，
∵∠ACQ+∠ABQ=360°−(∠EAF+∠CQB)=360°−(56°+104°)=200°，
∴∠FCQ+∠QBE=360°−(∠ACQ+∠ABQ)=160°，
∵MN，CN分别平分∠QBE，∠QCF，
∴∠DCQ+∠QBD=12(∠FCQ+∠QBE)=80°，
∵∠QCB+∠CBQ=180°−∠CBQ=76°，∠DCB+∠DBC=80°+76°=156°，
∴∠BDC=180°−(∠DCB+∠DBC)=180°−15=24°；
②点Q在BC下方时，如图，
∵∠ACB+∠ABC=180°−∠EAF=124°，
∴∠FCB+∠CBE=360°−124°=236°，
∴∠DCB+∠DBC=12(∠FCB+∠CBE)=118°，
∴∠BDC=180°−118°=62°，
综上所述，∠BDC的度数为24°或62°．
(3)∴∠AOG−12∠ACG=45°，理由如下：
∵AO，OG分别是∠FAE和∠CGH的平分线，
∴∠CAO=12∠EAF，∠CGO=12∠CGH，
∵∠1=∠CAO+∠ACG=∠CGO+∠AOG，
∴12∠EAF+∠ACG=12∠CGH+∠AOG，
即∠AOG−∠ACG=12(∠EAF−∠CGH)，
∵∠ABC=∠GBH，
∴∠EAF=180°−∠ACG−∠ABC=180°−∠ACG−∠GBH，∠CGH=90°−∠GBH，
∴∠AOG−∠ACG=12(90°−∠ACG)，
∴∠AOG−12∠ACG=45°．
(1)根据三角形内角和定义即可求α+β的度数，根据邻补角定义以及角平分线性质求∠PCB+∠CBP的度数，再求∠P度数即可．
(2)分两种情况，两种情况均根据角平分线性质以及邻补角定义求∠DCB+∠DBC的度数，根据三角形内角和定义即可求解．
(3)由三角形外角性质可知∠CAO+∠ACG=∠CGO+∠AOG，再由角平分线性质可得12∠EAF+∠ACG=12∠CGH+∠AOG，由三角形内角和定义以及对顶角相等可得∠EAF=180°−∠ACG−∠ABC=180°−∠ACG−∠GBH，∠CGH=90°−∠GBH，即可求解．
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线性质，三角形外角性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理，角平分线性质，三角形外角性质．
26.【答案】①③
【解析】解：(1)由题意2x−3=5，
∴x=4．
把x=4代入①，左边=11>右边=10，符合题意；
把x=4代入②，左边=15>右边=6，不符合题意；
把x=4代入③，4+1>0，4−1≤3，符合题意．
故答案为：①③．
(2)由题意，先将x=my=n代入方程组x−3y=62x−y=3q得，m−3n=6①2m−n=3q②，
∴②−①得，m+2n=3q−6．
又由题意，m+2n<1，
∴3q−6<1．
∴q<73．
(3)由题意得，m是正整数，且p≤x
(1)依据题意，由“理想解”的定义，逐一分析可以得解；
(2)依据题意，先将x=my=n代入方程组x−3y=62x−y=3q，再结合x+2y<1可以得解；
(3)依据题意，可以利用特殊值法，看(m−2)是从第几个整数开始的，从而可以得解．
本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题时需要熟练掌握并读懂题意，理解题中的新定义是解题的关键．
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