专题08 与圆有关的定点问题以及阿波罗尼斯圆（解析版）

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专题08 与圆有关的定点问题以及阿波罗尼斯圆
题型一 与圆有关的定点问题
1．已知直角坐标系中，圆．
①过点作圆的切线，求的方程；
②直线与圆交于点，两点，已知，若轴平分，证明：不论取何值，直线与轴的交点为定点，并求出此定点坐标．

【解答】解：①当切线的斜率不存在时，则切线方程为，显然与圆相切，
当切线的斜率存在时，设方程为：，即，
由圆心到切线的距离可得，解得，
所以可得这时切线的方程为：，
所以切线的方程为：或；
②设，，，
联立，整理可得：，
则△，可得，
且，，
因为轴平分，所以可得，
即，即，
所以，
，
解得，
所以直线的方程为：，
所以直线恒过
【点睛】本题考查直线与圆相切的性质及角平分线的性质，属于中档题．
2．已知圆过点，圆心在直线上．
（1）求圆的一般方程．
（2）若不过原点的直线与圆交于，两点，且，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由．
【解答】解：（1）由题意可得圆心的坐标为，则，
①因为圆经过点，所以，②，
联立①②，解得，．故圆的一般方程是．
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，．
联立，整理得，
则，．
因为，所以，由得，，整理得．
因为，所以，所以直线的方程为．故直线过定点．
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，则，，
从而，解得，（舍去）．
故直线过点．综上，直线过定点．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
3．已知直线，半径为3的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右下方．
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆交于，两点在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设圆心，
直线，半径为3的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右下方
所以，
解得，或（舍，
圆的方程为；
（2）当直线轴时，轴平分，此时为轴上任一点，
当直线与轴不垂直，
设直线的方程为，，，，，，，
联立得，
则，，
由题意得，，
即，
整理得，
即，
解得，即．
【点睛】本题主要考查了圆的切线性质，点到直线的距离公式，直线与椭圆的位置关系，还考查了运算能力，属于中档题．
4．已知为直线上一动点，过点向圆作两切线，切点分别为、．
（1）求四边形面积的最小值及此时点的坐标；
（2）直线是否过定点？若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1），，
，
，
，
要使四边形面积最小，则最小，
当时，的长最小，
过点且与垂直的直线为，即，
将其与联立，解得此时点的坐标为，
，
；
（2）设，，则以为直径的圆为，
化简可得，
，
这个圆也是四边形的外接圆，它与圆方程相减，
得公共弦方程为，
令，
恒过定点．
【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的应用，考查了圆的切线方程的应用以及两圆公共弦方程的求解，直线恒过定点问题，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
5．已知圆和直线．
（1）若直线与圆相交，求的取值范围；
（2）若，点是直线上一个动点，过点作圆的两条切线、，切点分别是、，证明：直线恒过一个定点．
【解答】解：（1）圆的圆心坐标为，半径为，
直线与圆相交，，解得或．
即的取值范围是，，；
证明：（2）当时，直线为，设，，
则以为直径的圆的方程为，
即，
与联立，消去二次项，可得所在直线方程为：，
又，，
即，可得直线过定点．
【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了过圆的两个切点的直线方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．
6．已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线，，切点为，．
（1）当切线的长度为时，求点的坐标；
（2）若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题可知，圆的半径，设，
因为是圆的一条切线，所以，
所以，
解得或，
所以点的坐标为或．
（2）设，因为，
所以经过、、三点的圆以为直径，
其方程为，
即，
由，
解得或，
所以圆过定点，．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
7．已知圆经过两点，且圆心在直线上．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设，是圆上异于原点的两点，直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过一定点，并求出该定点的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）设圆的方程为：，
由题意得，，解得，
圆的方程：；
证明：（Ⅱ）由题意，所在直线的斜率存在，设直线，
由，得．
△，
设，，，，则，，

，
，代入得，
直线必过定点．
【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
8．在平面直角坐标系中，点在直线上，，以线段为直径的圆为圆心）与直线相交于另一个点，．
（1）求圆的标准方程；
（2）若点不在第一象限内，圆与轴的正半轴的交点为，过点作两条直线分别交圆于，两点，且两直线的斜率之积为，试判断直线是否恒过定点，若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1），，
设，得，得．
，
在中，，为的中点，，
设，则，
解得或．
①当时，，，圆心为，
此时圆的标准方程为；
②当时，，，圆心为，
此时圆的标准方程为．
圆的标准方程为或；
（2）由题意知，圆的标准方程为．
设直线的方程为，
联立，得．
，得，则，，
两直线的斜率之积为，用代替，可得，．
当直线的斜率存在，即时，
．
直线的方程为，
整理得：，可得直线过定点；
当直线的斜率不存在时，即时，直线的方程为，过定点．
综上可得，直线恒过定点．
【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，属中档题．
9．已知三点、、在圆上．为直线上的动点，与圆的另一个交点为，与圆的另一个交点为．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆相交所得弦长为，求点的坐标；
（3）证明：直线过定点．
【解答】解：（1）由于，得，
点在以线段为直径的圆上，
即圆的标准方程为；
（2）圆的半径为2，直线截圆所得弦长为，
则圆心到直线的距离为1．
设直线的方程为，即．
，解得，
则直线的方程为，
当时，得点的坐标为；
（3）①当直线斜率不存在时，设其方程为．
取，
由直线与交点的横坐标为6，可得，
即此时直线的方程为；
②当直线斜率存在时，设的方程为．
由，得．
由△，得．
设，，，，则．
且．
直线的方程为，
直线的方程为，
代入点的横坐标，得．
由于，故．
从而，即．
即，
整理得，解得．
当时，直线为，过点，不符合题意；
当时，直线为，过定点．
综上，直线过定点．
另解：设，，
由，得，
由，得，
，
故直线的方程为，
整理得，过定点．
当时，代入点、的横坐标，得，
直线的方程为，过定点．
综上，直线过定点．
【点睛】本题考查圆的方程和性质，主要考查圆的方程和直线方程的运用，直线恒过定点的求法，属于中档题．
10．已知关于直线对称，且圆心在轴上．
（1）求的标准方程；
（2）已知动点在直线上，过点引的两条切线、，切点分别为，．
①记四边形的面积为，求的最小值；
②证明直线恒过定点．
【解答】解：（1）由题意已知关于直线对称，且圆心在轴上，
所以有圆心，在直线上，即：，
又因为圆心在轴上，
所以：，
由以上两式得：，，
所以：．
故的标准方程为：．
（2）①如图，的圆心为，半径，

因为、是的两条切线，
所以，，
故；
又因为：；
根据平面几何知识，要使最小，只要最小即可．
易知，当点坐标为时，
，
此时．
②设点的坐标为，
因为，
所以、、、四点共圆．
其圆心为线段的中点，，，
设所在的圆为，
所以的方程为：，
化简得：，
因为是和的公共弦，
所以：，
两式相减得，
故方程为：，
当时，，
所以直线恒过定点．
【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的应用，圆中三角形面积问题的应用，直线过定点问题，综合性强，属于难题．
11．已知圆与直线相离，是直线上任意一点，过作圆的两条切线，切点为，．
（1）若，求；
（2）当点到圆的距离最小值为时，证明：直线过定点．
【解答】（1）解：连接交于点，
则，所以点为的中点，
又，则，
又，所以，
因为相切圆于点，故，
所以，
即，
所以．
（2）证明：当点到圆的距离最小值为时，
圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式可得，
解得或，由于，故，
由于，，故，在以为直径的圆上，
又，设，则以为直径的圆的圆心为，，
故圆的方程为，
即，
因为，在以为直径的圆上，
故是圆与圆的公共弦，
两式相减可得的方程为，
即，
由，可得，
所以直线恒过定点．

【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的切线的性质，两圆公共弦的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
12．已知圆，圆．
（1）求过点且与圆相切的直线的方程；
（2）若与轴不垂直的直线交于，两点，交于，两点，且，求证：直线过定点．
【解答】解：（1）当切线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意；
当切线的斜率存在时，设直线方程为，即，
直线与圆相切，，解得，
切线方程为．
故所求切线方程为或；
证明：（2）设直线的方程为，
则圆心，到直线的距离分别为，，
由垂径定理可得，，
由，得，
整理得，故，
即或，
直线的方程为或．
则直线过定点或．
【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，考查直线系方程的应用，是中档题．
13．已知圆经过点，，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆交于，两点，问在直线上是否存在定点，使得恒成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）直线的斜率为，的垂直平分线的斜率为1，
的中点坐标为，因此直线的方程为，
又圆心在直线上，圆心是直线与直线的交点．
联立方程租，得圆心坐标为，
又半径，
圆的方程为；
（2）假设存在点符合题意，
设交点坐标为，，，，
①当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立方程组，消去，得到方程．
则由根与系数的关系得，．
，
，即．
，
．
解得，即点坐标为，；
②当直线斜率不存在时，点显然满足题意．
综上，在直线上存在定点，，使得恒成立．
【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．
14．已知圆的圆心在轴正半轴上，半径为5，且与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）设点，过点作直线与圆交于，两点，若，求直线的方程；
（3）设是直线上的点，过点作圆的切线，，切点为，．求证：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
【解答】（1）解：设圆心，，
则由直线和圆相切的条件：，
可得，解得（负值舍去），
即有圆的方程为；
（2）解：若直线的斜率不存在，即，
代入圆的方程可得，，即有，成立；
若直线的斜率存在，可设直线，
即为，
圆到直线的距离为，
由，即有，
即有，即，
解得，
则直线的方程为；
（3）证明：由于是直线上的点，
设，
由切线的性质可得，
经过，，，的三点的圆，即为以为直径的圆，
则方程为，
整理可得，
可令，且，
解得，，或，．
则有经过，，三点的圆必过定点，
所有定点的坐标为，．
【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查相交和相切的关系，同时考查点到直线的距离公式和弦长公式、切线的性质和圆恒过定点的问题，属于中档题．

题型二 阿波罗尼斯圆
15．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点、间的距离为2，动点满足，则的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：以经过，两点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则，，
设，则，化简得，，即，
点在以为圆心，为半径的圆上，则有，
而表示圆上的点与原点距离的平方，易知，故，
故．
故选：．
【点睛】本题考查圆轨迹方程的求法，考查两点间的距离，考查逻辑推理能力，属于中档题．
16．阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点与两定点，的距离之比为，则点的轨迹就是圆．事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立．已知点，点为圆上的点，若存在轴上的定点，和常数，对满足已知条件的点均有，则　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：根据题意，如图，、两点为圆与轴的两个交点，
圆上任意一点都满足，则、两点也满足该关系式，
又由，，，，
则有，
解可得，；
故选：．

【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，关键是理解题意中关于圆的轨迹的叙述，属于基础题．
17．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点到两定点，的距离之满足且为常数，则点的轨迹为圆．已知圆和，若定点，和常数满足：对圆上任意一点，都有，则　2　，　　．
【解答】解：设，则，
，
由题意，取、分别代入可得，，
由即，解得，．
故答案为2，．
【点睛】本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
18．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点到两定点，的距离之满足且为常数，则点的轨迹为圆．已知圆和，若定点，和常数满足：对圆上任意一点，都有，则　2　，面积的最大值为　　．
【解答】解：设点，由，得，整理得
，
所以解得，
如右图，当或时，．
故答案为：2；．
【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查圆的方程的应用，转化思想以及计算能力，是中档题．
19．已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且被直线截得的弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为．
①求的方程，并说明是什么图形；
②试探究：在直线上是否存在定点（异于原点，使得对于上任意一点，都有为一常数，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）设圆心，
则由圆与轴正半轴相切，可得半径．
圆心到直线的距离，由，解得．
故圆心为或，半径等于3．
圆与轴正半轴相切圆心只能为
故圆的方程为．
（2）①设，则：，，，
，
，
点在圆上运动，
，
即：，
，
所以点的轨迹方程为，
它是一个以为圆心，以1为半径的圆．
②假设存在一点满足条件，
设则：，
整理化简得：，
在轨迹上，
，
化简得：，
，
，
解得：，
存在，满足题目条件．
【点睛】本题考查圆的方程，轨迹方程，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
20．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点、的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：和点，点，为圆上动点，则的最小值为　　．
【解答】解：如图，取点，连接、．
，，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
的最小值为的长，
，，

故答案为：．

【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系、两点之间的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中档题．
21．已知圆，直线．
（1）求直线所过定点的坐标；
（2）若直线被圆所截得的弦长为，求实数的值；
（3）若点的坐标为，在轴上存在点（不同于点满足，对于圆上任意一点，都有为一常数，求所有满足条件的点的坐标．
【解答】解：（1）由直线，得，
联立，解得，
直线所过定点的坐标为；
（2）直线被圆所截得的弦长为，圆心到直线的距离．
则，解得；
（3）假设存在，满足题意，
当取时，；
当取时，．
，解得．
可得，，．
设，则，，
由，得，化为．
因此点在圆上，满足题意．
因此在轴上存在点，，使得对圆上的任意一点，为同一常数．
【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，训练了取特殊点探究一般性规律的方法，考查了推理能力与计算能力，是中档题．
22．已知圆，直线．
（Ⅰ）当直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．
（Ⅱ）已知点是圆上任意一点，在轴上是否存在两个定点，，使得？若存在，求出点，的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由已知可得圆心，，
圆心到直线的距离，
因此，解得，直线的方程为或，（Ⅱ）设，，，，，由已知可得，且，
化简得．
即恒成立，
所以，解得，或，
所以满足题意的定点，存在，其坐标为，或，．
（此处只写出一组解扣2分）
如从阿氏圆的结论出发，可做为本题的另一种解法，按步骤酌情给分．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

23．已知点和，圆与圆关于直线对称．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）点是圆上任意一点，在轴上求出一点（异于点使得点到点与的距离之比为定值，并求的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）设圆的圆心为，
由题意可得，，解得．
圆的方程为；
（Ⅱ）设点，，，，则．
，
为定值，是的倍数关系，且对任意的，成立，
，解得或（舍去），，
此时为定值，，
当且仅当、、三点共线时，的最小值为．
【点睛】本题考查圆关于直线的对称圆的求法，考查两点间距离公式的应用，考查数学转化思想，是中档题．