专题06 直线中距离问题综合（高考真题专练）（解析版）

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专题06 直线与距离有关问题的综合
题型一 多选题
1．已知直线，，，则下列结论正确的是　　
A．直线恒过定点
B．当时，直线的斜率不存在
C．当时，直线的倾斜角为
D．当时，直线与直线垂直
【解答】解：直线，则，即直线恒过定点，故错误，
当时，此时，直线的斜率为0，故错误，
当时，，直线的斜率为，则倾斜角为，故正确，
当时，，直线的斜率为，直线，则直线与直线垂直，故正确，
故选：．
2．若两条平行直线与之间的距离是，则的可能值为　　
A．3 B． C． D．17
【解答】解：直线与平行，
则，解得；
所以；
所以直线与间的距离是，
所以，
解得或；
当时，；
当时，；
所以的可能值为3或．
故选：．
3．若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为　　
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：由直线，与共有两个交点，
所以这三条直线必有两条直线平行，
又直线，不平行，
所以当直线与平行时，；
当直线与平行时，；
综上知，实数的值为1或．
故选：．
4．两直线，与轴相交且能构成三角形，则不能取到的值有　　
A． B． C． D．0
【解答】解：由题知，三条直线中任意两条均有交点，且三条直线不能经过同一点．
于是：①；②；③．
综上，且且．
故选：．
5．定义点，到直线的有向距离为．已知点，到直线的有向距离分别是，，给出以下命题，其中是假命题的是　　
A．若，则直线与直线平行
B．若，则直线与直线平行
C．若，则直线与直线垂直
D．若，则直线与直线相交
【解答】解：设点，的坐标分别为，，，
则，，
对于：若，则若，即，
，
若时，即，
则点，都在直线，此时直线与直线重合，错误．
对于：由知，若时，满足，
但此时，
则点，都在直线，此时直线与直线重合，错误．
对于：由知，若时，满足，
但此时，
则点，都在直线，此时直线与直线重合，错误．
对于：若，则，
即，
点，分别位于直线的两侧，
直线与直线相交，
正确．
故选：．

题型二 含参直线过定点问题
6．已知直线恒过定点，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
【解答】解：将直线变形为，
联立方程，解得，，
所以直线恒过定点．
故选：．
7．直线，当变动时，所有直线都通过定点　　
A． B． C． D．
【解答】解：直线，即，
当变动时，所有直线都通过 与的交点，
故选：．
8．方程所表示的直线恒过定点　　．
【解答】解：方程，
即，
由，解得定点坐标为，
故答案为：．
9．已知直线恒过定点．
（1）求点的坐标；
（2）若点与点关于轴成轴对称，点是直线上一动点，试求的最小值．
【解答】解：（1）直线整理可得：．
联立，．解得，．
可得定点．
（2）点与点关于轴成轴对称，故点的坐标为，
点是直线上一动点，设，
，当时，的最小值为．
10．已知直线方程为．
（1）证明：直线恒过定点；
（2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？
（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，求面积的最小值及此时直线的方程．
【解答】（1）证明：直线方程为，可化为，对任意都成立，所以，解得，所以直线恒过定点；
（2）解：点到直线的距离最大，
可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，
即．
，
的斜率为：，
可得，解得．
（3）解：若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，直线方程为，，
则，，，
，当且仅当时取等号，面积的最小值为4．
此时直线的方程为．

题型三 与直线有关的轨迹问题
11．已知点，，动点满足，则点的轨迹方程是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：设，则
点，，动点满足，
，
化简整理可得，
故选：．
12．如图，已知点的坐标是过点的直线与轴交于点，过点且与直线垂直的直线与轴交于点，设点是线段的中点，则点的轨迹方程为　　．

【解答】解：由题意可知：点既是的斜边的中点，又是的斜边的中点．
，
设，则，
化为．
故答案为．
13．若动点到点和直线的距离相等，则点的轨迹方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：点在直线上，则点的轨迹是过点且垂直于已知直线的直线，
因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率为，由点斜式知点的轨迹方程为
即
故选：．

题型四 距离问题
14．已知直线与直线和的距离相等，则的方程是　　
A． B． C． D．
【解答】解：直线与直线和的距离相等，
故直线与直线、平行，设直线方程为，
根据，求得，故的方程是，
故选：．
15．过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是　　
A． B．
C．或 D．或
【解答】解：当要求的直线和平行时，由于的斜率为，
又直线过点，故要求的直线方程为，即．
当要求的直线经过线段的中点时，直线的方程为，即．
综上可得，这条直线的方程是或，
故选：．
16．已知直线和直线，若直线到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线的方程为　或　．
【解答】解：直线可化为，
易知，且直线与直线与平行，
所以设直线的方程为且，
由题意，可得，
解得或，
故直线的方程为或，
即或．
故答案为：或．
17．已知和两点到直线的距离相等，则的值为　或　．
【解答】解：和两点到直线的距离相等，
，
化为：，
解得或．
故答案为：或．
18．已知点，直线，则点到直线的距离的取值范围为　，　．
【解答】解：直线，即，
该直线经过 和的交点 2，，
当点在直线上，点到直线的距离最小为0；
当和直线垂直时，点到直线的距离最大为，
故点到直线的距离的取值范围为，，
故答案为：，．
19．已知直线经过点．
（1）且原点到直线的距离为2，求直线的方程；
（2）若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程．
【解答】解：（1）当直线斜率不存在时，直线方程为；
当直线斜率存在时，设直线方程为，
即，
由，解得；
直线的方程为．
综上，所求直线方程为或；
（2）设直线夹在直线，之间的线段为在上，在上），，的坐标分别设为，，，，
被点平分，
，，于是，；
由于在上，在上，
，解得，，
即的坐标是，，
直线的方程的斜率为：；
直线的方程，即．
20．已知三条直线，，，且与间的距离是．
（1）求的值．
（2）能否找到一点，使同时满足下列三个条件？若能，求点的坐标；若不能，说明理由．
①点在第一象限；
②点到的距离是点到的距离的；
③点到的距离与点到的距离之比是．
【解答】解：（1）将直线的方程化为，
两条平行线与间的距离，
由，解得．
（2）假设存在点，设点，．若点满足条件②，则点在与，平行的直线上，
且，解得或，
所以或．
若点满足条件③，由点到直线的距离公式，
有，
即，
所以或．
由于点在第一象限，所以排除．
联立方程和，
解得（舍去）；
联立方程和，
解得，所以存在点，同时满足三个条件．

题型五 直线的对称问题综合
21．已知直线是中的平分线所在的直线，若点、的坐标分别是，，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设关于直线的对称点为，则，解得，即．
直线所在方程为：，化为：．
同理可得：点关于直线的对称点为，
直线所在方程为：，化为：．
联立，解得，可得．
故选：．
22．设直线，，．
（1）若直线，，交于同一点，求的值；
（2）若直线与直线关于直线对称，求直线的方程．
【解答】解：（1）直线，，
求解，的交点坐标为，
带入，可得，即；
（2）由直线，，可得，的交点坐标为，
设直线的方程为．即
直线上任取点坐标为到直线和直线的距离相等，
即
解得：（舍去）或．
直线的方程为：．
23．在平面直角坐标系中，已知两直线和，定点．
（1）若与相交于点，求直线的方程；
（2）若恰好是的角平分线所在的直线，是中线所在的直线，求的边所在直线的方程．
【解答】解：（1）联立两直线，解得，，所以直线的斜率，
直线方程为：．
（2）设点的坐标为，则点，所以，
解得，即，所以．
由恰好是的角平分线所在的直线得，，即，解得，
所以所在直线方程为，
化简得．
24．在中，已知，．
（1）若直线过点，且点，到的距离相等，求直线的方程；
（2）若直线为角的内角平分线，求直线的方程．
【解答】解：（1）因为点，到的距离相等，所以直线过线段的中点或．
① 当直线过线段的中点时，线段的中点为，的斜率，（1分）
则的方程为，即．（2分）
② 当时，的斜率，（3分）
则的方程为，即．（4分）
综上：直线的方程为或．（5分）
（2）因为直线为角的内角平分线，所以点关于直线的对称点在直线上．
设．则有，（6分）
得，即．（8分）
所以直线的斜率为，（10分）
则直线的方程为，即．（12分）
25．已知的三边所在直线的方程分别是，，．
（1）求的平分线所在直线的方程；
（2）求边上的高所在直线的方程．
【解答】解：（1）设是的平分线上任意一点，
则点到，的距离相等，即，
．
又的平分线所在直线的斜率在和之间，
为的平分线所在直线的方程．
（2）设过点的直线系方程为，
即．
若此直线与直线垂直，
则，解得．
故边上的高所在直线的方程为．
26．在中，已知，边上的中线所在直线方程为，的角平分线所在直线的方程为．求
（1）求顶点的坐标；
（2）求的面积．
【解答】解：（1）设，，则的中点在直线上；
所以，①
又点在直线上，即；②
由①②可得，，
即点的坐标为，；（5分）
（2）因为点，关于直线的对称点的坐标为，，
而点在直线上，
由题知得，；
所以直线的方程为；
因为直线和直线交于点，
由，解得，；
则，
点到直线的距离为；
所以．（12分）