中考数学专题隐圆中最值问题课件PPT

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名师独家秘笈——“隐圆最值”
几何求最值是初中数学难点之一，而“隐圆”问题便是常见的一类考题，此类问题综合性强（常常会牵扯到三角形、四边形、甚至坐标系等问题），隐蔽性强（不容易想到），加上部分题目的计算量很大，很容易造成同学们的丢分。近年来在全国各地的中考或名校的模拟考试中经常会出现“隐圆”求最值的问题(2014、2015、2016连续三年陕西中考的压轴题的最后一问都牵扯到了隐圆）。此类题目出现的位置一般是在填空的最后一题或是压轴题，基本都是难题。广大学生在此问题上经常丢分，甚至已经到了谈“隐圆”变色的地步。
为了解决好这个问题我们需要重温圆的定义：什么叫做圆？请回答：圆，到定点（原心）距离等于同一个常数（半径）的点的轨迹。圆中半径处处相等的，这些点都在圆周上。
我们知道不共线的三点确定一个圆
那么怎么样的四点确定一个圆呢？这就是我们首先要搞清楚的第一各问题四点共圆的问题？
【定义】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。怎样判定四点共圆呢？下面的问题你需要做点笔记：等线段共顶点：如图，若OA=OB=OC=OD,则A,B,C,D四点共圆DAO
定理.对角互补的四边形内接于圆。如图, 已知四边形ABCD，若∠B+∠D=180°，则A,B,C,D四点共圆
定理.从线段同一侧的两个点看向两个端点的张角相等，那么这四个点共圆。如图，AC,BD相交于点P，若∠B=∠A，则A,B,C,D四点共圆AB
定理.外角等于内对角的四边形内接于圆。
如图, 已知四边形ABCD，若∠B+∠D=180°，则A,B,C,D四点共圆
知识原型：直径也是圆中的弦，并且是圆中最长的弦。也就是说当圆中有某一固定长度线段AB为圆中的弦时，只有当AB为直径时，圆的直径才会最小。例 1.如图，在ΔABC 中，∠B = 900 ，AB = 6 ，BC = 8 ，D 为 AC 边一动点，过点 D 作DE⊥DF ，分别交 AB 边、 BC 边于 E 、 F 两点，则 EF 的最小值是 。A
由于在四边形 EBFD 中，DE⊥DF ，∠B = 90 ，所以 E、B、F、D 四点共圆（对角互补的四边形四个顶点共圆），且 EF 为圆的直径（如图 2）。所以，要求 EF 的最小值其实质就是求圆的直径最小值。A
由于 BD 始终是圆中一条弦，当 BD⊥ AC 时BD 有最小值，所以此时BD 为直径时圆的直径最小
过直线（线段） 外一点P 与直线（线段）L 上一动点 所做的圆中，当?? ⊥?时(也就是直线（线段） 与所做圆相切时)圆最小（直径、半径最短）
知识原型：圆的内接四边形对角一定互补，反之，对角互补的四边形四个顶点一定在同一个圆上。。例 2.如图，定长弦CD 在以为 AB 直径的ΘO 上滑动（点C 、 D 与点 A 、 B 不重合）， M 是CD的中点，过点C 作CP⊥ AB 于点 P ，若CD = 3 ， AB = 8 ，求 PM 长度的最大值 。
由于 M 是CD 的中点，所以，连接OM 后OM ⊥CD ,又因为CP⊥ AB ，所以在四边形OMPC中，对角∠CPO +∠CMO = 180 ，所以O 、M 、C 、 P 四点共圆，且OC 为直径(由于OC 为定值 4，所以在运动的过程中圆的大小不变）， PM 为弦，所以当MO⊥PO 时 PM 最大为圆的直径。即 PM 最大就是等于OC 等于 4.（直径是圆中最长的弦）
知识原型：利用“定线（弦）定角存隐圆”求最值例 3：边长为 3 的等边ΔABC ， D 、 E 分别为边 BC 、 AC 上的点，且 BD = CE ， AD 、BE 交于 P 点，则CP 的最小值为 。A
分析：由题目条件可知ΔABD ≌ΔBCE ，所以∠BAD = ∠CBE ，又因为∠CBE +∠ABE = 60 ，所以∠BAD +∠ABE = 60 ，所以∠APB = 120 。我们观察到在点 P 运动的过程中∠APB = 120 是固定角度，且∠APB 所对的线段 AB 也是固定的，所以 A 、 B 、 D 三点共圆，其中 AB 为弦，∠APB 为圆周角。（理论基础：同弦在同侧所对的圆周角相等）如图，作圆O 使得 A 、 B 、 D三点共圆，则动点 P 的运动轨迹就是弧 AB ，连接OC 与圆O 交于点 P' ，则CP' 的长就是CP 的最小值。（此题的关键点是找 P 点的运动轨迹，而找 P 点的运动轨迹的关键点是发现有定线定角）A
附：圆外一点到圆上的最小距离和最大距离如图：点 P 为圆O 外一点，连接 PO 交圆O 于M 点，延长 PO 交圆O 于 N 点。则线段 PM 长为点 P 到圆O 上一点的最小距离；线段 PN 长为点 P 到圆O 上一点的最大距离
在动点运动的过程中同学们要注意的是：虽然点在动（或不确定位置），但题目一定会有一些量是不变的，可能是某条线段的长度不变，也可能是某个角度不变，也有可能某个线与线、线与角、角与角的关系不变，这样才能化动态问题为定态问题。这个需要同学们对题目进行认真的分析和思考。