陕西省汉中市2022届高三第五次校际联考理科数学试题（含解析）

这是一份陕西省汉中市2022届高三第五次校际联考理科数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

陕西省汉中市2022届高三第五次校际联考理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
2．设复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列函数中，在区间（0，+∞）上是减函数的是（    ）
A． B． C． D．
4．设等差数列的前n项和为，若，则（    ）
A．19 B．21 C．27 D．30
5．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ）
A． B． C． D．
6．某地为遏制新冠肺炎病毒传播，要安排3个核酸采样队到2个中风险小区做核酸采样，每个核酸采样队只能选择去一个中风险小区，每个中风险小区里至少有一个核酸采样队，则不同的安排方法共有（    ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
7．六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的体积是（不计氟原子的大小）（    ）

A． B． C． D．
8．将函数的图象沿着x轴向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则的一个可能取值为（    ）
A． B． C． D．
9．已知命题p：过直线外一定点，且与该直线垂直的异面直线只有两条；命题，则下列命题中为真命题的是（    ）
A． B．
C． D．
10．随着现代科技的不断发展，使用微信支付越来越广泛.设某群体的每位成员使用微信支付的概率都为，且各成员的支付方式相互独立，则该群体的成员中使用微信支付的人数的均值和方差分别为（    ）
A．， B．，
C．， D．，
11．已知椭圆内有一点，为椭圆的右焦点，为椭圆的一个动点，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
12．已知函数，，若存在，使得成立，则正整数的最大值为（    ）
A．7 B．6 C．5 D．4

二、填空题
13．曲线在处的切线的方程为 .
14．若向量、为单位向量，且，则向量与的夹角为 .
15．我国古代数学著作《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，最上面节的容积之积为，最下面节的容积之积为，则第节的容积是 .
16．如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是下图中的 . （要求：把可能的图的序号都填上）



三、解答题
17．的内角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
18．某村为巩固脱贫成果，积极引导村民种植一种名贵中药材，但这种中药材需加工成半成品才能销售，现有甲、乙两种针对这种中药材的加工方式可供选择，为比较这两种加工方式的优劣，村委会分别从甲、乙两种加工方式所加工的半成品中，各自随机抽取了件作为样本检测其质量指标值（质量指标值越大，质量越好），检测结果如下表所示：
     指标区间
频数





甲种生产方式





乙种生产方式





已知每件中药半成品的等级与纯利润间的关系如下表所示：
指标区间



等级
二级
一级
特级
纯利润



（1）将频率视为概率，分别估计甲、乙两种加工方式所加工的一件中药材半成品等级为特级的概率；
（2）从平均数的角度分析村民选择哪种中药材加工方式获利更多．
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，E为PD的中点，.
  
(1)求证：PB平面AEC；
(2)求平面PAC与平面AEC所成角的余弦值.
20．已知抛物线C：的焦点为F，且与直线相切．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)是否存在过点F的直线l与抛物线C交于，两点，且使得△OAB（O为坐标原点）的面积为4，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
21．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，，求实数a的取值范围．
22．在直角坐标系中，圆的参数方程为：（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆的极坐标方程；
(2)椭圆，射线与圆的交点为O，P，与椭圆的交点为Q，求线段的长.
23．设函数.
(1)若，解不等式；
(2)已知，若时，，求实数的取值范围.

参考答案：
1．B
【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为，，
因此，.
故选：B.
2．D
【分析】根据复数的除法运算以及复数的几何意义即可得到答案.
【详解】，则其在复平面内所对应的点为，
其位于第四象限，
故选：D.
3．C
【分析】熟悉二次函数，对数函数，幂函数，指数函数的图像特点，即可判断其在区间上的单调性.
【详解】对于A，的对称轴为，且抛物线的开口向上，所以函数在区间上单调递增，A错误；
对于B，的底数为10，且 ，结合对数函数单调性可知，函数在区间上单调递增；
对于C，幂函数中指数为，结合幂函数单调性可知，函数在区间上单调递减；
对于D，由于 ，结合指数函数单调性可知，函数在区间上单调递增，D错误.
故选：C
4．D
【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质，结合前n项和公式计算作答.
【详解】等差数列的前n项和为，，所以.
故选：D
5．A
【分析】利用双曲线的离心率公式可求出的值，进而可得出双曲线的渐近线方程.
【详解】因为双曲线的离心率为，即，解得，
因此，双曲线的渐近线方程为，即.
故选：A.
6．C
【分析】由不平均分组，可得答案.
【详解】由题意，分组方案有一种情况，则种，
故选：C.
7．B
【分析】由已知证得平面，再根据棱锥的体积公式计算可求得答案.
【详解】解：如图，连接，，，连接．因为，，所以，，所以平面．因为，所以．因为四边形是正方形，所以，则，故该正八面体的体积为．
故选：B.

8．D
【分析】利用辅助角公式、图像变换及偶函数的性质得到，再对四个选项一一验证.
【详解】.
将其图象沿着x轴向左平移个单位长度，得到.
因为为偶函数，所以,
解得：.
若，解得：，不合题意，故A错误；
若，解得：，不合题意，故B错误；
若，解得：，不合题意，故C错误；
若，解得：，符合题意，故D正确.
故选：D
9．B
【分析】判断命题、的真假，利用复合命题的真假逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于命题，如下图所示，
    
设点为直线外一点，过点有且只有一个平面使得，
过点在平面内有无数条直线与异面且与直线垂直，命题为假命题；
对于命题，，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，命题为真命题.
对于A，为假命题，A错误；
对于B， 为真命题，所以为真命题，B正确；
对于C，为假命题，所以为假命题，C错误；
对于D，为真命题，所以为假命题，D错误.
故选：B.
10．B
【分析】由题意可确定服从于二项分布，由二项分布数学期望和方差计算公式直接求解即可.
【详解】由题意知：，，.
故选：B.
11．D
【分析】利用椭圆定义，结合.
【详解】如下图所示，由椭圆定义， ，是椭圆的左焦点，当 三点共线的时候，最大，
故选：D

【点睛】
12．A
【解析】利用导数求出函数在区间上的最大值和最小值，由此可得出，由此可得出的最大值.
【详解】，则，定义域为，
当时，.所以，函数在区间上单调递增，
故函数，.
由于存在、、、，使得成立，
则，得，，则的最大值为7.
故选:A.
【点睛】本题考查函数最值的应用，同时也考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，解题的关键就是将题意转化为函数的最值来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
13．
【分析】求导得切线的斜率，由点斜式即可求解直线方程．
【详解】，∴，因此切线的斜率为；
又，∴f(x)在处的切线方程为，即．
故答案为：．
14．
【分析】由平面向量数量积的运算性质可求得的值，结合向量夹角的取值范围可求得结果.
【详解】因为向量、为单位向量，且，
则，可得，
所以，，
因为，故，即向量与的夹角为.
故答案为：.
15．
【分析】设第节的容积为，根据等比数列的性质可求得的值，
【详解】现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，
设第节的容积为，则为等比数列，且，
上面节的容积之积，下面节的容积之积为，
，解得，，
第节的容积为：．
故答案为：.
16．②③
【分析】根据图像考虑上下平面，左右平面，前后平面的投影，对比选项得到答案.
【详解】根据图像知：
四边形BFD1E在上下平面的投影为②；在左右平面的投影为③，在前后平面的投影为②.
故答案为：②③.
17．(1)
(2)

【分析】（1）由已知条件结合正弦定理以及两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）由三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可求得的值，即可求得的周长.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理得，
所以，，则.
又，且、，，所以，，故.
（2）解：因为的面积为，即，可得，
由余弦定理，得，
所以，，故的周长为.
18．（1）0.36，0.3；（2）选择甲种中药材加工方式获利更多.
【分析】（1）由表格可得相应的频数进而求得概率；
（2）先求出甲、乙两种加工的一件中药材半成品的平均利润，比较即可判断结果．
【详解】解：（1）由表格可得，甲种加工方式所加工的一件中药材半成品等级为特级的频数为，
故频率为．
乙种加工方式所加工的一件中药材半成品等级为特级的频数为，
故频率为
由此估计：甲种加工方式所加工的一件中药材半成品等级为特级的概率为，
乙种加工方式所加工的一-件中药材半成品等级为特技的概率为；
（2）甲种加工方式所加工的一件中药材半成品的平均利润为（元）.
乙种加工方式所加工的--件中药材半成品的平均利润为（元）
所以，
所以从平均数的角度看，村民选择甲种中药材加工方式获利更多．
19．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）建系，求平面AEC的法向量，利用空间向量证明线面平行；
（2）求平面PAC的法向量，利用空间向量求面面夹角.
【详解】（1）因为平面ABCD，且平面ABCD，则，
即AB，AD，AP两两互相垂直，
如图，以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，，.
设平面AEC的法向量为，
则，取，可得，
所以平面AEC的一个法向量为，
可知，即，
又因为平面AEC，所以PB//平面AEC，
  
（2）由（1）可知：，
设平面PAC的法向量为，
则，取，可得，
则平面PAC的一个法向量为，
可得，
所以平面PAC与平面AEC所成角的余弦值为.
20．(1)
(2)存在，．

【分析】（1）利用抛物线与直线相切，有一个交点，判别式，即可求出p的值，得到抛物线C的标准方程；
（2）设直线l：，联立抛物线方程后运用韦达定理，代入三角形面积公式即可求出参数m的值，得到直线方程.
【详解】（1）联立，消去x得，
由题意知，
解得．
∴抛物线C的标准方程为．
（2）由（1）易知抛物线C的焦点F的坐标为，
假设存在满足条件的直线l，依题意可设l：，
由，消去x得．
∴，．
∴．
∵，
∴，解得．
∴存在满足条件的直线l，其方程为．
21．(1)递增区间为，递减区间为；
(2).

【分析】（1）求导，分别令，，即可得到递增递减区间；
（2）将，转化为，然后分、和三种情况讨论求的最大值，根据列不等式求解即可.
【详解】（1）易知函数的定义域为．
当时，，∴
令，得；令，得
∴函数的单调递增区间为，
的单调递减区间为．
（2）

，
①当时，恒成立，在上单调递增，
∴此时 ，
②当，令，得；令，得 ，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴．
∵，，，
∴此时
③当，恒成立，在上单调递减．
∴此时，令，得.
要使，，只需在的最大值点
综上，实数a的取值范围为
【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）恒成立⇔；
（2）恒成立⇔.
22．(1)
(2)

【分析】（1）先求得的普通方程，再转化为极坐标方程.
（2）求得的极坐标方差，代入，求得对应的，由此求得的长.
【详解】（1）由得
则，
即，
将代入并化简得.
（2）设，
将化为极坐标方程为
代入，解得
把代入，得
∴.
23．(1)
(2)

【分析】（1）分类讨论，求绝对值不等式的解集即可.
（2）由题设可得，结合在上恒成立，求的取值范围.
【详解】（1）由题设，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴，则得：；，无解；得：；
综上，的解集为.
（2）由题设，时，由，
∴，即恒成立，
∴，则，故.