2023年广东省深圳市宝安中学中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年广东省深圳市宝安中学中考三模数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省深圳市宝安中学中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．2023的相反数的倒数是（    ）
A．2023 B． C． D．
2．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．保健食品 B．绿色食品
C．有机食品 D．速冻食品
3．已知点在第四象限，则实数x的取值范围在数轴上表示正确的为（    ）
A． B．
C． D．
4．每年的6月6日是全国爱眼日，就在手机充斥着人们生活，占用大部分时间的同时，其蓝光危害以及用眼过度带来的影响也在悄然的威胁着人们的视力健康，某班为了解全班学生的视力情况，随机抽取了10名学生进行调查，将抽取学生的视力统计结果如下表．下列说法错误的是（　　）
视力
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
人数
1
1
2
3
1
2
A．平均数为4.7 B．中位数为4.8
C．众数为4.8 D．方差为0.0236
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线 从水中射向空气时要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，如图，若，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
7．下列命题中真命题的个数是（　　）
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直③顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是矩形；④平分弦的直径垂直于弦；⑤三角形的内心到三角形三边的距离相等；
A．4 B．3 C．2 D．1
8．如图，4幅图中的，，则下列叙述错误的是（    ）

A．图丙中的基本作图是过直线外一点作已知直线的垂线
B．在图甲、图乙、图丙中，
C．图甲中所作的三段弧的半径是相同的
D．图丁中
9．成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（    ）
A． B． C． D．
10．如图所示，圆锥的侧面积是，底面直径是．一只电子昆虫以的速度先从圆锥的顶点P沿母线爬到点A，再沿底面圆周爬行一周后回到点A，然后从点A沿母线爬回点P．设它的运动时间为t（单位：s），它与点P的距离为y（单位：），则y关于1的函数图像大致是（    ）
  
A．   B．   C．   D．  

二、填空题
11．因式分解：a316ab2=
12．已知一元二次方程有实数解，则k的取值范围是： ．
13．如图是某高铁站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度．李老师乘扶梯从底端A以的速度用时到达顶端B，则李老师上升的垂直高度为 ．

14．如图，已知三角形的顶点在反比例函数位于第一象限的图象上，顶点在轴的负半轴上，顶点在反比例函数位于第四象限的图象上，边与轴交于点，，边与轴交于点，，若面积为，则 ．
  
15．如图，P是等边三角形ABC内一点，连接PA、PC，PA＝PC，∠APC＝90°，把线段AP绕点A逆时针旋转120°，得到线段AQ（点P与点Q为对应点），连接BQ交AP于点E．点D为BQ的中点，连接AD、PD，若S△DAP＝2，则AB＝ ．


三、解答题
16．计算：．
17．先化简，再求值：，其中.
18．阅读对学生的成长有着深远的影响，某中学为了解学生每周课余阅读的时间，在本校随机抽取若干名学生进行调查，并依据调查结果绘制了如图所示的不完整的统计图表．请根据图表中的信息，解答下列问题：
组别
时间/小时）
频数（人数）
频率
A

6

B

a

C

10

D

8
b
E

4

合计


1
(1)表中的 ， ，并将频数分布直方图补全；
(2)估计该校2000名学生中，每周课余阅读时间不足小时的学生大约有多少名？
(3)E组的4人中，有1名男生和3名女生，该校计划在E组学生中随机选出2人向全校同学作读书心得报告，请用画树状图或列表法求抽取的2名学生刚好是1名男生和1名女生的概率．
19．探究函数的图象与性质，下面是探究过程，请补充完整：
（）下表是与的几组对应值．


























函数的自变量的取值范围是__________，的值为__________．
（）描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的大致图象．
（）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与轴有__________个交点，所以对应方程有__________个实数根．
②方程有__________个实数根．
③结合函数的图象，写出该函数的一条性质__________．

20．为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：
衬衫价格
甲
乙
进价（元件）


售价（元件）
260
180
若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．
（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；
（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠元出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
21．如图①，已知线段与直线l，过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，易，可知点P对线段的视角最大．
  
(1)问题提出
如图②，已知的外接圆为，与相切于点P，交的延长线于点Q．
①请判断与的大小关系，并说明理由．
②若，，求的长．
(2)问题解决
如图③，一大型游乐场入口设在道路边上，在“雪亮工程”中，为了加强安全管理，结合现实情况，相关部门准备在与地面道路夹角为的射线方向上（位于垂直于地面的平面内）确定一个位置C，并架设斜杆，在斜杆的中点P处安装一摄像头，对入口实施监控（其中点A、B、D、P、C、M、N在同一平面内）．已知米，米，调研发现，当最大时监控效果最好，请问在射线上是否存在一点C，使得达到最大？若存在，请确定点C在上的位置及斜杆的长度；若不存在，请说明理由．
22．（1）【探究发现】如图①，已知四边形是正方形，点E为边上一点（不与端点重合），连接，作点D关于的对称点，的延长线与BC的延长线交于点F，连接．
  
①小明探究发现：当点E在上移动时，．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．
证明：延长交于点G．
②进一步探究发现，当点与点F重合时，　　　．
（2）【类比迁移】如图②，四边形为矩形，点E为边上一点，连接，作点D关于的对称点D，的延长线与的延长线交于点F，连接，，．当，，时，求的长；
  
（3）【拓展应用】如图③，已知四边形为菱形，，，点F为线段上一动点，将线段绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果，请直接写出此时的长．
  

参考答案：
1．D
【分析】根据相反数和倒数的定义进行求解即可．
【详解】解：2023的相反数是，
的倒数是，
∴2023的相反数的倒数是，
故选D．
【点睛】本题主要考查了相反数和倒数的定义，解题的关键是熟知只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；乘积为1的两个数互为倒数．
2．D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．C
【分析】根据第四象限内点的坐标特点列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：∵点在第四象限，
∴，
解得，
解集在数轴上的表示为：

故选：C．
【点睛】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．
4．A
【分析】根据众数、中位数、平均数及方差的定义列式计算即可．
【详解】解：A．平均数为：，故选项A符合题意；
B．中位数为，故选项B不符合题意；
C．众数为4.8，故选项C不符合题意；
D．方差为，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、平均数及方差的定义．
5．D
【详解】解：A．，错误；
B．，错误；
C．，错误；
D．，正确，
故选D．
【点睛】本题考查整式的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
6．C
【分析】如图所示，根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：根据题意，如图所示，，，

根据题意可知，，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
7．C
【分析】根据平行公理，垂直的性质，中位线的性质，菱形的性质与矩形的判定定理，垂径定理，三角形内心的定义，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②错误；
③顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是矩形，故③正确，符合题意；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故④不正确；
⑤三角形的内心到三角形三边的距离相等，故⑤正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行公理，垂直的性质，中位线的性质，菱形的性质与矩形的判定定理，垂径定理，三角形内心的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键．
8．C
【分析】根据图形逐项做出判断即可．
【详解】解：A．图丙中的基本作图是过直线外一点作已知直线的垂线，故选项正确，不符合题意；
B．甲图是作，
乙图中是作线段的垂直平分线，则，则，
丙图中是过点B作的垂线，则，则，
∴在图甲、图乙、图丙中，，故选项正确，不符合题意；
C．图甲中所作的三段弧的半径是不同的，故选项错误，符合题意；
D．由图可知是圆的直径，由直径所对的圆周角是直角可知，故选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查为了基本作图，垂直平分线的性质、等边对等角、圆周角定理等知识，熟练掌握基本作图和相关性质定理是解题的关键．
9．C
【分析】根据将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等可得，再根据5只雀、6只燕重量为1斤可得，由此即可得．
【详解】解：由题意，可列方程为，
故选：C．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键．
10．A
【详解】底面圆的周长，
∵扇形面积
∴，
距离最大为：，
从圆锥的顶点P沿母线爬到点A的轨迹是：，
图象是一段上升的直线，
再沿底面圆周爬行一周后回到点A：距离始终是13，
图象是一段平行于横轴的直线，
从点A沿母线爬回点P：，，
图象为一段下降的直线；
故选：A．
【点睛】此题考查了函数图像，解题的关键是根据题意求出各段函数并画出函数图像．
11．a（a+4b）（a﹣4b）
【分析】先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式．
【详解】解：a3−16ab2=a(a2−16b2)=a(a+4b)(a−4b)，
故答案为a(a+4b)(a−4b)．
【点睛】此题考查了综合利用公式法和提公因式法分解因式，正确掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．且
【分析】由一元二次方程有实数解，可得，再解不等式组即可．
【详解】解：∵一元二次方程有实数解，
∴，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式，理解题意，列出正确的不等式组是解本题的关键．
13．
【分析】设，根据坡度的概念得到，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：设，
∵扶梯的坡度，
∴，
由题意得：，
由勾股定理得：，即，
解得：（负值舍去），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
14．
【分析】过作于，过作于点，则，可得，，根据相似三角形的性质进而得出，根据面积为，即可求解．
【详解】过作于，过作于点，如图示：
  
设，则，，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键．
15．4
【分析】延长QA到M，使得AM＝AQ，连接BM，PM．首先证明△PAM是等边三角形，证明△MAB≌△PAC（SAS），推出∠AMB＝∠APC＝90°，由AQ＝AM，BD＝DQ，推出AD∥BM，BM＝2AD，推出AD＝PA，再利用三角形的面积公式构建方方程求出PA即可解决问题．
【详解】延长QA到M，使得AM＝AQ，连接BM，PM．

∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵PA＝PC，∠APC＝90°，
∴∠PAC＝∠PCA＝45°，
∵∠PAQ＝120°，
∴∠PAM＝180°﹣120°＝60°，
∵AM＝AQ＝AP，
∴△APM是等边三角形，
∴∠MAP＝∠BAC＝60°，
∴∠MAB＝∠PAC，
∵AM＝AP，AB＝AC，
∴△MAB≌△PAC（SAS），
∴BM＝PC，∠AMB＝∠APC＝90°，
∵AQ＝AM，BD＝DQ，
∴AD∥BM，BM＝2AD，
∴AD＝PA，
∴∠QAD＝∠QMB＝90°，
∴∠PAD＝∠MAD﹣∠MAP＝90°﹣60°＝30°，
∵S△PAD＝2，
∴•PA•AD•sin30°＝2，
∴•PA•PA•＝2，
∴PA＝4，
∴AB＝AC＝PA＝4，
故答案为4．
【点睛】考核知识点：等腰直角三角形；旋转的性质．理解相关性质是关键.
16．
【分析】利用求立方根和化简绝对值的方法、零指数幂公式和的值计算即可．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题考查含特殊角三角函数值的实数混合运算，零指数幂，求立方根，化简绝对值等知识，掌握相关法则、方法和特殊角三角函数值是解题的关键．
17． ．
【详解】分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．
详解：原式=÷（﹣）
    =÷
    =•
    =﹣
     =
当m=﹣2时，原式=﹣
    =﹣
    =﹣1+2
=．
点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18．(1)12，；见解析
(2)每周课余阅读时间不足小时的学生大约有300人；
(3)

【分析】（1）先求得抽取的学生数，再根据频率计算频数，根据频数计算频率；
（2）根据每周课余阅读时间不足小时的学生的频率，估计该校2000名学生中，每周课余阅读时间不足小时的学生数即可；
（3）通过画树状图，根据概率的计算公式，即可得到抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率．
【详解】（1）解：∵抽取的学生数为人，
∴人，
，
频数分布直方图如下：

故答案为：12，；
（2）解：该校2000名学生中，每周课余阅读时间不足小时的学生大约有：人；
答：每周课余阅读时间不足小时的学生大约有300人；
（3）解：树状图如图所示：

总共有12种等可能的结果，其中刚好是1名男生和1名女生的结果有6种，
∴抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率．
【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求概率，以及频数分布直方图的运用，解题时注意：当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
19．（），；（）图象见解析；（）①，1；②；③函数没有最大值或函数没有最小值或函数图像没有经过第四象限（答案不唯一）．
【分析】（1）根据分式的分母不为零确定出自变量x的取值范围为x≠1，把x=3代入函数的解析式求得m= ；
（2）在坐标系中描出根据表中各对对应值为坐标的点，连接画出函数图象即可；
（3）①观察图象即可得：函数图象与轴有1个交点，所以对应方程有1个实数根；
②观察图象即可得方程有3个实数根；
③根据函数图象写出该函数的一条性质即可，答案不唯一，正确即可．
【详解】解：（）由题意可得，，
故答案为，．
（）如图所示．

（）①由图像可得： 函数图象与轴有1个交点，所以对应方程有1个实数根．
故答案为：；．
②方程有3个实数根．
故答案为：3
③函数没有最大值或函数没有最小值或函数图像没有经过第四象限（答案不唯一）．
20．（1）甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）共有11种进货方案；（3）当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
【分析】（1）依据用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同列方程解答；
（2）根据题意列不等式组解答；
（3）设总利润为，表示出w与x的函数解析式，再分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求出利润的最大值即可得到答案．
【详解】解：（1）依题意得：，
整理，得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；
（2）设购进甲种衬衫件，乙种衬衫件，
根据题意得：，
解得：，
为整数，，
答：共有11种进货方案；
（3）设总利润为，则
，
①当时，，随的增大而增大，
当时，最大，
此时应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；
②当时，，，
（2）中所有方案获利都一样；
③当时，，随的增大而减小，
当时，最大，
此时应购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
综上：当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，（2）中所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
【点睛】此题考查分式方程的实际应用，不等式组的实际应用，一次函数的性质，正确理解题意熟练应用各知识点解决问题是解题的关键．
21．(1)①，理由见解析；②4
(2)点在上距离点处，斜杆的长度为

【分析】（1）①作直径，连接，则，与相切，得，再根据圆周角定理即可得结果．②证明，得，代入数值可得结果．
（2）取的中点，过点作的平行线，经过，作与相切于点，此时最大，由求出，由勾股定理求出，，，再求出，最终得到，的长度．
【详解】（1）解：①，理由如下：
如图②，连接并延长至圆上一点，连接，
  
则，
为圆的直径，
，
，
与相切于点，
，
，
，
，
．
②，，
，
，
，，
，
，
．
（2）解：存在一点，使得达到最大．
如图③，取的中点，过点作的平行线，

经过，作与相切于点，
由题意知，此时最大．
，是中点，
，，
作直径，连接，
则，，
，
是的切线，是切点，
，
，
，
又，
，
，
，
．
过点作于，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，
，
．
故点在上距离点处，斜杆的长度为．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形相似，圆的张角等知识，属于圆的综合题，恰当添加辅助线，灵活运用所学知识是解题关键．
22．（1）①见解析；②；（2）；（3）的长为或．
【分析】（1）①延长交于点，则由对称可知，结合得到，由正方形的性质得到、，从而证明；
②当点与点重合时，由对称可知，然后由①得到；
（2）延长交于点，由对称可知点是的中点，，结合得到，从而有是的中位线，得到点是的中点，从而求得，再由勾股定理求得的长；由（1）①得，得到，进而借助相似三角形的性质求得的长，然后由中位线的性质求得的长；
（3）以点为圆心，的长为半径作圆弧，与和的交点即为点，然后分点在上和点在上讨论，延长交于点，然后借助（1）（2）的思路求解．
【详解】（1）①证明：如图①，延长由对称可知，，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
．
②解：如图1，当点与点重合时，由对称可知，
∵四边形是正方形，
，
，
由①得到，
，
故答案为：；
（2）解：如图2，延长交于点，
由对称可知，点是的中点，，
，
，
∴是的中位线，
∴点是的中点，
∴，
∴＝，
由（1）①得，，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的中位线，
∴．
（3）以点为圆心，的长为半径作圆弧，与和的交点即为点，
①如图3，当点在上时，延长交于点，
由（1）①可得，，且，
∵四边形为菱形，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
，
∴；
②如图4，当点在上时，延长交于点，则，
，
，
∵四边形是菱形，
∴，
，
，
在和中，
，
，
∴，
，
，
，
设，则，
在中，，
∴＝，
解得：，
∴，
综上所述，的长为或．
  
【点睛】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是通过菱形的性质和三角形的内角和定理得到相似三角形或全等三角形．