2023年辽宁省阜新市第一中学等校联考九年级中考一模数学（含解析）

这是一份2023年辽宁省阜新市第一中学等校联考九年级中考一模数学（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2023年辽宁省阜新市第一中学等校联考九年级中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的倒数是（    ）
A． B． C． D．7
2．下图是水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（  ）

A． B． C． D．
3．今年世界环境日，某校组织以保护环境为主题的演讲比赛，参加决赛的6名选手成绩（单位：分）如下：80分，95分，85分，90分，95分，100分．这6名选手成绩的众数和中位数分别是（    ）．
A．88分，88分 B．95分，87．5分
C．95分，92.5分 D．95分，95分
4．不等式组的解集是（    ）．
A．   B．  
C．   D．  
5．如图，直线，等边的顶点C在b上，若，则的度数为（    ）．
  
A． B． C． D．
6．若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（    ）．
A． B．且 C． D．且
7．如图，点O为正六边形对角线上一点，假设可以随机在正六边形中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（    ）．
  
A． B． C． D．
8．如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为x米，则可列方程为（    ）

A． B． C． D．

二、解答题
9．如图，二次函数图象的对称轴是，下面四条信息的判断：①，②，③，④．你认为其中正确的是（    ）．

A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①③④

三、单选题
10．如图，过直线上的点长作，交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；过点作交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；…按照此方法继续作下去，若，则线段的长度为（    ）．
  
A． B． C． D．

四、填空题
11．计算：（）0﹣1= ．
12．在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则 （填“>”“=”或“<”）.
13．如图，点A，B，C，D，E都在上，，，则 ．
    
14．如图，在中，点D是边上的一点，，，，则边的长为 ．
  
15．如图，将绕点逆时针旋转一个角度得到，点的对应点恰好落在边上，且，，三点在同一条直线上，若，则的度数是 ．
  
16．已知A，B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发半小时后，乙车从A地出发沿同一路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回A地，两车之间的距离y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，则乙车的行驶时间为 小时．


五、解答题
17．先化简，再求值：，其中．
18．在平面直角坐标系中，已知点，N对于点P给出如下定义：将点P绕点M逆时针旋转，得到点，点关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．

(1)如图1，若点M在坐标原点，点，
①点的“对应点”Q的坐标为__________；
②若点P的“对应点”Q的坐标为，则点P的坐标为__________．
(2)如图2，当点在第一象限时，且，，点，若，点Q为点P的“对应点”，写出点Q的坐标（用含a，b，m的式子表示）．
19．如图，在中，，延长到点D，以为直径作，交的延长线于点E，延长到点F，使．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求扇形的面积．
20．某校举行了“文明在我身边”摄影比赛．已知每幅参赛作品成绩记为x分．校方从600幅参赛作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了它们的成绩，并绘制了如下不完整的统计图表．
“文明在我身边”摄影比赛成绩统计表
分段数
频数
频率

18
0.36

17
c

a
0.24

b

合计

1
“文明在我身边”摄影比赛成绩频数分布直方图
  
根据以上信息解答下列问题：
(1)统计表中c的值为__________；样本成绩的中位数落在分数段__________中；
(2)补全频数分布直方图；
(3)若80分以上（含80分）的作品将被组织展评，试估计全校被展评作品数量是多少？
21．如图，杨帆同学在学习了“解直角三角形及其应用”的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点C处测得大树顶端A点的仰角为，再从C点出发沿斜坡走到点D处，测得大树顶端A点的仰角为；D点到地面C的距离是．若斜坡的坡度（点E，C，B在同一水平线上），求大树的高度．（结果精确到，参考数据：，，斜坡坡度：指斜坡的铅直高度与水平宽度的比）

22．某公司计划从商店购买同一品牌的毛巾和同一品牌的香皂，已知购买一条毛巾比购买一块香皂多用20元，若用400元购买毛巾，用160元购买香皂，则购买毛巾的条数是购买香皂块数的一半.
(1)购买一条该品牌毛巾、一块该品牌香皂各需要多少元？
(2)经商谈，商店给予该公司购买一条该品牌毛巾赠送一块该品牌香皂的优惠，如果该公司需要香皂的块数是毛巾条数的2倍还多8个，且该公司购买毛巾和香皂的总费用不超过670元，那么该公司最多可购买多少条该品牌毛巾？
23．如图1，和都是等边三角形，连接，将绕点B逆时针得到，连接，．
  
(1)连接，求证：；
(2)将图1中的绕点A顺时针旋转，如图2，当，且时，求证：四边形为菱形；
(3)如图3，连接，取，的中点M，N，若，，将绕点A顺时针旋转α，当，线段取最小值时，直接写出线段的长度．
24．如图1，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，若点P是抛物线上一动点，过点P作轴交直线于Q点，y轴上是否存在点E，使以P，Q，E，C为顶点的四边形是菱形，存在，请直接写出点E的坐标；不存在，请说明理由．

参考答案：
1．A
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【详解】解:∵，
∴的倒数是．
故选择A．
【点睛】本题考查倒数的定义，掌握倒数的定义是解题关键．
2．C
【分析】根据俯视图是从物体上面看，从而得到出物体的形状．
【详解】几何体的俯视图是从上面往下面看几何体得到的平面图形，要注意看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线；
从上面观察可得到：．
C符合这一要求.
故选C.
【点睛】本题考查了三视图的概简单几何体的三视图，本题的关键是要考虑到俯视图中看见的棱用实线表示．
3．C
【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是将一组数据排序后，位于中间一位或中间两位的平均数，进行求解即可．
【详解】解：95分，出现的次数最多，
∴众数为95分，
排序后，中位数为（分）；
故选C．
【点睛】本题考查求众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的确定方法，是解题的关键．
4．A
【分析】分别解出每个不等式，在数轴上表示解集即可．
【详解】解：
由①得：，
由②得：，
∴该不等式组的解集为：．
故选：A．
【点睛】本题考查了解不等式组，关键是合理利用不等式组的解集的确定方法判断其解集，判断解集的方法：都大取大，都小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
5．B
【分析】先根据对顶角相等，得到的度数，再根据等边三角形的性质，得到的度数，进而得到的度数，再利用平行线的性质，即可求出的度数．
【详解】解：，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故选：B．

【点睛】本题考查了对顶角，等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
6．C
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：当时，，
∴，
当时，原方程是一元一次方程，有实数根，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
7．B
【分析】如图，连接、、，则交点为，设正六边形的边长为，每个小三角形底边上的高为，则的长为，正六边形的面积为，，然后根据这个点取在阴影部分的概率是，计算求解即可．
【详解】解：∵正六边形，如图，连接、、，则交点为，
  
设正六边形的边长为，每个小三角形底边上的高为，则的长为，
∴正六边形的面积为，
，
∴这个点取在阴影部分的概率是，
故选：B．
【点睛】本题考查了几何概率．解题的关键在于正确表示阴影部分、正六边形的面积．
8．D
【分析】设的长为x米，则米，根据花圃的面积刚好为40平方米列出方程即可．
【详解】解：设的长为x米，则米，根据题意得：
，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据花圃的面积列出方程．
9．D
【分析】根据抛物线与轴的交点位置得，可对进行判断，由抛物线开口方向得，利用抛物线的对称轴方程得到，则则可对进行判断，由于时，，则可对进行判断，通过变形可对进行判断．
【详解】抛物线与轴的交点在轴下方，
，所以正确，
抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，所以错误，
时，，
，所以正确，
，
，所以正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口，一次项系数和二次项系数共同决定，对称轴的位置：当与同号时即对称轴在轴左，当与异号时即，对称轴在轴右，常数项决定抛物线与轴交点．
10．C
【分析】根据直线的解析式求得直线和x轴的夹角的大小，再根据题意求得的长，然后依据直角三角形三角函数的求法求得的长，进而求得的长，进一步求得的长，然后根据直角三角函数求得，从而求得线段的长度，即可求解．
【详解】解：∵直线，，
∴
∴
∴
∴直线l与x轴夹角为，
∵为x轴上一点，且，，轴
∴
∴
∵，
∴
∴，
∵轴，
∴
∴，
∴，
同理，
…
，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用解直角三角函数求得线段的长，解题关键是分析数据找出规律．
11．0
【分析】根据零指数幂：a0=1（a≠0）进行计算即可．
【详解】原式=1-1=0，
故答案为0．
【点睛】此题主要考查了零指数幂，关键是掌握a0=1（a≠0）．
12．＞
【分析】根据反比例函数的性质，k>0，在每个象限内，y随x的增大而减小，进行判断即可．
【详解】解：∵k>0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
，
∴>．
故答案为：>．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．
13．/90度
【分析】首先连接，由圆周角定理即可得的度数，继而求得的度数，然后由圆周角定理，求得的度数即可解答．
【详解】解：连接，
    
∵， ，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，准确作出辅助线和熟练掌握圆周角定理和圆心角定理是解题的关键．
14．2
【分析】由已知条件中，为公共角，可证，得，据此可求的长．
【详解】解：，，
，
∵，，
，
，
即，
，
即的长为，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
15．/度
【分析】根据绕点旋转得到，可得，设，则＝，在中，，得
【详解】解：绕点旋转得到，
，
，
设，则，
，
，，在同一直线上，
在中，，
，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，能熟练应用三角形内角和定理．
16．3
【分析】由图象可知，乙出发后用（小时）追上了甲车，根据乙车原路原速返回A地，知从追上甲车的地方返回A地用了小时，即可得到答案．
【详解】解：由图象可知，乙出发后用（小时）追上了甲车，
∵乙车原路原速返回A地，
∴乙车返回A地的时间和追赶甲车时的时间相同，
即从追上甲车的地方返回A地用了小时，
∴乙车的行驶时间为（小时），
故答案为：3．
【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
17．，
【分析】先对分式进行化简，再计算x的值，最后代入化简后的分式计算即可．
【详解】解：原式


，化简得，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数值，掌握分式混合运算的步骤和特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．(1)①；②
(2)

【分析】（1）①先求出点的坐标，再根据对称点的性质即可得；
②先根据对称点的性质可得点的坐标，再根据点坐标的旋转规律即可得；
（2）先画出图形，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作，交延长线于点，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后设点的坐标为，根据对称点的性质求解即可得．
【详解】（1）解：①∵将点绕点逆时针旋转，得到点，点在坐标原点，，
，
设点的坐标为，
点关于点的对称点为，且点，
，解得，
，
故答案为：；
②设点的坐标为，
则，解得，
，
∵将点绕点逆时针旋转，得到点，点在坐标原点，
∴将点绕点顺时针旋转，得到点，
（绕原点顺时针旋转的点坐标的变换规律：横、纵坐标互为位置，纵坐标变为相反数），
故答案为：．
（2）解：如图，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作，交延长线于点，

，且，，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
设点的坐标为，
则，解得，
所以点的坐标为．
【点睛】本题考查了点坐标的旋转变换、三角形全等的判定与性质、点坐标的轴对称变换，熟练掌握点坐标的旋转变换和点坐标的轴对称变换是解题关键．
19．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，根据得，再根据，，从而得到，即可证明结论；
（2）先求出，再求出，即可解答．
【详解】（1）证明：连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，∴，
∴，即，
且点E在上，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
在四边形中，，
∴，
∵，
∴，
∴扇形的面积为．
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握上述知识点并运用数形结合思想．
20．(1)0.34，
(2)见解析
(3)180

【分析】（1）由频数和频率求得总数，根据频率=频数÷总数求得a、b、c的值，由中位数定义求解即可．
（2）根据（1）中所求数据补全图形即可．
（3）总数乘以80分以上的频率即可．
【详解】（1）∵抽查的人数为：（人），
∴（人），（人），．
其中位数为第25、26个数的平均数，
∴中位数落在中．
（2）补全图形．
  
（3）估计全校被展评作品数量是（幅）．
【点睛】本题考查了频率分布表，频数分布直方图及中位数，解题的关键是仔细读图，弄清频数分布表和频数分布直方图之间的联系是解题的关键．
21．
【分析】过点D作于点G，作于点H，设，用含x的代数式表示出，，根据列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：过点D作于点G，作于点H，

∴四边形是矩形，
∴，，
∵斜坡的坡度，，
则设为m，为m，
在中，，
∴，
∴，，
设的高度为，
在中，∵，
∴，
在中，，，
∵，∴，
即，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
，
答：大树的高度为．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、坡度比问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念、坡度比的概念．
22．(1)购买一条该品牌毛巾需要25元、购买一块该品牌香皂需要5元；
(2)该公司最多可购买21条该品牌毛巾．

【分析】（1）设购买一块该品牌香皂需要元，购买一条该品牌毛巾需要元，根据题意列分式方程，求解即可得到答案；
（2）设该公司可购买条该品牌毛巾，则购买块香皂，根据题意列不等式，求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设购买一块该品牌香皂需要元，购买一条该品牌毛巾需要元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
，
答：购买一条该品牌毛巾需要25元、购买一块该品牌香皂需要5元；
（2）解：设该公司可购买条该品牌毛巾，则购买块香皂，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为21，
即该公司最多可购买21条该品牌毛巾．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出数量关系正确列方程并求解是解题关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）根据等边三角形的性质可证，则，再结合已知即可证得结果．
（2）利用已证的得出，再利用等边三角形的内角为60°可证，则，再利用已证的可证四边形是平行四边形， 再由可证四边形是菱形．
（3） 取AB的中点H，连接，根据三角形的中位线定理，根据“两点之间，线段最短”得，推导出，则的最小值为2，此时点M在上，点在同一条直线上，连接，根据勾股定理求出的长，再根据三角形的中位线定理求出的长即可．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
∵旋转得到，
∴且，
∴等边三角形，，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）知，，
又∵，
∴，
∴

，
∴，又
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴，
∴四边形是菱形．
（3）如图3，取的中点H，连接，
  
∵分别为的中点，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为2，
此时，点M在上，
∴点在同一条直线上，
如图4，连接，
  
∵是等边三角形，H是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴线段的长度为．
【点睛】此题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、“两点之间，线段最短”等知识，此题难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)，，

【分析】（1）把点和代入解析式求解即可；
（2）过点D作轴，交于点H，由（1）设，直线的解析式为，然后可求出直线的解析式，则有，进而可得，最后根据可进行求解；
（3）分类当为对角线和菱形边时，利用直线与x轴成45°角关系建立关于P的横坐标的方程，进而求出点的坐标.
【详解】（1）解：∵点，在抛物线上
∴把，代入得：
，解得，
∴．
（2）解：过点D作轴，交于点H，如图所示，

设直线的解析式为，由（1）可得：，
则得解得，．
直线的解析式为，
设，则，
∴．
∵轴，∴∽．
∴，
∴当时的值最大，∴．
（3）①当为菱形的对角线时，垂直平分,
∵解析式是,
∴,此时四边形是正方形.
∴.
设,则,
∴,
∴, 解得(不合题意舍去)或,
此时,
∴.

②当为菱形的边时, 设, 则,
∴,
即或
解得：   
∴
综上所述，符合条件的点E有三个，坐标为：
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键.