福建省福宁古五校联合体2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

这是一份福建省福宁古五校联合体2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了每小题选出答案后，填入答题卡中等内容，欢迎下载使用。

（满分150分，120分钟完卷）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将班级、姓名、座号填写清楚．
2．每小题选出答案后，填入答题卡中．
3．考试结束，考生只将答题卡交回，试卷自己保留．
一 、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的运算法则计算即可.
【详解】由可得：.
故选：B
2. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算求得，结合，列出方程，即可求解.
【详解】由向量，可得，
因为，可得，解得.
故选：C.
3. ，是两个平面，，是两条直线，下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，，则D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间中，直线与平面、平面与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A：若，，则或，故A不正确；
对于B：若，，则或，故B不正确；
对于C：若，，，则或与异面，故C错误；
对于D：若，，根据面面平行的性质定理可得，故D正确.
故选：D.
4. 中，点M为边AC上的点，且，若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平面向量的基本定理结合图形计算即可.
【详解】由题意易得：，
故，
故选：D
5. 已知正方形的边长为，按照斜二测画法作出它的直观图，直观图面积为，则值为（ ）
A. B. 2C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，根据斜二测画法的规则，得出边长为的正方形的直观图，过作，求得，结合的面积为，列出方程，即可求解.
【详解】以为原点，以和所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，
如图（1）所示，
根据斜二测画法的规则，得到边长为的正方形的直观图，如图（2）所示，
因为，可得，
又因为，过作，可得，
由直观图的面积为，所以，解得.
故选：B.
6. 在中，点D是边的中点，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平面向量的数量积与模的关系计算即可.
详解】如图所示，由题意可得：
，
即，解之得
故选：A
7. 体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为380N，则该学生的体重（单位kg）约为（ ）(参考数据：取重力加速度大小为10m/s2，)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的数量积求得两只胳膊的拉力的合力大小，再依据物理定理即可求得该学生的体重.
【详解】由物理定理可得，该学生的重力与两只胳膊的拉力的合力大小相等方向相反
两只胳膊的拉力的合力大小为
则该学生的体重约为（kg）
故选：B
8. 将边长为2的正方形纸片折成一个三棱锥，使三棱锥的四个面刚好可以组成该正方形纸片，若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出三棱锥的直观图，将三棱锥补成长方体，可计算出该三棱锥的外接球的半径，结合球体的表面积公式可求得结果.
【详解】在边长为的正方形中，设、分别为、的中点，
、、分别沿、、折起，
使、、三点重合于点，满足题意，如下图所示：
翻折前，，，
翻折后，则由，，，
将三棱锥补成长方体，其中，，
设三棱锥的外接球的半径为，则，
，故该三棱锥的外接球的表面积为.
故选：A
二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 设向量，则（ ）
A. B.
C. 与的夹角为D. 在上的投影向量为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量的坐标表示判断模长、共线、夹角、投影向量即可.
【详解】由得：，故A正确；
而，即与不平行，故B错误；
，即，故C正确；
在上的投影向量为，故D正确；
故选：ACD
10. 已知，下列结论正确的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】设复数，结合复数模的计算公式和共轭复数的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】设复数，
对于A中，，，所以，所以A不正确；
对于B中，由，可得，所以，所以B错误；
对于C中，由，所以，所以C正确；
对于D中，由，所以，所以D正确.
故选：CD.
11. 在中，，角所对的边，下列结论正确的为（ ）
A. 若，有一个解B. 若，无解
C. 若，有两个解D. 若，有一个解
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，由正弦定理求得，结合选项中的取值范围，分类讨论，即可求解.
【详解】因为且，由正弦定理，即，
当时，可得，所以，此时有一个解，故A不正确；
当时，可得，不成立（舍去），此时无解，故B正确；
当时，即，则，由，此时有两解，即有两解，故C正确；
当，即，则，由，此时只有一解，故D正确.
故选：BCD.
12. 在正方体中，点满足，其中，，则（ ）
A. 当时，直线与直线异面
B. 当时，的周长为定值
C. 当时，直线平面
D. 当时，三棱锥的体积为定值
【答案】CD
【解析】
【分析】当时，直线与直线平行否定选项A；当，时的周长与当时的周长不相等否定选项B；利用线面平行判定定理证明直线平面则选项C判断正确；利用线面平行性质定理证明三棱锥的体积为定值则选项C判断正确.
【详解】设正方体棱长为a，
选项A：当时，，则点P在线段上，
当时，即，则，即.判断错误；
选项B：当时，，则点P在线段上，
当时，的周长为；
当时，的周长为，
则的周长不为定值.判断错误；
选项C：当时，，则点P在线段上，
则平面即平面，由，
平面，平面，可得平面，
则直线平面.判断正确；
选项D：当时，则点P在线段上，由，
平面，平面，可得平面，
则点P到平面的距离为定值，则三棱锥的体积为定值.判断正确.
故选：CD
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知点，，，若，则值为____．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量垂直的充要条件列关于的方程，解之即可求得的值.
【详解】，，，则，
由可得，，则，
解之得
故答案为：
14. 已知复数的实部为， 且，则复数的虚部为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，设复数，由，列出方程，即可求解.
【详解】由复数的实部为，可设复数，
因为，可得，可得，解得.
故答案为：.
15. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 .
【答案】
【解析】
【详解】由面积为的半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为.所以底面半径为1.即可得到圆锥的高为.所以该圆锥的体积为.
16. 如图放置的边长为1的正方形的顶点A，分别在轴的正半轴、轴的非负半轴上滑动，则的取值范围为_____．
【答案】
【解析】
【分析】先求得两点的坐标，进而得到的表达式，再利用三角函数性质即可求得的取值范围.
【详解】设，则，
则，
则
又，则，则，
则，则的取值范围为
故答案为：
四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知复数，复数在复平面内对应的向量为，
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由复数在复平面对应的向量得复数，再由复数的分类求得a的值；
（2）计算，由其在复平面内对应的点列出不等式组，解不等式组得a的取值范围.
【小问1详解】
由题，则，
由为纯虚数得，，
解得．
【小问2详解】
，
在复平面内的对应点在第四象限，则，即，
解得．
18. 如图，某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学研究性学习小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿该中学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知．
（1）分别求AE、BH的长；
（2）求宣传牌CD的高度（结果保留根号）．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）由及，可得BH，由及，可得AE；
（2）过点作，垂足为，解三角形可得结果.
【小问1详解】
由于所以，
设，则，
所以
在中，
所以
【小问2详解】
过点作，垂足为．
则，
又
所以
故宣传牌CD的高度为
19. 如图，在直三棱柱中，，，，为的中点．
（1）证明：平面
（2）过三点的一个平面，截三棱柱得到一个截面，画出截面图，说明理由并求截面面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）截面图见解析，截面面积为
【解析】
【分析】（1）设，根据三角形中位线性质可得，由线面平行的判定定理可证得结论；
（2）由三角形中位线性质和平行关系传递性可得，由此可确定截面即为四边形，知其为等腰梯形，根据长度关系计算即可得到截面面积.
【小问1详解】
连接，设，连接，
是的中点，是的中点，，
平面，平面，平面.
小问2详解】
作图过程：取中点，连接，则四边形即为截面图形.
证明如下：
是的中点，是的中点，；
，，四点共面，
四边形即为所求截面，此时四边形为等腰梯形；
，，，
四边形的高，
四边形的面积为.
20. 的内角的对边分别为，且．
（1）求A；
（2）若，三角形面积，求边上的中线的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，化简可解；
（2）先由三角形面积公式求出，再借助，可求的长；
或者利用余弦定理求的长.
【小问1详解】
由正弦定理得，
又，则，
化简得．
又，所以，则．
因为，所以．
【小问2详解】
由得，
法一：由得
边上的中线的长为．
法二：由余弦定理得：，
由，得，
解得，，即边上的中线的长为．
21. 如图，在三棱台中，，，， 为线段中点，为线段上的点，平面．
（1）求证：点为线段的中点；
（2）求三棱台的表面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，设，由平面，证得，结合是的中点，得到点是的中点；
（2）根据题意，先求得上下底面正三角形的面积分别和，再结合侧面和侧面均为直角梯形，求得面积为，由侧面为等腰梯形，过点作，求得的长，得到侧面的面积为，即可求解.
【小问1详解】
连接，设，连接、，
因为平面，平面，且平面平面，
所以，
又因为四边形是正方形，且是的中点，所以点是的中点.
【小问2详解】
三棱台中，
因为，所以为等边三角形，
所以也为等边三角形，且，
上底面为等边三角形，其边长为1，可得面积为，
下底面为等边三角形，其边长为2，可得面积为，
又因，所以侧面和侧面均为直角梯形，且，
其面积均为，
侧面为等腰梯形，其中，且,
过点作，垂足为，可得，
所以侧面的面积为，
所以三棱台的表面积为.
22. 如图，A，B是单位圆上的相异两定点（为圆心），（），点C为单位圆上的动点，线段AC交线段于点M（点M异于点、B），记的面积为．
（1）记，求的表达式；
（2）若
①求的取值范围；
②设，记，求的最小值．
【答案】（1）（）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）利用三角形面积公式和数量积的定义，写出的表达式；
（2）由，将数量积转化为三角函数，求函数值域即可；
利用向量共线将用t表示，求函数的最值.
【小问1详解】
因为，，
所以（）．
【小问2详解】
①设，，则，
，
所以，，
又，所以，则．
②设，则，因为，
所以，
所以，
因为，所以，即，
化简得，，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为．
【点睛】因为，M，C三点共线，所以表示向量和的数乘关系，设，借助，可得.