中考数学二轮精品专题复习 锐角三角函数(解答题二)

这是一份中考数学二轮精品专题复习 锐角三角函数(解答题二)，共64页。
2023年中考数学真题知识点汇编之《锐角三角函数(解答题二)》
一．解答题（共30小题）
1．（2023•永州）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示）．寓意陈树湘为中国举命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN上D处为陈树湘雕像拍照，相机支架CD高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为45°，然后将相机支架移到MN处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30°，求D、N两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732）．

2．（2023•陕西）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高AB．如图所示，当小明爸爸站在点D处时，他在该景观灯照射下的影子长为DF，测得DF＝2.4m；当小明站在爸爸影子的顶端F处时，测得点A的仰角α为26.6°．已知爸爸的身高CD＝1.8m，小明眼睛到地面的距离EF＝1.6m，点F、D、B在同一条直线上，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB．求该景观灯的高AB．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）

3．（2023•内江）某中学依山而建，校门A处有一坡角α＝30°的斜坡AB，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角∠CEF＝60°，CF的延长线交水平线AM于点D，求DC的长（结果保留根号）．

4．（2023•安徽）如图，O，R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40m，R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB（精确到0.1m）．
参考数据：sin24.2°≈0.41，cos24.2°≈0.91，tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．

5．（2023•株洲）如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”，一辆车从被山峰POQ遮挡的道路②的点B处由南向北行驶．已知∠POQ＝30°，BC∥OQ，OC⊥OQ，AO⊥OP，线段AO的延长线交直线BC于点D．
（1）求∠COD的大小；
（2）若在点B处测得点O在北偏西α方向上，其中tanα=35，OD＝12米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车）
​
6．（2023•宜昌）2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约330km的圆形轨道上，当运行到地球表面P点的正上方F点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q．在Rt△OQF中，OP＝OQ≈6400km．
（参考数据：cos16°≈0.96，cos18°≈0.95，cos20°≈0.94，cos22°≈0.93，π≈3.14）

（1）求cosα的值（精确到0.01）；
（2）在⊙O中，求PQ的长（结果取整数）．
7．（2023•天津）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）设塔AB的高度为h（单位：m）；
①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；
②求塔AB的高度（tan27°取0.5，3取1.7，结果取整数）．

8．（2023•江西）图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB＝AC＝AD，测得∠B＝55°，BC＝1.8m，DE＝2m．（结果保小数点后一位）

（1）连接CD，求证：DC⊥BC；
（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．
（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
9．（2023•山西）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022﹣2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选，在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC和AB的长度（结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.73，2≈1.41 ）．
课题
母亲河驳岸的调研与计算
调查方式
资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
调查内容
功能
驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌成冲刷的构筑物
材料
所需材料为石料、混凝土等
驳岸时剖面图

相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，AE和CD均与地面平行，岸墙AB⊥AE于点A，∠BCD＝135°，∠EDC＝60°，ED＝6m，AE＝1.5m，CD＝3.5m．
计算结果
…
交通展示
…

10．（2023•衡阳）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部243米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米．已知目高CE为1.6米．
（1）求教学楼AB的高度．
（2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以43米/秒的速度继续向前匀速飞行．求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB．

11．（2023•临沂）如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？
（参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，cos58°≈0.530，tan58°≈1.6）

12．（2023•台州）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图象高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC＝90°，黑板上投影图象的高度AB＝120cm，CB与AB的夹角∠B＝33.7°，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin33.7°≈0.55，cos33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67）

13．（2023•烟台）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度．（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）

14．（2023•苏州）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接（AH垂直于MN，垂足为H），在B，C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN），EF是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，测得∠GAE＝60°时，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6）

15．（2023•宜宾）渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥（如图1），桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离CD，如图2．在桥面上点A处，测得A到左桥墩D的距离AD＝200米，左桥墩所在塔顶B的仰角∠BAD＝45°，左桥墩底C的俯角∠CAD＝15°，求CD的长度．（结果精确到1米．参考数据：2≈1.4，3≈1.73）

16．（2023•宁波）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
（1）如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式示β．
（2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC＝20m，求气球A离地面的高度AD．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

17．（2023•连云港）渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥A处出发，沿着坡角为48°的山坡向上走了92m到达B处的三龙潭瀑布，再沿坡角为37°的山坡向上走了30m到达C处的二龙潭瀑布．求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC为多少米？（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）

18．（2023•怀化）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°，在B点处测得碑顶D的仰角为60°，已知AB＝35m，测角仪的高度是1.5m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD．（3≈1.732，结果保留一位小数）

19．（2023•新疆）烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1）．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度31.5米的A处，测得烽燧BC的顶部C处的俯角为50°，测得烽燧BC的底部B处的俯角为65°，试根据提供的数据计算烽燧BC的高度．
（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）

20．（2023•金昌）如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：
课题
检测新生物到皮肤的距离
工具
医疗仪器等
示意图


说明
如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN．
测量数据
∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9cm
请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm）
（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
21．（2023•成都）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．
如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）

22．（2023•遂宁）某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：
实践探究活动记录表
活动内容测量湖边A、B两处的距离
成员ㅤㅤ组长：××ㅤㅤ组员：××××××××××××
工具测角仪，皮尺等
测量示意图
​
说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C，可测量C处到A、B两处的距离，通过测角仪可测得∠A、∠B、∠C的度数．
测量数据
角的度数
∠A＝30°
∠B＝45°
∠C＝105°
边的长度
BC＝40.0米
AC＝56.4米
​数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．
已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，　 　．（从记录表中再选一个条件填入横线）
求：线段AB的长（为减小结果的误差，若有需要，2取1.41，3取1.73，6取2.45进行计算，最后结果保留整数．）

23．（2023•广安）为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，点B、D都在点C的正北方向，BD长为100米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东58°方向．
（1）求步道DE的长度；
（2）点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点D，也可以经点E到达点D，请通过计算说明他走哪条路较近．（结果精确到个位）
（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，3≈1.73）

24．（2023•丽水）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A﹣D﹣C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝11m，CD＝4m，求管道A﹣D﹣C的总长．

25．（2023•凉山州）超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的C、E两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且A、D、B、F在同一直线上．点C、点E到AB的距离分别为CD、EF，且CD＝EF＝7m，CE＝895m，在C处测得A点的俯角为30°，在E处测得B点的俯角为45°，小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45s．

（1）求A，B两点之间的距离（结果精确到1m）；
（2）若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点A行驶到点B是否超速？并通过计算说明理由．（参考数据：2≈1.4，3≈1.7）
26．（2023•重庆）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品．经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC＝3600米．
（1）求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）；
（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？
（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）

27．（2023•自贡）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：

（1）测量坡角
如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，CD，山的高度即为三段坡面的铅直高度BH，CQ，DR之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB方向放置，在直杆MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡AB坡角β的度数．请直接写出α，β之间的数量关系．
（2）测量山高
同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24°，30°，45°；为求BH，小熠同学在作业本上画了一个含24°角的Rt△TKS（如图3），量得KT≈5cm，TS≈2cm．求山高DF．（2≈1.41，结果精确到1米）
（3）测量改进
由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．

如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角β2；画一个含β1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含β2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米．已知杆高MN为1.6米，求山高DF．（结果用不含β1，β2的字母表示）
28．（2023•达州）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少m？（结果精确到0.1m；参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50≈1.2）
​
29．（2023•泸州）如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i＝2：3的斜坡AB前进207m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，计算结果用根号表示，不取近似值）．

30．（2023•重庆）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A﹣D﹣C﹣B；②A﹣E﹣B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）
（1）求AD的长度．（结果精确到1千米）
（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？


2023年中考数学真题知识点汇编之《锐角三角函数(解答题二)》
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．（2023•永州）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示）．寓意陈树湘为中国举命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN上D处为陈树湘雕像拍照，相机支架CD高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为45°，然后将相机支架移到MN处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30°，求D、N两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732）．

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】根据题意可得：AB⊥BN，AH⊥HN，BH＝CD＝MN＝0.9米，AB＝2.9米，CM＝DN，从而可得AH＝2米，然后在Rt△AHC中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，再在Rt△AHM中，利用锐角三角函数的定义求出HM的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：AB⊥BN，AH⊥HN，BH＝CD＝MN＝0.9米，AB＝2.9米，CM＝DN，
∴AH＝AB﹣BH＝2.9﹣0.9＝2（米），
在Rt△AHC中，∠ACH＝45°，
∴CH=AHtan45°=2（米），
在Rt△AHM中，∠AMH＝30°，
∴HM=AHtan30°=233=23（米），
∴CM＝HM﹣HC＝23−2≈1.5（米），
∴DN＝CM＝1.5米，
∴D、N两点间的距离约为1.5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
2．（2023•陕西）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高AB．如图所示，当小明爸爸站在点D处时，他在该景观灯照射下的影子长为DF，测得DF＝2.4m；当小明站在爸爸影子的顶端F处时，测得点A的仰角α为26.6°．已知爸爸的身高CD＝1.8m，小明眼睛到地面的距离EF＝1.6m，点F、D、B在同一条直线上，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB．求该景观灯的高AB．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；中心投影；相似三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】过点E作EH⊥AB，垂足为H，根据题意可得：EH＝FB，EF＝BH＝1.6m，然后设EH＝FB＝xm，在Rt△AEH中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，从而求出AB的长，再根据垂直定义可得∠CDF＝∠ABF＝90°，从而证明A字模型相似三角形△CDF∽△ABF，最后利用相似三角形的性质可得AB=34x，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点E作EH⊥AB，垂足为H，

由题意得：EH＝FB，EF＝BH＝1.6m，
设EH＝FB＝xm，
在Rt△AEH中，∠AEH＝26.6°，
∴AH＝EH•tan26.6°≈0.5x（m），
∴AB＝AH+BH＝（0.5x+1.6）m，
∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴∠CDF＝∠ABF＝90°，
∵∠CFD＝∠AFB，
∴△CDF∽△ABF，
∴CDAB=DFBF，
∴1.8AB=2.4x，
∴AB=34x，
∴34x＝0.5x+1.6，
解得：x＝6.4，
∴AB=34x＝4.8（m），
∴该景观灯的高AB约为4.8m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
3．（2023•内江）某中学依山而建，校门A处有一坡角α＝30°的斜坡AB，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角∠CEF＝60°，CF的延长线交水平线AM于点D，求DC的长（结果保留根号）．

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有
【专题】数形结合；应用意识．
【分析】先根据斜坡AB的坡角和长度求出点B离AD的高度，然后根据求底部不能到达的物体的高度求出CF的高度，即可求出DC的长．
【解答】解：如图，设点B到AD的距离为BG，

在Rt△ABG中，BG＝ABsin∠BAG＝30×12=15米，
设BF＝x米，则CF＝x米，EF＝（x﹣4）米，
在Rt△CEF中，sin∠CEF=CFEF=xx−4，
即xx−4=3，
∴x＝6+23，
∴CD＝DF+CF＝15+6+23=（21+23）米．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，深入理解题意，把实际问题转化为数学问题是解决问题的关键．
4．（2023•安徽）如图，O，R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40m，R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB（精确到0.1m）．
参考数据：sin24.2°≈0.41，cos24.2°≈0.91，tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】在不同的直角三角形中，利用直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】解：如图，由题意可知，∠ORB＝36.9°，∠ORA＝24.2°，
在Rt△AOR中，AR＝40m，∠ORA＝24.2°，
∴OA＝sin∠ORA×AR
＝sin24.2°×40
≈16.4（m），
OR＝cos24.2°×40
≈36.4（m），
在Rt△BOR中，
OB＝tan36.9°×36.4≈27.3（m），
∴AB＝OB﹣OA
＝27.3﹣16.4
＝10.9（m），
答：无人机上升高度AB约为10.9m．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
5．（2023•株洲）如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”，一辆车从被山峰POQ遮挡的道路②的点B处由南向北行驶．已知∠POQ＝30°，BC∥OQ，OC⊥OQ，AO⊥OP，线段AO的延长线交直线BC于点D．
（1）求∠COD的大小；
（2）若在点B处测得点O在北偏西α方向上，其中tanα=35，OD＝12米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车）
​
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；余角和补角．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠POD＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠DOQ＝∠POD﹣∠POQ＝90°﹣30°＝60°，根据垂直的定义得到∠COQ＝90°，于是得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠BCO＝180°﹣∠COQ＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AO⊥OP，
∴∠POD＝90°，
∵∠POQ＝30°，
∴∠DOQ＝∠POD﹣∠POQ＝90°﹣30°＝60°，
∵OC⊥OQ，
∴∠COQ＝90°，
∴∠COD＝∠COQ﹣∠DOQ＝90°﹣60°＝30°，
即∠COD的大小为30°；
（2）∵BC∥OQ，
∴∠BCO＝180°﹣∠COQ＝90°，
在Rt△COD中，∠COD＝30°，OD＝12米，
∴CD=12OD=6（米），
∴OC=OD2−CD2=122−62=63（米），
∵tanα=tan∠OBC=35=OCBC，
∴BC=OCtanα=63÷35=30（米），
∴BD＝BC﹣CD＝30﹣6＝24（米），
即轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，正确地求出结果是解题关键．
6．（2023•宜昌）2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约330km的圆形轨道上，当运行到地球表面P点的正上方F点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q．在Rt△OQF中，OP＝OQ≈6400km．
（参考数据：cos16°≈0.96，cos18°≈0.95，cos20°≈0.94，cos22°≈0.93，π≈3.14）

（1）求cosα的值（精确到0.01）；
（2）在⊙O中，求PQ的长（结果取整数）．
【考点】解直角三角形的应用；弧长的计算．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】（1）根据圆的切线可得∠OQF＝90°，再解直角三角形可求解；
（2）通过cosα的值可求得α的度数，再利用弧长公式计算可求解．
【解答】解：（1）由题意知FQ是⊙O的切线，
∴∠OQF＝90°，
∵OP＝OQ＝6400km，FP＝330km，
∴OF＝OP+FP＝6730km，
∴cosα=OQOF=64006730≈0.95；
（2）∵cosα≈0.95，
∴α＝18°，
∴PQ的长为：18π⋅6400180≈2010km．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，圆的切线的性质，弧长的计算，求得∠OQF是直角是解题的关键．
7．（2023•天津）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）设塔AB的高度为h（单位：m）；
①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；
②求塔AB的高度（tan27°取0.5，3取1.7，结果取整数）．

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】（1）根据题意可得：DE⊥EC，然后在Rt△DEC中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答；
（2）①根据题意得：BA⊥EA，在Rt△DEC中，利用含30度角的直角三角形的性质求出EC的长，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
②过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意得：DF＝EA＝（33+h）m，DE＝FA＝3m，则BF＝（h﹣3）m，然后在Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而列出关于h的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：DE⊥EC，
在Rt△DEC中，CD＝6m，∠DCE＝30°，
∴DE=12CD＝3（m），
∴DE的长为3m；
（2）①由题意得：BA⊥EA，
在Rt△DEC中，DE＝3m，∠DCE＝30°，
∴CE=3DE＝33（m），
在Rt△ABC中，AB＝hm，∠BCA＝45°，
∴AC=ABtan45°=h（m），
∴AE＝EC+AC＝（33+h）m，
∴线段EA的长为（33+h）m；
②过点D作DF⊥AB，垂足为F，

由题意得：DF＝EA＝（33+h）m，DE＝FA＝3m，
∵AB＝hm，
∴BF＝AB﹣AF＝（h﹣3）m，
在Rt△BDF中，∠BDF＝27°，
∴BF＝DF•tan27°≈0.5（33+h）m，
∴h﹣3＝0.5（33+h），
解得：h＝33+6≈11，
∴AB＝11m，
∴塔AB的高度约为11m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．（2023•江西）图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB＝AC＝AD，测得∠B＝55°，BC＝1.8m，DE＝2m．（结果保小数点后一位）

（1）连接CD，求证：DC⊥BC；
（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．
（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
【考点】解直角三角形的应用；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB，∠ADC＝∠ACD，然后利用三角形内角和定理可得∠B+∠ACB+∠ADC+∠ACD＝180°，从而可得∠ACB+∠ACD＝90°，进而可得∠BCD＝90°，即可解答；
（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，在Rt△DCB中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，从而求出BE的长，然后在Rt△BEF中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵∠B+∠ACB+∠ADC+∠ACD＝180°，
∴2∠ACB+2∠ACD＝180°，
∴∠ACB+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∴DC⊥BC；
（2）解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，

在Rt△DCB中，∠B＝55°，BC＝1.8m，
∴BD=BCcos55°≈1.80.57=6019（m），
∵DE＝2m，
∴BE＝BD+DE=9819（m），
在Rt△BEF中，EF＝BE•sin55°≈9819×0.82≈4.2（m），
∴雕塑的高约为4.2m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9．（2023•山西）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022﹣2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选，在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC和AB的长度（结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.73，2≈1.41 ）．
课题
母亲河驳岸的调研与计算
调查方式
资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
调查内容
功能
驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌成冲刷的构筑物
材料
所需材料为石料、混凝土等
驳岸时剖面图

相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，AE和CD均与地面平行，岸墙AB⊥AE于点A，∠BCD＝135°，∠EDC＝60°，ED＝6m，AE＝1.5m，CD＝3.5m．
计算结果
…
交通展示
…

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【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】过E作EF⊥CD于F，延长AB，CD交于H，得到∠EFD＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过E作EF⊥CD于F，延长AB，CD交于H，
∴∠EFD＝90°，
由题意得，在Rt△EFD中，∠EDF=60°，ED=6，sin∠EDF=EFED，cos∠EDF=FDED，
∴EF=ED⋅sin∠EDF=6×sin60°=6×32=33（m），
∴FD＝ED•cos∠EDF＝6×cos60°＝6×12=3（m），
由题意得，∠H＝90°，四边形AEFH是矩形，
∴AH=EF=33，HF＝AE＝1.5m，
∵CF＝CD﹣FD＝3.5﹣3＝0.5（m），
∴CH＝HF﹣CF＝1.5﹣0.5＝1（m），
在Rt△BCH中，∠H＝90°，∠BCH＝180°﹣∠BCD＝180°﹣135°＝45°，
∵cos∠BCH=CHBC，tan∠BCH=BHCH，
∴BC=CHcos∠BCH=1cos45°=122=2≈1.4（m），
∴BH＝CH•tan∠BCH＝1×tan45°＝1（m），
∴AB＝AH﹣BH＝33−1≈4.2(m)．
答：BC的长度约为1.4m，AB的长度约为4.2m．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（2023•衡阳）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部243米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米．已知目高CE为1.6米．
（1）求教学楼AB的高度．
（2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以43米/秒的速度继续向前匀速飞行．求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB．

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）过点B作BM⊥CD于点M，则∠DBM＝∠BDN＝30°，在Rt△BDM中，通过解直角三角形可得出BM的长度，再结合AB＝CM＝CD﹣DM，即可求出结论；
（2）延长EB交DN于点G，则∠DGE＝∠MBE，在Rt△EMB中，利用锐角三角函数的定义求出∠MBE＝30°，从而可得∠DEG＝60°，然后在Rt△EDG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点B作BM⊥CD于点M，则∠DBM＝∠BDN＝30°，
在Rt△BDM中，BM＝AC＝243米，∠DBM＝30°，
∴DM＝BM•tan∠DBM＝243×33=24（米），
∴AB＝CM＝CD﹣DM＝49.6﹣24＝25.6（米）．
答：教学楼AB的高度为25.6米；
（2）延长EB交DN于点G，则∠DGE＝∠MBE，

在Rt△EMB中，BM＝AC＝243米，EM＝CM﹣CE＝24米，
∴tan∠MBE=EMBM=24243=33，
∴∠MBE＝30°＝∠DGE，
∵∠EDG＝90°，
∴∠DEG＝90°＝30°＝60°，
在Rt△EDG中，ED＝CE﹣CE＝48米，
∴DG＝ED•tan60°＝483（米），
∴483÷43=12（秒），
∴经过12秒时，无人机刚好离开了小明的视线．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
11．（2023•临沂）如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？
（参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，cos58°≈0.530，tan58°≈1.6）

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】根据题意画出图形，作AC⊥BC，设AC＝x，根据等腰直角三角形的性质用x表示出BC，根据正切的定义用x表示出CD，结合图形列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，
设AD＝x海里，
由题意得，∠ABD＝32°，∠ACD＝45°，BC＝6海里，
在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD＝x海里，
在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADBD，
∴BD=ADtan32°≈x0.625=6+x，
解得，x＝10，
∵10＞9，
∴如果船不改变航线继续向西航行，没有触礁危险．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
12．（2023•台州）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图象高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC＝90°，黑板上投影图象的高度AB＝120cm，CB与AB的夹角∠B＝33.7°，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin33.7°≈0.55，cos33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67）

【考点】解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝120cm，∠BAC＝90°，∠B＝33.7°，
∴tanB=ACAB，
∴AC＝AB•tan33.7°≈120×0.67＝80.4≈80（cm），
∴AC的长约为80cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
13．（2023•烟台）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度．（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】延长PD交AC于点F，延长DP交BE于点G，根据题意可得：PF⊥AF，DG⊥BE，AB＝FG＝53米，AF＝BG，然后设AF＝BG＝x米，在Rt△CDF中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DF的长，再在Rt△PAF中，利用锐角三角函数的定义求出PF的长，最后在Rt△BPG中，利用锐角三角函数的定义求出PG的长，从而求出FG的长，进而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：延长PD交AC于点F，延长DP交BE于点G，

由题意得：PF⊥AF，DG⊥BE，AB＝FG＝53米，AF＝BG，
设AF＝BG＝x米，
在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，CD＝16米，
∴DF=12CD＝8（米），
在Rt△PAF中，∠PAF＝45°，
∴PF＝AF•tan45°＝x（米），
在Rt△BPG中，∠GBP＝18°，
∴GP＝BG•tan18°≈0.325x（米），
∴FG＝PF+PG＝x+0.325x＝1.325x（米），
∴1.325x＝53，
解得：x＝40，
∴PF＝40米，
∴PD＝PF﹣DF＝40﹣8＝32（米），
∴该风力发电机塔杆PD的高度约为32米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14．（2023•苏州）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接（AH垂直于MN，垂足为H），在B，C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN），EF是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，测得∠GAE＝60°时，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6）

【考点】解直角三角形的应用；三角形的稳定性．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】当∠GAE＝60°时，过点C作CK⊥HA，交HA的延长线于点K，根据已知易得BC∥AH，从而可得四边形ABCD是平行四边形，进而可得AB∥CD，然后利用平行线的性质可得∠ADC＝∠GAE＝60°，再根据已知可得DK＝80cm，最后在Rt△CDK中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长；当∠GAE＝54°，过点C作CQ⊥HA，交HA的延长线于点Q，在Rt△CDQ中，利用锐角三角函数的定义求出DQ的长，然后进行计算，即可解答．
【解答】解：点C离地面的高度升高了，
理由：如图，当∠GAE＝60°时，过点C作CK⊥HA，交HA的延长线于点K，

∵BC⊥MN，AH⊥MN，
∴BC∥AH，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ADC＝∠GAE＝60°，
∵点C离地面的高度为288cm，DH＝208cm，
∴DK＝288﹣208＝80（cm），
在Rt△CDK中，CD=DKcos60°=8012=160（cm），
如图，当∠GAE＝54°，过点C作CQ⊥HA，交HA的延长线于点Q，

在Rt△CDQ中，CD＝160cm，
∴DQ＝CD•cos54°≈160×0.6＝96（cm），
∴96﹣80＝16（cm），
∴点C离地面的高度升高约16cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的稳定性，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．（2023•宜宾）渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥（如图1），桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离CD，如图2．在桥面上点A处，测得A到左桥墩D的距离AD＝200米，左桥墩所在塔顶B的仰角∠BAD＝45°，左桥墩底C的俯角∠CAD＝15°，求CD的长度．（结果精确到1米．参考数据：2≈1.4，3≈1.73）

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【分析】过C作CE⊥AB于E，由∠BAD＝45°，知△ABD是等腰直角三角形，可得∠ABD＝45°，AD＝BD＝200，AB＝2002（米），故△BCE是等腰直角三角形，∠BCE＝∠EBC＝45°，BE＝CE，求出∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝30°，设AE＝x米，可得CE=3AE=3x米，BE＝AB﹣AE＝（2002−x）米，有3x＝2002−x，得x＝1006−1002，再求出CE=3x＝3002−1006，BC=2CE＝（600﹣2003）米，即可得CD的长度约为54米．
【解答】解：过C作CE⊥AB于E，如图：

∵∠BAD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，AD＝BD＝200，AB＝2002（米），
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴∠BCE＝∠EBC＝45°，BE＝CE，
∵∠ACB＝90°﹣∠DAC＝75°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝30°，
设AE＝x米，则AC＝2x米，
∴CE=3AE=3x米，BE＝AB﹣AE＝（2002−x）米，
∴3x＝2002−x，
解得x＝1006−1002，
∴CE=3x＝3002−1006，
∴BC=2CE＝（600﹣2003）米，
∴CD＝BC﹣BD＝400﹣2003≈54（米），
∴CD的长度约为54米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握含特殊角的直角三角形三边的关系．
16．（2023•宁波）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
（1）如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式示β．
（2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC＝20m，求气球A离地面的高度AD．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

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【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】（1）由已知直接可得答案；
（2）设AD＝xm，可得CD＝AD＝xm，BD＝（20+x）m，而tan∠ABD=ADBD，有0.75=x20+x，即可解得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：β＝90°﹣α；
（2）设AD＝xm，
∵∠ACD＝45°，∠ADB＝90°，
∴CD＝AD＝xm，
∵BC＝20m，
∴BD＝（20+x）m，
在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADBD，
∴tan37°=x20+x，即0.75=x20+x，
解得：x＝60，
∴AD＝60（m），
答：气球A离地面的高度AD是60m．
【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．
17．（2023•连云港）渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥A处出发，沿着坡角为48°的山坡向上走了92m到达B处的三龙潭瀑布，再沿坡角为37°的山坡向上走了30m到达C处的二龙潭瀑布．求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC为多少米？（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）

【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有
【专题】数学建模思想；应用意识．
【分析】过点B作BE⊥AD，作BF⊥CD，分别在Rt△ABE和Rt△CBF中分别解三角形求出BE，CF的长，二者相加就是CD的长．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于E，

在Rt△ABE中，sin∠BAE=BEAB，
∴BE＝ABsin∠BAE＝92×sin48°≈92×0.74＝68.08m，
过点B作BF⊥CD于F，
在Rt△CBF中，sin∠CBF=CFBC，
∴CF＝BC×sin∠CBF≈30×0.60＝18.00m，
∵FD＝BE＝68.08m，
∴DC＝FD+CF＝68.08+18.00＝86.08≈86.1m．
答：从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC约为86.1m．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟练掌握把实际问题转化成解直角三角形的问题是解决问题的关键．
18．（2023•怀化）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°，在B点处测得碑顶D的仰角为60°，已知AB＝35m，测角仪的高度是1.5m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD．（3≈1.732，结果保留一位小数）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】根据题意可得AM＝BN＝CE＝1.5m，AB＝MN＝35m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME＝30°，先利用三角形的外角性质可得∠DMN＝∠MDN＝30°，从而可得DN＝MN＝35m，然后在Rt△DNE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，即可得的答案．
【解答】解：由题意得：AM＝BN＝CE＝1.5m，AB＝MN＝35m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME＝30°，
∵∠DNE是△DMN的外角，
∴∠MND＝∠DNE﹣∠DMN＝30°，
∴∠DMN＝∠MDN＝30°，
∴DN＝MN＝35m，
在Rt△DNE中，DE＝DN•sin60°＝35×32=3532（m），
∴DC＝DE+CE=3532+1.5≈35×1.7322+1.5≈31.8（m）．
答：烈士纪念碑的通高CD约为31.8m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
19．（2023•新疆）烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1）．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度31.5米的A处，测得烽燧BC的顶部C处的俯角为50°，测得烽燧BC的底部B处的俯角为65°，试根据提供的数据计算烽燧BC的高度．
（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】过点A作AE⊥AD于E交BC的延长线于点E，则BE＝AD＝31.5米，在Rt△ABE中可求出AE，在Rt△ACE中可求出CE，再利用BC＝BE﹣CE即可得到答案．
【解答】解：过点A作AE⊥AD于E交BC的延长线于点E，则BE＝AD＝31.5米，

在Rt△ABE中，BE＝31.5米，∠AEB＝90°，∠BAE＝65°，tan∠BAD=BEAE，
∴AE≈31.52.1=15（米m），
在Rt△ACE中，∠CAE＝50°，tan∠CAD=CEAE，
∴CE＝AEtan∠CAE＝15tan50°≈15×1.2＝18（米），
∴BC＝BE﹣CE＝31.5﹣18＝13.5（米），
答：烽燧BC的高度约为13.5米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角，构造直角三角形，合理利用三角函数关系是解题的关键．
20．（2023•金昌）如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：
课题
检测新生物到皮肤的距离
工具
医疗仪器等
示意图


说明
如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN．
测量数据
∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9cm
请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm）
（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
【考点】解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】过点A作AF⊥MN，垂足为F，设BF＝xcm，则CF＝（x+9）cm，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作AF⊥MN，垂足为F，

设BF＝xcm，
∵BC＝9cm，
∴CF＝BC+BF＝（x+9）cm，
在Rt△ABF中，∠ABF＝∠DBN＝35°，
∴AF＝BF•tan35°≈0.7x（cm），
在Rt△ACF中，∠ACF＝∠ECN＝22°，
∴AF＝CF•tan22°≈0.4（x+9）cm，
∴0.7x＝0.4（x+9），
解得：x＝12，
∴AF＝0.7x＝8.4（cm），
∴新生物A处到皮肤的距离约为8.4cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．（2023•成都）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．
如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）

【考点】解直角三角形的应用；平行投影．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】过A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，在Rt△ABT中，BT＝AB•sin∠BAT＝1.4（米），AT＝AB•cos∠BAT≈4.8（米），可得CK＝AT＝4.8米，AK＝CT＝BC﹣BT＝4﹣1.4＝2.6（米），而∠ADK＝45°，知DK＝AK＝2.6米，故CD＝CK﹣DK＝4.8﹣2.6＝2.2米．
【解答】解：过A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，如图：

在Rt△ABT中，
BT＝AB•sin∠BAT＝5×sin16°≈1.4（米），AT＝AB•cos∠BAT＝5×cos16°≈4.8（米），
∵∠ATC＝∠C＝∠CKA＝90°，
∴四边形ATCK是矩形，
∴CK＝AT＝4.8米，AK＝CT＝BC﹣BT＝4﹣1.4＝2.6（米），
在Rt△AKD中，
∵∠ADK＝45°，
∴DK＝AK＝2.6米，
∴CD＝CK﹣DK＝4.8﹣2.6＝2.2（米），
∴阴影CD的长约为2.2米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．
22．（2023•遂宁）某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：
实践探究活动记录表
活动内容测量湖边A、B两处的距离
成员ㅤㅤ组长：××ㅤㅤ组员：××××××××××××
工具测角仪，皮尺等
测量示意图
​
说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C，可测量C处到A、B两处的距离，通过测角仪可测得∠A、∠B、∠C的度数．
测量数据
角的度数
∠A＝30°
∠B＝45°
∠C＝105°
边的长度
BC＝40.0米
AC＝56.4米
​数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．
已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，　BC＝40.0米（答案不唯一）　．（从记录表中再选一个条件填入横线）
求：线段AB的长（为减小结果的误差，若有需要，2取1.41，3取1.73，6取2.45进行计算，最后结果保留整数．）

【考点】解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】若选择的条件是：BC＝40.0米，过点C作CD⊥AB，垂足为D，先在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD，CD的长，然后在Rt△ADC中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
若选择的条件是：AC＝56.4米，过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ADC中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AD和CD的长，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：若选择的条件是：BC＝40.0米，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，

在Rt△BCD中，∠B＝45°，BC＝40米，
∴BD＝BC•cos45°＝40×22=202（米），
CD＝BC•sin45°＝40×22=202（米），
在Rt△ADC中，∠A＝30°，
∴AD=3CD＝206（米），
∴AB＝AD+BD＝206+202≈77（米），
∴线段AB的长约为77米；
若选择的条件是：AC＝56.4米，

过点C作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝56.4米，
∴CD=12AC＝28.2（米），
AD=3CD＝28.23（米），
在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴BD=CDtan45°=28.2（米），
∴AB＝AD+BD＝28.23+28.2≈77（米），
∴线段AB的长约为77米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（2023•广安）为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，点B、D都在点C的正北方向，BD长为100米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东58°方向．
（1）求步道DE的长度；
（2）点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点D，也可以经点E到达点D，请通过计算说明他走哪条路较近．（结果精确到个位）
（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，3≈1.73）

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】（1）过D作DF⊥AE，垂足为F，根据题意可得：四边形ACDF是矩形，从而可得DF＝AC＝200米，然后在Rt△EFD中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；
（2）先在Rt△EFD中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB，BC的长，从而求出DC的长，然后利用矩形的性质求出AF的长，从而求出AE的长，最后利用线段的和差关系进行计算，比较即可解答．
【解答】解：（1）过D作DF⊥AE，垂足为F，

由题意得：四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC＝170米，
在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，
∴DE=DFsin58°≈1700.85=200（米），
∴步道DE的长度约为200米；
（2）小红从A出发，经过点B到达点D路程较近，
理由：在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，DF＝170米，
∴EF=DFtan58°≈1701.6≈106.25（米），
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°﹣30°＝60°，AC＝170米，
∴BC＝AC•tan60°＝1703（米），
∴AB=170cos60°=17012=340（米），
∵BD＝100米，
∴CD＝BC+BD＝（1703+100）米，
∵四边形ACDF是矩形，
∴AF＝DC＝（1703+100）米，
∴AE＝AF﹣EF＝1703+100﹣106.25＝287.8米，
∴某人从A出发，经过点B到达点D路程＝AB+BD＝340+100＝440（米），
某人从A出发，经过点E到达点D路程＝AE+DE＝287.8+200＝487.8（米），
∵440米＜487.8米，
∴小红从A出发，经过点B到达点D路程较近．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24．（2023•丽水）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A﹣D﹣C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝11m，CD＝4m，求管道A﹣D﹣C的总长．

【考点】解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，得BE＝CD＝4m，则AE＝7m，再由锐角三角函数定义求出AD＝14m，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，

则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，
∴BE＝CD＝4m，
∴AE＝AB﹣BE＝11﹣4＝7（m），
∵∠A＝60°，
∴cosA=AEAD=cos60°=12，
∴AD＝2AE＝2×7＝14（m），
∴AD+CD＝14+4＝18（m），
即管道A﹣D﹣C的总长为18m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及锐角三角函数定义等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
25．（2023•凉山州）超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的C、E两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且A、D、B、F在同一直线上．点C、点E到AB的距离分别为CD、EF，且CD＝EF＝7m，CE＝895m，在C处测得A点的俯角为30°，在E处测得B点的俯角为45°，小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45s．

（1）求A，B两点之间的距离（结果精确到1m）；
（2）若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点A行驶到点B是否超速？并通过计算说明理由．（参考数据：2≈1.4，3≈1.7）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】（1）根据题意，DF＝CE＝895m，在Rt△EBF中，刻度BF=EFtan∠EBF=7（m），故DB＝DF﹣BF＝888（m），在Rt△ACD中，AD=CDtan∠CAD=73≈12.12（m），即可得AB＝AD+BD≈900（m），从而知A，B两点之间的距离约为900m；
（2）由900÷45＝20（m/s），再换算单位可知小型汽车从点A行驶到点B没有超速．
【解答】解：（1）根据题意，四边形CDFE是矩形，∠CAD＝30°，∠EBF＝45°，
∴DF＝CE＝895m，
在Rt△EBF中，
BF=EFtan∠EBF=71=7（m），
∴DB＝DF﹣BF＝895﹣7＝888（m），
在Rt△ACD中，
AD=CDtan∠CAD=733=73≈12.12（m），
∴AB＝AD+BD＝12.12+888≈900（m），
∴A，B两点之间的距离约为900m；
（2）∵900÷45＝20（m/s），
∴小型汽车每小时行驶20×3600＝72000（m），
∵72000m＝72km，72＜80，
∴小型汽车从点A行驶到点B没有超速．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是掌握含特殊角的直角三角形三边的关系．
26．（2023•重庆）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品．经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC＝3600米．
（1）求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）；
（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？
（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，解直角三角形求出AD，CD．在Rt△BCD中，解直角三角形即可求出BC；
（2）求出AD，BD，进而求出AB，根据速度公式即可得到结论．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，AC＝3600米，cos60°=CDAC，sin60°=ADAC，
∴AD＝3600×32=18003（米），CD=12×3600＝1800（米）．
在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，
∴∠B＝45°＝∠BCD，
∴BD＝CD＝1800（米），
∴BC=BD2+CD2=18002≈1800×1.414≈2545（米）．
答：B养殖场与灯塔C的距离约为2545米；
（2）AB＝AD+BD＝18003+1800≈1800×1.732+1800≈4917.6（米），
600×9＝5400（米），
∵5400米＞4917.6米，
∴能在9分钟内到达B处．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解答本题的关键是利用三角函数求出AD与BD的长度，难度一般．
27．（2023•自贡）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：

（1）测量坡角
如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，CD，山的高度即为三段坡面的铅直高度BH，CQ，DR之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB方向放置，在直杆MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡AB坡角β的度数．请直接写出α，β之间的数量关系．
（2）测量山高
同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24°，30°，45°；为求BH，小熠同学在作业本上画了一个含24°角的Rt△TKS（如图3），量得KT≈5cm，TS≈2cm．求山高DF．（2≈1.41，结果精确到1米）
（3）测量改进
由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．

如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角β2；画一个含β1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含β2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米．已知杆高MN为1.6米，求山高DF．（结果用不含β1，β2的字母表示）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；模型思想；应用意识．
【分析】（1）根据铅直线与水平线垂直解答即可；
（2）利用正弦函数定义，得到Rt△ABH和Rt△KTS中24°角所对的直角边与斜边的比相等，即可求出BH，再分别在Rt△CBQ和Rt△DCR中求出CQ，DR，从而可求出山高DF；
（3）用a1，b1表示出β1的正切，用a2，b2表示出β2的正切，进而可用DL表示出NL和N′L，利用NL﹣NL′＝NN′列方程求出DL，进而求出山高DF．
【解答】解：（1）∵铅直线与水平线垂直，
∴α+β＝90°，
故α，β之间的数量关系为：α+β＝90°；
（2）在Rt△ABH中，
∵AB＝40米，∠BAH＝24°，
sin∠BAH=BHAB，
∴sin24°=BH40，
在Rt△TKS中，
∵KT≈5cm，TS≈2cm，∠TKS＝24°，
sin∠TKS=TSKT，
∴sin24°=25，
∴BH40=25，
解得BH＝16米，
在Rt△CBQ中，
∵BC＝50米，∠CBQ＝30°，
∴CQ=12CB＝25米，
在Rt△DCR中，
∵CD＝40米，∠DCR＝45°，
sin∠DCR=DRCD，
∴DR＝CD•sin∠DCR＝40•sin45°=202（米），
∴DF＝BH+CQ+DR＝16+25+202≈69（米），
答：山高DF约为69米；
（3）由题意，得tanβ1=a1b1，tanβ2=a2b2，
在Rt△DNL中，
∵tanβ1=DLNL，
∴DLNL=a1b1，
∴NL=b1a1DL，
在Rt△DCR中，
∵tanβ2=DLN′L，
∴DLN′L=a2b2，
∴N'L=b2a2DL，
∵NL﹣N'L＝NN'＝40（米），
∴b1a1DL−b2a2DL=40，
解得DL=40a1a2b1a2−b2a1，
∴山高DF＝DL+LF=40a1a2b1a2−b2a1+1.6（米），
答：山高DF为（40a1a2b1a2−b2a1+1.6）米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题中还可利用相似，熟练运用三角函数表示直角三角形中边之间的关系是解题的关键．
28．（2023•达州）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少m？（结果精确到0.1m；参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50≈1.2）
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【考点】解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】过B作BT⊥ON于T，过A作AK⊥ON于K，在Rt△OBT中，求出OT＝OB•cos26°＝2.7（m），可得ON＝OT+TN＝3.6（m），在Rt△AOK中，得OK＝OA•cos50°＝1.92（m），故KN＝ON﹣OK＝1.68（m），从而可知座板距地面的最大高度为1.68m．
【解答】解：过B作BT⊥ON于T，过A作AK⊥ON于K，如图：

在Rt△OBT中，
OT＝OB•cos26°＝3×0.9＝2.7（m），
∵∠M＝∠MNT＝∠BTN＝90°，
∴四边形BMNT是矩形，
∴TN＝BM＝0.9m，
∴ON＝OT+TN＝3.6（m），
在Rt△AOK中，
OK＝OA•cos50°＝3×0.64＝1.92（m），
∴KN＝ON﹣OK＝3.6﹣1.92≈1.7（m），
∴座板距地面的最大高度为1.7m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
29．（2023•泸州）如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i＝2：3的斜坡AB前进207m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，计算结果用根号表示，不取近似值）．

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CG⊥AD于点G，先求出BF，CG，延长BC，DE交于点H，易知∠CHD＝90°，在Rt△CDH中求出CH，在Rt△CEH中求出EH，即可求出古树DE的高度．
【解答】解：过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CG⊥AD于点G，

在Rt△ABF中，
∵i＝2：3，
∴可设BF＝2k，AF=3k，
∵AB=207m，
∵BF2+AF2＝AB2，
∴（2k）2+（3k）2＝（207）2，
解得k＝20（负的已舍），
∴BF＝2k＝40m，
延长BC，DE交于点H，
∵BC是水平线，DE是铅直线，
∴DH⊥CH，△CDH和△CEH都是△Rt，
∵AD，BC都是水平线，BF⊥AD，DH⊥BC，
∴四边形BFDH是矩形，
∴DH＝BF＝40m，
在Rt△CDH中，
∵tan∠DCH=DHCH，
∴CH=DHtan∠DCH=40tan60°=4033（m），
在Rt△CEH中，
∵tan∠CEH=EHCH，
∴EH＝CH•tan∠CEH=4033•tan37°≈4033×34=103（m），
∴DE＝DH﹣EH＝（40−103）
答：古树DE的高度为（40−103）m．
【点评】本题考查解直角三角形﹣坡度坡角，解直角三角形﹣仰角俯角问题，构造直角三角形，利用好三角函数关系是解题的关键．
30．（2023•重庆）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A﹣D﹣C﹣B；②A﹣E﹣B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）
（1）求AD的长度．（结果精确到1千米）
（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）过D作DF⊥AE，垂足为F，根据题意可得：四边形ABCF是矩形，从而可得AF＝BC＝10千米，然后在Rt△AFD中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；
（2）先在Rt△ADF中，根据等腰三角形的判定求出AF的长，再在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AB，AE的长，最后利用线段的和差关系进行计算，比较即可解答．
【解答】解：（1）过D作DF⊥AE，垂足为F，
由题意得：四边形ABCF是矩形，
∴AF＝BC＝10千米，
在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，
∴AD=AFsin45°=1022=102≈10×1.41≈14（千米）．
∴AD的长度约为14千米；
（2）小明应该选择线路①，
理由：在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，AF＝10千米，
∴∠ADF＝45°＝∠DAF，
∴DF＝AF＝10千米，
在Rt△ABE中，∠ABE＝90°﹣60°＝30°，AB＝DF+CD＝24千米，
∴AE＝AB•tan30°＝24×33=83（千米），
EB＝2AE＝163千米，
按路线①A﹣D﹣C﹣B走的路程为AD+DC+CB＝14+14+10＝38（千米）
按路线②A﹣E﹣B走的路程为AE+EB＝83+163≈24×1.73＝41.52（千米）
∵38千米＜41.52千米，
∴小明应该选择线路①．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

考点卡片
1．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
2．三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
3．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
4．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
5．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
6．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
7．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
8．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
9．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
10．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
11．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
12．平行投影
（1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．
（2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
（3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
（4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．
（5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
13．中心投影
（1）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．
（2）中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
（3）判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影．
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