中考数学二轮精品专题复习 反比例函数(解答题)

这是一份中考数学二轮精品专题复习 反比例函数(解答题)，共93页。试卷主要包含了，点C为OB中点，的变化而变化，两点等内容，欢迎下载使用。

2023年中考数学真题知识点汇编之《反比例函数(解答题)》
一．解答题（共38小题）
1．（2023•贵州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数y=kx(x＞0)的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，且点D为AB的中点．
（1）求反比例函数的表达式和点E的坐标；
（2）若一次函数y＝x+m与反比例函数y=kx(x＞0)的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点M可与点D，E重合），直接写出m的取值范围．

2．（2023•常德）如图所示，一次函数y1＝﹣x+m与反比例函数y2=kx相交于点A和点B（3，﹣1）．
（1）求m的值和反比例函数解析式；
（2）当y1＞y2时，求x的取值范围．

3．（2023•湘潭）如图，点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点．将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′．
（1）反比例函数y=kx的图象经过点C′，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过A、A′两点，求该一次函数的表达式．

4．（2023•东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a＜0）与反比例函数y=kx（k≠0）交于A（﹣m，3m），B（4，﹣3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式kx＜ax+b的解集．

5．（2023•菏泽）如图，已知坐标轴上两点A（0，4），B（2，0），连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y=kx在第一象限的图象于点C（a，1）．
（1）求反比例函数y=kx和直线OC的表达式；
（2）将直线OC向上平移32个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．

6．（2023•济宁）如图，正比例函数y1=12x和反比例函数y2=kx(x＞0)的图象交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与y2=kx(x＞0)的图象交于点C，连接AB，AC，求△ABC的面积．
​

7．（2023•吉林）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：
频率f（MHz）
10
15
50
波长λ（m）
30
20
6
（1）求波长λ关于频率f的函数解析式．
（2）当f＝75MHz时，求此电磁波的波长λ．
8．（2023•河南）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数y=kx图象上的点A(3，1) 和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作AC，连接BF．
​（1）求k的值；
（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．

9．（2023•兰州）如图，反比例函数y=kx(x＜0)与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
（1）求反比例函数y=kx与一次函数y＝﹣2x+m的表达式；
（2）当OD＝1时，求线段BC的长．

10．（2023•聊城）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点p（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y=mx的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，若四边形APQB的面积为36，求n的值．

11．（2023•岳阳）如图，反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m为常数，m≠0）的图象交于A（1，2），B两点．
（1）求反比例函数和正比例函数的表达式；
（2）若y轴上有一点C（0，n），△ABC的面积为4，求点C的坐标．

12．（2023•郴州）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（cm）（0＜x≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表：
托盘B与点C的距离x/cm
30
25
20
15
10
容器与水的总质量y1/g
10
12
15
20
30
加入的水的质量y2/g
5
7
10
15
25
把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象．

（1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；
②求y2关于x的函数表达式；
③当0＜x≤60时，y1随x的增大而 　 　（填“增大”或“减小”），y2随x的增大而 　 　（填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y1的图象向 　 　（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．
（3）若在容器中加入的水的质量y2（g）满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围．

13．（2023•滨州）如图，直线y＝kx+b（k，b为常数）与双曲线y=mx(m为常数）相交于A（2，a），B（﹣1，2）两点．
（1）求直线y＝kx+b的解析式；
（2）在双曲线y=mx上任取两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，试确定y1和y2的大小关系，并写出判断过程；
（3）请直接写出关于x的不等式kx+b＞mx的解集．

14．（2023•十堰）函数y=kx+a的图象可以由函数y=kx的图象左右平移得到．
（1）将函数y=1x的图象向右平移4个单位得到函数y=1x+a的图象，则a＝　 　；
（2）下列关于函数y=1x+a的性质：①图象关于点（﹣a，0）对称；②y随x的增大而减小；③图象关于直线y＝﹣x+a对称；④y的取值范围为y≠0．其中说法正确的是 　 　（填写序号）；
（3）根据（1）中a的值，写出不等式1x+a＞1x的解集．
15．（2023•广元）如图，已知一次函数y＝kx+6的图象与反比例函数y=mx（m＞0）的图象交于A（3，4），B两点，与x轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E．
​（1）求k，m的值及C点坐标；
（2）连接AD，CD，求△ACD的面积．

16．（2023•湖北）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与函数为y2=mx(x＞0)的图象交于A(4，1)，B(12，a)两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足y1﹣y2＞0时x的取值范围；
（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ面积为3，求点P的坐标．

17．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于A（a，4）和B（4，2）两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）当x＞0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx+n≥kx的解集；
（3）过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，求梯形OCBD的面积．

18．（2023•衡阳）如图，正比例函数y=43x的图象与反比例函数y=12x（x＞0）的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）分别以点O、A为圆心，大于OA一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线BC，交x轴于点D．求线段OD的长．

19．（2023•株洲）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点A（t，0），点P（1，2）在函数y=kx(k＞0，x＞0) 的图象上．
（1）求k的值；
（2）连接BP、CP，记△BCP的面积为S，设T＝2S﹣2t2，求T的最大值．

20．（2023•乐山）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=4x的图象交于点A（m，4），与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）已知P为反比例函数y=4x图象上的一点，S△OBP＝2S△OAC，求点P的坐标．
​

21．（2023•江西）如图，已知直线y＝x+b与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（2，3），与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数y=kx（x＞0）的图象于点C．
（1）求直线AB和反比例函数图象的表达式；
（2）求△ABC的面积．

22．（2023•枣庄）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=4x的图象交于A（m，1），B（﹣2，n）两点．
（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式kx+b＜4x的解集；
（3）设直线AB与x轴交于点C，若P（0，a）为y轴上的一动点，连接AP，CP，当△APC的面积为52时，求点P的坐标．

23．（2023•杭州）在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数y1=k1x与函数y2＝k2（x﹣2）+5的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣4．
（1）求k1，k2的值．
（2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点．

24．（2023•台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm．
（1）求h关于ρ的函数解析式；
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ．

25．（2023•苏州）如图，一次函数y＝2x的图象与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（4，n）．将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到点B，D为x轴正半轴上的点，点B的横坐标大于点D的横坐标，连接BD，BD的中点C在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上．
（1）求n，k的值；
（2）当m为何值时，AB•OD的值最大？最大值是多少？

26．（2023•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C（3，0），顶点A、B（6，m）恰好落在反比例函数y=kx第一象限的图象上．
（1）分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在一点P，使△ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

27．（2023•金昌）如图，一次函数y＝mx+n的图象与y轴交于点A，与反比例函数y=6x（x＞0）的图象交于点B（3，a）．
（1）求点B的坐标；
（2）用m的代数式表示n；
（3）当△OAB的面积为9时，求一次函数y＝mx+n的表达式．

28．（2023•巴中）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y=mx（m≠x）的图象交于A、B两点，A的横坐标为﹣4，B的纵坐标为﹣6．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）观察图象，直接写出不等式kx＜mx的解集．
（3）将直线AB向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接OD、BD，若△OBD的面积为20，求直线CD的表达式．

29．（2023•连云港）【问题情境 建构函数】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，M是CD的中点，AE⊥BM，垂足为E．设BC＝x，AE＝y，试用含x的代数式表示y．
【由数想形 新知初探】
（2）在上述表达式中，y与x成函数关系，其图象如图2所示．若x取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图象．

【数形结合 深度探究】
（3）在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y随x的增大而增大；②函数值y的取值范围是﹣42＜y＜42；③存在一条直线与该函数图象有四个交点；④在图象上存在四点A、B、C、D，使得四边形ABCD是平行四边形．其中正确的是 　 　．（写出所有正确结论的序号）
【抽象回归 拓展总结】
（4）若将（1）中的“AB＝4”改成“AB＝2k”，此时y关于x的函数表达式是 　 　；一般地，当k≠0，x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）．
30．（2023•遂宁）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象交于A（﹣4，1），B（m，4）两点．（k1，k2，b为常数）
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式k1x+b＞k2x的解集；
（3）P为y轴上一点，若△PAB的面积为3，求P点的坐标．

31．（2023•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函数y=kx的图
象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．

32．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数y=mx在第四象限内的图象交于点C（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当kx+b＞mx时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线y=mx上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

33．（2023•广安）如图，一次函数y＝kx+94（k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m为常数，m≠0）的图象在第一象限交于点A（1，n），与x轴交于点B（﹣3，0）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

34．（2023•凉山州）阅读理解题：阅读材料：
如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα=12，则tanβ=13．
证明：设BE＝k，
∵tanα=12，
∴AB＝2k，
易证△AEB≌△EFC（AAS）．
∴EC＝2k，CF＝k，
∴FD＝k，AD＝3k，
∴tanβ=DFAD=k3k=13，
若α+β＝45°时，当tanα=12，则tanβ=13．
同理：若α+β＝45°时，当tanα=13，则tanβ=12．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线y＝3x﹣9与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA＝5．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；
（3）求直线AE的解析式．

35．（2023•南充）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A（﹣1，6），B（3a，a﹣3），与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）点M在x轴上，若S△OAM＝S△OAB，求点M的坐标．

36．（2023•达州）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω） 亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为 I=UR+RL，通过实验得出如下数据：
R/Ω
…
1
a
3
4
6
…
I/A
…
4
3
2.4
2
b
…
​（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数y=12x+2（x≥0），结合表格信息，探究函数y=12x+2（x≥0）的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数y=12x+2（x≥0）的图象；
​
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 　 　．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，12x+2≥−32x+6的解集为 　 　．

37．（2023•自贡）如图，点A（2，4）在反比例函数y1=mx图象上．一次函数y2＝kx+b的图象经过点A，分别交x轴，y轴于点B，C，且△OAC与△OBC的面积比为2：1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）请直接写出y1≥y2时，x的取值范围．

38．（2023•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y=mx（x＞0）的图象相交于点C，已知OA＝1，点C的横坐标为2．
（1）求k，m的值；
（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．


2023年中考数学真题知识点汇编之《反比例港函数(解答题)》
参考答案与试题解析
一．解答题（共38小题）
1．（2023•贵州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数y=kx(x＞0)的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，且点D为AB的中点．
（1）求反比例函数的表达式和点E的坐标；
（2）若一次函数y＝x+m与反比例函数y=kx(x＞0)的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点M可与点D，E重合），直接写出m的取值范围．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，由题意可知点E的纵坐标为2，代入反比例函数的解析式即可求得点E的横坐标；
（2）求得直线经过点D和点E的坐标，即可求得m的取值．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，点D（4，1），且点D为AB的中点，
∴B（4，2），
∴点E的纵坐标为2，
∵反比例函数y=kx(x＞0)的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数解析式为y=4x，
把y＝2代入得，2=4x，
解得x＝2，
∴E（2，2）；
（2）把D（4，1）代入y＝x+m得，1＝4+m，解得m＝﹣3，
把E（2，2）代入y＝x+m得，2＝2+m，解得m＝0，
∴m的取值范围是﹣3≤m≤0．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得交点的坐标是解题的关键．
2．（2023•常德）如图所示，一次函数y1＝﹣x+m与反比例函数y2=kx相交于点A和点B（3，﹣1）．
（1）求m的值和反比例函数解析式；
（2）当y1＞y2时，求x的取值范围．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）把B（3，﹣1）分别代入一次函数y1＝﹣x+m与反比例函数y2=kx，即可求出m的值和反比例函数的解析式；
（2）先求出A点坐标，再根据图象即可得到y1＞y2时x的取值范围．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝﹣x+m与反比例函数y2=kx相交于点A和点B（3，﹣1），
∴﹣1＝﹣3+m，﹣1=k3，
解得m＝2，k＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为y2=−3x；
（2）解方程组y=−x+2y=−3x，得x=−1y=3或x=3y=−1，
∴A（﹣1，3），
观察图象可得，当y1＞y2时，x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，以及利用数形结合思想解不等式．
3．（2023•湘潭）如图，点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点．将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′．
（1）反比例函数y=kx的图象经过点C′，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过A、A′两点，求该一次函数的表达式．

【考点】待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据旋转的性质得出C′的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，求出点A′坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数的解析式．
【解答】解：（1）∵点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点，
∴OA＝3，OB＝4，
∴BC＝2，
将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′，
∴C′（2，4），
∵反比例函数y=kx的图象经过点C′，
∴k＝2×4＝8，
∴该反比例函数的表达式为y=8x；
（2）作A′H⊥y轴于H．
∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，
∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠A′BH，
∵BA＝BA′，
∴△AOB≌△BHA′（AAS），
∴OA＝BH，OB＝A′H，
∵OA＝3，OB＝4，
∴BH＝OA＝3，A′H＝OB＝4，
∴OH＝1，
∴A′（4，1），
设一次函数的解析式为y＝ax+b，
把A（﹣3，0），A′（4，1）代入得，−3a+b=04a+b=1，
解得a=17b=37，
∴该一次函数的表达式为y=17x+37．

【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上的点的坐标特征，坐标与图形的变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
4．（2023•东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a＜0）与反比例函数y=kx（k≠0）交于A（﹣m，3m），B（4，﹣3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式kx＜ax+b的解集．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；不等式的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得A点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
（2）根据三角形面积的和差，可得答案；
（3）根据函数图象，即可列出不等式的关系，从而得解．
【解答】解：（1）∵点B（4，﹣3）在反比例函数 y=kx 的图象上，
∴−3=k4．
∴k＝﹣12．
∴反比例函数的表达式为 y=−12x．
∵A（﹣m，3m）在反比例函数 y=−12x 的图象上，
∴3m=−12−m．
∴m1＝2，m2＝﹣2 （舍去）．
∴点A的坐标为（﹣2，6）．
∵点A，B在一次函数y＝ax+b的图象上，把点 A（﹣2，6），B（4，﹣3）分别代入，得 −2a+b=64a+b=−3，
∴a=−32b=3．
∴一次函数的表达式为y=−32x+3．
（2）∵点C为直线AB与y轴的交点，
∴OC＝3．
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC
=12•OC•|xA|+12•OC•|xB|
=12×3×2+12×3×4
＝9．
（3）由题意得，x＜﹣2或0＜x＜4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式．
5．（2023•菏泽）如图，已知坐标轴上两点A（0，4），B（2，0），连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y=kx在第一象限的图象于点C（a，1）．
（1）求反比例函数y=kx和直线OC的表达式；
（2）将直线OC向上平移32个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）过点C作CD⊥x轴于点D，先证△CBD∽△BAO，求出点C的坐标，即可求出反比例函数的解析式和直线OC的解析式；
（2）先求出直线l的解析式，然后与反比例函数的解析式组成方程组，求出方程组的解即得出直线l与反比例函数图象的交点坐标．
【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠BDC＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BDC＝∠AOB，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
∴△CBD∽△BAO，
∴CDBO=BDAO，
∵A（0，4），B（2，0），C（a，1），
∴AO＝4，BO＝2，CD＝1，
∴12=BD4，
∴BD＝2，
∴OD＝BO+BD＝4，
∴a＝4，
∴点C的坐标是（4，1），
∵反比例函数y=kx过点C，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x；
设直线OC的解析式为y＝mx，
∵其图象经过点C（4，1），
∴4m＝1，
解得m=14，
∴直线OC的解析式为y=14x；
（2）将直线OC向上平移32个单位，得到直线l，
∴直线l的解析式为y=14x+32，
由题意得，y=14x+32y=4x，
解得x1=−8y1=−12，x2=2y2=2，
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为(−8，−12)或（2，2）．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数交点问题，熟知反比例函数与一次函数的交点坐标就是两个解析式组成的方程组的解．
6．（2023•济宁）如图，正比例函数y1=12x和反比例函数y2=kx(x＞0)的图象交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与y2=kx(x＞0)的图象交于点C，连接AB，AC，求△ABC的面积．
​

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】数形结合；一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式；
（2）根据平移的性质求得平移后直线的函数解析式，确定B点坐标，再用待定系数法求直线AB的解析式，利用三角形面积公式列式计算．
【解答】解：（1）把A（m，2）代入 y1=12x 得：
12m=2，
解得m＝4，
∴A（4，2），
把A（4，2）代入 y2=kx(x＞0)得：
k4=2，
解得k＝8，
∴反比例函数的解析式为 y2=8x；
（2）过点C作CM⊥x轴于M，交AB于点N，如图：

将直线OA向上平移3个单位后，其函数解析式为 y=12x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴点B的坐标为（0，3），
设直线AB的函数解析式为y＝mx+n，
将A（4，2），B（0，3）代入可得：
4m+n=2n=3，
解得：m=−14n=3，
∴直线AB的函数解析式为y=−14x+3，
联立解析式得：y=12x+3y=8x
解得：x=2y=4，
∴C点坐标为（2，4），
在y=−14x+3中，当 x＝2时，y=52，
∴CN＝4−52=32，
∴S△ABC=12×32×4＝3；
∴△ABC的面积为3．
【点评】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式，运用数形结合思想解题是关键．
7．（2023•吉林）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：
频率f（MHz）
10
15
50
波长λ（m）
30
20
6
（1）求波长λ关于频率f的函数解析式．
（2）当f＝75MHz时，求此电磁波的波长λ．
【考点】反比例函数的应用．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）设解析式为λ=kf（ k≠0），用待定系数法求解即可；
（2）把f＝75MHz值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长λ．
【解答】解：（1）设波长λ关于频率f的函数解析式为λ=kf（ k≠0），
把点（10，30）代入上式中得：k10=30，
解得：k＝300，
∴λ=300f；
（2）当f＝75MHz时，λ=30075=4，
答：当f＝75MHz时，此电磁波的波长入为4m．
【点评】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．
8．（2023•河南）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数y=kx图象上的点A(3，1) 和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作AC，连接BF．
​（1）求k的值；
（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．

【考点】反比例函数的应用；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1将A（3，1）代入y=kx中即可求解；
（2）利用勾股定理求边长，再根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半求解出角度，最后根据菱形的性质求解；
（3）先计算出S菱形AOCD＝23，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k的几何意义可求出S△FBO=3，从而问题即可解答．
【解答】解：（1）将A（3，1）代入到y=kx中，
得：1=k3，
解得：k=3；
（2）过点A作OD 的垂线，交x轴于G，

∵A（3，1），
∴AG＝1，OG=3，
OA=(3)2+12=2，
∴半径为2；
∵AG=12OA，
∴∠AOG＝30°，
由菱形的性质可知，∠AOG＝∠COG＝60°，
∴∠AOC＝60°，
∴圆心角的度数为：60°；
（3）∵OD＝2OG＝23，
∴S菱形AOCD＝AG×OD＝23，
∴S扇形AOC=16×π×r2=2π3，
在菱形OBEF中，S△FHO＝S△BHO，
∵S△FHO=k2=32，
∴S△FBO＝2×32=3，
∴S阴影＝S△FBO+S菱形AOCD﹣S扇形AOC=3+23−23π＝33−23π．
【点评】本题考查反比例函数及k的几何意义，菱形的性质，圆心角与弧的关系等，正确k的几何意义是解题关键．
9．（2023•兰州）如图，反比例函数y=kx(x＜0)与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
（1）求反比例函数y=kx与一次函数y＝﹣2x+m的表达式；
（2）当OD＝1时，求线段BC的长．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）由题意可知B、C的纵坐标为1，即可求得B（﹣4，1），C（12，1），从而求得BC＝412．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=kx(x＜0)与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4），
∴4=k−1，4＝﹣2×（﹣1）+m，
∴k＝﹣4，m＝2，
∴反比例函数为y=−4x，一次函数为y＝﹣2x+2；
（2）∵BC⊥y轴于点D，
∴BC∥x轴，
∵OD＝1，
∴B、C的纵坐标为1，
∴B（﹣4，1），C（12，1），
∴BC=12+4=412．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
10．（2023•聊城）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点p（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y=mx的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，若四边形APQB的面积为36，求n的值．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据反比例函数过A（﹣1，4），B（a，﹣1），求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的表达式；
（2）证得四边形APQB是平行四边形，根据平移的思想得到Q点的坐标，代入反比例函数解析式即可求得n的值．
【解答】解：（1）反比例函数y=mx的图象过A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点，
∴m＝﹣1×4＝a•（﹣1），
∴m＝﹣4，a＝4，
∴反比例函数为y=−4x，B（4，﹣1），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得4k+b=−1−k+b=4，
解得k=−1b=3，
∴一次函数为y＝﹣x+3；
（2）∵A（﹣1，4），B（4，﹣1），P（n，0），BQ∥AP，BQ＝AP，
∴四边形APQB是平行四边形，
∴点A向左平移﹣1﹣n个单位，向下平移4个单位得到P，
∴点B（4，﹣1）向左平移﹣1﹣n个单位，向下平移4个单位得到Q（5+n，﹣5），
∵点Q在y=−4x上，
∴5+n=45，
解得n=−215，
∴Q（45，﹣5），
连接AQ，交x轴于点C，
设直线AQ为y＝k′x+b′，
则−k′+b′=445k′+b′=−5，解得k′=−5b′=−1，
∴直线AQ为y＝﹣5x﹣1，
令y＝0，则x=−15，
∴C（−15，0），
∴PC=−15+215=4，
∴S△APQ＝S△APC+S△QPC=12×4×（4+5）＝18，
∴四边形APQB的面积为36，
故n=−215符合题意．

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质，平行四边形的性质，不是出Q点的坐标是解题的关键．
11．（2023•岳阳）如图，反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m为常数，m≠0）的图象交于A（1，2），B两点．
（1）求反比例函数和正比例函数的表达式；
（2）若y轴上有一点C（0，n），△ABC的面积为4，求点C的坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）分别将点A（1，2）反比例函数和正比例函数的解析式即可得出答案；
（2）先求出点B的坐标，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，F，然后根据点A、B、C的坐标表示出AE，BF，OC，最后再根据S△ABC＝S△AOC+S△BOC＝4即可求出点C的坐标．
【解答】解：（1）将点A（1，2）代入y=kx，得：k＝2，
∴反比例函数的解析式为：y=2x，
将点A（1，2）代入y＝mx，得：m＝2，
∴正比例函数的解析式为：y＝2x．
（2）解方程组y=2xy=2x，得：x1=1y1=2，x2=−1y2=−2，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣2），
过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，F，

∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），C（0，n），
∴AE＝BF＝1，OC＝|n|，
∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC＝4，
∴12OC⋅AE+12OC⋅BF=4，
即：|n|×1+|n×1＝8，
∴|n|＝4，
∴n＝±4，
∴点C的坐标为（0，4）或（0，﹣4）．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，难点是在解答（2）时，过点A，B向y轴作垂线，把△ABC的面积转化为△AOC和△BOC的面积之和，漏解是解答此题的易错点．
12．（2023•郴州）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（cm）（0＜x≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表：
托盘B与点C的距离x/cm
30
25
20
15
10
容器与水的总质量y1/g
10
12
15
20
30
加入的水的质量y2/g
5
7
10
15
25
把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象．

（1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；
②求y2关于x的函数表达式；
③当0＜x≤60时，y1随x的增大而 　减小　（填“增大”或“减小”），y2随x的增大而 　减小　（填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y1的图象向 　下　（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．
（3）若在容器中加入的水的质量y2（g）满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围．

【考点】反比例函数的应用；坐标与图形变化﹣平移．菁优网版权所有
【专题】数形结合；反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）描点作出图象即可；
（2）①用待定系数法可得y1关于x的函数表达式；
②由y2与y1关系，结合①可得答案；
③观察图象可得答案；
（3）根据19≤y2≤45可得关于x的不等式，可解得x的范围．
【解答】解：（1）作出y2关于x的函数图象如下：

（2）①观察表格可知，y1是x的反比例函数，
设y1=kx，把（30，10）代入得：10=k30，
∴k＝300，
∴y1关于x的函数表达式是y1=300x；
②∵y1＝y2+5，
∴y2+5=300x；
∴y2=300x−5；
③观察图象可得，当0＜x≤60时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而减小，y2的图象可以由y1的图象向下平移得到；
故答案为：减小，减小，下；
（3）∵y2=300x−5，19≤y2≤45，
∴19≤300x−5≤45，
∴24≤300x≤50，
∴6≤x≤12.5．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
13．（2023•滨州）如图，直线y＝kx+b（k，b为常数）与双曲线y=mx(m为常数）相交于A（2，a），B（﹣1，2）两点．
（1）求直线y＝kx+b的解析式；
（2）在双曲线y=mx上任取两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，试确定y1和y2的大小关系，并写出判断过程；
（3）请直接写出关于x的不等式kx+b＞mx的解集．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）依据题意，将B点代入双曲线解析式可求得m，再将A点代入求出a，最后由A、B两点代入直线解析式可以得解；
（2）由题意，分成两种情形：一种是M、N在双曲线的同一支上，一种是M、N在双曲线的两一支上，然后根据图象可以得解；
（3）依据图象，由一次函数值大于反比例函数值可以得解．
【解答】解：（1）由题意，将B点代入双曲线解析式y=mx，
∴2=m−1．
∴m＝﹣2．
∴双曲线为y=−2x．
又A（2，a）在双曲线上，
∴a＝﹣1．
∴A（2，﹣1）．
将A、B代入一次函数解析式得2k+b=−1−k+b=2，
∴k=−1b=1．
∴直线y＝kx+b的解析式为y＝﹣x+1．
（2）由题意，可分成两种情形．
①M、N在双曲线的同一支上，
由双曲线y=−2x，在同一支上时函数值随x的增大而增大，
∴当x1＜x2时，y1＜y2．
②M、N在双曲线的不同的一支上，
∵x1＜x2，
∴x1＜0＜x2．
∴此时由图象可得y1＞0＞y2，
即此时当x1＜x2时，y1＞y2．
（3）依据图象，kx+b＞mx即一次函数值大于反比例函数值，
∵A（2，﹣1），B（﹣1，2），
∴不等式kx+b＞mx的解集为：x＜﹣1或0＜x＜2．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，解不等式．利用数形结合思想是解题的关键．
14．（2023•十堰）函数y=kx+a的图象可以由函数y=kx的图象左右平移得到．
（1）将函数y=1x的图象向右平移4个单位得到函数y=1x+a的图象，则a＝　﹣4　；
（2）下列关于函数y=1x+a的性质：①图象关于点（﹣a，0）对称；②y随x的增大而减小；③图象关于直线y＝﹣x+a对称；④y的取值范围为y≠0．其中说法正确的是 　①④　（填写序号）；
（3）根据（1）中a的值，写出不等式1x+a＞1x的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；应用意识．
【分析】（1）利用左加右减的平移规律即可得到结论；
（2）根据平移的性质结合函数y=1x的性质判断即可；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）将函数y=1x的图象向右平移4个单位得到函数y=1x−4的图象，则a＝﹣4；
故答案为：﹣4；
（2）函数y=1x向左平移a个单位得到函数y=1x+a的图象，
①图象关于点（﹣a，0）对称，正确；
②y随x的增大而减小，错误；
③图象关于直线y＝﹣x+a对称，错误；
④y的取值范围为y≠0，正确．
其中说法正确的是①④；
故答案为：①④；
（3）观察图象，不等式1x+a＞1x的解集为x＞4或x＜0．

【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数与一次函数的交点，反比例函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
15．（2023•广元）如图，已知一次函数y＝kx+6的图象与反比例函数y=mx（m＞0）的图象交于A（3，4），B两点，与x轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E．
​（1）求k，m的值及C点坐标；
（2）连接AD，CD，求△ACD的面积．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）把点A的坐标代入y＝kx+6y=mx（m＞0）求出k、m的值即可；把y＝0代入直线AB的解析式，求出点C的坐标即可；
（2）延长DA交x轴于点F，先求出AB平移后的关系式，再求出点D的坐标，然后求出AD的解析式，得出点F的坐标，根据S△ACD＝S△CDF﹣S△CAF求出结果即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+6的图象与反比例函数y=mx（m＞0）的图象交于A（3，4），B两点，
∴4＝3k+6，4=m3，
∴k=−23，m＝12，
∴一次函数的解析式为y=−23x+6，反比例函数的解析式为y=12x，
吧y＝0代入y=−23x+6得：0=−23x+6，
解得x＝9，
∴点C的坐标为（9，0）；
（2）延长DA交x轴于点F，
将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后解析式为y=−23x+6+3=−23x+9，
由y=−23x+9y=12x，解得x=32y=8或x=12y=1，
∴D（32，8），
设直线AD的解析式为y＝ax+b，
把A、D的坐标代入得3a+b=432a+b=8，
解得a=−83b=12，
∴直线AD的解析式为y=−83x+12，
令y＝0，则0=−83x+12，
解得x=92，
∴F（92，0），
∴CF＝9−92=92，
∴S△ACD＝S△CDF﹣S△CAF=12×92×8−12×92×4=9．

【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求函数的解析式，整理掌握待定系数法以及数形结合是解题的关键．
16．（2023•湖北）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与函数为y2=mx(x＞0)的图象交于A(4，1)，B(12，a)两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足y1﹣y2＞0时x的取值范围；
（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ面积为3，求点P的坐标．

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【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）将A点坐标代入即可得出反比例函数y2=mx（x＞0），求得函数的解析式，进而求得B的坐标，再将A、B两点坐标分别代入y1＝kx+b，可用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）由题意即求y1＞y2的x的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的x的取值范围；
（3）由题意，设P（p，﹣2p+9）且12≤p≤4，则Q（p，4p），求得PQ＝﹣2p+9−4p，根据三角形面积公式得到S△POQ=12（﹣2p+9−4p）•p＝3，解得即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y2=mx（x＞0）的图象经过点A（4，1），
∴1=m4．
∴m＝4．
∴反比例函数解析式为y2=4x（x＞0）．
把B（12，a）代入y2=4x（x＞0），得a＝8．
∴点B坐标为（12，8），
∵一次函数解析式y1＝kx+b，经过A（4，1），B（12，8），
∴4k+b=112k+b=8．
∴k=−2b=9．
故一次函数解析式为：y1＝﹣2x+9．
（2）由y1﹣y2＞0，
∴y1＞y2，即反比例函数值小于一次函数值．
由图象可得，12＜x＜4．
（3）由题意，设P（p，﹣2p+9）且12≤p≤4，
∴Q（p，4p）．
∴PQ＝﹣2p+9−4p．
∴S△POQ=12（﹣2p+9−4p）•p＝3．
解得p1=52，p2＝2．
∴P（52，4）或（2，5）．
【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
17．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于A（a，4）和B（4，2）两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）当x＞0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx+n≥kx的解集；
（3）过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，求梯形OCBD的面积．

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【专题】数形结合；待定系数法；一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）利用B（4，2）可得反比例函数为 y=8x，再求得A（2，4），用待定系数法可得一次函数的解析式即可；
（2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合x＞0可得答案；
（3）求出OA的解析式y＝2x，由B（4，2），可得D（1，2），BD＝4﹣1＝3，由y＝﹣x+6，得C（6，0），OC＝6，再利用梯形的面积公式列式计算即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数 y=kx 过B（4，2），
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数为：y=8x，
把A（a，4）代入 y=8x 得：a=84=2，
∴A（2，4），
∴4m+n=22m+n=4，
解得：m=−1n=6，
∴一次函数为y＝﹣x+6；
（2）观察函数图象可得，当x＞0时，﹣x+6≥8x的解集为：2≤x≤4；
（3）∵A（2，4），
∴直线OA的解析式为：y＝2x，
∵过点B（4，2）作BD平行于x轴，交OA于点D，
∴D（1，2），
∴BD＝4﹣1＝3，
在y＝﹣x+6中，令y＝0得x＝6，即
∴C（6，0），
∴OC＝6，
∵12(3+6)×2=9，
∴梯形OCBD的面积为9．
【点评】本题考查利用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，利用图象解不等式，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合思想解题是解题的关键．
18．（2023•衡阳）如图，正比例函数y=43x的图象与反比例函数y=12x（x＞0）的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）分别以点O、A为圆心，大于OA一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线BC，交x轴于点D．求线段OD的长．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）将正比例函数与反比例函数的解析式联立，组成方程组，解方程组即可求出点A的坐标；
（2）设点D的坐标为（x，0）．根据线段垂直平分线的性质得出AD＝OD，依此列出方程（x﹣3）2+42＝x2，解方程即可．
【解答】解：（1）解方程组y=43xy=12x（x＞0），
得x=3y=4，
∴点A的坐标为（3，4）；
（2）设点D的坐标为（x，0）．
由题意可知，BC是OA的垂直平分线，
∴AD＝OD，
∴（x﹣3）2+42＝x2，
∴x=256，
∴D（256，0），OD=256．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了线段垂直平分线的性质．
19．（2023•株洲）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点A（t，0），点P（1，2）在函数y=kx(k＞0，x＞0) 的图象上．
（1）求k的值；
（2）连接BP、CP，记△BCP的面积为S，设T＝2S﹣2t2，求T的最大值．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；正方形的性质；反比例函数的性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据点P（1，2）在函数y=kx(k＞0，x＞0) 的图象上，代入即可得到k的值；
（2）根据点A（t，0）在x轴负半轴上得到OA＝﹣t，根据正方形的性质得到OC＝BC＝OA＝﹣t，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点P（1，2）在函数y=kx(k＞0，x＞0) 的图象上，
∴2=k1，
∴k＝2，
即k的值为2；
（2）∵点A（t，0）在x轴负半轴上，
∴OA＝﹣t，
∵四边形OABC为正方形，
∴OC＝BC＝OA＝﹣t，BC∥x轴，
∴△BCP的面积为S=12×（﹣t）×（2﹣t）=12t2﹣t，
∴T＝2S﹣2t2＝2（12t2﹣t）﹣2t2＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1，
∵﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当t＝﹣1时，T有最大值，T的最大值是1．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正方形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
20．（2023•乐山）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=4x的图象交于点A（m，4），与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）已知P为反比例函数y=4x图象上的一点，S△OBP＝2S△OAC，求点P的坐标．
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【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）把A（m，4）代入反比例函数解析式求得m的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）过点A作 AH⊥y 轴于点H，过点P作 PD⊥x 轴于点D，由S△OBP＝2S△OAC得到12OB⋅PD=2×12OC⋅AH，即12×3×PD=2×12×3×1，解得PD＝2，即可求得点P的纵坐标为2或﹣2，进一步求得点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（m，4）在反比例函数 y=4x 的图象上，
∴4=4m，
∴m＝1，
∴A（1，4），
又∵点A（1，4）、C（0，3）都在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴k+b=4b=3，
解得k=1b=3，
∴一次函数的解析式为y＝x+3；
（2）对于y＝x+3，当y＝0时，x＝﹣3，
∴OB＝3，
∵C（0，3），
∴OC＝3，
过点A作 AH⊥y 轴于点H，过点P作 PD⊥x 轴于点D，
∵S△OBP＝2S△OAC，
∴12OB⋅PD=2×12OC⋅AH，即12×3×PD=2×12×3×1，
解得PD＝2，
∴点P的纵坐标为2或﹣2，
将y＝2或﹣2代入 y=4x 得x＝2或﹣2，
∴点P（2，2）或（﹣2，﹣2）．

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
21．（2023•江西）如图，已知直线y＝x+b与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（2，3），与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数y=kx（x＞0）的图象于点C．
（1）求直线AB和反比例函数图象的表达式；
（2）求△ABC的面积．

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【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）通过直线解析式求得B点的坐标，由反比例函数的解析式求得C点的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+b与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（2，3），
∴3＝2+b，3=k2，
∴b＝1，k＝6，
∴直线AB为y＝x+1，反比例函数为y=6x；
（2）令x＝0，则y＝x+1＝1，
∴B（0，1），
把y＝1代入y=6x，解得x＝6，
∴C（6，1），
∴BC＝6，
∴△ABC的面积S=12×6×(3−1)=6．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
22．（2023•枣庄）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=4x的图象交于A（m，1），B（﹣2，n）两点．
（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式kx+b＜4x的解集；
（3）设直线AB与x轴交于点C，若P（0，a）为y轴上的一动点，连接AP，CP，当△APC的面积为52时，求点P的坐标．

【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）先根据反比例函数图象经过A、B，求出点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式，在平面直角坐标系中画出直线AB即可；
（2）观察函数图象找出直线在双曲线的上方时所对应的自变量取值范围，即可写出不等式kx+b＜4x的解集；
（3）根据三角形面积公式列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=4x的图象经过A（m，1），B（﹣2，n）两点，
∴1=4m，n=4−2=−2，
解得：m＝4，
∴A（4，1），B（﹣2，﹣2），
将A（4，1），B（﹣2，﹣2）代入y＝kx+b，得4k+b=1−2k+b=−2，
解得：k=12b=−1，
∴一次函数的表达式为y=12x﹣1，该函数的图象如图所示：

（2）由图可得，不等式kx+b−4x＜0的解集范围是x＜﹣2或0＜x＜4；
（3）设直线AB交x轴于C，交y轴于D，
在y=12x﹣1中，
当x＝0时，y＝﹣1，
∴D（0，﹣1），
当y＝0时，得12x﹣1＝0，
解得：x＝2，
∴C（2，0），
∴OC＝2，
∵P（0，a），A（4，1），
∴PD＝|a+1|，
∵S△APC=52，
∴12|a+1|•（4﹣2）=52，
解得：a=32或−72，
∴点P的坐标为（0，32）或（0，−72）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．
23．（2023•杭州）在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数y1=k1x与函数y2＝k2（x﹣2）+5的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣4．
（1）求k1，k2的值．
（2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）首先将点A的横坐标代入y2＝k2（x﹣2）+5 求出点A的坐标，然后代入y1=k1x1 求出k1＝10 然后将点B的纵坐标代入y1=1x 求出B(−52，−4)，然后代入y2＝k2（x﹣2）+5，即可求出k2＝2；
（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出CD所在直线的表达式，进而求解即可．
【解答】（1）解：∵点A的横坐标是2，
∴将x＝2代入y2＝k2（x﹣2）+5＝5，
∴A（2，5），
∴将A（2，5）代入y1=k1x 得：k1＝10，
∴y1=10x，
∵点B的纵坐标是﹣4，
∴将y＝﹣4代入y1=10x 得，x=−52，
∴B（−52，﹣4）．
∴将B（−52，﹣4）代入y2＝k2（x﹣2）+5得：−4=k2(−52−2)+5，
解得：k2＝2．
∴y2＝2（x﹣2）+5＝2x+1．
（2）证明：如图所示，

由题意可得：C（−52，5），D（2，﹣4），
设CD所在直线的表达式为y＝kx+b，
∴−52k+b=52k+b=−4，
解得：k=−2b=0，
∴CD所在直线的表达式为y＝﹣2x，
∴当x＝0时，y＝0，
∴直线CD经过原点．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特点，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
24．（2023•台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm．
（1）求h关于ρ的函数解析式；
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ．

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【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）设h关于ρ的函数解析式为 ℎ=kρ，把ρ＝1，h＝20代入解析式，解方程即可得到结论；
（2）把 h＝25 代入 ℎ=20ρ，求得ρ＝0.8，于是得到结论．
【解答】解：（1）设h关于ρ的函数解析式为 ℎ=kρ，
把ρ＝1，h＝20代入解析式，得k＝1×20＝20，
∴h关于ρ的函数解析式为 ℎ=20ρ；
（2）把 h＝25 代入 ℎ=20ρ，得 25=20ρ，
解得：ρ＝0.8，
答：该液体的密度ρ为 0.8g/cm3．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
25．（2023•苏州）如图，一次函数y＝2x的图象与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（4，n）．将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到点B，D为x轴正半轴上的点，点B的横坐标大于点D的横坐标，连接BD，BD的中点C在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上．
（1）求n，k的值；
（2）当m为何值时，AB•OD的值最大？最大值是多少？

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【专题】反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）首先将点A（4，n）代入y＝2x可求出n，再将点A的坐标代入y＝k/x即可求出k；
（2）过点C作直线EF⊥x轴于F，交AB于E，先证△ECB和△FCD全等，得BE＝DF，CE＝CF＝4，进而可求出点C（8，4），根据平移的性质得点B（m+4，8），则BE＝DF＝m﹣4，OD＝12﹣m，据此可得出AB•DD＝m（12﹣m），最后求出这个二次函数的最大值即可．
【解答】解：（1）将点A（4，n）代入y＝2x，得：n＝8，
∴点A的坐标为（4，8），
将点A（4，8）代入y=kx，得：k＝32．
（2）∵点B的横坐标大于点D的横坐标，
∴点B在点D的右侧．
过点C作直线EF⊥x轴于F，交AB于E，

由平移的性质得：AB∥x轴，AB＝m，
∴∠B＝∠CDF，
∵点C为BD的中点，
∴BC＝DC，
在△ECB和△FCD中，
∠B=∠CDFBC=DC∠BCE=∠DCF，
∴△ECB≌△FCD（ASA），
∴BE＝DF，CE＝CF．
∵AB∥x轴，点A的坐标为（4，8），
∴EF＝8，
∴CE＝CF＝4，
∴点C的纵坐标为4，
由（1）知：反比例函数的解析式为：y=32x，
∴当y＝4时，x＝8，
∴点C的坐标为（8，4），
∴点E的坐标为（8，8），点F的坐标为（8，0），
∵点A（4，8），AB＝m，AB∥x轴，
∴点B的坐标为（m+4，8），
∴BE＝m+4﹣8＝m﹣4，
∴DF＝BE＝m﹣4，
∴OD＝8﹣（m﹣4）＝12﹣m
AB•OD＝m（12﹣m）＝﹣（m﹣6）2+36
∴当 m＝6时，AB•OD取得最大值，最大值为36．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象、二次函数的图象和性质，点的坐标平移等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，理解点的坐标的平移，难点是在解答（2）时，构造二次函数求最值．
26．（2023•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C（3，0），顶点A、B（6，m）恰好落在反比例函数y=kx第一象限的图象上．
（1）分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在一点P，使△ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

【考点】待定系数法求反比例函数解析式；等腰直角三角形；轴对称﹣最短路线问题；一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）过A作AT⊥x轴于T，过B作BK⊥x轴于K，证明△ATC≌△CKB（AAS），由C（3，0），B（6，m），可得A（3﹣m，3），即有k＝3（3﹣m）＝6m，解得m＝1，k＝6，故反比例函数的表达式为y=6x，A（2，3），B（6，1），再用待定系数法可得直线AB所对应的一次函数的表达式为y=−12x+4；（2）作A（2，3）关于x轴的对称点A'（2，﹣3），连接A'B交x轴于P，由A（2，3），B（6，1），得AB＝25，故当AP+BP最小时，△ABP周长最小，由A'（2，﹣3），B（6，1），得A'B=(2−6)2+(−3−1)2=42，从而可知△ABP周长的最小值为42+25．
【解答】解：（1）过A作AT⊥x轴于T，过B作BK⊥x轴于K，如图：

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ACT＝90°﹣∠BCK＝∠CBK，
∵∠ATC＝90°＝∠CKB，
∴△ATC≌△CKB（AAS），
∴AT＝CK，CT＝BK，
∵C（3，0），B（6，m），
∴AT＝CK＝6﹣3＝3，CT＝BK＝m，
∴OT＝3﹣m，
∴A（3﹣m，3），
∵A（3﹣m，3），B（6，m）恰好落在反比例函数y=kx第一象限的图象上，
∴k＝3（3﹣m）＝6m，
∴m＝1，k＝6，
∴反比例函数的表达式为y=6x，A（2，3），B（6，1），
设直线AB所对应的一次函数的表达式为y＝k'x+b，把A（2，3），B（6，1）代入得：
2k′+b=36k′+b=1，
解得k′=−12b=4，
∴直线AB所对应的一次函数的表达式为y=−12x+4；
（2）在x轴上存在一点P，使△ABP周长的值最小，理由如下：
作A（2，3）关于x轴的对称点A'（2，﹣3），连接A'B交x轴于P，如图：

∵A（2，3），B（6，1），
∴AB=(2−6)2+(3−1)2=25，
∴当AP+BP最小时，△ABP周长最小，
∵A，A'关于x轴对称，
∴AP＝A'P，
∴当A'，P，B共线时，AP+BP最小，△ABP周长也最小，
∵A'（2，﹣3），B（6，1），
∴A'B=(2−6)2+(−3−1)2=42，
∴AP+BP＝A'P+BP＝A'B＝42，
∴△ABP周长的最小值为42+25．
【点评】本题考查反比例函数，一次函数的交点问题，涉及等腰直角三角形性质及应用，解题的关键是证明△ATC≌△CKB，从而求出m的值．
27．（2023•金昌）如图，一次函数y＝mx+n的图象与y轴交于点A，与反比例函数y=6x（x＞0）的图象交于点B（3，a）．
（1）求点B的坐标；
（2）用m的代数式表示n；
（3）当△OAB的面积为9时，求一次函数y＝mx+n的表达式．

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【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）由反比例函数的解析式即可求得的B的坐标；
（2）把B（3，2）代入y＝mx+n即可求得用m的代数式表示n的式子；
（3）利用三角形面积求得n的值，进一步求得m的值．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=6x（x＞0）的图象过点B（3，a），
∴a=63=2，
∴点B的坐标为（3，2）；
（2）∵一次函数y＝mx+n的图象过点B，
∴2＝3m+n，
∴n＝2﹣3m；
（3）∵△OAB的面积为9，
∴12×(−n)×3=9，
∴n＝﹣6，
∴A（0，﹣6），
∴﹣6＝2﹣3m，
∴m=83，
∴一次函数的表达式是y=83x﹣6．
【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知函数图象上点的坐标特征满足解析式是解题的关键．
28．（2023•巴中）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y=mx（m≠x）的图象交于A、B两点，A的横坐标为﹣4，B的纵坐标为﹣6．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）观察图象，直接写出不等式kx＜mx的解集．
（3）将直线AB向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接OD、BD，若△OBD的面积为20，求直线CD的表达式．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）利用利用反比例函数中心对称性，可求出A、B的坐标，进而可求出反比例函数的表达式；
（2）观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式kx＜mx的解集；
（3）方法一：连接BE，作BG⊥y轴于点G，求得直线AB的解析式，根据平行线间的距离相等得出S△OBD＝S△OBE＝20，即可求得OE＝10，从而求得直线CD为y=−32x+10．
方法二：连接BF，作BH⊥x轴于H，求得直线AB的解析式，根据平行线间的距离相等得出S△OBD＝S△OBF＝20，即可求得F（203，0），从而求得直线CD为y=−32x+10．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y=mx（m≠x）的图象交于A、B两点，
∴A、B关于原点对称，
∵A的横坐标为﹣4，B的纵坐标为﹣6，
∴A（﹣4，6），B（4，﹣6），
∵点A（﹣4，6）在反比例函数y=mx（m≠x）的图象上，
∴6=m−4，
∴m＝﹣24，
∴反比例函数的表达式为y=−24x；
（2）观察函数图象，可知：当﹣4＜x＜0或x＞4时，正比例函数y＝kx的图象在反比例函数y=mx（m≠x）的图象下方，
∴不等式kx＜mx的解集为﹣4＜x＜0或x＞4；
（3）方法一：连接BE，作BG⊥y轴于点G，
∵A（﹣4，6）在直线y＝kx上，
∴6＝﹣4k，解得k=−32，
∴直线AB的表达式为y=−32x，
∵CD∥AB，
∴S△OBD＝S△OBE＝20，
∵B（4，﹣6），
∴BG＝4，
∴S△OBE=12OE⋅BG=20，
∴OE＝10，
.E（0，10），
∴直线CD为y=−32x+10．
方法二：
连接BF，作BH⊥x轴于H，
∵A（﹣4，6）在直线y＝kx上，
∴k=−32，
∴直线AB的表达式为y=−32x，
∵CD∥AB，
∴S△OBD＝S△OBF＝20，
∵B（4，﹣6），
∴12OF•6＝20，
∴OF=203，
∴F（203，0），
设直线CD的表达式为y=−32x+b，
代入F点的坐标得，−32×203+b＝0
解得b＝10，
∴直线CD为y=−32x+10．


【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数的对称性，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，平行线间的距离相等，三角形的面积，根据三角形面积求得E、F点的坐标是解题的关键．
29．（2023•连云港）【问题情境 建构函数】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，M是CD的中点，AE⊥BM，垂足为E．设BC＝x，AE＝y，试用含x的代数式表示y．
【由数想形 新知初探】
（2）在上述表达式中，y与x成函数关系，其图象如图2所示．若x取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图象．

【数形结合 深度探究】
（3）在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y随x的增大而增大；②函数值y的取值范围是﹣42＜y＜42；③存在一条直线与该函数图象有四个交点；④在图象上存在四点A、B、C、D，使得四边形ABCD是平行四边形．其中正确的是 　①④　．（写出所有正确结论的序号）
【抽象回归 拓展总结】
（4）若将（1）中的“AB＝4”改成“AB＝2k”，此时y关于x的函数表达式是 　y=2kxx2+k2x2+k2（x＞0，k＞0）　；一般地，当k≠0，x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）．
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【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】（1）证得Rt△ABE∽Rt△BMC，得出ABBM=AEBC，由题意CM=12CD=12AB＝2，利用勾股定理求得，BM=x2+4，即可得到4x2+4=yx，从而得到y=4xx2+4=4xx2+4x2+4（x＞0）；
（2）把P点的对称点Q（﹣a，﹣b）代入解析式也成立，即可证明函数图象是否具有对称性；
（3）观察图象即可判断；
（4）分析函数的解析式即可得出函数的性质．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠ABC＝∠BCM＝90°，
∴∠ABE+∠MBC＝90°，
∵AE⊥BM，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠AEB＝∠BCM，∠MBC＝∠BAE，
∴Rt△ABE∽Rt△BMC，
∴ABBM=AEBC，
∵AB＝4，点M是CD的中点，
∴CM=12CD=12AB＝2，
在Rt△BMC中，BM=BC2+CM2=x2+22=x2+4，
∴4x2+4=yx，
∴y=4xx2+4=4xx2+4x2+4（x＞0）；
（2）x取任意实数时，对应的函数图象关于原点对称理由如下：
若P（a，b）为图象上任意一点，则b=4aa2+4a2+4，
∴设P（a，b）关于原点的对称点为Q，则Q（﹣a，﹣b），
∵当x＝﹣a时，y=4(−a)(−a)2+4(−a)2+4=−4aa2+4a2+4，
∴Q（﹣a，﹣b）也在函数y=4xx2+4x2+4的图象上，
∴当x取任意实数时，函数y=4xx2+4x2+4的图象关于原点对称；
（3）观察图象，①函数值y随x的增大而增大；故正确，
②函数值y的取值范围是﹣4＜y＜4；故错误，
③存在一条直线与该函数图象有三个交点；故错误，
④在图象上存在四点A、B、C、D，使得四边形ABCD是平行四边形，故正确．
故答案为：①④；
（4）y关于x的函数表达式为y=2kxx2+k2x2+k2（x＞0，k＞0），
当k≠0，x取任意实数时，有如下相关性质：
当k＞0时，图象经过第一、三象限，函数值y随x的增大而增大，y的取值范围为﹣2k＜y＜2k；
当k＜0时，图象经过第二、四象限，函数值y随x的增大而减小，y的哦值范围为水2k＜y＜﹣2k；
函数图象经过原点；
函数图象关于原点对称；
故答案为：y=2kxx2+k2x2+k2（x＞0，k＞0）．

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了三角形相似的判定和性质，反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
30．（2023•遂宁）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象交于A（﹣4，1），B（m，4）两点．（k1，k2，b为常数）
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式k1x+b＞k2x的解集；
（3）P为y轴上一点，若△PAB的面积为3，求P点的坐标．

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【专题】数形结合；构造法；几何直观；运算能力．
【分析】（1）将点A（﹣4，1）代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，再将点B（m，4）代入已求出的反比例函数解析式求出m的值，进而得点B的坐标，然后将点A，B的坐标代入一次函数的解析式即可求出一次函数的解析式；
（2）观察函数的图象，找出一次函数的图象在反比例函数的上方所对应的x的取值范围即可；
（3）过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，根据点A，B的坐标可求出四边形ACDB，据此可判断点P在线段CD上，然后根据S△ABC＝S四边形ACDB﹣S△PBD﹣S△PAC即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）将点A（﹣4，1）代入y=k2x之中，得：k2＝﹣4，
∴反比例函数的解析式为：y=−4x，
将B（m，4）代入反比例函数y=−4x之中，得：m＝﹣1，
∴点B的坐标为（﹣1，4），
将点A（﹣4，1），B（﹣1，4）代入y＝k1x+b之中，得：−−4k1+b=1−k1+b=4，
解得：k1=1b=5，
∴一次函数的解析式为：y＝x+5．
（2）观察函数的图象可知：当﹣4＜x＜﹣1或x＞0时，一次函数的图象均在反比例函数的上方，
∴k1x+b＞k2x的解集为：﹣4＜x＜﹣1或x＞0．
（3）过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，

∵A（﹣4，1），B（﹣1，4），
∴AC＝4，OC＝1，BD＝1，OD＝4，
∴CD＝OD﹣OC＝4﹣1＝3，
∵AC⊥y轴，BD⊥y轴，
∴四边形ACDB为直角梯形，
∴S四边形ACDB=12(BD+AC)⋅CD=152，
设点P的坐标为（0，t），
∵△PAB的面积为3，
∴有以下两种情况：
①点P在线段CD上，
∴OP＝t，
∴DP＝OD﹣OP＝4﹣t，PC＝OP﹣OC＝t﹣1，
∴S△PBD=12PD⋅BD=4−t2，S△PAC=12PC⋅AC=2t−2，
∴152−4−t2−(2t−2)=3，
解得：t＝3，
∴此时点P的坐标为（0，3）；
②当P在CD延长线上时，记作P'
DP'＝t﹣4，P'C＝t﹣1，
S△P′AC=12AC⋅P′C=2(t−1)，S△P′BD=12BD⋅P′D=12(t−4)，
又∵S△P'AB＝S△P'AC﹣S△P'BD﹣S梯形ACDB，
2(t−1)−12(t−4)−152=3，
解得：t＝7，
此时点P的坐标为（0，7）．
综上所述：点P的坐标为（0，3）或（0，7）．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数的解析式等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式的方法与技巧，难点是解答（3）时，根据相关点的坐标向坐标轴作垂线把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差．
31．（2023•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函数y=kx的图
象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．

【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【分析】（1）解方程得到点A的坐标为（0，5），将B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，求得B（1，4），将B（1，4）代入y=kx得，求得反比例函数的表达式为y=4x；
（2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N，解方程得到N（S，0），求得OA＝ON＝5，根据两点间的距离的结论公式得到AB=(1−0)2+(4−5)2=2，求得M（0，3），待定系数法求得直线l的解析式为y＝4x+3，设点C的坐标为（t，t+3），根据三角形的面积公式列方程得到t＝﹣4或t＝6，求得点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；
（3）解方程组求得E（﹣4，﹣1），根据相似三角形的性质得到∠PAB＝∠PDE，根据平行线的判定定理得到AB∥DE，求得直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，解方程组得到D（﹣1，﹣4），则直线AD的解析式为y＝9x+5，于是得到P（−14，114），根据两点间的距离距离公式即可得到结论．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣x+5＝5，
∴点A的坐标为（0，5），
将B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，
∴a＝1，
∴B（1，4），
将B（1，4）代入y=kx得，4=k1，
解得k＝4，
∴反比例函数的表达式为y=4x；
（2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N，

令y＝﹣x+5＝0得，x＝5，
∴N（5，0），
∴OA＝ON＝5，
∵∠AON＝90°，
∴∠OAN＝45°，
∵A（0，5），B（1，4），
∴AB=(1−0)2+(4−5)2=2，
∵直线l是AB的垂线，即∠ABM＝90°，∠OAN＝45°，
∴AB=BM=2，AM=AB2+BM2=2，
∴M（0，3），
设直线l的解析式为y＝k1x+b1，
将M（0，3），B（1，4）代入y＝k1x+b1得，k1+b1=4b1=3，
解得k1=1b1=3，
∴直线l的解析式为y＝x+3，
设点C的坐标为（t，t+3），
∵S△ABC=12AM•|xB﹣xC|=12×2×|1−t|=5，
解得t＝﹣4或t＝6，
当t＝﹣4时，t+3＝﹣1，
当t＝6时，t+3＝9，
∴点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；
方法二：设点C的坐标为（t，t+3），
∴BC=(1−t)2+(4−t−3)2=|1﹣t|，
∴S△ABC=12AB⋅BC=12×2×|1−t|=5，
∴t＝﹣4或t＝6，
当t＝﹣4时，t+3＝﹣1，
当t＝6时，t+3＝9，
∴点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为E点，则点A的对应点为D，
将直线l与双曲线的解析式联立方程组y=4xy=x+3，
解得，x=1y=4或x=−4y=−1，
∴E（﹣4，﹣1），
画出图形如图所示，

∵△PAB∽△PDE，
∴∠PAB＝∠PDE，
∴AB∥DE，
∴直线AB与直线DE的一次项系数相等，
设直线DE的解析式为y＝﹣x+b2，
∴﹣1＝﹣（﹣4）+b2，
∴b2＝﹣5，
∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，
∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点，
∴解方程组y=4xy=−x−5得，x=−1y=−4或x=−4y=−1，
∴D（﹣1，﹣4），
则直线AD的解析式为y＝9x+5，
解方程组y=9x+5y=x+3得，x=−14y=114，
∴P（−14，114），
∴BP=(−14−1)2+(114−4)2=542，
EP=[−14−(−4)]2+[114−(−1)]2=1542，
∴m=EPBP=3．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
32．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数y=mx在第四象限内的图象交于点C（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当kx+b＞mx时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线y=mx上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】（1）将A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b，求得一次函数表达式，进而可得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可；
（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；
（3）过点A作AE⊥BC交y轴于点E，证明△AOB∽△EOA得出点E的坐标，在求出直线AE的表达式，与反比例函数联立方程组即可．
【解答】（1）将A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b得：4k+b=0b=2，
解得：k=−12b=2，
∴一次函数表达式为：y=−12x+2，
将C（6，a）代入得：y=−12×6+2＝﹣1，
∴C（6，﹣1），
将C（6，﹣1）代入y=mx得：m＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为：y=−6x；
（2）设一次函数与反比例函数在第二象限交于点D，
联立y=−12x+2y=−6x，
解得：x=−2y=3或x=6y=−1，
∴D（﹣2，3），
∴由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜6时，kx+b＞mx，
（3）存在，理由：
过点A作AE⊥BC交y轴于点E，
∵∠BAO+∠EAO＝90°，∠EAO+∠AEO＝90°，
∴∠BAO＝∠AEO，
∵∠AOB＝∠EOA＝90°，
∴△AOB∽△EOA，
∴OBOA=AOEO，
∴24=4OE，
∴OE＝8，
∴E（0，﹣8），
设直线AE的表达式为：y＝ax+b，
将（4，0），（0，﹣8）代入得：4a+b=0b=−8，
解得：a=2b=−8，
∴直线AE的表达式为：y＝2x﹣8，
联立：y=2x−8y=−6x，
解得：x=1y=−6或x=3y=−2，
∴点P的坐标为：（1，﹣6）或（3，﹣2）．

【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查的有待定系数法求一次函数、反比例函数表达式，相似三角形的判定及性质．
33．（2023•广安）如图，一次函数y＝kx+94（k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m为常数，m≠0）的图象在第一象限交于点A（1，n），与x轴交于点B（﹣3，0）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

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【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，列出关于k、n的方程组，通过解方程组求得它们的值；然后将点A的坐标代入反比例函数解析式，求得m的值即可；
（2）设P（a，0），利用两点间的距离公式和勾股定理以及AP＝AB列出方程，借助于方程求解即可．
【解答】解：（1）将A（1，n）、B（﹣3，0）分别代入一次函数y＝kx+94，得
k+94=n−3k+94=0．
解得k=34n=3．
故A（1，3）．
将其代入反比例函数y=mx，得
m1=3．
解得m＝3．
故一次函数的解析式为y=34x+94，反比例函数的解析式为y=3x；

（2）由（1）知，A（1，3）、B（﹣3，0），则AB=32+42=5．
设P（a，0），
当AB＝AP时，5=(1−a)2+32．
解得a＝5或a＝﹣3（舍去）．
故P（5，0）；
当AB＝PB时，5＝|﹣3﹣a|．
解得a＝﹣8或a＝2．
故P（﹣8，0）或（2，0）．
综上所述，符合条件的点P的坐标为：（5，0）或（﹣8，0）或（2，0）．
【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求得一次函数和反比例函数解析式，勾股定理以及等腰三角形的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
34．（2023•凉山州）阅读理解题：阅读材料：
如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα=12，则tanβ=13．
证明：设BE＝k，
∵tanα=12，
∴AB＝2k，
易证△AEB≌△EFC（AAS）．
∴EC＝2k，CF＝k，
∴FD＝k，AD＝3k，
∴tanβ=DFAD=k3k=13，
若α+β＝45°时，当tanα=12，则tanβ=13．
同理：若α+β＝45°时，当tanα=13，则tanβ=12．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线y＝3x﹣9与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA＝5．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；
（3）求直线AE的解析式．

【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【专题】阅读型；一次函数及其应用；反比例函数及其应用；解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】（1）设A（t，3t﹣9），由OA＝5，得t2+（3t﹣9）2＝52，可解得A（4，3），再用待定系数法得反比例函数的解析式为y=12x（x＞0）；
（2）求出B（3，0），由A（4，3），得AM＝3，BM＝OM﹣OB＝1，即知tan∠BAM=BMAM=13，而∠BAE＝45°，故∠BAM+∠NAE＝45°，由阅读材料得tan∠NAE=12；
（3）由tan∠NAE=12，A（4，3），得NE＝2，从而E（0，1），再用待定系数法得直线AE解析式为y=12x+1．
【解答】解：（1）设A（t，3t﹣9），
∴OM＝t，AM＝3t﹣9，
∵OA＝5，
∴t2+（3t﹣9）2＝52，
解得t＝4或t＝1.4，
∴A（4，3）或（1.4，﹣4.8）（此时A在第四象限，不符合题意，舍去），
把A（4，3）代入y=mx（x＞0）得：
3=m4，
解得m＝12，
∴反比例函数的解析式为y=12x（x＞0）；
（2）在y＝3x﹣9中，令y＝0得0＝3x﹣9，
解得x＝3，
∴B（3，0），
∴OB＝3，
由（1）知A（4，3），
∴OM＝4，AM＝3，
∴BM＝OM﹣OB＝4﹣3＝1，
∴tan∠BAM=BMAM=13，
∵∠ANO＝∠NOM＝∠OMA＝90°，
∴∠MAN＝90°，
∵∠BAE＝45°，
∴∠BAM+∠NAE＝45°，
由若α+β＝45°时，当tanα=13，则tanβ=12可得：
tan∠NAE=12；
（3）由（2）知tan∠NAE=12，
∴NEAN=12，
∵A（4，3），
∴AN＝4，ON＝3，
∴NE4=12，
∴NE＝2，
∴OE＝ON﹣NE＝3﹣2＝1，
∴E（0，1），
设直线AE解析式为y＝kx+b，
把A（4，3），E（0，1）代入得：
4k+b=3b=1，
解得k=12b=1，
∴直线AE解析式为y=12x+1．
【点评】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是读懂阅读材料，掌握待定系数法．
35．（2023•南充）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A（﹣1，6），B（3a，a﹣3），与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）点M在x轴上，若S△OAM＝S△OAB，求点M的坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力；模型思想．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数解析式求出B的坐标，把A、B的坐标代入所设一次函数解析式即可求出函数的解析式；
（2）依据题意，结合图象，设出M的坐标，求出△AOB和△AOM的面积，即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意，设反比例函数、一次函数分别为 y=nx(n≠0)，y＝kx+b（k≠0，
∵点A（﹣1，6）在反比例函数图象上，
∴n＝﹣6．
∴反比例函数解析式为 y=−6x．
∵点B在反比例函数图象上，
∴3a(a−3)=−6．
∴a＝1．
∴B（3，﹣2）．
∵点 A（﹣1，6），B（3，﹣2）在一次函数 y＝kx+b 的图象上，
∴−k+b=63k+b=−2．
∴k=−2b=4．
∴一次函数解析式为 y＝﹣2x+4．
（2）设点M（m，0），由（1）得，直线 y＝﹣2x+4 交x轴于点C（2，0），
∴OC＝2
∴S△AOB＝S△AOC+S△COB=12OC×6+12OC×2=6+2＝8．
∵M在x轴上，
∴S△AOM=12OM×6=3|m|．
又S△AOB＝S△AOM，
∴3|m|＝8．
∴m＝±83．
∴点M的坐标为 (83，0) 或 (−83，0)．
【点评】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用．
36．（2023•达州）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω） 亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为 I=UR+RL，通过实验得出如下数据：
R/Ω
…
1
a
3
4
6
…
I/A
…
4
3
2.4
2
b
…
​（1）a＝　2　，b＝　1.5　；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数y=12x+2（x≥0），结合表格信息，探究函数y=12x+2（x≥0）的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数y=12x+2（x≥0）的图象；
​
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 　不断减小　．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，12x+2≥−32x+6的解集为 　x≥2或x＝0　．

【考点】反比例函数的应用．菁优网版权所有
【专题】数形结合；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【分析】（1）由已知列出方程，即可解得a，b的值；
（2）①描点画出图象即可；②观察图象可得答案；
（3）同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案．
【解答】解：（1）根据题意，3=12a+2，b=126+2，
∴a＝2，b＝1.5；
故答案为：2，1.5；
（2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数y=12x+2（x≥0）的图象如下：

②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，
故答案为：不断减小；
（3）如图：

由函数图象知，当x≥2或x＝0时，12x+2≥−32x+6，
即当x≥0时，12x+2≥−32x+6的解集为 x≥2或x＝0，
故答案为：x≥2或x＝0．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，画出函数图象，利用数形结合的思想解决问题．
37．（2023•自贡）如图，点A（2，4）在反比例函数y1=mx图象上．一次函数y2＝kx+b的图象经过点A，分别交x轴，y轴于点B，C，且△OAC与△OBC的面积比为2：1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）请直接写出y1≥y2时，x的取值范围．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【分析】（1）由△OAC与△OBC的面积比为2：1，即可求得B（1，0）或（﹣1，0），然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）两解析式联立，解方程组求得交点坐标，观察图象即可求得y1≥y2时，x的取值范围．
【解答】解：（1）∵点A（2，4）在反比例函数y1=mx图象上，
∴m＝2×4＝8，
∴反比例函数为y1=8x，
∵△OAC与△OBC的面积比为2：1，A（2，4），
∴B（1，0）或B（﹣1，0），
把A（2，4），B（1，0）代入y2＝kx+b得2k+b=4k+b=0，
解得k=4b=−4，
∴一次函数为y2＝4x﹣4，
把A（2，4），B（﹣1，0）代入y2＝kx+b得2k+b=4−k+b=0，
解得k=43b=43，
∴一次函数为y2=43x+43，
综上，一次函数的解析式为y2＝4x﹣4或y2=43x+43；

（2）当y2＝4x﹣4时，联立y=8xy=4x−4，解得x=2y=4或x=−1y=−8，
由图象可知，y1≥y2时，x的取值范围x≤﹣1或0＜x≤2；
当y2=43x+43时，联立y=8xy=43x+43，解得x=2y=4或x=−3y=−83，
由图象可知，y1≥y2时，x的取值范围x≤﹣3或0＜x≤2；
综上，当y2＝4x﹣4时，x的取值范围x≤﹣1或0＜x≤2；当y2=43x+43时，x的取值范围x≤﹣3或0＜x≤2．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决问题的关键．
38．（2023•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y=mx（x＞0）的图象相交于点C，已知OA＝1，点C的横坐标为2．
（1）求k，m的值；
（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．

【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】（1）根据题意求出点A的坐标，进而求出k，再求出点C的坐标，求出m；
（2）分2n+2−12n=2、2n+2−12n=−2两种情况，计算即可．
【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
则﹣k+2＝0，
解得：k＝2，
∴直线l的解析式为y＝2x+2，
∵点C在直线l上，点C的横坐标为2，
∴点C的纵坐标为2×2+2＝6，
∴点C的坐标为（2，6），
∴m＝2×6＝12；
（2）设点D的坐标为（n，2n+2），则点E的坐标为（n，12n），
∴DE＝|2n+2−12n|，
∵OB∥DE，
∴当OB＝DE时，以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∵直线y＝2x+2与y轴交于点B，
∴OB＝2，
∴|2n+2−12n|＝2，
当2n+2−12n=2时，n1=6，n2=−6（舍去），
此时，点D的坐标为（6，26+2），
当2n+2−12n=−2时，n1=7−1，n2=−7−1（舍去），
此时，点D的坐标为（7−1，27），
综上所述：以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为（6，26+2）或（7−1，27）．
【点评】本题考查的是反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．

考点卡片
1．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am＞bm；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am＜bm；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
2．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
3．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（−bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
4．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
5．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y=kx（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
6．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
7．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=kx（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
8．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有0个交点．
9．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
10．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
11．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a）．
①抛物线是关于对称轴x=−b2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22．
12．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=−b2a时，y=4ac−b24a．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=−b2a时，y=4ac−b24a．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
13．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
14．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
15．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
16．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
17．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
18．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/9 9:19:02；用户：组卷3；邮箱：zyb003@xyh.com；学号：41418966