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2022-2023学年浙江省宁波市余姚市八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年浙江省宁波市余姚市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省宁波市余姚市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列根式中是最简二次根式的是( )
A. 8 B. 12 C. 12 D. 13
2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 方程x2−2x−6=0经配方后，可化为( )
A. (x−1)2=7 B. (x+2)2=7 C. (x−1)2=6 D. (x−2)2=6
4. 在▱ABCD中，∠A=3∠B，则∠C的度数是( )
A. 45° B. 60° C. 120° D. 135°
5. 为庆祝2023年5月30日神舟十六号成功发射，学校开展航天知识竞赛活动，经过几轮筛选，某班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经统计，四名同学成绩的平均数(单位：分)及方差(单位：分2)如下表：
甲
乙
丙
丁
平均数
97
95
97
93
方差
0.3
1.2
1.3
0.6
根据表中数据，要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，应选择( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6. 一个多边形的每一个内角都是135°，则这个多边形是( )
A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形
7. 如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，则线段EF的长是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知点A(x1,−4)，B(x2,8)，C(x3,5)都在反比例函数y=−a2+1x的图象上，则下列关系式一定正确的是( )
A. x1
A. α B. 45°−a2 C. 45°+a2 D. 90°−a
10. 如图，一块边长为18dm的正方形铁片，四角各被截去了一个边长为4dm的小正方形，现在要从剩下的铁片中剪出一块完整的正方形铁片来，剪出的正方形面积最大为( )
A. 100dm2
B. 128dm2
C. 162dm2
D. 180dm2
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 二次根式 x−3有意义，则x的取值范围是 ．
12. 若一元二次方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为______．
13. 如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，若∠ADB=32°，则∠AOB= ______ °.
14. 如图，要测量B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段AB、AC，并取AB、AC的中点D、E，连结DE.小明测得DE的长为a米，则B、C两地的距离为______米．
15. 如图，在▱ABCD中，AB⊥AC，CE是△ADC的中线，若AB=CE=5，则四边形ABCD的BC边上的高线长为______ ．
16. 如图，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过菱形对角线OB的中点D和顶点C，若菱形OABC的面积为6 2，则点C的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
(1) 24× 2− 18× 16；
(2)( 3−1)2−( 6− 5)( 6+ 5)．
18. (本小题6.0分)
解方程：
(1)x2−3x=0，
(2)x2+3x−1=0．
19. (本小题8.0分)
如图是由边长为1的小正方形构成的6×6的网格，点A，B均在格点上．
(1)在图1的方格纸中画出以AB为一边的▱ABCD，点C，D均在格点上，且▱ABCD的面积为12．
(2)在图2的方格纸中画出以AB为一边的菱形ABEF，点E，F在格点上，且菱形ABEF的面积为8．
20. (本小题8.0分)
为了了解八年级学生的课外阅读情况，学校随机调查了该年级25名学生，得到他们上周双休日课外阅读时间(记为t，单位：时)的一组样本数据，其扇形统计图如图所示．
(1)阅读时间为4小时的占百分之几？
(2)试确定这个样本的中位数和众数，并求出平均数．
21. (本小题8.0分)
如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=kx的图象交于点A(1,3)，B(m,−1)．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式．
(2)根据图象，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
22. (本小题8.0分)
随着科技的发展，某省正加快布局以5G等为代表的新兴产业.据统计，目前该省5G基站数量约1.5万座；计划到今年底，全省5G基站数是目前的4倍；到后年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
(1)计划在今年底，全省5G基站数量是多少万座？
(2)按照计划，从今年底到后年底，全省5G基站数量的年平均增长率为多少？
23. (本小题10.0分)
定义：一个四边形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，我们把这样的四边形叫做双距四边形．
(1)下列说法正确的有______ (填序号)．
①正方形一定是双距四边形．
②矩形一定是双距四边形．
③有一个内角为60°的菱形是双距四边形．
(2)如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=AD，∠ABC=∠DCB=72°，求证：四边
形ABCD为双距四边形．
(3)如图2，四边形ABCD为双距四边形，AB=AD= 6，BC=DC，AB
24. (本小题12.0分)
如图，已知矩形纸片ABCD，AB=a，BC=b(a>b)．
(1)如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD边上的点A′处，折痕DE交边AB于点E.求证：四边形AEA′D是正方形．
(2)将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，使点C落在AD边上的点C′处，点B落在点B′处，折痕EF交边DC于点F，连结EC′，如图2．
①求证：AC′=B′E．
②若a=8，b=6，求折痕EF的长．
③当△EFC′为等腰三角形时，直接写出a，b之间应满足的数量关系．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、 8=2 2，故A选项不符合题意；
B、 12= 22，故B选项不符合题意；
C、 12=2 3，故C选项不符合题意；
D、 13是最简二次根式，故D选项符合题意．
故选：D．
根据最简二次根式的条件：①根号下不含能开得尽方的因数或因式；②根号下不含分母，据此逐项判断即可．
本题主要考查最简二次根式，解决此类问题的关键是熟记最简二次根式的两个条件．
2.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】A
【解析】解：∵x2−2x−6=0，
∴x2−2x+1=7，
∴(x−1)2=7，
故选：A．
将已知方程配方即可得到答案．
本题考查解一元二次方程−配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
4.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠A=∠C，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=3∠B，
∴3∠B+∠B=180°，
∴∠B=45°，
∴∠A=135°，
∴∠C=135°．
故选：D．
根据平行四边形的性质可知∠A+∠B=180°，根据∠A=3∠B求出∠A即可解答．
本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的对边平行，对角相等解题．
5.【答案】A
【解析】解：由表格数据知，甲、丙成绩的平均数大于乙、丁，
所以甲、丙的平均成绩比乙、丁好，
又甲成绩的方差小于丙，
∴甲成绩好且状态稳定．
故选：A．
根据平均数和方差的意义求解即可．
本题主要考查了方差和平均数，掌握方差和平均数的意义是关键．
6.【答案】B
【解析】解：多边形的边数是：n=360°÷(180°−135°)=8．
故选：B．
已知每一个内角都等于135°，就可以知道每个外角是45度，根据多边形的外角和是360度就可以求出多边形的边数．
通过本题要理解已知内角或外角求边数的方法．
7.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DFC=∠FCB，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DF=DC，
同理可证：AE=AB，
∵AB=4，AD=BC=6，
∴2AB−BC=AE+FD−BC=EF=2．
故选：B．
根据平行四边形的性质可知∠DFC=∠FCB，又因为CF平分∠BCD，所以∠DCF=∠FCB，则∠DFC=∠DCF，则DF=DC，同理可证AE=AB，那么EF就可表示为AE+FD−BC=2AB−BC，继而可得出答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握．
8.【答案】C
【解析】解：∵反比例函数y=−a2+1x的k=−(a2+1)<0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，图象在第二、四象限，
∵点A(x1,−4)，B(x2,8)，C(x3,5)都在反比例函数y=−a2+1x的图象上，
∴点A在第四象限，点B和点C在第二象限，
∴x3
根据反比例函数的性质得出在每个象限内，y随x的增大而增大，图象在第二、四象限，根据点的坐标得出点A在第四象限，点B和点C在第二象限，再比较大小即可．
本题考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：延长AE，交BC的延长线于点G，如图所示：
在矩形ABCD中，∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°，AD//BC，
∴∠ECG=90°，
∵E为CD边中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△GCE中，
∠D=∠ECGDE=CE∠AED=∠GEC，
∴△ADE≌△GCE(ASA)，
∴AE=GE，
∵EF⊥AE，
∴EF垂直平分AG，
∴AF=GF，
∴∠FAE=∠G，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠G，
∴∠DAE=∠FAE，
∵∠BAF=α，
∴∠DAE=90°−α2，
∵∠DAE+∠AED=90°，∠AED+∠FEC=90°，
∴∠FEC=∠DAE=90°−α2=45°−α2．
故选：B．
延长AE，交BC的延长线于点G，根据矩形的性质可得，∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°，AD//BC，可证△ADE≌△GCE(ASA)，根据全等三角形的性质可得AE=GE，可知EF垂直平分AG，根据线段垂直平分线的性质可得AF=GF，进一步可得∠G=∠FAE，根据AD//BC，可得∠DAE=∠G，可表示出∠DAE的度数，进一步可得∠FEC的度数，再根据∠FEC+∠EFC=90°，可得∠EFC的度数．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：如图，由题可知剪完最大的正方形，会剩下8个直角三角形，
这8个直角三角形可以拼出4个长10dm，宽4dm的长方形，
∴正方形的面积为18×18−4×4×4−10×4×4=180(dm2)，
故选：D．
由题可知剪完最大的正方形，画出最大时的图形，结合弦图可得出结论．
本题主要考查弦图的应用，根据题意画出图形是解题关键．
11.【答案】x≥3
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题的关键．
根据二次根式的被开方数x−3≥0.即可得出答案．
【解答】
解：根据题意，得x−3≥0，
解得，x≥3；
故答案为：x≥3．
12.【答案】1
【解析】解：根据题意得Δ=22−4×1×k=0，即4−4k=0
解得k=1．
故答案为：1．
根据判别式的意义得到Δ=22−4×1×k=0，然后解关于k的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
13.【答案】64
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=12AC，OD=12BD，AC=BD，
∴OA=OD，
∵∠ADB=32°，
∴∠OAD=∠ODA=32°，
∴∠AOB=∠OAD+∠ODA=64°．
故答案为：64．
根据矩形的性质证得OA=OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题．
本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14.【答案】2a
【解析】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC=2DE=2a，
故答案为：2a．
根据三角形中位线定理解答．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
15.【答案】5 32
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∵CE是△ADC的中线，
∴AE=DE=CE，
∵AB=CE=5，
∴AD=2CD，
∴∠CAD=30°，
∴∠D=∠B=60，
∴BC=2AB=10，
∴AC= BC2−AB2=5 3，
设四边形ABCD的BC边上的高线长为x，
∵S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅x，
∴x=5×5 310=5 32，
∴四边形ABCD的BC边上的高线长为5 32，
故答案为：5 32．
根据平行四边形的性质得到AD//BC，AB=CD，根据直角三角形的性质得到AE=DE=CE，求得∠CAD=30°，得到∠D=∠B=60，根据勾股定理得到AC= BC2−AB2=5 3，设四边形ABCD的BC边上的高线长为x，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
16.【答案】2 2
【解析】解：设D(t,kt)，
∵D为OB的中点，
∴B(2t,2kt)，
∵四边形ABCO为菱形，
∴BC//OA，
∴C(12t,2kt)
∴BC=2t−12t=32t，
∵菱形OABC的面积为6 2，
∴32t⋅2kt=6 2，解得k=2 2．
故答案为：2 2．
设D(t,kt)，利用线段中点坐标公式得到B(2t,2kt)，再利用BC//OA得到C点的纵坐标为2kt，所以C(12t,2kt)，于是得到BC=32t，接着利用菱形的面积公式得到32t⋅2kt=6 2，然后解方程即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及菱形的性质，掌握菱形的基本性质是解答本题的关键．
17.【答案】解：(1)原式= 24×2− 18×16
=4 3− 3
=3 3；
(2)原式=3−2 3+1−(6−5)
=3−2 3+1−1
=3−2 3．
【解析】(1)先算乘除，化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
(2)先用完全平方公式和平方差公式展开，再合并即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
18.【答案】解：(1)x2−3x=0，
x(x−3)=0，
x=0或x−3=0，
所以x1=0，x2=3；
(2)x2+3x−1=0，
∵a=1，b=3，c=−1，
∴Δ=32−4×1×(−1)=13>0，
∴x=−3± 132×1，
∴x1=−3+ 132，x2=−3− 132．
【解析】(1)利用因式分解法把方程转化为x=0或x−3=0，然后解两个一次方程即可；
(2)先计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
19.【答案】解：(1)如图1中，平行四边形ABCD即为所求；
(2)如图2中，菱形ABEF即为所求．
【解析】(1)画一个底为4，高为3的平行四边形即可；
(2)画一个对角线分别为2 2，4 2的菱形即可．
本题考查作图−应用与设计作图，平行四边形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
20.【答案】解：(1)1−12%−16%−24%−12%−8%=28%，
答：阅读时间为4小时的占28%；
(2)阅读时间出现最多的是4小时，占28%，因此阅读时间的众数是4小时，
从小到大排列，所占百分比处在50%的阅读时间是3小时，因此阅读时间的中位数是3小时，
x−=1×12%+2×16%+3×24%+4×28%+5×12%+6×8%=3.36(时)，
答：学生上周双休日课外阅读时间的众数是4小时，中位数是3小时，平均数是3.36小时．
【解析】(1)各个部分所占百分比的和为1，即可求出t=4小时所占的百分比；
(2)根据中位数、众数、平均数的计算方法分别进行计算即可．
考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，掌握扇形统计图的各个部分所占百分比的和为1是前提，理解加权平均数的意义是正确计算的关键．
21.【答案】解：(1)将A(1,3)代入y=kx得：k=3，
则反比例解析式为y=3x，
将B(m,−1)代入y=3x，得：m=−3，
∴B(−3,−1)，
将A与B坐标代入y=ax+b中，得：a+b=3−3a+b=−1，
解得：a=1b=2，
则一次函数解析式为y=x+2；
(2)观察图象，当−31时，一次函数的值大于反比例函数的值．
【解析】(1)将A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入反比例解析式求m的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；
(2)根据图象即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
22.【答案】解：(1)1.5×4=6(万座)．
答：计划在今年底，全省5G基站数量是6万座．
(2)设从今年底到后年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
依题意得：6(1+x)2=17.34，
解得：x1=0.7=70%，x2=−2.7(不合题意，舍去)．
答：按照计划，从今年底到后年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
【解析】(1)利用到今年底全省5G基站数量=目前该省5G基站数量×4，即可求出结论；
(2)设从今年底到后年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，利用到后年底全省5G基站数量=到今年底全省5G基站数量×(1+年平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】①③
【解析】(1)解：∵正方形的四条边都相等，两条对角线相等，
∴正方形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，
∴正方形是双距四边形，
故①正确；
∵矩形的两组对边分别相等，两条对角线相等，
∴矩形的四条边和两条对角线这六条线段中可能有三种长度，
∴矩形不一定是双距四边形，
故②错误；
∵菱形的四条边都相等，且有一个内角为60°，
∴该菱形中60°角所对的对角线将该菱形分成两个全等的等边三角形，
∴该菱形中较短的对角线长与该菱形的边长相等，
∴有一个内角为60°的菱形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，
∴有一个内角为60°的菱形是双距四边形，
故③正确，
故答案为：①③．
(2)证明：作DG//AB交BC于点G，
∵∠ABC=∠DCB=72°，
∴∠DBC=∠ABC=∠DCB=72°，
∴DC=DG，
∵AD//BC，DG//AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DG，
∴AB=DC，
∵AB=AD，
∴AB=AD=DC，∠ADB=∠ABD，
∵∠ADB=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°，
∵∠CDA=180°−∠DCB=108°，
∴∠CDB=∠CDA−∠ADB=72°=∠DCB，
∴BC=BD，
在△ABC和△DCB中，
AB=DC∠ABC=∠DCBBC=CB，
∴△ABC≌△DCB(SAS)，
∴AC=BD，
∴AC=BC=BD，
∴四边形ABCD是双距四边形．
(3)解：∵四边形ABCD为双距四边形，AB=AD，BC=DC，AB
如图2，设AC交BD于点E，AC=BD=BC=2x，
∵点A、点C都在BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BD，
∴∠AEB=∠CEB=90°，BE=DE=12BD=12BC=x，
∴CE= BC2−BE2= (2x)2−x2= 3x，
∴AE=AC−CE=2x− 3x，
∵BE2+AE2=AB2，AB= 6，
∴x2+(2x− 3x)2=( 6)2，
整理得x2=(3+ 32)2，
解得x1=3+ 32，x2=−3+ 32(不符合题意，舍去)，
∴BC=2×3+ 32=3+ 3，
∴BC的长是3+ 3．
(1)由正方形的四条边都相等，两条对角线相等，可知正方形是双距四边形，可判断①正确；因为矩形的两组对边分别相等，两条对角线相等，所以矩形的四条边和两条对角线这六条线段中可能有三种长度，所以矩形不一定是双距四边形，可判断②错误；由菱形的四条边都相等，且有一个内角为60°，可知该菱形中60°角所对的对角线将该菱形分成两个全等的等边三角形，则有一个内角为60°的菱形是双距四边形，可判断③正确，于是得到问题的答案；
(2)作DG//AB交BC于点G，则∠DBC=∠ABC=∠DCB=72°，所以DC=DG，而四边形ABCD是平行四边形，则AB=DG，因为AB=AD，所以AB=AD=DC，∠ADB=∠ABD，而∠ADB=∠CBD，则∠ADB=∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°，因为∠CDA=180°−∠DCB=108°，所以∠CDB=∠CDA−∠ADB=72°=∠DCB，则BC=BD，再证明△ABC和≌△DCB，即可证明AC=BC=BD，则四边形ABCD是双距四边形；
(3)由四边形ABCD为双距四边形，AB=AD，BC=DC，AB
24.【答案】(1)证明：∵ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，
∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A′处，得到折痕DE，
∴AD=A′D，AE=A′E，∠ADE=∠A′DE=45°，
∵AB//CD，
∴∠AED=∠A′DE=∠ADE，
∴AD=AE，
∴AD=AE=A′E=A′D，
∴四边形AEA′D是菱形，
∵∠A=90°，
∴四边形AEA′D是正方形；
(2)①证明：如图2−1，连接C′E，由(1)知，AD=AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠EAC′=∠B=90°，
由折叠知，B′C′=BC，∠B=∠B′，
∴AE=B′C′，∠EAC′=∠B′，
∵EC′=C′E，
在Rt△EC′A和Rt△C′EB′中，
EC′=C′EAE=B′C′，
∴Rt△EC′A≌Rt△C′EB′(HL)，
∴AC′=B′E；
②解：AB=a=8，BC=b=6，
如图2−2，过点E作EM⊥CD于点D，
∵∠B=∠C=∠CME=90°，
∴四边形EBCM是矩形，
∴BE=CM，BC=EM=6，
∵AC′=BE=B′E，AD=AE=6，AB=8，
∴BE=2=B′E=AC′=CM，CD=AB=8，
∴C′D=AD−AC′=6−2=4，
设CF=C′F=x，则DF=8−x，
在Rt△DC′F中，由勾股定理得：
C′F2=C′D2+DF2，
∴x2=42+(8−x)2，
解得x=5，
∴FM=CF−CM=5−2=3，
∴EF= EM2+FM2= 62+32=3 5；
∴折痕EF的长为3 5；
③解：当△EFC′为等腰三角形时，分三种情况：
I、当EC′=EF时，过点E作EM⊥CD于点M，连接EC，如图2−2所示，
由折叠可知：EC′=EC=EF，CF=C′F，
∵AE=AD=AB−BE，
∴BE=AB−AD=a−b，
∴FM=CM=BE=a−b，
∴CF=2CM=2a−2b=C′F，
∵DF=CD−CF=a−(2a−2b)=2b−a，
∵AC′=BE=a−b，
∴DC′=AD−AC′=b−(a−b)=2b−a，
∴DF=DC′=2b−a，
∴△DC′F是等腰直角三角形，
∴C′F= 2DF，
∴2a−2b= 2(2b−a)，
解得a= 2b；
Ⅱ、当EC′=C′F时，
∴∠C′EF=∠C′FE，
由折叠的性质可知：∠C′FE=∠CFE=∠C′EF，
∴C′E//CF，
在矩形ABCD中，CF//AE，
∴点C′与点A重合，
由折叠的性质可知：点C与点C′重合，
∴四边形ABCD是正方形，
∴a=b，与a>b矛盾；
Ⅲ、当EF=C′F时，连接CC′，交EF于点O，如图2−3所示：
∴EF=C′F=CF，
∴∠FC′E=∠FCE=∠FEC，
∵AB//CD，
∴∠BEC=∠FCE=∠FEC，
由折叠的性质可知：EF垂直平分CC′，
∴CC′⊥EF，CO=C′O，
∵∠BEC=∠FEC，CB⊥BE，CO⊥EF，
∴BC=CO=b，
∴CC′=2CO=2BC=2b，
在Rt△CDC′中，DC′=2b−a，DC=a，
∴(2b−a)2+a2=4b2，
解得a=2b；
综上所述：当△EFC′为等腰三角形时，a= 2b或a=2b．
【解析】(1)由折叠性质得AD=AD′，AE=A′E，∠ADE=∠A′DE，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形AEA′D是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形AEA′D为正方形；
(2)①连接C′E，证明Rt△EC′A≌Rt△C′EB′，得∠C′EA=∠EC′B′，便可得结论；
②如图2−2，过点E作EM⊥CD于点D，根据矩形的性质和勾股定理即可求出折痕EF的长；
③当△EFC′为等腰三角形时，分三种情况讨论：I、当EC′=EF时，过点E作EM⊥CD于点M，连接EC，Ⅱ、当EC′=C′F时，Ⅲ、当EF=C′F时，连接CC′，交EF于点O，如图2−3所示：依次进行解答即可．
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解决本题关键证明利用勾股定理构建方程．
2022-2023学年浙江省宁波市余姚市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列根式中是最简二次根式的是( )
A. 8 B. 12 C. 12 D. 13
2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 方程x2−2x−6=0经配方后，可化为( )
A. (x−1)2=7 B. (x+2)2=7 C. (x−1)2=6 D. (x−2)2=6
4. 在▱ABCD中，∠A=3∠B，则∠C的度数是( )
A. 45° B. 60° C. 120° D. 135°
5. 为庆祝2023年5月30日神舟十六号成功发射，学校开展航天知识竞赛活动，经过几轮筛选，某班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经统计，四名同学成绩的平均数(单位：分)及方差(单位：分2)如下表：
甲
乙
丙
丁
平均数
97
95
97
93
方差
0.3
1.2
1.3
0.6
根据表中数据，要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，应选择( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6. 一个多边形的每一个内角都是135°，则这个多边形是( )
A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形
7. 如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，则线段EF的长是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知点A(x1,−4)，B(x2,8)，C(x3,5)都在反比例函数y=−a2+1x的图象上，则下列关系式一定正确的是( )
A. x1
A. α B. 45°−a2 C. 45°+a2 D. 90°−a
10. 如图，一块边长为18dm的正方形铁片，四角各被截去了一个边长为4dm的小正方形，现在要从剩下的铁片中剪出一块完整的正方形铁片来，剪出的正方形面积最大为( )
A. 100dm2
B. 128dm2
C. 162dm2
D. 180dm2
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 二次根式 x−3有意义，则x的取值范围是 ．
12. 若一元二次方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为______．
13. 如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，若∠ADB=32°，则∠AOB= ______ °.
14. 如图，要测量B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段AB、AC，并取AB、AC的中点D、E，连结DE.小明测得DE的长为a米，则B、C两地的距离为______米．
15. 如图，在▱ABCD中，AB⊥AC，CE是△ADC的中线，若AB=CE=5，则四边形ABCD的BC边上的高线长为______ ．
16. 如图，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过菱形对角线OB的中点D和顶点C，若菱形OABC的面积为6 2，则点C的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
(1) 24× 2− 18× 16；
(2)( 3−1)2−( 6− 5)( 6+ 5)．
18. (本小题6.0分)
解方程：
(1)x2−3x=0，
(2)x2+3x−1=0．
19. (本小题8.0分)
如图是由边长为1的小正方形构成的6×6的网格，点A，B均在格点上．
(1)在图1的方格纸中画出以AB为一边的▱ABCD，点C，D均在格点上，且▱ABCD的面积为12．
(2)在图2的方格纸中画出以AB为一边的菱形ABEF，点E，F在格点上，且菱形ABEF的面积为8．
20. (本小题8.0分)
为了了解八年级学生的课外阅读情况，学校随机调查了该年级25名学生，得到他们上周双休日课外阅读时间(记为t，单位：时)的一组样本数据，其扇形统计图如图所示．
(1)阅读时间为4小时的占百分之几？
(2)试确定这个样本的中位数和众数，并求出平均数．
21. (本小题8.0分)
如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=kx的图象交于点A(1,3)，B(m,−1)．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式．
(2)根据图象，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
22. (本小题8.0分)
随着科技的发展，某省正加快布局以5G等为代表的新兴产业.据统计，目前该省5G基站数量约1.5万座；计划到今年底，全省5G基站数是目前的4倍；到后年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
(1)计划在今年底，全省5G基站数量是多少万座？
(2)按照计划，从今年底到后年底，全省5G基站数量的年平均增长率为多少？
23. (本小题10.0分)
定义：一个四边形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，我们把这样的四边形叫做双距四边形．
(1)下列说法正确的有______ (填序号)．
①正方形一定是双距四边形．
②矩形一定是双距四边形．
③有一个内角为60°的菱形是双距四边形．
(2)如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=AD，∠ABC=∠DCB=72°，求证：四边
形ABCD为双距四边形．
(3)如图2，四边形ABCD为双距四边形，AB=AD= 6，BC=DC，AB
24. (本小题12.0分)
如图，已知矩形纸片ABCD，AB=a，BC=b(a>b)．
(1)如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD边上的点A′处，折痕DE交边AB于点E.求证：四边形AEA′D是正方形．
(2)将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，使点C落在AD边上的点C′处，点B落在点B′处，折痕EF交边DC于点F，连结EC′，如图2．
①求证：AC′=B′E．
②若a=8，b=6，求折痕EF的长．
③当△EFC′为等腰三角形时，直接写出a，b之间应满足的数量关系．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、 8=2 2，故A选项不符合题意；
B、 12= 22，故B选项不符合题意；
C、 12=2 3，故C选项不符合题意；
D、 13是最简二次根式，故D选项符合题意．
故选：D．
根据最简二次根式的条件：①根号下不含能开得尽方的因数或因式；②根号下不含分母，据此逐项判断即可．
本题主要考查最简二次根式，解决此类问题的关键是熟记最简二次根式的两个条件．
2.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】A
【解析】解：∵x2−2x−6=0，
∴x2−2x+1=7，
∴(x−1)2=7，
故选：A．
将已知方程配方即可得到答案．
本题考查解一元二次方程−配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
4.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠A=∠C，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=3∠B，
∴3∠B+∠B=180°，
∴∠B=45°，
∴∠A=135°，
∴∠C=135°．
故选：D．
根据平行四边形的性质可知∠A+∠B=180°，根据∠A=3∠B求出∠A即可解答．
本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的对边平行，对角相等解题．
5.【答案】A
【解析】解：由表格数据知，甲、丙成绩的平均数大于乙、丁，
所以甲、丙的平均成绩比乙、丁好，
又甲成绩的方差小于丙，
∴甲成绩好且状态稳定．
故选：A．
根据平均数和方差的意义求解即可．
本题主要考查了方差和平均数，掌握方差和平均数的意义是关键．
6.【答案】B
【解析】解：多边形的边数是：n=360°÷(180°−135°)=8．
故选：B．
已知每一个内角都等于135°，就可以知道每个外角是45度，根据多边形的外角和是360度就可以求出多边形的边数．
通过本题要理解已知内角或外角求边数的方法．
7.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DFC=∠FCB，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DF=DC，
同理可证：AE=AB，
∵AB=4，AD=BC=6，
∴2AB−BC=AE+FD−BC=EF=2．
故选：B．
根据平行四边形的性质可知∠DFC=∠FCB，又因为CF平分∠BCD，所以∠DCF=∠FCB，则∠DFC=∠DCF，则DF=DC，同理可证AE=AB，那么EF就可表示为AE+FD−BC=2AB−BC，继而可得出答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握．
8.【答案】C
【解析】解：∵反比例函数y=−a2+1x的k=−(a2+1)<0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，图象在第二、四象限，
∵点A(x1,−4)，B(x2,8)，C(x3,5)都在反比例函数y=−a2+1x的图象上，
∴点A在第四象限，点B和点C在第二象限，
∴x3
根据反比例函数的性质得出在每个象限内，y随x的增大而增大，图象在第二、四象限，根据点的坐标得出点A在第四象限，点B和点C在第二象限，再比较大小即可．
本题考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：延长AE，交BC的延长线于点G，如图所示：
在矩形ABCD中，∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°，AD//BC，
∴∠ECG=90°，
∵E为CD边中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△GCE中，
∠D=∠ECGDE=CE∠AED=∠GEC，
∴△ADE≌△GCE(ASA)，
∴AE=GE，
∵EF⊥AE，
∴EF垂直平分AG，
∴AF=GF，
∴∠FAE=∠G，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠G，
∴∠DAE=∠FAE，
∵∠BAF=α，
∴∠DAE=90°−α2，
∵∠DAE+∠AED=90°，∠AED+∠FEC=90°，
∴∠FEC=∠DAE=90°−α2=45°−α2．
故选：B．
延长AE，交BC的延长线于点G，根据矩形的性质可得，∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°，AD//BC，可证△ADE≌△GCE(ASA)，根据全等三角形的性质可得AE=GE，可知EF垂直平分AG，根据线段垂直平分线的性质可得AF=GF，进一步可得∠G=∠FAE，根据AD//BC，可得∠DAE=∠G，可表示出∠DAE的度数，进一步可得∠FEC的度数，再根据∠FEC+∠EFC=90°，可得∠EFC的度数．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：如图，由题可知剪完最大的正方形，会剩下8个直角三角形，
这8个直角三角形可以拼出4个长10dm，宽4dm的长方形，
∴正方形的面积为18×18−4×4×4−10×4×4=180(dm2)，
故选：D．
由题可知剪完最大的正方形，画出最大时的图形，结合弦图可得出结论．
本题主要考查弦图的应用，根据题意画出图形是解题关键．
11.【答案】x≥3
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题的关键．
根据二次根式的被开方数x−3≥0.即可得出答案．
【解答】
解：根据题意，得x−3≥0，
解得，x≥3；
故答案为：x≥3．
12.【答案】1
【解析】解：根据题意得Δ=22−4×1×k=0，即4−4k=0
解得k=1．
故答案为：1．
根据判别式的意义得到Δ=22−4×1×k=0，然后解关于k的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
13.【答案】64
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=12AC，OD=12BD，AC=BD，
∴OA=OD，
∵∠ADB=32°，
∴∠OAD=∠ODA=32°，
∴∠AOB=∠OAD+∠ODA=64°．
故答案为：64．
根据矩形的性质证得OA=OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题．
本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14.【答案】2a
【解析】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC=2DE=2a，
故答案为：2a．
根据三角形中位线定理解答．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
15.【答案】5 32
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∵CE是△ADC的中线，
∴AE=DE=CE，
∵AB=CE=5，
∴AD=2CD，
∴∠CAD=30°，
∴∠D=∠B=60，
∴BC=2AB=10，
∴AC= BC2−AB2=5 3，
设四边形ABCD的BC边上的高线长为x，
∵S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅x，
∴x=5×5 310=5 32，
∴四边形ABCD的BC边上的高线长为5 32，
故答案为：5 32．
根据平行四边形的性质得到AD//BC，AB=CD，根据直角三角形的性质得到AE=DE=CE，求得∠CAD=30°，得到∠D=∠B=60，根据勾股定理得到AC= BC2−AB2=5 3，设四边形ABCD的BC边上的高线长为x，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
16.【答案】2 2
【解析】解：设D(t,kt)，
∵D为OB的中点，
∴B(2t,2kt)，
∵四边形ABCO为菱形，
∴BC//OA，
∴C(12t,2kt)
∴BC=2t−12t=32t，
∵菱形OABC的面积为6 2，
∴32t⋅2kt=6 2，解得k=2 2．
故答案为：2 2．
设D(t,kt)，利用线段中点坐标公式得到B(2t,2kt)，再利用BC//OA得到C点的纵坐标为2kt，所以C(12t,2kt)，于是得到BC=32t，接着利用菱形的面积公式得到32t⋅2kt=6 2，然后解方程即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及菱形的性质，掌握菱形的基本性质是解答本题的关键．
17.【答案】解：(1)原式= 24×2− 18×16
=4 3− 3
=3 3；
(2)原式=3−2 3+1−(6−5)
=3−2 3+1−1
=3−2 3．
【解析】(1)先算乘除，化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
(2)先用完全平方公式和平方差公式展开，再合并即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
18.【答案】解：(1)x2−3x=0，
x(x−3)=0，
x=0或x−3=0，
所以x1=0，x2=3；
(2)x2+3x−1=0，
∵a=1，b=3，c=−1，
∴Δ=32−4×1×(−1)=13>0，
∴x=−3± 132×1，
∴x1=−3+ 132，x2=−3− 132．
【解析】(1)利用因式分解法把方程转化为x=0或x−3=0，然后解两个一次方程即可；
(2)先计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
19.【答案】解：(1)如图1中，平行四边形ABCD即为所求；
(2)如图2中，菱形ABEF即为所求．
【解析】(1)画一个底为4，高为3的平行四边形即可；
(2)画一个对角线分别为2 2，4 2的菱形即可．
本题考查作图−应用与设计作图，平行四边形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
20.【答案】解：(1)1−12%−16%−24%−12%−8%=28%，
答：阅读时间为4小时的占28%；
(2)阅读时间出现最多的是4小时，占28%，因此阅读时间的众数是4小时，
从小到大排列，所占百分比处在50%的阅读时间是3小时，因此阅读时间的中位数是3小时，
x−=1×12%+2×16%+3×24%+4×28%+5×12%+6×8%=3.36(时)，
答：学生上周双休日课外阅读时间的众数是4小时，中位数是3小时，平均数是3.36小时．
【解析】(1)各个部分所占百分比的和为1，即可求出t=4小时所占的百分比；
(2)根据中位数、众数、平均数的计算方法分别进行计算即可．
考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，掌握扇形统计图的各个部分所占百分比的和为1是前提，理解加权平均数的意义是正确计算的关键．
21.【答案】解：(1)将A(1,3)代入y=kx得：k=3，
则反比例解析式为y=3x，
将B(m,−1)代入y=3x，得：m=−3，
∴B(−3,−1)，
将A与B坐标代入y=ax+b中，得：a+b=3−3a+b=−1，
解得：a=1b=2，
则一次函数解析式为y=x+2；
(2)观察图象，当−3
【解析】(1)将A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入反比例解析式求m的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；
(2)根据图象即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
22.【答案】解：(1)1.5×4=6(万座)．
答：计划在今年底，全省5G基站数量是6万座．
(2)设从今年底到后年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
依题意得：6(1+x)2=17.34，
解得：x1=0.7=70%，x2=−2.7(不合题意，舍去)．
答：按照计划，从今年底到后年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
【解析】(1)利用到今年底全省5G基站数量=目前该省5G基站数量×4，即可求出结论；
(2)设从今年底到后年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，利用到后年底全省5G基站数量=到今年底全省5G基站数量×(1+年平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】①③
【解析】(1)解：∵正方形的四条边都相等，两条对角线相等，
∴正方形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，
∴正方形是双距四边形，
故①正确；
∵矩形的两组对边分别相等，两条对角线相等，
∴矩形的四条边和两条对角线这六条线段中可能有三种长度，
∴矩形不一定是双距四边形，
故②错误；
∵菱形的四条边都相等，且有一个内角为60°，
∴该菱形中60°角所对的对角线将该菱形分成两个全等的等边三角形，
∴该菱形中较短的对角线长与该菱形的边长相等，
∴有一个内角为60°的菱形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，
∴有一个内角为60°的菱形是双距四边形，
故③正确，
故答案为：①③．
(2)证明：作DG//AB交BC于点G，
∵∠ABC=∠DCB=72°，
∴∠DBC=∠ABC=∠DCB=72°，
∴DC=DG，
∵AD//BC，DG//AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DG，
∴AB=DC，
∵AB=AD，
∴AB=AD=DC，∠ADB=∠ABD，
∵∠ADB=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°，
∵∠CDA=180°−∠DCB=108°，
∴∠CDB=∠CDA−∠ADB=72°=∠DCB，
∴BC=BD，
在△ABC和△DCB中，
AB=DC∠ABC=∠DCBBC=CB，
∴△ABC≌△DCB(SAS)，
∴AC=BD，
∴AC=BC=BD，
∴四边形ABCD是双距四边形．
(3)解：∵四边形ABCD为双距四边形，AB=AD，BC=DC，AB
如图2，设AC交BD于点E，AC=BD=BC=2x，
∵点A、点C都在BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BD，
∴∠AEB=∠CEB=90°，BE=DE=12BD=12BC=x，
∴CE= BC2−BE2= (2x)2−x2= 3x，
∴AE=AC−CE=2x− 3x，
∵BE2+AE2=AB2，AB= 6，
∴x2+(2x− 3x)2=( 6)2，
整理得x2=(3+ 32)2，
解得x1=3+ 32，x2=−3+ 32(不符合题意，舍去)，
∴BC=2×3+ 32=3+ 3，
∴BC的长是3+ 3．
(1)由正方形的四条边都相等，两条对角线相等，可知正方形是双距四边形，可判断①正确；因为矩形的两组对边分别相等，两条对角线相等，所以矩形的四条边和两条对角线这六条线段中可能有三种长度，所以矩形不一定是双距四边形，可判断②错误；由菱形的四条边都相等，且有一个内角为60°，可知该菱形中60°角所对的对角线将该菱形分成两个全等的等边三角形，则有一个内角为60°的菱形是双距四边形，可判断③正确，于是得到问题的答案；
(2)作DG//AB交BC于点G，则∠DBC=∠ABC=∠DCB=72°，所以DC=DG，而四边形ABCD是平行四边形，则AB=DG，因为AB=AD，所以AB=AD=DC，∠ADB=∠ABD，而∠ADB=∠CBD，则∠ADB=∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°，因为∠CDA=180°−∠DCB=108°，所以∠CDB=∠CDA−∠ADB=72°=∠DCB，则BC=BD，再证明△ABC和≌△DCB，即可证明AC=BC=BD，则四边形ABCD是双距四边形；
(3)由四边形ABCD为双距四边形，AB=AD，BC=DC，AB
24.【答案】(1)证明：∵ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，
∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A′处，得到折痕DE，
∴AD=A′D，AE=A′E，∠ADE=∠A′DE=45°，
∵AB//CD，
∴∠AED=∠A′DE=∠ADE，
∴AD=AE，
∴AD=AE=A′E=A′D，
∴四边形AEA′D是菱形，
∵∠A=90°，
∴四边形AEA′D是正方形；
(2)①证明：如图2−1，连接C′E，由(1)知，AD=AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠EAC′=∠B=90°，
由折叠知，B′C′=BC，∠B=∠B′，
∴AE=B′C′，∠EAC′=∠B′，
∵EC′=C′E，
在Rt△EC′A和Rt△C′EB′中，
EC′=C′EAE=B′C′，
∴Rt△EC′A≌Rt△C′EB′(HL)，
∴AC′=B′E；
②解：AB=a=8，BC=b=6，
如图2−2，过点E作EM⊥CD于点D，
∵∠B=∠C=∠CME=90°，
∴四边形EBCM是矩形，
∴BE=CM，BC=EM=6，
∵AC′=BE=B′E，AD=AE=6，AB=8，
∴BE=2=B′E=AC′=CM，CD=AB=8，
∴C′D=AD−AC′=6−2=4，
设CF=C′F=x，则DF=8−x，
在Rt△DC′F中，由勾股定理得：
C′F2=C′D2+DF2，
∴x2=42+(8−x)2，
解得x=5，
∴FM=CF−CM=5−2=3，
∴EF= EM2+FM2= 62+32=3 5；
∴折痕EF的长为3 5；
③解：当△EFC′为等腰三角形时，分三种情况：
I、当EC′=EF时，过点E作EM⊥CD于点M，连接EC，如图2−2所示，
由折叠可知：EC′=EC=EF，CF=C′F，
∵AE=AD=AB−BE，
∴BE=AB−AD=a−b，
∴FM=CM=BE=a−b，
∴CF=2CM=2a−2b=C′F，
∵DF=CD−CF=a−(2a−2b)=2b−a，
∵AC′=BE=a−b，
∴DC′=AD−AC′=b−(a−b)=2b−a，
∴DF=DC′=2b−a，
∴△DC′F是等腰直角三角形，
∴C′F= 2DF，
∴2a−2b= 2(2b−a)，
解得a= 2b；
Ⅱ、当EC′=C′F时，
∴∠C′EF=∠C′FE，
由折叠的性质可知：∠C′FE=∠CFE=∠C′EF，
∴C′E//CF，
在矩形ABCD中，CF//AE，
∴点C′与点A重合，
由折叠的性质可知：点C与点C′重合，
∴四边形ABCD是正方形，
∴a=b，与a>b矛盾；
Ⅲ、当EF=C′F时，连接CC′，交EF于点O，如图2−3所示：
∴EF=C′F=CF，
∴∠FC′E=∠FCE=∠FEC，
∵AB//CD，
∴∠BEC=∠FCE=∠FEC，
由折叠的性质可知：EF垂直平分CC′，
∴CC′⊥EF，CO=C′O，
∵∠BEC=∠FEC，CB⊥BE，CO⊥EF，
∴BC=CO=b，
∴CC′=2CO=2BC=2b，
在Rt△CDC′中，DC′=2b−a，DC=a，
∴(2b−a)2+a2=4b2，
解得a=2b；
综上所述：当△EFC′为等腰三角形时，a= 2b或a=2b．
【解析】(1)由折叠性质得AD=AD′，AE=A′E，∠ADE=∠A′DE，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形AEA′D是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形AEA′D为正方形；
(2)①连接C′E，证明Rt△EC′A≌Rt△C′EB′，得∠C′EA=∠EC′B′，便可得结论；
②如图2−2，过点E作EM⊥CD于点D，根据矩形的性质和勾股定理即可求出折痕EF的长；
③当△EFC′为等腰三角形时，分三种情况讨论：I、当EC′=EF时，过点E作EM⊥CD于点M，连接EC，Ⅱ、当EC′=C′F时，Ⅲ、当EF=C′F时，连接CC′，交EF于点O，如图2−3所示：依次进行解答即可．
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解决本题关键证明利用勾股定理构建方程．
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