2023年广东省深圳中学龙岗初级中学中考数学适应性试卷（6月份）（含解析）

这是一份2023年广东省深圳中学龙岗初级中学中考数学适应性试卷（6月份）（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省深圳中学龙岗初级中学中考数学适应性试卷（6月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列互为倒数的是(    )
A. 3和13 B. −2和2 C. 3和−13 D. −2和12
2. 某公司一年的销售利润是1.5万亿元．1.5万亿用科学记数法表示为(    )
A. 0.15×1013 B. 1.5×1012 C. 1.5×1013 D. 15×1012
3. 如图：几何体的左视图是(    )
A.
B.
C.
D.
4. 某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示：
鞋的尺码/cm
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
3
3
6
2
则这15双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为(    )
A. 24.5，24.5 B. 24.5，24 C. 24，24 D. 23.5，24
5. 下列运算正确的是(    )
A. a2⋅a6=a8 B. (−2a)3=6a3
C. 2(a+b)=2a+b D. 2a+3b=5ab
6. 将一块含45°角的直角三角尺和直尺如图放置，若∠1=59°，则∠2的度数为(    )


A. 149° B. 166° C. 139° D. 121°
7. 下列说法错误的是(    )
A. 对角线垂直且互相平分的四边形是菱形 B. 同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等
C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
8. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是(    )
A. 7x−7=y9(x+1)=y B. 7x+7=y9(x+1)=y C. 7x−7=y9(x−1)=y D. 7x+7=y9(x−1)=y
9. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是(    )
A. a<0，b<0
B. b2−4ac<0
C. 4a+b>0
D. 00一定成立



10. 如图，在边长为4正方形ABCD中，点E在以B为圆心的弧AC上，射线DE交AB于F，连接CE，若CE⊥DF，则DE=(    )
A. 2
B. 25 5
C. 45 5
D. 65 5
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 分解因式：2a2+4a+2=______．
12. 一个不透明的袋中装有2个红球和4个黄球，这些球除颜色外完全相同.从袋中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是______ ．
13. 如图，已知∠BAC=60°，AD是角平分线且AD=10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF周长为______．


14. 如图，点A是反比例函数y=kx(k≠0,x<0)图象上的一点，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作AB⊥y轴于点B，BDOD=12，连接BC，若△BCD的面积为2，则k的值为______．


15. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G为DE上一点，BF=FG，则CG的最小值为______．


三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题5.0分)
(π−1)0− 9+2cos45°+(15)−1．
17. (本小题7.0分)
化简求值：(2x−2x−1)÷x2−4x+4x2−x，其中x=4．
18. (本小题8.0分)
公司生产A、B两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的A、B型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据(单位：g)，并进行整理、描述和分析(除尘量用x表示，共分为三个等级：合格80≤x<85，良好85≤x<95，优秀x≥95)，下面给出了部分信息：
10台A型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．
10台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94
抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表
型号
平均数
中位数
众数
方差
“优秀”等级所占百分比
A
90
89
a
26.6
40%
B
90
b
90
30
30%
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a=______，b=______，m=______；
(2)这个月公司可生产B型扫地机器人共3000台，估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数；
(3)根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由(写出一条理由即可)．

19. (本小题8.0分)
某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．
(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少．
20. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与AC交于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，且BF=BD．
(1)求证：AC为⊙O的切线；
(2)若CF=1，tan∠EDB=2，求⊙O的半径．

21. (本小题9.0分)
如图1，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=−x2+2x+74(x≥0)．
(1)柱子OA的高度是多少米？若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
(2)如图2，为了吸引更多的游客前来参观游玩，准备在水池的边缘增设彩光灯，彩光灯的底座为Rt△BCD形状，其中BC边在地面上，点C离柱子的距离为2.1米，∠CBD=90°，灯孔P在CD边上，灯孔P离地面的距离为12米.若水流恰好落在灯孔P处，求tan∠DCB的值．


22. (本小题10.0分)
【问题发现】
(1)在一次小组合作探究课上，老师将正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示的位置摆放，连接BE和DG，请直接写出线段BE与DG的数量关系______ ，位置关系______ ；

【类比探究】
(2)若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“矩形ABCD和矩形AEFG，且矩形ABCD∽矩形AEFG，AE=3，AG=4，如图，点E、D、G三点共线，点G在线段DE上时，若AD=12 105，求BE的长．

【拓展延伸】
(3)若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“菱形ABCD和菱形AEFG，且菱形ABCD∽菱形AEFG如图
3，AD=5，AC=6，AG平分∠DAC，点P在射线AG上，在射线AF上截取AQ，使得AQ=35AP，连接PQ，QC，当tan∠PQC=43时，直接写出AP的长．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：A、∵3×13=1，
∴3和13互为倒数，符合题意；
B、∵(−2)×2=−4，
∴−2和2不互为倒数，不符合题意；
C、∵3×(−13)=−1，
∴3和−13不互为倒数，不符合题意；
D、∵(−2)×12=−1，
∴−2和12不互为倒数，不符合题意．
故选：A．
根据倒数的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是1的两个数叫互为倒数是解题的关键．

2.【答案】B 
【解析】
【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【解答】
解：1.5万亿=1500000000000=1.5×1012．
故选：B．  
3.【答案】B 
【解析】解：这个几何体的左视图为：

故选：B．
根据简单几何体三视图的画法画出它的左视图即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法和形状是正确判断的前提．

4.【答案】A 
【解析】解：这组数据中，众数为24.5，中位数为24.5．
故选：A．
利用众数和中位数的定义求解．
本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数．

5.【答案】A 
【解析】解：A.a2⋅a6=a8，故本选项符合题意；
B.(−2a)3=−8a3，故本选项不合题意；
C.2(a+b)=2a+2b，故本选项不合题意；
D.2a和3b不是同类项，不能合并，故本选项不合题意．
故选：A．
分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，单项式乘多项式及合并同类项的法则逐一判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

6.【答案】B 
【解析】解：如图，

∵AB//CD，
∴∠4=∠1=59°，
∵∠3+∠4=180°，
∴∠3=121°，
∵∠E=45°，
∴∠2=∠E+∠3=45°+121°=166°．
故选：B．
根据平行线的性质及平角的定义可求解∠3的度数，再利用三角形外角的性质可靠求解．
本题主要考查平行线的性质，利用平行线的性质求解∠3的度数是解题的关键．

7.【答案】C 
【解析】解：A.对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，所以A选项说法正确，故A选项不符合题意；
B.同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等，所以B选项说法正确，故B选项不符合题意；
C.对角线相等的四边形是不一定是矩形，所以C选项说法不正确，故C选项符合题意；
D.对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，所以D选项说法正确，故D选项不符合题意．
故选：C．
根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法及圆周角定理，分别分析得出答案．
本题主要考查了圆周角定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定等知识，熟练掌握圆周角定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定方法等进行求解是解决本题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：7x+7=y9(x−1)=y，
故选：D．
设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键．

9.【答案】D 
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴−b2a>0，
∴b>0，所以A不符合题意；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ=b2−4ac>0，所以B不符合题意；
由图可知：抛物线的对称轴是直线x=2，
∴−b2a=2，
∴4a+b=0，所以C不符合题意；
由对称可知：抛物线与x轴的交点为：(−1,0)，(5,0)，
∴当−10一定成立，所以D符合题意；
故选：D．
根据抛物线开口方向和抛物线的对称轴位置对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数对②进行判断；根据抛物线对称轴对③进行判断；根据抛物线与x轴的交点的坐标对④进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．(简称：左同右异)；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．

10.【答案】C 
【解析】解：如图，连接BE，过点B作BH⊥CE于点H，

∵点E在以B为圆心的弧AC上，
∴BC=BE，
∵BH⊥CE，
∴EH=CH，∠HBC+∠HCB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠BCH+∠DCE=90°，
∴∠HBC=∠DCE，
∵BC=CD，∠BHC=∠DEC=90°，
∴△HBC≌△ECD(AAS)，
∴CH=DE=EH，
∴CE=2DE，
在Rt△CDE中，CD2=CE2+DE2，
∴42=(2DE)2+DE2，
∴DE=45 5或DE=−45 5(舍去)，
故选：C．
连接BE，过点B作BH⊥CE于点H，根据正方形的性质及圆的有关性质推出∠BHC=∠DEC=90°，∠HBC=∠DCE，BC=CD，利用AAS证明△HBC≌△ECD，根据全等三角形的性质得出CH=DE，结合等腰三角形的性质得出CE=2DE，根据勾股定理求解即可．
此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟记正方形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．

11.【答案】2(a+1)2 
【解析】
【分析】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键，属于基础题．
原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】
解：原式=2(a2+2a+1)
=2(a+1)2，
故答案为：2(a+1)2．  
12.【答案】23 
【解析】解：∵一个不透明的袋中装有2个红球和4个黄球共有6个小球，黄球有4个，
∴从袋中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是：46=23．
故答案为23
先求出袋子中总的球数，再用黄球的个数除以总的球数即可．
此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn．

13.【答案】5+5 3 
【解析】解：∵AD的垂直平分线交AC于点F，
∴FA=FD，
∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠DAE=30°，
∴DE=12AD=5，
∴AE= AD2−DE2= 102−52=5 3，
∴△DEF周长=DE+DF+EF=DE+FA+EF=DE+AE=5+5 3，
故答案为：5+5 3．
根据线段垂直平分线的性质得到FA=FD，根据直角三角形的性质求出DE，根据勾股定理求出AE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．

14.【答案】−6 
【解析】解：连接OA，如图所示：

∵BDOD=12，△BCD的面积为2，
∴△COD的面积为4，
∵AB⊥y轴，
∴AB//OC，
∴△ABD∽△COD，
∴S△ABDS△COD=(BDOD)2=14，
∴S△ABD=1，
∵BDOD=12，
∴S△AOD=2，
∴S△AOB=3，
∵S△ABO=12|k|，
∴12|k|=3，
∴|k|=6，
根据图象可知，k<0，
∴k=−6．
故答案为：−6．
连接OA，根据BDOD=12，△BCD的面积为2，即可求得△COD的面积为4，通过证得△ABD∽△COD，求得S△ABD=1，进一步求得S△AOD=2，得到S△AOB=3，根据k的几何意义，可得12|k|=3，根据图象可知k<0，即可求出k的值．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了三角形的面积，反比例函数k的几何意义，由三角形面积求k的值注意符号是关键．

15.【答案】 13−2 
【解析】解：如图1，连接AG，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，DC=AB=3，
∵F是AE的中点，
∴BF=12AE=AF=EF，
∵BF=FG，
∴AF=FG=EF，
∴∠AGE=∠AGD=90°，
∴点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，连接OG，
当O，G，C三点共线时，CG的值最小，如图2所示，

∴OD=OG=2，
∴OC= 22+32= 13，
∴CG的最小值为 13−2．
故答案为： 13−2．
如图1，连接AG，证明AF=FG=EF，则∠AGE=∠AGD=90°，根据圆周角定理可知：点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，当O，G，C三点共线时，CG的值最小，由此可解答．
本题考查旋转的性质，矩形的性质，圆周角定理，线段的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造动点G的轨迹来解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

16.【答案】解：(π−1)0− 9+2cos45°+(15)−1
=1−3+2× 22+5
=1−3+ 2+5
=3+ 2． 
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

17.【答案】解：(2x−2x−1)÷x2−4x+4x2−x
=2x−2−xx÷(x−2)2x(x−1)
=x−2x⋅x(x−1)(x−2)2
=x−1x−2，
当x=4时，
原式=4−14−2
=32． 
【解析】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用分式的相应的运算法则进行化简，再代入相应的值运算即可．

18.【答案】解：(1)95；90；20
(2)该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数3000×30%=900(台)；
(3)A型号的扫地机器人扫地质量更好，理由是在平均除尘量都是90的情况下，A型号的扫地机器人除尘量的众数>B型号的扫地机器人除尘量的众数(理由不唯一)． 
【解析】
【分析】
本题考查数据的整理，涉及众数、中位数、平均数、方差等，解题的关键是掌握数据收集与整理的相关概念．
(1)根据众数、中位数概念可求出a、b的值，由B型扫地机器人中“良好”等级占50%，“优秀”等级所占百分比为30%，可求出m的值；
(2)用3000乘30%即可得答案；
(3)比较A型、B型扫地机器人的除尘量平均数、众数可得答案．
【解答】
解：(1)在83，84，84，88，89，89，95，95，95，98中，出现次数最多的是95，
∴众数a=95，
10台B型扫地机器人中“良好”等级有5台，占50%，“优秀”等级所占百分比为30%，
∴“合格”等级占1−50%−30%=20%，即m=20，
把B型扫地机器人的除尘量从小到大排列后，第5个和第6个数都是90，
∴b=90，
故答案为：95，90，20；
(2)该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数3000×30%=900(台)；
(3)A型号的扫地机器人扫地质量更好，理由是在平均除尘量都是90的情况下，A型号的扫地机器人除尘量的众数>B型号的扫地机器人除尘量的众数(理由不唯一)．  
19.【答案】解：(1)设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为(x+1)元，
由题意得，110x=120x+1，
解得x=11，
经检验x=11是原方程的解，且符合题意，
∴乙类型的笔记本单价为11+1=12(元)，
答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元；
(2)设甲类型笔记本购买了a件，则乙类型的笔记本购买了(100−a)件，购买总费用为w元，
由题意得，100−a≤3a，且100−a⩾0
∴25⩽a⩽100，
w=11a+12(100−a)=−a+1200，
∵−1<0，
∴w随a的增大而减小，
∴a=100时，w最小，最小值为w=−1×100+1200=1100(元)，
答：最低费用为1100元． 
【解析】(1)设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为(x+1)元，列出分式方程，从而解决问题；
(2)设甲类型笔记本购买了a件，总费用为w元，则乙类型的笔记本购买了(100−a)件，列出w关于a的函数解析式，再根据a的范围可得答案．
本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的运用等知识，根据题意，列出方程和函数解析式是解题的关键．

20.【答案】(1)证明：如图，连接OE．

∵BF=BD，
∴∠F=∠BDF，
∵OE=OD，
∴∠OED=∠BDF，
∴∠OED=∠BFD，
∴OE//BF，
∵∠ACB=90°，
∴∠AEO=90°，
∴OE⊥AC，
∵OE为半径，
∴AC为⊙O的切线．
(2)解：如图，连接BE．

∵tan∠EDB=2，∠EDB=∠F
∴tanF=CECF=2，
∵CF=1，
∴CE=2，
∴EF= CF2+CE2= 5，
∵BD是直径，
∴∠BED=90°，
∴∠BEF=90°，
又∵∠ECF=90°，∠F=∠F，
∴△ECF∽△BEF，
∴EFBF=CFEF，
∴ 5BF=1 5，
∴BF=5，
∴⊙O的半径=12BD=12BF=52． 
【解析】(1)连接OE，利用等腰三角形两底角相等，可证明∠OED=∠BFD，则OE//BF，从而证明结论；
(2)连接BE，根据tan∠EDB=2，∠EDB=∠F，CF=1，可得CE=2，再利用△ECF∽△BEF，得EFBF=CFEF，代入即可解决问题．
本题主要考查了圆的切线的判定，平行线的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识，根据等角的三角函数值相等进行转化是解题的关键．

21.【答案】解：(1)∵当x=0时，y=74，
∴柱子OA的高度为74米；
在y=−x2+2x+74中，
当y=0时−x2+2x+74=0，
∴x1= 112+1，x2=1− 112，
又∵x>0，
∴x= 112+1，
∴水池的半径至少要( 112+1)米才能使喷出的水流不至于落在池外；
(2)当y=12时，−x2+2x+74=12，
解得x1=52，x2=−12(舍去)，
∴tan∠DCB=52−2.112=45． 
【解析】(1)柱子OA的高度即为抛物线与y轴交点的纵坐标，令二次函数解析式中的x=0即可求解；令y=0，解关于x的一元二次方程，求得正数解即可；
(2)把y=12代入解析式即可求出点P的横坐标，然后再求tan∠DCB的值即可．
本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等．

22.【答案】BE=DG  BE⊥DG 
【解析】解：(1)如图1，

设DG和BE的延长线交于H，DH和AB交于O，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AD=AB，AG=AE，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
∴△BAE≌△DAG(SAS)，
∴BE=DG，∠ADG=∠ABE，
∵∠AOD=∠BOH，
∴∠BHO=∠DAO=90°，
∴BE⊥DG，
故答案为：BE=DG，BE⊥DG；
(2)如图2，

作AH⊥DE于H，
∵四边形AEFG是矩形，
∴∠EAC=90°，
∵AE=3，AG=4，
∴EG=5，
由S△EAG=12EG⋅AH=12AE⋅AG得，
5AH=12，
∴AH=125，
∴GH= AC2−AH2= 42−(125)2=165，
在Rt△ADH中，AD=12 105，AH=125，
∴DH= (12 105)2−(125)2=365，
∴DG=DH−CH=365−165=4，
∵矩形ABCD∽矩形AEFG，
∴∠EAG=∠BAD，AEAC=ABAD，
∴∠BAE=∠DAC，
∴△ABE∽△ADC，
∴BECD=AEAG=34，
∴BE=34CD=3；
(3)如图3，

当Q在AF上时，
连接BD，交AC于T，作CH⊥AF，交AF的延长线于H，作CR//AC，交AF于R，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AT=12AC=3，
∵菱形ABCD∽菱形AEFG，
∴∠DAB=∠GAE，∠DAC=12∠DAB，∠GAF=12∠GAE，
∴∠DAC=∠GAF，
∴∠DAG=∠CAF，
∵AG平分∠DAC，
∴∠DAG=12∠DAC，
∴∠CAF=12∠GAF，
∴∠DAC=∠GAF，
∵ ADAT=APAQ=53，
∴△DAT∽△PAQ，
∴∠PQA=∠ATD=90°，
∴tan∠PAQ=PQAQ=43，∠PAQ+∠APQ=90°，
∵tan∠PQC=43，
∴∠PAQ=∠PQC，
∴∠CQH=∠APQ，
∴tan∠CQH=tan∠APQ，
∴CHQH=34，
设CH=3x，QH=4x，
如图4，

tan∠CAH=12，
∴CHAH=12，
∴AH=2CH=6x，
∴(6x)2+(3x)2=62，
∴x=2 55，
∴AQ=2x=4 55，
如图5，

当Q在AF的延长线上时，
由上可知：AQ=4x+6x=10x，
∴AQ=10×2 55=4 5，
综上所述：AQ=2 55或4 5．
(1)可证明△BAE≌△DAG，从而BE=DG，∠ADG=∠ABE，进一步得出结论；
(2)作AH⊥DE于H，可依次求得EG=5，AH=125，GH=165，解直角三角形Rt△ADH求得DH=365，DG=4，可证明△ABE∽△ADC，从而BECD=AEAG=34，从而得出BE=34CD=3；
(3)分为两种情形：当Q在AF上时，连接BD，交AC于T，作CH⊥AF，交AF的延长线于H，作CR//AC，交AF于R，可证得∠DAC=∠GAF， ADAT=APAQ=53，从而得出△DAT∽△PAQ，从而∠PQA=∠ATD=90°，可推出∠CQH=∠APQ，从而tan∠CQH=tan∠APQ，从而得出CHQH=34，设CH=3x，QH=4x，可求得tan∠CAH=12，从而CHAH=12，从而得出AH=2CH=6x，哥们局(6x)2+(3x)2=62，得出x=2 55，进而得出结果；当Q在AF的延长线上时，同样方法得出结果．
本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，构造直角三角形．