新高一预习：题型分类细讲精练18 同角三角函数恒等变形及求值求最（人教数学A版2019必修第一册）

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专题18 同角三角函数恒等变形及求值、求最值

目录
【题型一】解三角方程 1
【题型二】三角函数线（单位圆坐标）应用 3
【题型三】给正切值求分式一次型 6
【题型四】给正切值求分式二次型值 7
【题型五】同角正切综合 8
【题型六】正余弦韦达定理型 10
【题型七】同角三角函数化简 11
【题型八】给值求值 13
【题型九】同角三角函数恒等变形 14
【题型十】同角三角含参求值 15
【题型十一】同角三角函数最值 17
【题型十二】 解三角函数不等式：与三角有关的定义域 18
【题型十三】同角三角函数比大小（单位圆法） 20
培优第一阶——基础过关练 21
培优第二阶——能力提升练 23
培优第三阶——培优拔尖练 27



【题型一】解三角方程
【典例分析】
．方程的解集是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将原式配方得，解出的值，写出值即可.
【详解】原方程可化为,即,.
故选：C.


【提分秘籍】
基本规律
解三角函数方程，可以借助特殊角与单位圆解决，也可以用三角函数图像解决。




【变式训练】
1..的解集为
A． B．,
C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数线解不等式得解.
【详解】原不等式等价于，即正弦线长度大于或等于余弦线长度，故选D．
【点睛】本题主要考查三角函数线的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2.．“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由可以得到，但是反向推导不成立，故可以得到答案.
【详解】由可以得到，但是由，得或.
故选：A.
3.若是锐角，.那么锐角等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可得，即得.
【详解】因为，是锐角，
所以，，
所以.故选：.

【题型二】三角函数线（单位圆坐标）应用
【典例分析】
在平面直角坐标系xOy中，P（x，y）（xy≠0）是角α终边上一点，P与原点O之间距离为r，比值叫做角α的正割，记作secα；比值叫做角α的余割，记作cscα；比值叫做角α的余切，记作cotα．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：；乙：；丙：；丁：．
如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（    ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】当甲错误时，乙一定正确，从而推导出丙、丁均错误，与题意不符，故甲一定正确；再由丙丁必有一个错误，得到乙一定正确，由此利用三角函数的定义能求出结果．
【详解】解：当甲：错误时，乙：正确，
此时，r＝5k，y＝3k，则|x|＝4k，（k＞0），
或，
∴丙：不正确，丁：不正确，故错误的同学不是甲；
甲：，从而r＝5k，x＝﹣4k，|y|＝3k，（k＞0），
此时，乙：；丙：；丁：必有两个正确，一个错误，
∵丙和丁应该同号，∴乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误，
∴y＝3k＞0，x＝﹣4k＜0，，
故丙正确，丁错误，
综上错误的同学是丁．
故选：D．


【提分秘籍】
基本规律
单位圆坐标具有“两重性”,可以用单位圆方程互推（圆的参数方程）：


【变式训练】
1.若，且不等式和成立，则角的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角不等式和三角函数的性质，由可求出θ的取值范围．
【详解】在内使的角，
使的角，故的取值范围是故选：B.
2.若α是第一象限角，则sinα+cosα的值与1的大小关系是
A．sinα+cosα＞1 B．sinα+cosα=1 C．sinα+cosα＜1 D．不能确定
【答案】A
【详解】试题分析：设角α的终边为OP，P是角α的终边与单位圆的交点，PM垂直于x轴，M为垂足，则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|，再由三角形任意两边之和大于第三边，得出结论．
解：如图所示：设角α的终边为OP，P是角α的终边与单位圆的交点，PM垂直于x轴，M为垂足，则由任意角的三角函数的定义，
可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|．△OPM中，∵|MP|+|OM|＞|OP|=1，∴sinα+cosα＞1，
故选A．

3.如果，那么下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别作出角的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解.
【详解】如图所示，在单位圆中分别作出的正弦线、余弦线、正切线，
很容易地观察出，即.
故选C.



【题型三】给正切值求分式一次型
【典例分析】
若，则（    ）
A． B．1 C． D．3
【答案】D
【分析】先化简，再进行弦化切，把代入即可求解.
【详解】.
因为，所以.
所以.故选：D

【提分秘籍】
基本规律
给正切，利用正余弦一次分式齐次特征，可以同除余弦化为正切

【变式训练】
1.已知角的终边经过点，则（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据角的终边经过点，求得，根据同角的三角函数关系化简，代入求值，可得答案.
【详解】由角的终边经过点，则，
故，故选:C.
2.已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则（    ）
A． B．0 C．7 D．
【答案】D
【分析】由题知,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可.
【详解】解:令得,故定点为,
所以由三角函数定义得，所以。故选：D
3.已知，则（    ）
A．-1 B．-5 C．-3 D．1
【答案】A
【分析】利用诱导公式化简所求式子为正余弦的齐次式，分子分母同时除以即可构造出关于的式子，代入求得结果.
【详解】
故选：


【题型四】给正切值求分式二次型值
【典例分析】
已知，则的值为（  ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵
又∵
∴。故选C

【提分秘籍】
基本规律
二次型求正切，充分运用“1”的代换：
（1）
（2）
【变式训练】
1.已知，则
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】先求，再利用同角三角函数基本关系化为齐次式求解即可
【详解】∵，∴，
∴．
故选D
2.已知为角的终边上的一点，且，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义列方程，解方程求得的值，进而求得的值，将所求表达式转化为只含的形式，由此求得表达式的值.
【详解】因为，故由正弦函数的定义可得，解得或(舍去),所以，所以，故选B.
3.已知，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分析：已知，求，可将转化为 ，然后分子、分母同除以，可转为，将条件代入即可求得结果．
详解：因为，
所以 ．故选B．

【题型五】同角正切综合
【典例分析】
.若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题设有，结合平方关系可得，再求出目标式的值.
【详解】由题设，又，所以，
则.故选：C

【变式训练】
1.已知，则的值是（      ）
A． B． C．-2 D．2
【答案】B
【分析】计算得到，再利用齐次式得到得到答案.
【详解】，则，故.
故选：.
2..已知为象限角，且满足，则（    ）
A． B．6 C． D．
【答案】A
【分析】由两边平方可以求出的值，然后将分子、分母同时除以转化为的式子可求解.
【详解】为象限角，则 .
由两边平方得：.
即，所以.
所以.故选：A
3.已知，且满足，则（    ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】对代数式变形左侧，化简即可求得，对所求代数式变形，即可得解.
【详解】∵，
∴，
∴，把代入，得原式.
故选：B

【题型六】正余弦韦达定理型
【典例分析】
已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实根，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用韦达定理和判别式求解即可.
【详解】由韦达定理可知，则，所以有，
又因为关于的一元二次方程有两个不等实根，所以有，即，解得，则，所以有，
故，即的取值范围是.
故选：A.


【提分秘籍】
基本规律
若是关于的一元二次方程的两个不相等的实根，则：

【变式训练】
1.已知，是关于的方程的两个实根，且，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵，是关于的方程的两个实根，
∴+=k，tanα•=k2﹣3=1．
∵，∴k＞0，∵k2 =4，∴k=2，∴tanα=1，∴α=3π+，
则cosα=﹣，sinα=﹣，则cosα+sinα=，故选C．
2.已知,是关于x的方程的两个根,则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据，是关于x的方程的两个根，由韦达定理得，，由平方关系，从而求得a，再利用立方和公式求解
【详解】由题意可知，，，
，
解得或.
，是关于x的方程的两个根，
，解得或，
.
故
.故选：C
3.若，是关于x方程的两个根，则实数m的值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用韦达定理与同角三角函数公式求解即可.
【详解】由题,判别式或.
又由韦达定理有 ,故.
解得.因为或,故.故选：B

【题型七】同角三角函数化简
【典例分析】
化简的结果是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同角三角函数的关系化简即可.
【详解】．
故选：D


【提分秘籍】
基本规律
主要运用“切化弦”与平方关系来化简。注意开偶次方根时正负号的问题

【变式训练】
1.．若为第四象限角，则可化简为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用同角三角函数的平方关系化简即可.
【详解】为第四象限角，则，且，，
因此，故选：D.
2..若，则属于第（    ）象限角.
A．一 B．二
C．三 D．四
【答案】C
【分析】化简得到故，得到答案.
【详解】
则 则属于第三象限角故答案选C
3.． cos2x等于（ ）
A．tan x B．sin x
C．cos x D．
【答案】D
【分析】
结合同角的商数关系以及平方关系化简整理即可求出结果.
【详解】
原式＝＝＝＝＝.故选：D.



【题型八】给值求值
【典例分析】
已知为第三象限角，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由同角三角函数关系即可求得，进而代入原式即可求解.
【详解】由，且，
解得：或，又因为为第三象限角，所以，，
所以.所以.故选：B

【变式训练】
1.已知，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把已知的等式平方得到，再化简代入即得解.
【详解】由，所以，∴，
所以.故选：A．
2.若，则（    ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】由同角三角函数基本关系化简求解
【详解】由题意得，
故选：C
3.已知，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】化简得到，再利用计算，根据范围得到答案.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以
整理得，又，所以．故选：

【题型九】同角三角函数恒等变形
【典例分析】
对于角θ，当分式有意义时，该分式一定等于下列选项中的哪一个式子（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接切化弦可得.
【详解】，，所以A错误；
，故B错误；
，故C错误；
∴，D正确
故选：D
【变式训练】
1.已知，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出，再对四个选项一一验证即可.
【详解】因为，又，
解得：.
故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D错误.
故选：B
2.．已知角A是的内角,若,则下列式子正确的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】结合与，求得，由此判断出正确选项.
【详解】由于，则，所以为锐角，由，即，解得.所以，，，.C选项正确.
故选：C
3.已知为锐角，，，则的值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用对数的运算性质以及同角三角函数的平方关系可得出，进而可求得结果.
【详解】为锐角，则，所以，，
因此，.故选：D.

【题型十】同角三角含参求值
【典例分析】
已知 ，若，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据均值不等式及余弦函数的有界性求出，求出即可求解.
【详解】因为，所以，
所以,
因此 ，
故选：A
【变式训练】
1.已知A是△ABC的一个内角，且sinA+cosA＝a，其中a∈（0，1），则关于tanA的值，以下答案中，可能正确的是（    ）
A．﹣2 B． C． D．2
【答案】A
【分析】把已知的等式两边平方，由同角三角函数间的基本关系化简后，得到2sinAcosA＝a2﹣1＜0，进而得到cosA＜0，得到sinA＞﹣cosA，再结合三角函数的基本关系式，求得tanA值的范围，即可判断出符合题意的tanA值的可能值．
【详解】由sinA+cosA＝a，两边平方得：（sinA+cosA）2＝a2，
即sin2A+cos2A+2sinAcosA＝1+2sinAcosA＝a2，
又因为a∈（0，1），所以2sinAcosA＝a2﹣1＜0，
因为0＜A＜π，得到，所以cosA＜0，
又由sinA+cosA＝a＞0，所以sinA＞﹣cosA＞0，
则tanA＜﹣1．比较四个选项，只有A正确．
故选：A．
2.对任意，若，则实数（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数关系转化为对任意成立，即得解.
【详解】由于，故，

对任意成立故选：D
3.已知，若是第二象限角，则的值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用同角三角函数的平方关系，以及是第二象限角，即可求出，然后再利用即可求解.
【详解】由，得：，化简，得：
，因为是第二象限角，所以，，
＝＝，故选C.

【题型十一】同角三角函数最值
【典例分析】
．的最小值为（　　）
A．18 B．16 C．8 D．6
【答案】B
【分析】直接利用三角函数关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．
【详解】
，故选B．

【变式训练】
1.若，则的取值范围为（  ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用，及基本不等式中“1”的妙用即可求解.
【详解】解：∵，
∴，当且仅当时等号成立.
∴的取值范围为.故选：B.
2.若对任意实数不等式恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】
原不等式可化为，令，转化为二次不等式
当时恒成立，利用二次函数求最小值即可解决.
【详解】
由原不等式可化简为对任意恒成立，
令得：
当时恒成立，
令，，
函数对称轴方程为，
当，即时，，解得，
当，即时，，解得，
所以，
当，即时，，
解得，
所以，
综上实数的取值范围是，
故答案为
3.已知，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】
利用三角函数的定义、三角函数线及基本不等式即得.
【详解】
如图，作出单位圆中的三角函数线，则有，，，
在中，，∴,
又，∴即，
当且仅当取等号，∴，故答案为：.

【题型十二】 解三角函数不等式：与三角有关的定义域
【典例分析】
求函数的定义域．
【答案】
【分析】
根据函数满足的条件列出不等式，结合正弦函数的图象先求一个周期内适合条件的x的取值范围，从而可求出函数的定义域.
【详解】
要使函数有意义，需．即，结合单位圆的图象，可知，

在区间上，适合条件的x的取值范围是．
所以该函数的定义域是．
故答案为：.

【变式训练】
1.函数的定义域为（ ）
A． B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】
函数定义域满足，解得答案.
【详解】
要使函数有意义，必须有，即，解得．∴，
∴函数的定义域为．故选：C
2.函数的定义域为___________.
【答案】，
【分析】
由根式的性质可得，再根据余弦函数的性质求的范围，即可知函数的定义域.
【详解】
由题设，，即.
∴，.
∴函数的定义域为且.
故答案为：，
3.求函数的定义域．
【答案】．
【分析】
根据对数的定义、二次根式的性质，结合正余弦函数的性质进行求解即可.
【详解】
求题意可知：，
，
所以函数函数的定义域为.

【题型十三】同角三角函数比大小（单位圆法）
【典例分析】
已知，，，则按从小到大的顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用诱导公式化简可得,,,进而比较大小可.
【详解】
由题,,
,
,
所以,即,
故选:A
【变式训练】
1.已知，，，则，，的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据诱导公式,将三角函数式化简,选取中间值即可比较大小.
【详解】
利用诱导公式将,,化简可得
综上可得故选:B
2.，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
首先利用诱导公式将化为，由正弦函数的单调性可与比较大小，接下来根据，而三角函数值小于1做进一步的判断，据此可得出答案.
【详解】
由诱导公式得，由单位圆三角函数线知在上是单调递增，
因为，所以，因为，所以.故选：D.
3.已知，则的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由诱导公式可知，根据特殊角的三角函数值比较大小即可.
【详解】
根据诱导公式，化简可得 ，
所以，故选A.




分阶培优练

培优第一阶——基础过关练
1．下列结论不正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦、余弦、正切的正负性，结合角所在的象限逐一判断即可.
【详解】，为第二象限角，，因此A正确
，为第三象限角，，，
因此B、C正确
，为第三象限角，，因此D错误．
故选：D
2．已知角满足，则的值为（   ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】化弦为切，代入求解.
【详解】分子分母同时除以得，原式
故选：C
3．已知，则
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由平方得，选A.
4．若，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】原式,故选.
5．化简： 等于 (　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
【答案】C
【分析】利用三角函数的平方关系和商数关系求解.
【详解】原式＝，
，
，
故选：C.
6．若，则＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．
【答案】B
【分析】先根据条件得到，从而得到.
【详解】因为，所以，即，
故，
所以.
故选：B.
7．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函数的基本关系式中的商数关系以及平方关系对所求式子进行化简，由此得出正确选项.
【详解】依题意，故选B.
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查了平方关系和商数关系，属于基础题.
8．如果，那么的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用已知条件求得的值，然后对所求的式子除以，再分子分母同时除以，变为的式子，来求得表达式的值.
【详解】由得..故选B.
【点睛】本小题主要考查同角三角函数关系式，考查齐次方程的计算.同角三角函数关系包括平方关系和商数关系.形如、此类的式子，都可以通过化简为齐次方程的方法，变两弦为正切，来求解出表达式的值.属于基础题.
9．已知为第四象限角，的化简结果为（   ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先将式子中的分母有理化，在将根号去掉，结合三角函数值的范围去掉绝对值符号，之后逐步化简即可得结果.
【详解】因为是第四象限角，所以，
根据题意可知：


.
故选：D.
10．已知，，则的值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据题意，结合同角三角函数基本关系，求出，判断出，进而求出，从而可求出结果.
【详解】由，得，

，.
，.
.
故选C
【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值问题，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.



培优第二阶——能力提升练
1．已知，则的值等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先确定的正负，再计算的值.
【详解】，，，
，
，
即.
故选：A
2．函数的最大值为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】利用三角函数的平方关系将化为，配方后结合二次函数知识，求得答案.
【详解】，
当时，取得最大值，且最大值为3,
故选：B
3．若为任意角，则满足的一个的值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由，可得，结合四个选项可选出答案.
【详解】因为，所以，即，
所以满足条件的一个的值为2.
故选：B
4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件利用指数、对数函数性质，三角函数诱导公式并借助“媒介”数即可比较判断作答.
【详解】函数在上单调递增，而，则，
，
函数在R上单调递增，而，则，即，
所以.
故选：B
5．函数的定义域是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数有意义的条件，分别求出函数每一部分的范围，然后再求交集即可.
【详解】由题意得, 解得且,
则的定义域为.
故选：.
6．函数的值域为___________.
【答案】
【分析】先化简，再利用正弦函数的有界性结合不等式的性质推理得解.
【详解】解：，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以的值域是.
故答案为：
7．已知，则的取值范围______．
【答案】.
【分析】根据余弦函数的性质求解．
【详解】，则，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：
8．若，，且，则的最大值为______．
【答案】
【分析】由题意结合商数关系及平方关系可得，再利用基本不等式即可得出答案.
【详解】解：由，
得，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最大值为.
故答案为：.
9．对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】先对变形化简后利用基本不等式可求出其最小值，从而将问题转化为，进而可求出实数的取值范围.
【详解】因为，所以，
所以


，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为9，
所以，解得，
即实数的取值范围是，
故答案为：
10．已知，则的取值范围是__．
【答案】
【分析】先将条件化简得到，从而可得，由此结合余弦的符号可得答案.
【详解】
所以，则
即
故答案为：

培优第三阶——培优拔尖练
1．已知，则的值为___________.
【答案】
【分析】由已知条件结合，求出，然后代入计算即可
【详解】因为，
所以，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
由，得，
所以，
故答案为：
2．设且，若，则______．
【答案】1
【分析】根据对数函数的运算性质，得到，再根据三角函数的基本关系，准确化简，即可求解，得到答案.
【详解】设且，若，
所以，所以，
又，所以，
又由，
则
所以
故答案为1．
3．函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________.
【答案】
【解析】用换元法，设t＝sinx－cosx，则sinxcosx＝，且，问题转化为求二次函数在某个区间上的值域．
【详解】设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，sinxcosx＝，
，∴.
∴y＝－＋t＋＝－ (t－1)2＋1，t∈[－，].
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－时，ymin＝.
∴函数的值域为.
4．已知，那么________
【答案】
【分析】将利用诱导公式转变为的形式，然后根据函数解析式直接计算的值即为的值.
【详解】因为且，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查三角函数的诱导公式的应用，着重考查了分析与转化的能力，难度较难.
5．已知，则a= .
【答案】
【详解】将代入
得
,又,
故答案为:
6．已知函数，且，则_____．
【答案】
【分析】利用诱导公式可得，再利用诱导公式可求得的值
【详解】解：∵函数，且，
∴，
∴,
故答案为：
7．已知则＋=____
【答案】
【分析】根据诱导公式和同角关系即可求解.
【详解】＋= =
故答案为：.
8．已知为锐角三角形的两个内角，则与的大小关系是______．
【答案】
【分析】由题意利用锐角三角形的性质、诱导公式和三角函数的单调性比较与的大小关系即可.
【详解】因为是锐角三角形的两个内角，故，，，，
所以.
即.
【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，锐角三角形的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．如图，是直角边长为的等腰直角三角形，直角边是半圆的直径，半圆过点且与半圆相切，则图中阴影部分的面积是_______.

【答案】
【解析】利用等弦所对的弧相等，先把阴影部分进行适当拼接，变化成一个直角梯形，然后再利用两圆外切的条件和勾股定理求小圆的半径，从而求出阴影部分的面积.
【详解】如图所标记，易得为的中点，，都是等腰直角三角形.
根据对称性，弓形面积与弓形面积相等，弓形面积与弓形面积相等，原题图中所有阴影面积等于如图中直角梯形的面积，
设两圆的半径分别为,
则,,
,解得,,
所求阴影部分的面积为:

故答案为：

【点睛】本题主要考查了面积的计算，涉及两圆外切的条件和勾股定理，解答的关键是将图形适当拼接，变为一个规则图形.
10．已知，则的最大值为____________
【答案】916##0.5625
【分析】由已知求得，可得，利用同角三角函数基本关系可得，利用二次函数性质即可求解.
【详解】，
，，即

又，
利用二次函数的性质知，当时，
故答案为：