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    新高一预习:题型分类细讲精练03 均值不等式基础方法15类总结(人教数学A版2019必修第一册)
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    新高一预习:题型分类细讲精练03 均值不等式基础方法15类总结(人教数学A版2019必修第一册)

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    这是一份新高一预习:题型分类细讲精练03 均值不等式基础方法15类总结(人教数学A版2019必修第一册),文件包含专题03均值不等式基础方法15类总结人教A版2019必修第一册解析版docx、专题03均值不等式基础方法15类总结人教A版2019必修第一册原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共49页, 欢迎下载使用。

    专题3 均值不等式基础方法15类总结

    目录
    一、热点题型归纳
    【题型一】对勾型 2
    【题型二】 添加常数构造“对勾型” 3
    【题型三】“和定求积”型 5
    【题型四】“积定求和”型 6
    【题型五】单元(单变量)分离常数型 7
    【题型六】“常数”因子法: 8
    【题型七】“单分母”构造因子法 9
    【题型八】“双分母”构造法 11
    【题型九】有和有积无常数型 12
    【题型十】有和有积有常数型:求“积”型 14
    【题型十一】 有和有积有常数型:求“和”型 15
    【题型十二】多元分离型 16
    【题型十三】反解消元型 18
    【题型十四】换元型 19
    【题型十五】较简单的三元均值 21
    培优第一阶——基础过关练 23
    培优第二阶——能力提升练 27
    培优第三阶——培优拔尖练 30


    知识点综述:
    1. 基本不等式::a2+b2≥ 2ab(a,b∈R);
    2.常用不等式:≤;
    (1) 基本不等式成立的条件:a>0,b>0;
    (2)等号成立的条件:当且仅当a=b.
    简称为““一正”“二定”“三相等”,三个条件缺一不可.
    3.基本不等式的变形:
    ①a+b≥2,常用于求和的最小值;②ab≤2,常用于求积的最大值;
    4.重要不等式链:≥ ≥≥;

    【题型一】对勾型
    【典例分析】
    (2021·江苏·高一专题练习)不等式(x-2y)+≥2成立的前提条件为(       )
    A.x≥2y B.x>2y C.x≤2y D.x<2y
    【答案】B
    【分析】由均值不等式成立的前提条件是“一正、二定,三相等”,结合此条件即可得解.
    【详解】解:由均值不等式的条件“一正、二定,三相等”,即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数,所以不等式成立的前提条件为,即.
    故选:B.

    【提分秘籍】
    基本规律
    对勾型:,
    容易出问题的地方,在于能否“取等”,如
    1.
    2.


    【变式训练】
    1.(2022·全国·高一专题练习)若,,则的最小值是(       )
    A. B. C.4 D.2
    【答案】A
    【分析】利用基本不等式可求出和的最小值,相加可得出结果.
    【详解】由基本不等式得,
    当且仅当,时等号成立,因此,的最小值为.
    故选A.
    2.(2022·河南驻马店·高一期末)已知a>0,则当取得最小值时,a的值为(       )
    A. B. C. D.3
    【答案】C
    【分析】利用基本不等式求最值即可.
    【详解】∵a>0,∴,当且仅当,即时,等号成立,故选:C
    【题型二】 添加常数构造“对勾型”
    【典例分析】
    (2022·吉林延边·高一期末)已知,则函数的最小值是(       )
    A. B. C.2 D.
    【答案】D
    【分析】应用基本不等式求函数的最小值,注意等号成立的条件.
    【详解】由题设,,
    ∴,当且仅当时等号成立,
    ∴函数最小值为.故选:D.


    【提分秘籍】
    基本规律
    对于形如,则把cx+d转化为分母的线性关系:可消去。不必记忆,直接根据结构转化

    【变式训练】
    1..(2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一阶段练习)若在处取得最小值,则(       )
    A.1 B.3 C. D.4
    【答案】B
    【分析】结合基本不等式求得正确答案.
    【详解】依题意,

    当且仅当时等号成立.
    故选:B
    2.(2022·全国·高一课时练习)若实数,则的最小值为(       )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】将原式变形为,然后利用基本不等式求解出的最小值.
    【详解】因为,
    取等号时且,即,所以的最小值为,
    故选:B.
    3.(2021·江苏·高一专题练习)设,则的最小值为(       )
    A. B. C.4 D.
    【答案】A
    【分析】原式可变形为,然后根据基本不等式即可求解
    【详解】,



    当且仅当,
    即时取等号
    故选:A

    【题型三】“和定求积”型
    【典例分析】
    (2022·全国·高一专题练习)已知,,,则的最大值为(       )
    A. B.4 C.6 D.8
    【答案】B
    【分析】利用基本不等式化简已知条件,由此求得的最大值
    【详解】因为所以,从而.
    当且仅当时等号成立.
    故选:B


    【提分秘籍】
    基本规律
    如果x+y是定值q,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:和定积最大)

    【变式训练】
    1.(2021·福建·泉州市第六中学高一期中)若,则当取得最大值时,x的值为(       )
    A.1 B. C. D.
    【答案】D
    【分析】根据基本不等式即可得到答案.
    【详解】因为,所以,则,
    当且仅当时取“=”.
    故选:D.
    2..(2021·全国·高一课时练习)若,,,则的最大值为(       )
    A. B. C.1 D.
    【答案】D
    【分析】直接根据基本不等式求最值.
    【详解】解:∵,,∴,,
    ∴,
    当且仅当时,取“=”,故选:D.
    3.(2021·湖北·华中科技大学附属中学高一阶段练习)已知x>0,y>0,且x+2y=4,则(1+x)(1+2y)的最大值为(       )
    A.36 B.4 C.16 D.9
    【答案】D
    【分析】根据题意得到,进而通过基本不等式求得答案.
    【详解】由题意,,,所以,当且仅当时取“=”.
    故选:D.

    【题型四】“积定求和”型
    【典例分析】
    (2021·浙江省杭州学军中学高一期中)已知,,且,则的最小值为(       )
    A.5 B.6 C.7 D.8
    【答案】C
    【分析】由基本不等式求解.
    【详解】因为,
    所以,,当且仅当,即时等号成立.
    故选:C.

    【提分秘籍】
    基本规律
    如果xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2(简记:积定和最小)

    【变式训练】
    1.(2021·江苏·沭阳县修远中学高一阶段练习)若实数满足,则的最小值是(       )
    A.1 B.2 C.4 D.8
    【答案】B
    【分析】利用均值不等式即可得解.
    【详解】由均值不等式可得,
    当且仅当时,等号成立,
    所以的最小值是2.
    故选:B.
    2.(2021·新疆·巴楚县第一中学高一期中)已知为正实数,且,则的最小值是(       )
    A.4 B.8 C.16 D.32
    【答案】B
    【分析】化简,结合基本不等式,即可求解.
    【详解】由题意,正实数且,可得,
    则,当且仅当时,即时等号成立,
    所以的最小值是.故选:B.

    【题型五】单元(单变量)分离常数型
    【典例分析】
    (2022·福建·莆田一中高一期末)函数有(       )
    A.最大值 B.最小值 C.最大值2 D.最小值2
    【答案】D
    【分析】分离常数后,用基本不等式可解.
    【详解】(方法1),,则,当且仅当,即时,等号成立.
    (方法2)令,,,.
    将其代入,原函数可化为,当且仅当,即时等号成立,此时.故选:D

    【提分秘籍】
    基本规律
    分离常数可以从两方面考虑:
    1.以分母为主元构造分子
    2.直接换元分母(一般式一次型)

    【变式训练】
    1.(2021·全国·高一课时练习)若,则有(       )
    A.最小值2 B.最大值2 C.最小值 D.最大值
    【答案】D
    【分析】先将转化为,根据-4 【详解】又∵-4 ∴-(x-1)>0.∴.当且仅当x-1=,即x=0时等号成立.
    所以有最大值-2,无最小值.故选:D
    2.(2021·河北·藁城新冀明中学高一阶段练习)已知x>1,则的最小值是(       )
    A.2+2 B.2-2
    C.2 D.2
    【答案】A
    【分析】用换元法变形.然后由基本不等式得最小值.
    【详解】因为,设,
    ,当且仅当,即,时,等号成立.
    故选:A
    3.(2020·江苏省南京市第十二中学高一阶段练习)已知,函数的最大值是(       )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    【答案】B
    【分析】先换元,再运用基本不等式求解.
    【详解】令,则,
    所以,
    当且仅当等号成立.
    故选:B.


    【题型六】“常数”因子法:
    【典例分析】
    (2022·全国·高一专题练习)若正数满足,则的最小值是(       )
    A. B. C.5 D.6
    【答案】C
    【分析】利用基本不等式“1”的代换求的最小值,注意等号成立条件.
    【详解】,当且仅当时等号成立,
    ∴的最小值是5.故选:C


    【提分秘籍】
    基本规律
    利用常数代换法。多称之为“1”的代换

    【变式训练】
    1.(2022·全国·高一专题练习)已知,,若不等式恒成立,则的最大值为(       )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【分析】分离参数,求不含参数这一边的最小值即可求解.
    【详解】,,若不等式恒成立,恒成立
    ,当且仅当时取等号.
    ,即的最大值为.故选:B.
    2.(2022·全国·高一专题练习)已知,,且,则的最小值是(       )
    A. B.2 C.9 D.4
    【答案】A
    【分析】利用基本不等式可求解.
    【详解】由题意可得.因为,,所以,则,
    当且仅当,时,等号成立.
    故选:A
    3.(2021·广东·阳春市第二中学高一阶段练习)已知,,且,则的最小值是(       )
    A.10 B.15 C.18 D.23
    【答案】C
    【分析】利用“1的代换”的方法,结合基本不等式求得正确结论.
    【详解】∴,
    (当且仅当,即,时,等号成立).
    故选:C


    【题型七】“单分母”构造因子法
    【典例分析】
    (2022·全国·高一课时练习)已知正实数满足,则的最小值是(       )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【分析】由基本不等式的乘“1”法计算最小值.
    【详解】因为,所以


    当且仅当时,取等号,的最小值是.
    故选:D

    【提分秘籍】
    基本规律
    以分式分母为主元进行构造

    【变式训练】
    1.(2022·安徽省舒城中学高一阶段练习)若,则的最小值为(       )
    A.4 B.3 C.2 D.1
    【答案】D
    【分析】利用“乘1法”即得.
    【详解】因为,所以,∴
    ,当且仅当时,即时取等号,
    所以的最小值为1.故选:D.
    2.(2021·全国·高一单元测试)若,,且,则的最小值为(       )
    A.2 B. C. D.
    【答案】B
    【分析】根据,可将化为,结合结合基本不等式即可得出答案.
    【详解】解:若,,且,
    则,
    所以,
    当且仅当,即时,等号成立.故选:B.
    3.(2021·河南·濮阳一高高一期中)若正实数、满足,且不等式有解,则实数的取值范围是(       ).
    A.或 B.或
    C. D.
    【答案】A
    【分析】将代数式与相乘,展开后利用基本不等式可求得的最小值,可得出关于实数的不等式,解之即可.
    【详解】因为正实数、满足,则,即,
    所以,,
    当且仅当时,即当时,等号成立,即的最小值为,
    因为不等式有解,则,即,
    即,解得或.
    故选:A.


    【题型八】“双分母”构造法
    【典例分析】
    (2022·全国·高一课时练习)已知,且,则的最小值为(       )
    A.2 B.3 C.4 D.5
    【答案】A
    【分析】转化后由基本不等式“1”的妙用求解
    【详解】因为,,所以,
    所以

    当且仅当,即,时等号成立.所以的最小值为2.
    故选:A


    【提分秘籍】
    基本规律
    一般情况下,可以把分母相加(或者倍系数后再相加),与条件所给的 等式,存在倍数关系

    【变式训练】
    1.(2022·全国·高一单元测试)已知,,且,则的最小值为(       )
    A.4 B.8 C.16 D.32
    【答案】C
    【分析】,展开后利用基本不等式即可求解.
    【详解】因为,,且,


    ,当且仅当,即,即时,等号成立.故选:C
    2.(2021·浙江·高一期中)若实数,则的最小值为(       )
    A. B.1 C. D.2
    【答案】D
    【分析】由条件变形,再结合基本不等式求最小值.
    【详解】由条件可知,,
    所以

    当,即,结合条件 ,
    可知时,等号成立,所以的最小值为.
    故选:D
    3.(2022·全国·高一课时练习)若,且,则的最小值为(       )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【分析】,再利用基本不等式即可得出答案.
    【详解】解:

    当且仅当时,取等号,所以的最小值为.故选:C.
    【题型九】有和有积无常数型
    【典例分析】
    (2021·江苏·赣榆一中高一阶段练习)若两个正实数,满足,若不等式恒成立,则实数的取值范围是(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【分析】根据题意,将,变形可得,构造基本不等式的条件可求的最小值为4,由此可得,由此解得的取值范围.
    【详解】根据题意,若两个正实数,满足,变形可得,即,
    则有,当且仅当时等号成立,
    即的最小值为4﹒
    若不等式恒成立,则,解可得﹒
    故选:B.


    【提分秘籍】
    基本规律
    利用同除,可以得到“1”的代换形式均值

    【变式训练】
    1.(2022·全国·高一专题练习)若正实数x,y满足,则的最小值为(       )
    A.8 B.9 C.10 D.11
    【答案】B
    【分析】对等式进行变形,再根据基本不等式进行求解即可.
    【详解】因为,则,又,是正数.
    所以,
    当取得等号,即且时取等号,
    所以的最小值为9,故选:B.
    2.(2021·黑龙江·铁人中学高一期中)已知,则和的最小值分别是(       )
    A.16 ,32 B.16 ,64 C.18,32 D.18,64
    【答案】D
    【分析】运用基本不等式,已知等式进行求解即可.
    【详解】因为,所以,当且仅当时取等号,即
    当时取等号,
    因为,
    所以,因此的最小值为;
    因为,
    所以,
    ,当且仅当时取等号,也就是当时等号,即时取等号,因此的最小值为,
    故选:D





    【题型十】有和有积有常数型:求“积”型
    【典例分析】
    (2021·重庆市实验中学高一阶段练习)设,,,则ab的最小值是(       )
    A.4 B.9 C.16 D.25
    【答案】D
    【分析】利用均值不等式,把方程转化为不等式,解之即可.
    【详解】∵,,
    ∴,
    令,
    则,即,
    解得,
    ∴,当且仅当时,等号成立.
    故选:D

    【提分秘籍】
    基本规律
    求积,对“和”用均值,化为关于“积”的一元二次不等式,解不等式可得。

    【变式训练】
    1..(2022·广东广州·高一期末)设,,若,则ab的最小值是(       )
    A.5 B.9 C.16 D.25
    【答案】D
    【分析】结合基本不等式来求得的最小值.
    【详解】,,


    当且仅当时等号成立,由.
    故选:D
    2.已知,,且,则的最大值为____________.

    【答案】2
    【分析】根据基本不等式得,解之可求得答案.
    【详解】因为,,且,所以,解得,当且仅当,即时,取等号, 所以的最大值为2,故答案为:2.



    【题型十一】 有和有积有常数型:求“和”型
    【典例分析】
    (2021·安徽·霍邱县第一中学高一阶段练习)若,且,则的取值范围(       )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【分析】化简整理式子可得,再利用基本不等式即可求解.
    【详解】由,且,则,即,
    由基本不等式可得,当且仅当时,等号成立,
    整理得,即,
    因为,所以,所以,解得.故选:D



    【提分秘籍】
    基本规律
    求“和”,对“积”用均值,化为关于“和”的一元二次不等式,解不等式可得。
    此类题型的基础形式,多是所求的“和”与所给的“和”是相同的。不然,此法不成立。
    【变式训练】
    1.(2021·河南·高一阶段练习)已知,,,则的最小值为(       )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【分析】由题可得,再利用基本不等式即得.
    【详解】∵,,,
    ∴,
    ∴,当且仅当,即,时“”成立.
    故选:A.
    2.(2021·安徽·合肥一中高一期中)若正实数,满足,且存在实数,使不等式成立,则实数的取值范围为(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【分析】由结合基本不等式得到,解不等式即得解.
    【详解】由得,
    因为,
    所以,所以,
    所以或(舍),
    所以.因为存在实数,使不等式成立,所以,
    所以,所以或.
    3.已知,,,则( 多选题 )
    A.的最大值为2 B.的最小值为4
    C.的最小值为3 D.的最小值为

    【答案】ABD
    【详解】对于A选项:由均值不等式得,则,
    令,,解得,即,,
    当且仅当,时,等号成立,故A正确;对于B选项:由均值不等式得,又,
    ∴,解得,(舍),
    当且仅当,时,等号成立,故B正确;
    对于C,D选项:令,,则,
    则可化为,整理,
    ∵此方程一定有解,∴,即,解得,(舍),故C错误,D正确.
    故选:ABD.
    【题型十二】多元分离型
    【典例分析】
    (2022·四川省绵阳南山中学高一阶段练习)已知,且,则的最小值是(       )
    A.11 B.9 C.8 D.6
    【答案】A
    【分析】根据基本不等式即可由积为定值求和的最小值.
    【详解】,因为,所以,故,当且仅当时,等号成立.
    故选:A

    【提分秘籍】
    基本规律
    多元分式型,构造分母达到分离的目的。
    1. 换元构造
    2. 常数代换狗仔
    3. 凑配构造

    【变式训练】
    1.(2022·全国·高一课时练习)若,,则的最小值是(       )
    A.16 B.18 C.20 D.22
    【答案】C
    【分析】化简,再根据基本不等式求最小值即可
    【详解】因为,,所以

    (当且仅当时,等号成立),所以的最小值是20.
    故选:C
    2.(2022·广东韶关实验中学高一阶段练习)已知a,b为正实数,且,则的最小值为(       )
    A.1 B.6 C.7 D.
    【答案】B
    【分析】利用已知条件 将原式化为可以使用基本不等式的形式即可.
    【详解】由已知条件得,,
    当且仅当,即,时取等号,
    ∴ 的最小值为6;故选:B.
    3.(2022·辽宁丹东·高一期末)已知,,,则的最小值为(       )
    A. B. C. D.3
    【答案】B
    【分析】根据题意可得,再根据结合基本不等式即可得出答案.
    【详解】解:因为,所以,
    则,
    因为,
    当且仅当,即时,取等号,
    所以的最小值为.故选:B.

    【题型十三】反解消元型
    【典例分析】
    (2021·浙江·高一期中)正实数,满足,则的最小值是(       )
    A. B.1 C. D.
    【答案】C
    【分析】由题意正数满足,可得,消元化简得,,再利用基本不等式,即可求其最小值.
    【详解】因为正数满足,所以,
    则,当且仅当时等号成立,
    即时,取得最小值,故的最小值为.故选:C.


    【提分秘籍】
    基本规律
    反解代入:
    1. 多元变量有二次有一次,反解一次代换消元为单变量式子
    2. 有些高次可以因式分解,然后再反解代入。达到消元的目的

    【变式训练】
    1.(2021·全国·高一专题练习)已知实数a>0,b>0,且满足ab﹣a﹣2b﹣2=0,则(a+1)(b+2)的最小值为(       )
    A.24 B.313 C.913 D.25
    【答案】D
    【分析】根据等式ab﹣a﹣2b﹣2=0表示出b,求出a的范围,然后将(a+1)(b+2)中的b消去,再利用基本不等式可求出(a+1)(b+2)的最小值.
    【详解】因为ab﹣a﹣2b﹣2=0,所以b,又a>0,b>0,所以0,解得a>2,
    又b1,所以(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=a+2b+2+2a+b+2=3a+3b+4
    =3a7=3(a﹣2)13,
    当且仅当3(a﹣2)即a=4时等号成立,
    即(a+1)(b+2)的最小值为25.故选:D.
    2.(2021·江苏·高一专题练习)已知,,,则的最小值为(       )
    A. B.2 C. D.1
    【答案】B
    【分析】将转化为,转化为即可利用基本不等式进行求解.
    【详解】将转化为,

    当且仅当,时取等号,即的最小值为2。故选:.
    3.(2021·浙江省杭州第二中学高一期中)已知正数a和b满足ab+a+2b=7,则的最小值为(       )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【分析】利用,代入所求式子,根据均值不等式求最值即可.
    【详解】因为ab+a+2b=7,所以,,
    所以,当且仅当时等号成立,故选:A

    【题型十四】换元型
    【典例分析】
    (2021·山西·太原市第五十六中学校高一阶段练习)对任意正数x,y,不等式恒成立,则实数k的取值范围是(       )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【分析】利用基本不等式可求的最大值,从而可求实数k的取值范围.
    【详解】令,则,
    故,
    当且仅当时等号成立,
    故的最大值为,故,
    故选:B.


    【提分秘籍】
    基本规律
    1.复杂的分式型,可以把分母换元(双换元),达到化简的目的。
    2.能因式分解的高次多元式子,可以借助因式分解后再换元化简

    【变式训练】
    1.(2022·全国·高一课时练习)已知实数,满足,则的最小值为(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【分析】将化为,再利用换元法结合基本不等式即可求解
    【详解】解:实数,满足。化为:。令,,则
    解得:,
    则:
    当且仅当,即时取等号所以的最小值为.故选:A.
    2..(2021·江苏·高一专题练习)已知实数满足,且,则的值最小时,实数(       )
    A. B.
    C. D.1
    【答案】A
    【分析】利用换元法,设,即,故,然后利用基本不等式求最值即可.
    【详解】设,解得 ,所以 ,即,
    设,则,即,
    当且仅当,即时取等号,即,
    则的值最小时,实数,故选:.

    【题型十五】较简单的三元均值
    【典例分析】
    (2022·全国·高一课时练习)已知都是正实数,若,则 的最小值为(       )
    A.2 B.4 C.6 D.8
    【答案】D
    【分析】均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立.
    【详解】由可知
    (当且仅当时等号成立)
    (当且仅当时等号成立)
    (当且仅当时等号成立)
    以上三个不等式两边同时相乘,可得
    (当且仅当时等号成立)
    故选:D
    【变式训练】
    1.(2021·安徽·泾县中学高一阶段练习)设正实数、、满足,则的最大值为(       )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【分析】计算得出,利用基本不等式可求得的最大值.
    【详解】因为正实数、、满足,则,
    则,当且仅当时取等号.
    故的最大值为.故选:C.
    2.(2021·辽宁·沈阳二中高一阶段练习)若a,b,c均为正实数,则三个数,,(       )
    A.都不大于2 B.都不小于2
    C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2
    【答案】D
    【分析】对于选项ABC可以举反例判断,对于选项D, 可以利用反证法思想结合基本不等式,可以确定,,至少有一个不小于2,从而可以得结论.
    【详解】解:A. 都不大于2,结论不一定成立,如时,三个数,,都大于2,所以选项A错误;
    B. 都不小于2,即都大于等于2,不一定成立,如则,所以选项B错误;
    C.至少有一个不大于2,不一定成立,因为它们有可能都大于2,如时,三个数,,都大于2,所以选项C错误.
    由题意,∵a,b,c均为正实数,
    ∴.
    当且仅当时,取“=”号,
    若,,,则结论不成立,
    ∴,,至少有一个不小于2,所以选项D正确;
    故选:D.
    3.(2021·天津·耀华中学高一期中)正实数满足,当取得最大时,的最大值为(        )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【分析】化简得到,利用均值不等式得到最值时,带入数据化简得到,根据二次函数性质得到最值.
    【详解】,故,

    当且仅当,即时等号成立,此时,故,

    故当,即,,时有最大值为.
    故选:C.




    分阶培优练


    培优第一阶——基础过关练
    1.(2022·全国·高一课时练习)当时,的最小值为(       )
    A.3 B. C. D.
    【答案】D
    【分析】依据均值定理去求的最小值即可.
    【详解】由(当且仅当时等号成立.)
    可得当时,的最小值为
    故选:D
    2.(2022·福建省龙岩第一中学高一开学考试)函数的最小值为(       )
    A.3 B.2 C.1 D.0
    【答案】D
    【分析】利用基本不等式可求函数的最小值.
    【详解】因为,所以,,利用基本不等式可得

    当且仅当即时等号成立.
    故选:D.
    3.(2021·全国·高一课时练习)已知,,且,则的最小值为(       )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】由基本不等式即可求解.
    【详解】∵,当且仅当,即时等号成立,
    ∴,即,即最小值为.
    故选:D.
    4.(2021·全国·高一专题练习)已知x>0,y>0,且xy=10,则的最小值为(       )
    A.2 B.3 C.4 D.6
    【答案】C
    【分析】利用基本不等式即可求解
    【详解】因为x>0,y>0,且xy=10,所以,当且仅当即时取等号,
    所以的最小值为4,故选:C
    5.(2021·湖北·宜都二中高一期中)已知则函数的最小值为(       )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】根据基本不等式可求得结果.
    【详解】因为所以,
    当且仅当,即时,等号成立.故选:C.
    6.(2022·全国·高一专题练习)已知,则的最小值为(       )
    A. B. C. D.6
    【答案】B
    【分析】利用“1”的代换,结合基本不等式求的最小值即可,注意等号成立的条件.
    【详解】由已知得:,且,
    ∴当且仅当时等号成立.
    故选:B.
    7.(2021·福建·莆田一中高一期中)已知,,,则的最小值为(       )
    A.1 B. C. D.
    【答案】C
    【分析】由展开利用基本不等式可求解.
    【详解】因为,,,则,
    所以
    ,当且仅当等号成立,
    所以的最小值为.故选:C.
    8.(2022·陕西·长安一中高一阶段练习)已知都是正数,且,则的最小值为(       )
    A. B.2 C. D.3
    【答案】C
    【分析】利用基本不等式中“1”的妙用,令,即可求解.
    【详解】由题意知,,,


    当且仅当时,取最小值.
    故选:C.
    9.(2022·山东·薛城区教育局教学研究室高一期末)已知,且,则的最小值为(       )
    A.3 B.4 C.6 D.9
    【答案】A
    【解析】将变形为,再将变形为,整理后利用基本不等式可求最小值.
    【详解】因为,故,
    故,
    当且仅当时等号成立,故的最小值为3.故选:A.
    10.(2021·全国·高一专题练习)已知,则的最大值为(       )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    【答案】C
    【分析】根据题意可得,从而可求得答案.
    【详解】解:因为,所以,
    即,则,
    所以,又,所以,所以最大为3.
    故选:C.
    11.(2021·全国·高一期中)已知,,且,则的最小值为(       )
    A. B. C.4 D.6
    【答案】C
    【分析】由基本不等式得出关于的不等式,解之可得.
    【详解】因为,
    所以,当且仅当时取等号.
    ,解得或(舍去),
    所以,即的最小值.4.此时.
    故选:C.
    12.(2021·全国·高一专题练习)已知正数满足,则的最大值是(       )
    A. B. C.1 D.
    【答案】B
    【分析】根据已知等式把代数式进行变形为,再结合已知等式,利用基本不等式进行求解即可.
    【详解】,
    因为,所以,
    因此

    (当且仅当时取等号,即时取等号,即时取等号),
    所以.
    故选:B.
    13.(2022·贵州遵义·高一期末)负实数、满足,则的最小值为(       )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【分析】由已知可得,再利用基本不等式可求得的最小值.
    【详解】因为负实数、满足,则,可得,
    由基本不等式可得,
    当且仅当时,即当时,等号成立.
    故的最小值为.故选:A.
    14.(2022·全国·高一课时练习)已知正数x,y满足,则的最小值(       )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【分析】利用换元法和基本不等式即可求解.
    【详解】令,,则,
    即,

    ,当且仅当,即,时,等号成立,故选:A.
    15.(2022·全国·高一)设x,y,z为正实数,满足,则的最小值是(  )
    A.4 B.2 C. D.
    【答案】A
    【分析】由题设可得,根据已知应用基本不等式求其最小值即可.
    【详解】由题设,,∴,又x,y,z为正实数,则,
    ∴,当且仅当时等号成立.∴的最小值是4.故选:A

    培优第二阶——能力提升练
    1.(2021·广东·广州市真光中学高一期中),在处取最小值,则(       )
    A.1 B. C.3 D.9
    【答案】C
    【分析】利用基本不等式求解,注意“一正二定三相等”,求出的值
    【详解】∵
    ∴有基本不等式得:,当且仅当,即时,等号成立
    故选:C
    2.(2021·天津·油田三中高一阶段练习)函数y=3x2+的最小值是(       )
    A.3-3 B.3
    C.6 D.6-3
    【答案】D
    【分析】利用基本不等式即可求解.
    【详解】,
    当且仅当时等号成立.故选:.
    3.(2021·全国·高一课时练习)已知m,n∈R,m2+n2=100,则mn的最大值是(       )
    A.25 B.50 C.20 D.
    【答案】B
    【分析】利用不等式m2+n2≥2mn,可求得结果.
    【详解】由m2+n2≥2mn,得 mn≤=50,
    当且仅当m=n=±时等号成立.
    所以mn的最大值是.
    故选:B
    4.(2020·广东·深圳市南山外国语学校(集团)高一期中)已知正数,满足,则的最小值是(       )
    A.10 B.20 C.15 D.25
    【答案】B
    【解析】根据题中条件,由基本不等式,直接计算,即可得出结果.
    【详解】因为正数,满足,
    所以,
    当且仅当,即时,等号成立.
    故选:B.
    5.(2021·湖北黄石·高一期中)若,则函数的最小值为(       )
    A.4 B.5 C.7 D.9
    【答案】C
    【分析】利用基本不等式计算可得;
    【详解】解:因为,所以,所以

    当且仅当,即时取等号,所以函数的最小值为;故选:C
    6.(2021·浙江·高一单元测试)已知,.且,若恒成立,则实数的取值范围是(       )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】利用基本不等式可求的最小值,从而可求实数的取值范围.
    【详解】因为,故,
    当且仅当时等号成立,故的最小值为9,故,
    故选:D.
    7.(2021·河北正中实验中学高一期中)已知,且 ,则的最小值为(       )
    A.4 B.3 C.2 D.1
    【答案】C
    【分析】利用已知条件将化为积为定值的形式,再根据基本不等式可求出结果.
    【详解】

    当且仅当,即,又,所以时,等号成立.
    故选:C
    8.(2022·全国·高一单元测试)设,为正数,且,则的最小值为(       )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【分析】将拼凑为,利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.
    【详解】∵,
    ∴,即,

    ,当且仅当,且时,即
    ,时等号成立.故选:.
    9..(2021·全国·高一课时练习)若正数x,y满足x+4y-xy=0,则当x+y取得最小值时,x的值为(       )
    A.9 B.8 C.6 D.3
    【答案】C
    【分析】根据式子结构,利用基本不等式中“1的代换进行求解即可.”
    【详解】∵x>0,y>0,x+4y=xy,∴,
    ∴x+y=(x+y)=5+当且仅当x=2y时,等号成立,此时x=6,y=3.
    故选:C.
    10.(2022·内蒙古巴彦淖尔·高一期末)若,,且,则的最小值为(       )
    A.9 B.16 C.49 D.81
    【答案】D
    【分析】由基本不等式结合一元二次不等式的解法得出最小值.
    【详解】由题意得,得,解得,即,当且仅当时,等号成立.
    故选:D
    11.(2021·广东·执信中学高一期中)已知正实数,满足等式,若对任意满足条件的,,求的最小值(       )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【分析】利用基本不等式结合一元二次不等式即可.
    【详解】解:正实数,满足等式
    (当且仅当时取等号)令则
    或(舍弃)故选:.
    12.(2021·河南·濮阳一高高一阶段练习)已知两正实数a,b满足,则的最小值为(       )
    A.7 B. C. D.
    【答案】B
    【分析】利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值,注意等号成立条件.
    【详解】由题设,,
    ∴,当且仅当时等号成立.
    故答案为:B
    13.(2021·广东·华南师大附中高一期中)已知a>0,且a2-b+4=0,则(       )
    A.有最大值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最小值
    【答案】D
    【分析】根据,变形为,然后由可得,再利用基本不等式求最值.
    【详解】因为,所以,
    所以,
    当且仅当时取等号,∴ 有最小值故选:D.
    14.(2021·湖北黄石·高一阶段练习)实数a,b满足,,,则的最小值是(       )
    A.4 B.6 C. D.
    【答案】C
    【分析】令,,化简得到,结合基本不等式,即可求解.
    【详解】令,,则,,且,,,
    所以
    ,当且仅当即时等号成立.
    所以的最小值是,故选:C.
    15.(2022·全国·高一专题练习)若不等式对满足条件的恒成立,则实数k的最大值为(       )
    A.2 B.4
    C.6 D.8
    【答案】B
    【分析】根据已知及基本不等式可得,可求出实数k的最大值.
    【详解】解:根据   ,当且仅当时,取等号,
    化简可得,因为,所以,,
    所以运用,可得,当且仅当,即时,取等号,
    又因为恒成立,所以,即k的最大值是4


    培优第三阶——培优拔尖练
    1.(2022·重庆巫山·高一期末)已知命题,,若为假命题,则的取值范围为(     )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【分析】求得,结合基本不等式求得的取值范围.
    【详解】依题意可知,为真命题,
    由于时等号成立,
    所以.
    故选:D
    2..(2021·全国·高一专题练习)若关于的不等式对任意恒成立,则正实数的取值集合为(       )
    A.(-1,4] B.(0,4) C.(0,4] D.(1,4]
    【答案】C
    【分析】由题意可得对任意恒成立,由基本不等式可得最小值,再由一元二次不等式的解法,可得的取值集合.
    【详解】由题意可得对任意恒成立,
    由,可得,
    当且仅当即时,取得等号,则,解得.
    故选:C.
    3.(2022·全国·高一单元测试)设正实数,满足(其中为正常数),若的最大值为3,则(       )
    A.3 B. C. D.
    【答案】D
    【解析】由于,,为正数,且,所以利用基本不等式可求出结果
    【详解】解:因为正实数,满足(其中为正常数),
    所以,则,所以,所以故选:D.
    4.(2022·全国·高一课时练习)已知,则的最大值为(       )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【分析】利用基本不等式即可求解.
    【详解】,
    当且仅当,即时取等号.所以的最大值为.故选:C
    5.(2022·全国·高一课时练习)若不等式在区间上有解,则实数a的取值范围是(       )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【分析】运用换元法,构造新函数,利用新函数的最值进行求解即可.
    【详解】令,所以,
    设,,
    函数在时,函数单调递减,在时,函数单调递增,
    因为,,所以函数在时,最大值为,
    要想不等式在区间上有解,只需,
    故选:C
    6.(2021·江苏·泗阳县实验高级中学高一阶段练习)设自变量x对应的因变量为y,在满足对任意的x,不等式y≤M都成立的所有常数M中,将M的最小值叫做y的上确界.若a,b为正实数,且a+b=1,则--的上确界为(       )
    A.- B. C. D.-4
    【答案】A
    【分析】利用基本不等式即可求解.
    【详解】解析因为a,b为正实数,且a+b=1,所以+=×(a+b)
    =+≥+2=,当且仅当b=2a,即a=,b=时等号成立,
    因此有--≤-,即--的上确界为-.故选:A
    7.(2021·福建省龙岩第一中学高一期中)若,则的最小值为(       )
    A. B. C. D.4
    【答案】A
    【分析】由已知可得,化简后利用基本不等式可求得结果
    【详解】因为,所以,所以
    ,当且仅当,即时取等号,
    所以的最小值为,故选:A
    8.(2022·全国·高一专题练习)已知正实数满足,则的最小值为(       )
    A.6 B.8 C.10 D.12
    【答案】B
    【分析】令,用分别乘两边再用均值不等式求解即可.
    【详解】因为,且为正实数
    所以
    ,当且仅当即时等号成立.
    所以.
    故选:B.
    9.(2022·全国·高一课时练习)已知,条件,条件,则是的(       )
    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【分析】利用“1”的妙用探讨命题“若p则q”的真假,取特殊值计算说明“若q则p”的真假即可判断作答.
    【详解】因为,由得:,
    则,
    当且仅当,即时取等号,因此,,
    因,,由,取,则,,即,,
    所以是的充分不必要条件.
    故选:A
    10.(2021·江苏·高一单元测试)若正实数,满足,则的取值范围为(       )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【分析】对等式直接利用基本不等式,即可得到答案;
    【详解】,

    当且仅当,即等号成立,
    故选:B

    11..(2020·江苏省震泽中学高一阶段练习)若实数满足,则的取值范围是(       )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【分析】由,令,利用不等式的性质即可求得的范围.
    【详解】解:,又,,令,
    则,,即,当且仅当时,取等号,
    的取值范围是,.故选:A.
    12.(2021·全国·高一专题练习)若,且,则的最小值为(       )
    A.3 B. C. D.
    【答案】D
    【分析】利用给定条件确定,变形并借助均值不等式求解即得.
    【详解】因,且,则,即有,同理,
    由得:,
    于是得,
    当且仅当,即时取“=”,
    所以的最小值为.故选:D
    ·13.(2022·浙江浙江·高一期中)已知正数,满足,则的最小值为(       )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    【答案】B
    【分析】经转化可得,,条件均满足,即可得解.
    【详解】根据题意可得,由,所以,
    由,可得,即,

    当且仅当,时取等号,所以的最小值为.故选:B.
    14.(2021·全国·高一专题练习)已知实数,则的最小值是(       )
    A.6 B. C. D.
    【答案】D
    【分析】用换元法,设,化简后用基本不等式得最小值.
    【详解】因为,设,则,

    当且仅当且即,,时等号成立,
    故选:D.
    15.(2021·江苏·高一专题练习)已知,,,则 的最小值为(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【分析】利用 ,然后利用,将化为,再利用基本不等式求出其最小值,从而得到,再化为积为定值的形式后根据基本不等式可求出结果.
    【详解】因为,,,且,
    则 ,
    由,可得,
    当且仅当时,取得等号,
    则,当且仅当时,取得等号,则所求的最小值为.
    故选:D



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