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2023年黑龙江省大庆市中考数学试卷（含解析）
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这是一份2023年黑龙江省大庆市中考数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年黑龙江省大庆市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数2023的相反数是( )
A. 2023 B. −2023 C. 12023 D. −12023
2. 搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度.下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 大庆油田发现预测地质储量12.68亿吨的页岩油，这标志着我国页岩油勘探开发取得重大战略突破.数字1268000000用科学记数法表示为( )
A. 1.268×109 B. 1.268×108 C. 1.268×107 D. 1.268×106
4. 一个长方体被截去一部分后，得到的几何体如图水平放置，其俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知a+b>0，ab>0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是( )
A. (a,b)
B. (−a,b)
C. (−a,−b)
D. (a,−b)
6. 某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数、中位数、平均数分别为( )
A. 9，9，8.4 B. 9，9，8.6 C. 8，8，8.6 D. 9，8，8.4
7. 下列说法正确的是( )
A. 一个函数是一次函数就一定是正比例函数
B. 有一组对角相等的四边形一定是平行四边形
C. 两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等
D. 一组数据的方差一定大于标准差
8. 端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为( )
A. 20% B. 25% C. 75% D. 80%
9. 将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD=α，∠CBE=β，则β=( )
A. 45°+12α B. 45°+32α C. 90°−12α D. 90°−32α
10. 如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，已知点P在边AB上，以1m/s的速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以 3m/s的速度从点B向点C运动.若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处，此时两点都停止运动.图2是△BPQ的面积y(m2)与点P的运动时间t(s)之间的函数关系图象(点M为图象的最高点)，则平行四边形ABCD的面积为( )
A. 12m2 B. 12 3m2 C. 24m2 D. 24 3m2
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是______ (填“普查”或“抽样调查”)．
12. 一个圆锥的底面半径为5，高为12，则它的体积为______ ．
13. 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是______ ．
14. 若x满足(x−2)x+1=1，则整数x的值为______ ．
15. 新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科.某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为______ ．
16. 若关于x的不等式组3(x−1)>x−68−2x+2a≥0有三个整数解，则实数a的取值范围为______ ．
17. 1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，(a+b)7展开的多项式中各项系数之和为______ ．
18. 如图，在△ABC中，将AB绕点A顺时针旋转α至AB′，将AC绕点A逆时针旋转β至AC′(0°<α<180°,0°<β<180°)，得到△AB′C′，使∠BAC+∠B′AC′=180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形“，△AB′C′的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”.下列结论正确的有______ ．
①△ABC与△AB′C′面积相同；
②BC=2AD；
③若AB=AC，连接BB′和CC′，则∠B′BC+∠CC′B′=180°；
④若AB=AC，AB=4，BC=6，则B′C′=10．
三、解答题（本大题共10小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题4.0分)
计算：|1− 2|−2cos45°+(12)−1．
20. (本小题4.0分)
先化简，再求值：2xx+2−xx−2+4xx2−4，其中x=1．
21. (本小题5.0分)
为营造良好体育运动氛围，某学校用800元购买了一批足球，又用1560元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的2倍，但单价降了2元，请问该学校两批共购买了多少个足球？
22. (本小题6.0分)
某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A出发，途经点B后到达山顶P，其中AB=400米，BP=200米，且AB段的运行路线与水平方向的夹角为15°，BP段的运行路线与水平方向的夹角为30°，求垂直高度PC.(结果精确到1米，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268)
23. (本小题7.0分)
为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图.若我校共有1000名学生，请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次接受调查的学生人数为______ ，扇形统计图中的m= ______ ；
(2)求所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数；
(3)学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，请估计我校获“志愿者勋章”的学生人数．
24. (本小题7.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF=90°．
(1)求证：四边形ACFD是矩形；
(2)若CD=13，CF=5，求四边形ABCE的面积．
25. (本小题7.0分)
一次函数y=−x+m与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，点A的坐标为(1,2)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△OAB的面积；
(3)过动点T(t,0)作x轴的垂线l，l与一次函数y=−x+m和反比例函数y=kx的图象分别交于M，N两点，当M在N的上方时，请直接写出t的取值范围．
26. (本小题8.0分)
某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC，AF：BF=3：4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE//IJ//MN//CD，制造窗户框的材料总长为16米(图中所有黑线的长度和)，设BF=x米，BE=y米．
(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当x为多少时，窗户透过的光线最多(窗户的面积最大)，并计算窗户的最大面积．
27. (本小题9.0分)
如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H，延长AB，DC交于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求证：AF⋅AC=AE⋅AH；
(3)若sin∠DEA=45，求AHFH的值．
28. (本小题9.0分)
如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，且自变量x的部分取值与对应函数值y如下表：
x
…
−1
0
1
2
3
4
…
y
…
0
−3
−4
−3
0
5
…
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
(2)若将线段AB向下平移，得到的线段与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于P，Q两点(P在Q左边)，R为二次函数y=ax2+bx+c的图象上的一点，当点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m+ 2时，求tan∠RPQ的值；
(3)若将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数y=1t(ax2+bx+c)的图象只有一个交点，其中t为常数，请直接写出t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意得，
实数2023的相反数是−2023，
故选：B．
运用知识点：实数a的相反数是−a进行求解．
此题考查了实数相反数的求解能力，关键是能准确理解并运用相反数的定义进行求解．
2.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】A
【解析】解：1268000000=1.268×109．
故选：A．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法—表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4.【答案】A
【解析】解：从上面看，是一个矩形．
故选：A．
找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5.【答案】D
【解析】解：∵a+b>0，ab>0，
∴以a>0，b>0，
A、(a,b)在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
B、(−a,b)在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
C、(−a,−b)在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
D、(a,−b)在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项符合题意．
故选：D．
因为ab>0，所以a、b同号，又a+b>0，所以a>0，b>0，观察图形判断出小手盖住的点在第四象限，然后解答即可．
本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
6.【答案】B
【解析】解：该同学五项评价得分从小到大排列分别为7，8，9，9，10，
出现次数最多的数是9，所以众数为9，
位于中间位置的数是8，所以中位数是9，
平均数为15×(7+8+9+9+10)=8.6
故选：B．
利用众数、中位数及平均数的定义写出答案即可．
本题考查了统计的知识，掌握众数、中位数及平均数的定义是关键．
7.【答案】C
【解析】解：A、一个函数是一次函数不一定是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、有两组对角相等的四边形一定是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等，故本选项符合题意；
D、一组数据的方差不一定大于这组数据的标准差，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据正比例函数的定义、平行四边形的判定、直角三角形全等的判定、标准差的概念对各选项进行判断，选出正确答案即可．
本题考查了正比例函数的定义、平行四边形的判定、直角三角形全等的判定、标准差的概念等知识点，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握各知识点的概念．
8.【答案】A
【解析】解：设成本为m，标价为(1+25%)m，
设降价幅度为x，
∴粽子降价出售的售价为：(1+25%)m(1−x)，
为了不亏本，即售价大于等于成本，
(1+25%)m(1−x)≥m，
解得x≤20%，
故选：A．
设降价幅度为x，降价后的价格大于等于成本列式．
本题考查销售问题，解题的关键是商品的售价表示方法与成本间的比较．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD和四边形BGHF是完全相同的菱形，
∴∠DBE=∠BAD=α，AB=AD，∠ABD=∠CBD=∠CBE+∠DBE=β+α，
∴∠ADB=∠ABD=β+α，
∵∠BAD+∠ADB+∠ABD=180°，
∴α+β+α+β+α=180°，
∴β=90°−32α，
故选：D．
由菱形的性质得∠DBE=∠BAD=α，AB=AD，∠ABD=∠CBD=β+α，再由等腰三角形的性质得∠ADB=∠ABD=β+α，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理得知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由题意可知：AB：BC=1： 3，设AB=a，则BC= 3a，
如图，过点P作PE垂直于CB的延长线于点E，
∵PA=t，则PB=a−t，BQ= 3t，
在Rt△PBE中，∠PBE=180°−∠ABC=60°，
∴PE= 32(a−t)，
则y=12× 3t× 32(a−t)，化简得：y=−34t2+34at．
由二次函数图象可知，函数的顶点纵坐标为3，
∴0−(34a)24×(−34)=316a2=3，
∴a2=16，
∵a为正数，
∴a=4，
∴AB=4，则BC=4 3，
如图，过点A作AF垂直于CB的延长线于点F，
在Rt△ABF中，∠ABF=60°，
∴AF= 32×4=2 3，
∴S▱ABCD=BC×AF=2 3×4 3=24m2．
故答案为：C．
首先根据题意知道AB：BC=1： 3，设AB=a，则BC= 3a，从而可用a和t表示出△PBQ的面积，即为图2中二次函数的关系式；再根据图象可知顶点纵坐标为3，根据顶点公式可求出a的值，从而得到了AB和BC的值；最后再根据∠ABC=120°这一条件，求出平行四边形的高，从而得到面积．
本题属于运动综合题，将动点问题的函数图象与解三角形、图形面积结合起来考查．解题的关键是审清题意，找出平行四边形两邻边的关系，并通过设参数的形式列出动点的函数关系式，并对照函数图象上已知的顶点纵坐标求出平行四边形的边长，从而求出平行四边形面积．
11.【答案】抽样调查
【解析】解：调查某品牌护眼灯的使用寿命，具有破坏性，适合采用的调查方式是抽样调查．
故答案为：抽样调查．
根据全面调查与抽样调查的特点解答即可．
本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的意义是正确判断的关键．
12.【答案】100π
【解析】解：底面半径为5，高为12的圆锥的体积=13×52π×12=100π，
故答案为：100π．
根据圆锥的体积公式即可得到结论．
本题考查了圆锥的体积的计算，熟练掌握圆锥的体积公式是解题的关键．
13.【答案】△MCB
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，
∴∠DNM+∠DMN=90°，由折叠的性质可知，∠BMN=∠A=90°，
∴∠DMN+∠CBM=90°，
∴∠DNM=∠CMB，
∴△NDM∽△MCB，
故答案为：△MCB．
利用矩形的性质得到∠D=∠C=90°，然后利用折叠的性质推导出∠BMN=∠A=90°，进而得到∠DNM=∠CMB，由此推断出△NDM∽△MCB．
本题主要考查了相似三角形的判定、矩形的性质以及翻折变换(折叠问题)，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键：两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
14.【答案】−1或3或1
【解析】解：由题意得：
①x+1=0，
解得：x=−1；
②x−2=1，
解得：x=3；
③x−2=−1，x+1为偶数，
解得：x=1，
故答案为：−1或3或1．
根据零指数幂可得x+1=0，根据有理数的乘方可得x−2=1；x−2=−1，x+1为偶数，再解即可．
此题主要考查了零指数幂，以及有理数的乘方，关键是注意要分类讨论，不要漏解．
15.【答案】16
【解析】解：画树状图如图所示，
由图可知，共有12种等可能结果，其中该同学恰好选中地理和化学两科的有2种结果，
所以该同学恰好选中化学、生物两科的概率为212=16．
故答案为：16．
画树状图得出所有等可能结果，从中找到恰好选中地理和化学两科的结果数，再利用概率公式计算可得．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
16.【答案】−3≤a<−2
【解析】解：解不等式3(x−1)>x−6，得：x>−1.5，
解不等式8−2x+2a≥0，得：x≤a+4，
∵不等式组有三个整数解，
∴不等式组的整数解为−1，0、1，
则1≤a+4<2，
解得−3≤a<−2．
故答案为：−3≤a<−2．
首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组有三个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围．
本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
17.【答案】128
【解析】解：∵(a+b)0=1，系数之和是20=1；
(a+b)1=a+b，系数之和是21=2；
(a+b)2=a2+2ab+b2，系数之和是22；
……
(a+b)n，展开各项系数之和是2n．
∴(a+b)7展开各项的系数之和为27=128．
故答案为：128．
根据图示可得出一般规律，利用规律计算即可．
本题考查了完全平方公式的延伸应用，属于规律性探究题型，从特殊到一般规律的推出是数学探究的常用方法．
18.【答案】①②③
【解析】证明：延长AD至E，使DE=AD，连接B′E，C′E，
∵AD是中线，
∴B′D=C′D，
∴四边形AC′EB′是平行四边形，
∴B′E//AC′，B′E=AC′，S△B′C′A=12S▱B′EC′A=S△AB′E，
∴∠B′AC′+∠AB′E=180°，
∵∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴∠BAC=∠AB′E，
∵将AB绕点A顺时针旋转α至AB′，将AC绕点A逆时针旋转β至AC′，
∴AB=AB′，AC=AC′=B′E，
在△BAC和△AB′E中，
BA=AB′∠BAC=∠AB′ECA=B′E，
∴△BAC≌△AB′E(SAS)，
∴BC=AE，S△ABC=S△AB′E，
∴S△ABC=S△B′C′A，故①正确；
∵AE=2AD，
∴BC=2AD，故②正确；
∵AB=AC，
∴AB′=AC′=AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，∠ABB′=∠AB′B，∠ACC′=∠AC′C，∠AB′C′=∠AC′B′，
∵∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴α+β=180°，∠B′C′A+∠ABC=90°，
∴∠ABB′+∠AC′C=90°，
∴∠B′BC+∠CC′B′=180°；故③正确；
∵BC=6，
∴AD=3，
∵AB′=AC′=AB=AC=4，
∴平行四边形AC′EB′是菱形，
∴B′C′⊥AE，B′D=C′D，
∴B′D= B′A2−AD2= 16−9= 7，
∴B′C′=2 7，故④错误，
故答案为：①②③．
由“SAS”可证△BAC≌△AB′E，可得BC=AE，S△ABC=S△AB′E，可求S△ABC=S△B′C′A，BC=2AD，故①②正确；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠B′BC+∠CC′B′=180°；故③正确；通过证明平行四边形AC′EB′是菱形，可得B′C′⊥AE，B′D=C′D，由勾股定理可求B′C′的长，即可判断④，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
19.【答案】解：|1− 2|−2cos45°+(12)−1
= 2−1−2× 22+2
= 2−1− 2+2
=1．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题是关键．
20.【答案】解：原式=2x(x−2)(x+2)(x−2)−x(x+2)(x+2)(x−2)+4x(x+2)(x−2)
=2x2−4x−x2−2x+4x(x+2)(x−2)
=x2−2x(x+2)(x−2)
=x(x−2)(x+2)(x−2)
=xx+2，
当x=1时，原式=11+2=13．
【解析】先通分，再计算加减，再把x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21.【答案】解：设第一批足球单价为x元，则第二批足球的单价为(x−2)元，
由题意得：800x×2=1560x−2，
解得：x=80，
经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，
则x−2=78，
80080+156078=30，
答：该学校两批共购买了30个足球．
【解析】设第一批足球单价为x元，则第二批足球的单价为(x−2)元，根据学校用800元购买了一批足球，又用1560元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的2倍列方程即可得结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】解：过点B作BD⊥PC，垂足为D，过点B作BE⊥AC，垂足为E，
由题意得：CD=BE，
在Rt△ABE中，∠A=15°，AB=400米，
∴BE=AB⋅sin15°≈400×0.259=103.6(米)，
∴CD=BE=103.6米，
在Rt△BDP中，∠PBD=30°，BP=200米，
∴DP=12BP=100(米)，
∴PC=PD+DC≈204(米)，
∴垂直高度PC约为204米．
【解析】过点B作BD⊥PC，垂足为D，过点B作BE⊥AC，垂足为E，根据题意可得：CD=BE，然后分别在Rt△ABE和Rt△BDP中，利用锐角三角函数的定义求出BE和DP的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】40 25
【解析】解：(1)4÷10%=40(人)，
10÷40×100%=25%，即m=25，
故答案为：40，25；
(2)5×4+6×8+7×15+8×10+9×340=7(次)，
故所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数为7次；
(3)1000×(37.5+25%+7.5%)=700(名)，
答：估计我校获“志愿者勋章”的学生人数大约有700名．
(1)由两个统计图可得样本参加志愿服务为5次的有4人，占调查人数的10%，由频率可求出调查人数，进而求出参加志愿服务为8次所占的百分比，得出m的值；
(2)根据加权平均数公式进行计算即可；
(3)用样本中的“参加志愿服务7次”的学生所占的百分比去估计全校1000名学生“参加志愿服务7次”所占的百分比，再根据频率进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE，
∵E为线段CD的中点，
∴DE=CE，
∴△ADE≌△FCE(AAS)，
∴AE=FE，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∵∠ACF=90°，
∴四边形ACFD是矩形；
(2)解：∵CD=13，CF=5，
∴BC=CF=5，
∵四边形ACFD是矩形，
∴∠CFD=90°，AC=DF，
∴DF= CD2−CF2= 132−52=12，
∵△ADE≌△FCE，
∴四边形ABCE的面积=平行四边形ABCD=BF⋅AC=10×12=120．
【解析】(1)证明△ADE≌△FCE(AAS)，得AE=FE，所以四边形ACFD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题；
(2)根据矩形的性质和勾股定理求出DF的值，由△ADE≌△FCE，可得四边形ABCE的面积=平行四边形ABCD，进而可以解决问题．
本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
25.【答案】解：(1)∵一次函数y=−x+m与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，点A的坐标为(1,2)，
∴2=−1+m，2=k1，
∴m=3，k=2，
∴一次函数表达式为y=−x+3，反比例函数的表达式为y=2x；
(2)由y=−x+3y=2x，解得x=1y=2或x=2y=1，
∴B(2,1)，
设一次函数y=−x+3与x轴的交点为C，则C(3,0)，
∴S△AOB=S△AOC−S△BOC=12×3×2−12×3×1=32；
(3)观察图象，当M在N的上方时，t的取值范围是t<0或1
(2)解析式联立，解方程组求得点B的坐标，利用S△AOB=S△AOC−S△BOC求得即可；
(3)根据图象即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵△ABC是等腰三角形，F是BC的中点，
∴BF=CF，AF⊥BC，AB=AC，
∵BF=x米，
∴CF=x米，BC=2BF=2x米，
∵AF：BF=3：4，
∴AF=34x米，
在Rt△AFB中，由勾股定理得AB= AF2+BF2= (34x)2+x2=54x米，
∴AC=AB=54x米，
∵点G、H分别是边AB、AC的中点，∠AFB=∠AFC=90°，
∴FG=12AB=58x米，FH=12AC=58x米，
∵四边形BCDE是矩形，
∴ED=BC=2x米，BE=CD=y米，
∵BE//IJ//MN//CD，
∴BE=IJ=MN=CD=y米，
∵制造窗户框的材料总长为16米，
∴AB+AC+FG+FH+AF+BC+ED+BE+IJ+MN+CD=16米，
∴54x+54x+58x+58x+34x+2x+2x+4y=16，
整理得y=−178x+4；
由题意得x>0−178x+4>0，
解得0
设窗户的面积为W平方米，
则W=S△ABC+S矩形BCDE
=34x2−174x2+8x
=−72x2+8x
=−72(x−87)2+327，
∵−72<0，
∴W有最大值，
当x=87米时，W最大，最大值为327平方米．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质求出CF的长，即可求出BC的长，根据AF：BF=3：4即可求出AF的长，再根据勾股定理求出AB的长，AC的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出FG、FH的长，根据矩形的性质求出ED=BC=2x米，BE=IJ=MN=CD=y米，最后根据制造窗户框的材料总长为16米列出方程即可得到y与x之间的函数关系式；
(2)根据窗户的面积等于△ABC的面积加上矩形BCDE的面积计算，再根据配方法求二次函数的顶点坐标即可．
本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，二次函数的应用，根据材料总长用含x的式子表示y，从而运用函数性质求最大值是解题的关键．
27.【答案】(1)证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠EAC，
∵∠OCA=∠EAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC//AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥AD，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠EAC，
又∵CD⊥AD，FG⊥AB，
∴∠AGF=∠D=90°，
∴∠AFG+∠DAG=90°，∠E+∠DAE=90°，
∴∠AFG=∠DEA，
∴△AHF∽△ACE，
∴AHAC=AFAE，
即AF⋅AC=AE⋅AH；
(3)过H作HM⊥AD，如图：
由(2)知∠AFG=∠DEA，
∴sin∠DEA=45=sin∠ADG=AGAD，
设AG=5x，AD=4x，则DG=3x，
∵AC平分∠DAB，
∴MH=GH，AG=AM=3x，
∴MF=x，
设GH=MH=a，
∴tan∠AFG=AGGF=MHMF，
∴4x3x=ax，
∴a=43x，
∴FH=3x−43x=83x，
AH= AG2+GH2= (4x)2+(43x)2=4 103x，
∴AHFH=4 103x83x= 102．
【解析】(1)连接OC，证明OC//AD即可得证；
(2)证明△AHF∽△ACE即可得证；
(3)过H作HM⊥AD，由∠DEA=∠ADG可得sin∠DEA=45=sin∠ADG，设AG=5x，AD=4x，则DG=3x，AM=3x，MF=x，由角平分线的性质可得MH=GH，设GH=MH=a，则MF=再说明△MHF∽△GAF，从而得出对边成比例即可表示出a=43x，从而可表示出FH，再由勾股定理表示出AH即可解答．
本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，正确作出辅助线是解题关键．
28.【答案】解：(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(−1,0)，B(3,0)，(0,−3)三个点，
∴a−b+c=09a+3b+c=0c=−3，
∴a=1b=−2c=−3，
∴二次函数的表达式为：y=x2−2x−3．
(2)过R作RT⊥PQ，垂足为T，
∵点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m+ 2，
∴QT= 2，
∵二次函数y=x2−2x−3的对称轴为直线x=1，
∴点P，Q关于直线x=1对称，
∵Q到x=1的距离是m−1，
∴PQ=2(m−1)=2m−2，
∴PT=2m−2+ 2，
∵yR=(m+ 2)2−2(m+ 2)−3，yT=yQ=m2−2m−3，
∴RT=yR−yT=2 2m−2 2+2，
∴在Rt△RPT中，tan∠RPQ=RTPT=2 2 m−2 2+22m−2+ 2= 2．
(3)线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段设为A′B′，则A′(0,3)，B′(4,3)，
二次函数y=1t(x2−2x−3)与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，对称轴为直线x=1，二次函数y=1t(x2−2x−3)与二次函数y=(x2−2x−3)只是开口大小和方向发生了变化，并且|1t|越大，开口越小．若线段A′B′与二次函数y=1t(x2−2x−3)的图象只有一个交点，分以下三种情况：
①当t>0时，开口向上，如图，线段A′B′与二次函数y=1t(x2−2x−3)的图象只有一个交点，当抛物线经过B′(4,3)时开口最大，1t最小，t最大，把(4,3)代入y=1t(x2−2x−3)得t=53，
∴0
②当t<0时，开口向下，如图，线段A′B′与二次函数y=1t(x2−2x−3)的图象只有一个交点(1,3)，代入y=1t(x2−2x−3)得t=−43．
③当t<0时，开口向下，如图，线段A′B′与二次函数y=1t(x2−2x−3)的图象只有一个交点，当抛物线经过A′(0,3)时开口最大，|1t|最小，t最小，把(0,3)代入y=1t(x2−2x−3)得t=−1，
∴−1
综上，t的取值范围是：t=−43或−1
(2)构造直角三角形，把∠RPQ放在直角三角形中，用m表示tan∠RPQ的值并化简；
(3)二次函数y=1t(x2−2x−3)与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，对称轴为直线x=1，二次函数y=1t(x2−2x−3)与二次函数y=(x2−2x−3)只是开口大小和方向发生了变化，并且|1t|越大，开口越小，所以利用数形结合寻求线段与抛物线的交点问题．
本题考查了用待定系数法求二次函数表达式，解直角三角形，渗透了分类和数形结合的思想，对于第(3)问，关键是研究二次函数y=1t(x2−2x−3)的性质，找到分类标准．
2023年黑龙江省大庆市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数2023的相反数是( )
A. 2023 B. −2023 C. 12023 D. −12023
2. 搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度.下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 大庆油田发现预测地质储量12.68亿吨的页岩油，这标志着我国页岩油勘探开发取得重大战略突破.数字1268000000用科学记数法表示为( )
A. 1.268×109 B. 1.268×108 C. 1.268×107 D. 1.268×106
4. 一个长方体被截去一部分后，得到的几何体如图水平放置，其俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知a+b>0，ab>0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是( )
A. (a,b)
B. (−a,b)
C. (−a,−b)
D. (a,−b)
6. 某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数、中位数、平均数分别为( )
A. 9，9，8.4 B. 9，9，8.6 C. 8，8，8.6 D. 9，8，8.4
7. 下列说法正确的是( )
A. 一个函数是一次函数就一定是正比例函数
B. 有一组对角相等的四边形一定是平行四边形
C. 两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等
D. 一组数据的方差一定大于标准差
8. 端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为( )
A. 20% B. 25% C. 75% D. 80%
9. 将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD=α，∠CBE=β，则β=( )
A. 45°+12α B. 45°+32α C. 90°−12α D. 90°−32α
10. 如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，已知点P在边AB上，以1m/s的速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以 3m/s的速度从点B向点C运动.若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处，此时两点都停止运动.图2是△BPQ的面积y(m2)与点P的运动时间t(s)之间的函数关系图象(点M为图象的最高点)，则平行四边形ABCD的面积为( )
A. 12m2 B. 12 3m2 C. 24m2 D. 24 3m2
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是______ (填“普查”或“抽样调查”)．
12. 一个圆锥的底面半径为5，高为12，则它的体积为______ ．
13. 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是______ ．
14. 若x满足(x−2)x+1=1，则整数x的值为______ ．
15. 新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科.某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为______ ．
16. 若关于x的不等式组3(x−1)>x−68−2x+2a≥0有三个整数解，则实数a的取值范围为______ ．
17. 1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，(a+b)7展开的多项式中各项系数之和为______ ．
18. 如图，在△ABC中，将AB绕点A顺时针旋转α至AB′，将AC绕点A逆时针旋转β至AC′(0°<α<180°,0°<β<180°)，得到△AB′C′，使∠BAC+∠B′AC′=180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形“，△AB′C′的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”.下列结论正确的有______ ．
①△ABC与△AB′C′面积相同；
②BC=2AD；
③若AB=AC，连接BB′和CC′，则∠B′BC+∠CC′B′=180°；
④若AB=AC，AB=4，BC=6，则B′C′=10．
三、解答题（本大题共10小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题4.0分)
计算：|1− 2|−2cos45°+(12)−1．
20. (本小题4.0分)
先化简，再求值：2xx+2−xx−2+4xx2−4，其中x=1．
21. (本小题5.0分)
为营造良好体育运动氛围，某学校用800元购买了一批足球，又用1560元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的2倍，但单价降了2元，请问该学校两批共购买了多少个足球？
22. (本小题6.0分)
某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A出发，途经点B后到达山顶P，其中AB=400米，BP=200米，且AB段的运行路线与水平方向的夹角为15°，BP段的运行路线与水平方向的夹角为30°，求垂直高度PC.(结果精确到1米，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268)
23. (本小题7.0分)
为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图.若我校共有1000名学生，请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次接受调查的学生人数为______ ，扇形统计图中的m= ______ ；
(2)求所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数；
(3)学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，请估计我校获“志愿者勋章”的学生人数．
24. (本小题7.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF=90°．
(1)求证：四边形ACFD是矩形；
(2)若CD=13，CF=5，求四边形ABCE的面积．
25. (本小题7.0分)
一次函数y=−x+m与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，点A的坐标为(1,2)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△OAB的面积；
(3)过动点T(t,0)作x轴的垂线l，l与一次函数y=−x+m和反比例函数y=kx的图象分别交于M，N两点，当M在N的上方时，请直接写出t的取值范围．
26. (本小题8.0分)
某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC，AF：BF=3：4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE//IJ//MN//CD，制造窗户框的材料总长为16米(图中所有黑线的长度和)，设BF=x米，BE=y米．
(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当x为多少时，窗户透过的光线最多(窗户的面积最大)，并计算窗户的最大面积．
27. (本小题9.0分)
如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H，延长AB，DC交于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求证：AF⋅AC=AE⋅AH；
(3)若sin∠DEA=45，求AHFH的值．
28. (本小题9.0分)
如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，且自变量x的部分取值与对应函数值y如下表：
x
…
−1
0
1
2
3
4
…
y
…
0
−3
−4
−3
0
5
…
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
(2)若将线段AB向下平移，得到的线段与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于P，Q两点(P在Q左边)，R为二次函数y=ax2+bx+c的图象上的一点，当点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m+ 2时，求tan∠RPQ的值；
(3)若将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数y=1t(ax2+bx+c)的图象只有一个交点，其中t为常数，请直接写出t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意得，
实数2023的相反数是−2023，
故选：B．
运用知识点：实数a的相反数是−a进行求解．
此题考查了实数相反数的求解能力，关键是能准确理解并运用相反数的定义进行求解．
2.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】A
【解析】解：1268000000=1.268×109．
故选：A．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法—表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4.【答案】A
【解析】解：从上面看，是一个矩形．
故选：A．
找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5.【答案】D
【解析】解：∵a+b>0，ab>0，
∴以a>0，b>0，
A、(a,b)在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
B、(−a,b)在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
C、(−a,−b)在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
D、(a,−b)在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项符合题意．
故选：D．
因为ab>0，所以a、b同号，又a+b>0，所以a>0，b>0，观察图形判断出小手盖住的点在第四象限，然后解答即可．
本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
6.【答案】B
【解析】解：该同学五项评价得分从小到大排列分别为7，8，9，9，10，
出现次数最多的数是9，所以众数为9，
位于中间位置的数是8，所以中位数是9，
平均数为15×(7+8+9+9+10)=8.6
故选：B．
利用众数、中位数及平均数的定义写出答案即可．
本题考查了统计的知识，掌握众数、中位数及平均数的定义是关键．
7.【答案】C
【解析】解：A、一个函数是一次函数不一定是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、有两组对角相等的四边形一定是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等，故本选项符合题意；
D、一组数据的方差不一定大于这组数据的标准差，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据正比例函数的定义、平行四边形的判定、直角三角形全等的判定、标准差的概念对各选项进行判断，选出正确答案即可．
本题考查了正比例函数的定义、平行四边形的判定、直角三角形全等的判定、标准差的概念等知识点，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握各知识点的概念．
8.【答案】A
【解析】解：设成本为m，标价为(1+25%)m，
设降价幅度为x，
∴粽子降价出售的售价为：(1+25%)m(1−x)，
为了不亏本，即售价大于等于成本，
(1+25%)m(1−x)≥m，
解得x≤20%，
故选：A．
设降价幅度为x，降价后的价格大于等于成本列式．
本题考查销售问题，解题的关键是商品的售价表示方法与成本间的比较．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD和四边形BGHF是完全相同的菱形，
∴∠DBE=∠BAD=α，AB=AD，∠ABD=∠CBD=∠CBE+∠DBE=β+α，
∴∠ADB=∠ABD=β+α，
∵∠BAD+∠ADB+∠ABD=180°，
∴α+β+α+β+α=180°，
∴β=90°−32α，
故选：D．
由菱形的性质得∠DBE=∠BAD=α，AB=AD，∠ABD=∠CBD=β+α，再由等腰三角形的性质得∠ADB=∠ABD=β+α，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理得知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由题意可知：AB：BC=1： 3，设AB=a，则BC= 3a，
如图，过点P作PE垂直于CB的延长线于点E，
∵PA=t，则PB=a−t，BQ= 3t，
在Rt△PBE中，∠PBE=180°−∠ABC=60°，
∴PE= 32(a−t)，
则y=12× 3t× 32(a−t)，化简得：y=−34t2+34at．
由二次函数图象可知，函数的顶点纵坐标为3，
∴0−(34a)24×(−34)=316a2=3，
∴a2=16，
∵a为正数，
∴a=4，
∴AB=4，则BC=4 3，
如图，过点A作AF垂直于CB的延长线于点F，
在Rt△ABF中，∠ABF=60°，
∴AF= 32×4=2 3，
∴S▱ABCD=BC×AF=2 3×4 3=24m2．
故答案为：C．
首先根据题意知道AB：BC=1： 3，设AB=a，则BC= 3a，从而可用a和t表示出△PBQ的面积，即为图2中二次函数的关系式；再根据图象可知顶点纵坐标为3，根据顶点公式可求出a的值，从而得到了AB和BC的值；最后再根据∠ABC=120°这一条件，求出平行四边形的高，从而得到面积．
本题属于运动综合题，将动点问题的函数图象与解三角形、图形面积结合起来考查．解题的关键是审清题意，找出平行四边形两邻边的关系，并通过设参数的形式列出动点的函数关系式，并对照函数图象上已知的顶点纵坐标求出平行四边形的边长，从而求出平行四边形面积．
11.【答案】抽样调查
【解析】解：调查某品牌护眼灯的使用寿命，具有破坏性，适合采用的调查方式是抽样调查．
故答案为：抽样调查．
根据全面调查与抽样调查的特点解答即可．
本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的意义是正确判断的关键．
12.【答案】100π
【解析】解：底面半径为5，高为12的圆锥的体积=13×52π×12=100π，
故答案为：100π．
根据圆锥的体积公式即可得到结论．
本题考查了圆锥的体积的计算，熟练掌握圆锥的体积公式是解题的关键．
13.【答案】△MCB
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，
∴∠DNM+∠DMN=90°，由折叠的性质可知，∠BMN=∠A=90°，
∴∠DMN+∠CBM=90°，
∴∠DNM=∠CMB，
∴△NDM∽△MCB，
故答案为：△MCB．
利用矩形的性质得到∠D=∠C=90°，然后利用折叠的性质推导出∠BMN=∠A=90°，进而得到∠DNM=∠CMB，由此推断出△NDM∽△MCB．
本题主要考查了相似三角形的判定、矩形的性质以及翻折变换(折叠问题)，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键：两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
14.【答案】−1或3或1
【解析】解：由题意得：
①x+1=0，
解得：x=−1；
②x−2=1，
解得：x=3；
③x−2=−1，x+1为偶数，
解得：x=1，
故答案为：−1或3或1．
根据零指数幂可得x+1=0，根据有理数的乘方可得x−2=1；x−2=−1，x+1为偶数，再解即可．
此题主要考查了零指数幂，以及有理数的乘方，关键是注意要分类讨论，不要漏解．
15.【答案】16
【解析】解：画树状图如图所示，
由图可知，共有12种等可能结果，其中该同学恰好选中地理和化学两科的有2种结果，
所以该同学恰好选中化学、生物两科的概率为212=16．
故答案为：16．
画树状图得出所有等可能结果，从中找到恰好选中地理和化学两科的结果数，再利用概率公式计算可得．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
16.【答案】−3≤a<−2
【解析】解：解不等式3(x−1)>x−6，得：x>−1.5，
解不等式8−2x+2a≥0，得：x≤a+4，
∵不等式组有三个整数解，
∴不等式组的整数解为−1，0、1，
则1≤a+4<2，
解得−3≤a<−2．
故答案为：−3≤a<−2．
首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组有三个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围．
本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
17.【答案】128
【解析】解：∵(a+b)0=1，系数之和是20=1；
(a+b)1=a+b，系数之和是21=2；
(a+b)2=a2+2ab+b2，系数之和是22；
……
(a+b)n，展开各项系数之和是2n．
∴(a+b)7展开各项的系数之和为27=128．
故答案为：128．
根据图示可得出一般规律，利用规律计算即可．
本题考查了完全平方公式的延伸应用，属于规律性探究题型，从特殊到一般规律的推出是数学探究的常用方法．
18.【答案】①②③
【解析】证明：延长AD至E，使DE=AD，连接B′E，C′E，
∵AD是中线，
∴B′D=C′D，
∴四边形AC′EB′是平行四边形，
∴B′E//AC′，B′E=AC′，S△B′C′A=12S▱B′EC′A=S△AB′E，
∴∠B′AC′+∠AB′E=180°，
∵∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴∠BAC=∠AB′E，
∵将AB绕点A顺时针旋转α至AB′，将AC绕点A逆时针旋转β至AC′，
∴AB=AB′，AC=AC′=B′E，
在△BAC和△AB′E中，
BA=AB′∠BAC=∠AB′ECA=B′E，
∴△BAC≌△AB′E(SAS)，
∴BC=AE，S△ABC=S△AB′E，
∴S△ABC=S△B′C′A，故①正确；
∵AE=2AD，
∴BC=2AD，故②正确；
∵AB=AC，
∴AB′=AC′=AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，∠ABB′=∠AB′B，∠ACC′=∠AC′C，∠AB′C′=∠AC′B′，
∵∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴α+β=180°，∠B′C′A+∠ABC=90°，
∴∠ABB′+∠AC′C=90°，
∴∠B′BC+∠CC′B′=180°；故③正确；
∵BC=6，
∴AD=3，
∵AB′=AC′=AB=AC=4，
∴平行四边形AC′EB′是菱形，
∴B′C′⊥AE，B′D=C′D，
∴B′D= B′A2−AD2= 16−9= 7，
∴B′C′=2 7，故④错误，
故答案为：①②③．
由“SAS”可证△BAC≌△AB′E，可得BC=AE，S△ABC=S△AB′E，可求S△ABC=S△B′C′A，BC=2AD，故①②正确；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠B′BC+∠CC′B′=180°；故③正确；通过证明平行四边形AC′EB′是菱形，可得B′C′⊥AE，B′D=C′D，由勾股定理可求B′C′的长，即可判断④，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
19.【答案】解：|1− 2|−2cos45°+(12)−1
= 2−1−2× 22+2
= 2−1− 2+2
=1．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题是关键．
20.【答案】解：原式=2x(x−2)(x+2)(x−2)−x(x+2)(x+2)(x−2)+4x(x+2)(x−2)
=2x2−4x−x2−2x+4x(x+2)(x−2)
=x2−2x(x+2)(x−2)
=x(x−2)(x+2)(x−2)
=xx+2，
当x=1时，原式=11+2=13．
【解析】先通分，再计算加减，再把x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21.【答案】解：设第一批足球单价为x元，则第二批足球的单价为(x−2)元，
由题意得：800x×2=1560x−2，
解得：x=80，
经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，
则x−2=78，
80080+156078=30，
答：该学校两批共购买了30个足球．
【解析】设第一批足球单价为x元，则第二批足球的单价为(x−2)元，根据学校用800元购买了一批足球，又用1560元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的2倍列方程即可得结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】解：过点B作BD⊥PC，垂足为D，过点B作BE⊥AC，垂足为E，
由题意得：CD=BE，
在Rt△ABE中，∠A=15°，AB=400米，
∴BE=AB⋅sin15°≈400×0.259=103.6(米)，
∴CD=BE=103.6米，
在Rt△BDP中，∠PBD=30°，BP=200米，
∴DP=12BP=100(米)，
∴PC=PD+DC≈204(米)，
∴垂直高度PC约为204米．
【解析】过点B作BD⊥PC，垂足为D，过点B作BE⊥AC，垂足为E，根据题意可得：CD=BE，然后分别在Rt△ABE和Rt△BDP中，利用锐角三角函数的定义求出BE和DP的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】40 25
【解析】解：(1)4÷10%=40(人)，
10÷40×100%=25%，即m=25，
故答案为：40，25；
(2)5×4+6×8+7×15+8×10+9×340=7(次)，
故所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数为7次；
(3)1000×(37.5+25%+7.5%)=700(名)，
答：估计我校获“志愿者勋章”的学生人数大约有700名．
(1)由两个统计图可得样本参加志愿服务为5次的有4人，占调查人数的10%，由频率可求出调查人数，进而求出参加志愿服务为8次所占的百分比，得出m的值；
(2)根据加权平均数公式进行计算即可；
(3)用样本中的“参加志愿服务7次”的学生所占的百分比去估计全校1000名学生“参加志愿服务7次”所占的百分比，再根据频率进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE，
∵E为线段CD的中点，
∴DE=CE，
∴△ADE≌△FCE(AAS)，
∴AE=FE，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∵∠ACF=90°，
∴四边形ACFD是矩形；
(2)解：∵CD=13，CF=5，
∴BC=CF=5，
∵四边形ACFD是矩形，
∴∠CFD=90°，AC=DF，
∴DF= CD2−CF2= 132−52=12，
∵△ADE≌△FCE，
∴四边形ABCE的面积=平行四边形ABCD=BF⋅AC=10×12=120．
【解析】(1)证明△ADE≌△FCE(AAS)，得AE=FE，所以四边形ACFD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题；
(2)根据矩形的性质和勾股定理求出DF的值，由△ADE≌△FCE，可得四边形ABCE的面积=平行四边形ABCD，进而可以解决问题．
本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
25.【答案】解：(1)∵一次函数y=−x+m与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，点A的坐标为(1,2)，
∴2=−1+m，2=k1，
∴m=3，k=2，
∴一次函数表达式为y=−x+3，反比例函数的表达式为y=2x；
(2)由y=−x+3y=2x，解得x=1y=2或x=2y=1，
∴B(2,1)，
设一次函数y=−x+3与x轴的交点为C，则C(3,0)，
∴S△AOB=S△AOC−S△BOC=12×3×2−12×3×1=32；
(3)观察图象，当M在N的上方时，t的取值范围是t<0或1
(2)解析式联立，解方程组求得点B的坐标，利用S△AOB=S△AOC−S△BOC求得即可；
(3)根据图象即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵△ABC是等腰三角形，F是BC的中点，
∴BF=CF，AF⊥BC，AB=AC，
∵BF=x米，
∴CF=x米，BC=2BF=2x米，
∵AF：BF=3：4，
∴AF=34x米，
在Rt△AFB中，由勾股定理得AB= AF2+BF2= (34x)2+x2=54x米，
∴AC=AB=54x米，
∵点G、H分别是边AB、AC的中点，∠AFB=∠AFC=90°，
∴FG=12AB=58x米，FH=12AC=58x米，
∵四边形BCDE是矩形，
∴ED=BC=2x米，BE=CD=y米，
∵BE//IJ//MN//CD，
∴BE=IJ=MN=CD=y米，
∵制造窗户框的材料总长为16米，
∴AB+AC+FG+FH+AF+BC+ED+BE+IJ+MN+CD=16米，
∴54x+54x+58x+58x+34x+2x+2x+4y=16，
整理得y=−178x+4；
由题意得x>0−178x+4>0，
解得0
设窗户的面积为W平方米，
则W=S△ABC+S矩形BCDE
=34x2−174x2+8x
=−72x2+8x
=−72(x−87)2+327，
∵−72<0，
∴W有最大值，
当x=87米时，W最大，最大值为327平方米．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质求出CF的长，即可求出BC的长，根据AF：BF=3：4即可求出AF的长，再根据勾股定理求出AB的长，AC的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出FG、FH的长，根据矩形的性质求出ED=BC=2x米，BE=IJ=MN=CD=y米，最后根据制造窗户框的材料总长为16米列出方程即可得到y与x之间的函数关系式；
(2)根据窗户的面积等于△ABC的面积加上矩形BCDE的面积计算，再根据配方法求二次函数的顶点坐标即可．
本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，二次函数的应用，根据材料总长用含x的式子表示y，从而运用函数性质求最大值是解题的关键．
27.【答案】(1)证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠EAC，
∵∠OCA=∠EAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC//AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥AD，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠EAC，
又∵CD⊥AD，FG⊥AB，
∴∠AGF=∠D=90°，
∴∠AFG+∠DAG=90°，∠E+∠DAE=90°，
∴∠AFG=∠DEA，
∴△AHF∽△ACE，
∴AHAC=AFAE，
即AF⋅AC=AE⋅AH；
(3)过H作HM⊥AD，如图：
由(2)知∠AFG=∠DEA，
∴sin∠DEA=45=sin∠ADG=AGAD，
设AG=5x，AD=4x，则DG=3x，
∵AC平分∠DAB，
∴MH=GH，AG=AM=3x，
∴MF=x，
设GH=MH=a，
∴tan∠AFG=AGGF=MHMF，
∴4x3x=ax，
∴a=43x，
∴FH=3x−43x=83x，
AH= AG2+GH2= (4x)2+(43x)2=4 103x，
∴AHFH=4 103x83x= 102．
【解析】(1)连接OC，证明OC//AD即可得证；
(2)证明△AHF∽△ACE即可得证；
(3)过H作HM⊥AD，由∠DEA=∠ADG可得sin∠DEA=45=sin∠ADG，设AG=5x，AD=4x，则DG=3x，AM=3x，MF=x，由角平分线的性质可得MH=GH，设GH=MH=a，则MF=再说明△MHF∽△GAF，从而得出对边成比例即可表示出a=43x，从而可表示出FH，再由勾股定理表示出AH即可解答．
本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，正确作出辅助线是解题关键．
28.【答案】解：(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(−1,0)，B(3,0)，(0,−3)三个点，
∴a−b+c=09a+3b+c=0c=−3，
∴a=1b=−2c=−3，
∴二次函数的表达式为：y=x2−2x−3．
(2)过R作RT⊥PQ，垂足为T，
∵点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m+ 2，
∴QT= 2，
∵二次函数y=x2−2x−3的对称轴为直线x=1，
∴点P，Q关于直线x=1对称，
∵Q到x=1的距离是m−1，
∴PQ=2(m−1)=2m−2，
∴PT=2m−2+ 2，
∵yR=(m+ 2)2−2(m+ 2)−3，yT=yQ=m2−2m−3，
∴RT=yR−yT=2 2m−2 2+2，
∴在Rt△RPT中，tan∠RPQ=RTPT=2 2 m−2 2+22m−2+ 2= 2．
(3)线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段设为A′B′，则A′(0,3)，B′(4,3)，
二次函数y=1t(x2−2x−3)与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，对称轴为直线x=1，二次函数y=1t(x2−2x−3)与二次函数y=(x2−2x−3)只是开口大小和方向发生了变化，并且|1t|越大，开口越小．若线段A′B′与二次函数y=1t(x2−2x−3)的图象只有一个交点，分以下三种情况：
①当t>0时，开口向上，如图，线段A′B′与二次函数y=1t(x2−2x−3)的图象只有一个交点，当抛物线经过B′(4,3)时开口最大，1t最小，t最大，把(4,3)代入y=1t(x2−2x−3)得t=53，
∴0
②当t<0时，开口向下，如图，线段A′B′与二次函数y=1t(x2−2x−3)的图象只有一个交点(1,3)，代入y=1t(x2−2x−3)得t=−43．
③当t<0时，开口向下，如图，线段A′B′与二次函数y=1t(x2−2x−3)的图象只有一个交点，当抛物线经过A′(0,3)时开口最大，|1t|最小，t最小，把(0,3)代入y=1t(x2−2x−3)得t=−1，
∴−1
综上，t的取值范围是：t=−43或−1
(2)构造直角三角形，把∠RPQ放在直角三角形中，用m表示tan∠RPQ的值并化简；
(3)二次函数y=1t(x2−2x−3)与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，对称轴为直线x=1，二次函数y=1t(x2−2x−3)与二次函数y=(x2−2x−3)只是开口大小和方向发生了变化，并且|1t|越大，开口越小，所以利用数形结合寻求线段与抛物线的交点问题．
本题考查了用待定系数法求二次函数表达式，解直角三角形，渗透了分类和数形结合的思想，对于第(3)问，关键是研究二次函数y=1t(x2−2x−3)的性质，找到分类标准．
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