2022-2023学年内蒙古包头市重点中学高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

这是一份2022-2023学年内蒙古包头市重点中学高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年内蒙古包头市重点中学高二（下）期末数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知U=R，A={x|x2−4x+3≤0}，B={x||x−3|>1}，则A∪∁UB=(    )
A. {x|1≤x≤4} B. {x|2≤x≤3} C. {x|1≤x<2} D. {x|2 2. 复数53+4i的共轭复数是(    )
A. 35+45i B. 35−45i C. 3+4i D. 3−4i
3. 函数f(x)=alnx+x在x=1处取到极值，则a的值为(    )
A. 12 B. −1 C. 0 D. −12
4. 计算∫ 0π2cosxdx=(    )
A. −1 B. 1 C. π4 D. 0
5. 空间中，α，β，γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，则下列命题中正确的是(    )
A. 若α⊥β，l//α，则l⊥β B. 若α⊥β，l⊥β，则l//α
C. 若l⊥α，l//β，则α⊥β D. 若l//α，l//β，则α//β
6. 已知命题p:∃x∈R，sinx<1；命题q:∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是(    )
A. p∧q B. ¬p∧q C. p∧¬q D. ¬(p∨q)
7. 命题“∃x0∈(0,+∞)，lnx0=x0−1”的否定是(    )
A. ∃x0∈(0,+∞)，lnx0≠x0−1 B. ∃x0∉(0,+∞)，lnx0=x0−1
C. ∀x∈(0,+∞)，lnx≠x−1 D. ∀x∉(0,+∞)，lnx=x−1
8. 关于x的不等式mx2+2mx−1<0恒成立的一个充分不必要条件是(    )
A. −1 9. 设函数f(x)=xex，则(    )
A. x=1为f(x)的极大值点 B. x=1为f(x)的极小值点
C. x=−1为f(x)的极大值点 D. x=−1为f(x)的极小值点
10. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是(    )

A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
11. 从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，记“这个三角形是等腰三角形”为事件A，则下列推断正确的是(    )
A. 事件A发生的概率等于14 B. 事件A发生的概率等于15
C. 事件A是不可能事件 D. 事件A是必然事件
12. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则(    )


A. p1=p2 B. p1=p3 C. p2=p3 D. p1=p2+p3
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取          件．
14. 函数f(x)=2xx+2在区间[2,4]上的最小值为______．
15. 函数f(x)=ln(x2−2x−8)的单调递增区间是______．
16. (x−1x)9的展开式中x3的系数为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
甲乙丙三人进行兵兵球练习赛，约定练习赛规则如下：比赛前抽签决定先比赛的两个人，另一个人做裁判，每场比赛结束时，胜的一方在下一局与裁判进行比赛，负的一方在下一局做裁判，每局比赛的结果都相互独立，每场比赛双方获胜的概率都是12，第一局通过抽签确定甲先当裁判．
(1)求丙前4局都不做裁判的概率；
(2)求第3局甲当裁判的概率；
(3)记前4局乙当裁判的次数为X，求X的概率分布和数学期望．
18. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=ex−ax．
(1)求函数f(x)的单调性；
(2)当a>0时，记函数f(x)的最小值为g(a)，证明：g(a)≤1．
19. (本小题12.0分)
某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在某学院大一年级100名学生中进行了抽样调查，发现喜欢甜品的占70%.这100名学生中南方学生共80人，南方学生中有20人不喜欢甜品．
(1)完成下列2×2列联表：

喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
南方学生



北方学生



合计



(2)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
(3)已知在被调查的南方学生中有6名数学系的学生，其中2名不喜欢甜品；有5名物理系的学生，其中1名不喜欢甜品．现从这两个系的学生中，各随机抽取2人，记抽出的4人中不喜欢甜品的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
P(K2≥k0)
0.15
0.100
0.050
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

20. (本小题12.0分)
某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14.若各家庭回答是否正确互不影响．
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
21. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=ex−2x．
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)−a，x∈[−1,1]恰有2个零点，求实数a的取值范围．
22. (本小题12.0分)
某商场为了考查商场一个月的商品销售额y(单位：万元)与广告费支出x(单位：万元)之间的相关关系，绘制了如图散点图．

(1)由散点图求出y关于x的经验回归直线方程；
(2)统计表明，该商场的某款广告在平台发布后，其商品日销售额x(单位：万元)近似地服从正态分布(5,1.69)，商场对员工的奖励方案如下：若日销售额不超过2.4万元，没有奖励；若日销售额超过2.4万元但不超过6.3万元，则每人奖励200元；若日销售额超过6.3万元，则每人奖励500元，试求该商场每名员工单日获得奖金的数学期望．(答案精确到整数)
附：参考公式：经验回归直线方程=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2，a =y−−b x−，
若Z～N(μ,σ2)，则P(μ−σ 答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：因为A={x|1≤x≤3}，B={x|x>4或x<2}，
所以∁UB={x|2≤x≤4}，A∪(∁UB)={x|1≤x≤4}．
故选：A．
先化简集合A，B，再利用集合的补集和并集运算求解．
本题主要考查了集合的并集及补集运算，属于基础题．

2.【答案】A 
【解析】解：复数53+4i=5(3−4i)(3+4i)(3−4i)=15−20i25=35−45i，
∴复数53+4i的共轭复数是35+45i，
故选：A．
先求出复数53+4i的最简形式，格局复数的共轭复数的定义求出其共轭复数．
本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数，化简到最简形式后，
再求出其共轭复数．

3.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于基础题．
题目中条件：“函数f(x)=alnx+x在x=1处取到极值”，利用导数，
得导函数的零点是1，从而得以解决．
【解答】
解：∵f′(x)=ax+1，
∴f′1=a+1=0⇒a=−1，
经检验，当a=−1时，f′x=x−1x，
x=1为函数fx的极小值点，满足条件，
故选B．  
4.【答案】B 
【解析】解：∫ 0π2cosxdx=sinx|0π2=sinπ2−sin0=1．
故选：B．
根据微积分基本定理计算即可．
本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数，属于基础题．

5.【答案】C 
【解析】解：若α⊥β，l//α，则l与β可能平行也可能相交，故A错误；
若α⊥β，l⊥β，则l//α或l⊂α，故B错误；
若l//β，则存在直线m⊂β，使得l//m，
又由l⊥α可得m⊥α，故α⊥β，故C正确；
若l//α，l//β，则α与β可能平行也可能相交(此时交线与l平行)．
故选：C．
根据空间线面关系，线线关系，面面关系的定义，几何特征，性质及判定方法，逐一判断四个答案中的结论的真假，即可得到答案．
本题考查的知识点是空间直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系，面面关系，线线关系的定义，几何特征及性质和判定方法是解答的关键．

6.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
先分别判断命题p和命题q的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案．
【解答】
解：对于命题p：∃x∈R，sinx<1，
当x=0时，sinx=0<1，故命题p为真命题，￢p为假命题；
对于命题q：∀x∈R，e|x|≥1，
因为|x|≥0，又函数y=ex为单调递增函数，故e|x|≥e0=1，
故命题q为真命题，￢q为假命题，
所以p∧q为真命题，￢p∧q为假命题，p∧￢q为假命题，￢(p∨q)为假命题，
故选：A．  
7.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
【解答】
解：命题的否定是：∀x∈(0,+∞)，lnx≠x−1，
故选：C．  
8.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的解法、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
关于x的不等式mx2+2mx−1<0恒成立，m=0时，可得：−1<0，m≠0时，可得：m<0Δ=4m2+4m<0，解得m范围，再结合选项寻找充分不必要条件即可．
【解答】
解：关于x的不等式mx2+2mx−1<0恒成立，
m=0时，可得：−1<0，恒成立，
m≠0时，可得：m<0Δ=4m2+4m<0,
解得−1 综上可得：−1 ∴关于x的不等式mx2+2mx−1<0恒成立的一个充分不必要条件是−1 故选：A．  
9.【答案】D 
【解析】解：由于f(x)=xex，可得f′(x)=(x+1)ex，
令f′(x)=(x+1)ex=0可得x=−1
令f′(x)=(x+1)ex>0可得x>−1，即函数在(−1,+∞)上是增函数
令f′(x)=(x+1)ex<0可得x<−1，即函数在(−∞,−1)上是减函数
所以x=−1为f(x)的极小值点
故选：D．
由题意，可先求出f′(x)=(x+1)ex，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=−1为f(x)的极小值点
本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，

10.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了频率分布直方图的应用，属于中档题．
利用频率分布直方图中频率的求解方法，通过求解频率即可判断选项A，B，D，利用平均值的计算方法，即可判断选项C．
【解答】
解：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为(0.02+0.04)×1=0.06=6%，故选项A正确；
对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为(0.04+0.02×3)×1=0.1=10%，故选项B正确；
对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68>6.5万元，故选项C错误；
对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为(0.1+0.14+0.2+0.2)×1=0.64>0.5，
故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D正确．
故选：C．
  
11.【答案】D 
【解析】解：因为五边形是正五边形，
所以从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，都是等腰三角形，
则事件A是必然事件．
故选：D．
利用正五边形的几何性质结合必然事件的定义，即可得到答案．
本题考查了事件定义的理解，主要考查了必然事件的定义，正五边形几何性质的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．

12.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查与面积有关的几何概型，关键是求出对应的面积，属于中档题．
设BC=2a，AB=2c，AC=2b，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到答案．
【解答】
解：由题意，设BC=2a，AB=2c，AC=2b，△ABC为直角三角形，
∴a2=b2+c2，
∴SⅠ=12×4bc=2bc，SⅢ=12×πa2−2bc，
SⅡ=12×πc2+12×πb2−SⅢ
=12×πc2+12×πb2−12×πa2+2bc
=2bc，
∴SⅠ=SⅡ，∴p1=p2，
故选A．  
13.【答案】18 
【解析】
【分析】
本题考查了分层抽样，属于基础题．
由题意先求出抽样比例即为350，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．
【解答】
解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60件进行检验，
抽样比例为601000=350，
则应从丙种型号的产品中抽取300×350=18件．
故答案为18．
  
14.【答案】1 
【解析】解：∵f(x)=2xx+2=2(x+2)−4x+2=2−4x+2，
∴函数f(x)在[2,4]上单调递增，
则函数f(x)在区间[2,4]上的最小值为f(2)=2×22+2=1．
故答案为：1．
利用分离常数法把函数解析式变形，得到函数在区间[2,4]上的单调性，则最小值可求．
本题考查函数的最值及其几何意义，求形如y=cx+dax+b的函数的值域时，常用分离常数法，是基础题．

15.【答案】(4,+∞) 
【解析】
【分析】
本题主要考查复合函数单调区间的求解，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．
求出函数的定义域，结合复合函数单调性的性质进行求解即可．
【解答】
解：由x2−2x−8>0得x<−2或x>4，
设t=x2−2x−8，则y=lnt是增函数，
要求函数f(x)=ln(x2−2x−8)的单调递增区间，
等价为求函数t=x2−2x−8的递增区间，
∵t=x2−2x−8的递增区间为(4,+∞)，
则函数f(x)的递增区间为(4,+∞)，
故答案为(4,+∞)  
16.【答案】−84 
【解析】解：Tr+1=C9r(x)9−r(−1x)r═C9r(x)9−2r(−1)r，
令9−2r=3⇒r=3，
x3的系数为T4′=C93(−1)3=−84．
故答案为−84
利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得系数．
本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．

17.【答案】解：(1)当丙前三局全部取胜，即丙前4局都不做裁判，
∵每场比赛双方获胜的概率都是12，
∴丙前4局都不做裁判的概率为12×12×12=18．
(2)∵第二局中可能是乙当裁判，其概率为12，也可能是丙当裁判，其概率为12，
∴第三局甲当裁判的概率为12×12+12×12=12．
(3)由题意X的可能的取值为0，1，2，
P(X=0)=12×12×12=18，
P(X=1)=12×(12×12+12×12) +12×12+12×12×12=58，
P(X=2)=12×(12×12+12×12)=14，
∴EX=0×18+1×58+2×14=98． 
【解析】(1)当丙前三局全部取胜，即丙前4局都不做裁判，即可求解．
(2)第二局中可能是乙当裁判，其概率为12，也可能是丙当裁判，其概率为12，且第二局甲为负的一方，即可求解．
(3)根据已知条件，分别求出X=1，X=2，X=3的概率，并结合期望公式，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量的概率与期望，需要学生有分类思想，以及能熟练运用期望公式，属于中档题．

18.【答案】(1)解：由题知函数f(x)定义域为R，求导得f′(x)=ex−a，
①当a≤0时，f′(x)=ex−a>0恒成立，
所以f(x)在(−∞,+∞)上单调递增；
②当a>0时，当f′(x)=0时，解得x=lna，
所以f′(x)<0时，x0时，x>lna，
所以f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，
综上所述：a≤0时，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增；a>0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增．
(2)证明：由(1)得f(x)的最小值为g(a)=elna−alna=a−alna(a>0)，
设g(x)=x−xlnx，x>0，则g′(x)=−lnx，
令g′(x)=0，得x=1，
当g′(x)>0时，01，
所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
所以g(x)的最大值为g(1)=1−ln1=1，
所以g(a)≤1． 
【解析】(1)求导得f′(x)=ex−a，分别讨论a≤0和a>0两种情况下f′(x)的正负，可得f(x)的单调性．
(2)由(1)可得g(a)=a−alna(a>0)，令g(x)=x−xlnx，利用导数求得g(x)的单调性和最值，即可得证．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．

19.【答案】解：(1)完成2×2列联表如下：

喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
合计
70
30
100
(2)由题意，K2=100×(60×10−20×10)270×30×80×20≈4.762>3.841，
∴有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选甜品的饮食习惯方面有差异”．
(3)X的所有可能取值为0，1，2，3
，P(X=0)=C42C42C62C52=625，
P(X=1)=C42C41+C41C21C42C62C52=1225，
P(X=2)=C41C21C41+C22C42C62C52=1975，
P(X=3)=C22C41C62C52=275，
则X的分布列为
X
0
1
2
3
P
625
1225
1975
225
所以X的数学期望E(X)=0+1225+3875+675=1615． 
【解析】(1)由已知条件能完成2×2列联表．
(2)由题意，K2=100×(60×10−20×10)270×30×80×20≈4.762>3.841，从而有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选甜品的饮食习惯方面有差异”．
(3)X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

20.【答案】解：(1)设事件A表示“甲家庭回答正确这道题”，事件B表示“乙家庭回答正确这道题”，
事件C表示“丙家庭回答正确这道题”，
由题意得：P(A)=34[1−P(A)][1−P(C)]=112P(B)P(C)=14，
解得乙家庭回答正确这道题的概率P(B)=38，
丙家庭回答正确这道题的概率P(C)=23．
(2)甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率为：
P=P(ABC)+P(A−BC)+P(AB−C)+P(ABC−)
=34×38×23+14×38×23+34×58×23+34×38×13
=2132． 
【解析】(1)设事件A表示“甲家庭回答正确这道题”，事件B表示“乙家庭回答正确这道题”，事件C表示“丙家庭回答正确这道题”，利用相互独立事件概率乘法公式列出方程组，能求出结果．
(2)利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

21.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=ex−2，f′(0)=−1，f(0)=1．
故y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为：y=−x+1；
(Ⅱ)g(x)=ex−2x−a，g′(x)=ex−2，
由g′(x)=0，解得：x=ln2，
当−1≤x 当ln20，g(x)在(ln2,1]上单调递增，
故g(x)min=g(ln2)=2−2ln2−a，
又g(−1)=1e+2−a>g(1)=e−2−a，
结合题意得：g(1)≥0g(ln2)<0，
解得：2−2ln2 【解析】本题考查了利用导数求切线方程，利用导数研究函数的零点，是一道综合题．
(Ⅰ)求出函数的导数，计算f(0)，f′(0)，求出切线方程即可；
(Ⅱ)求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值和端点值，结合函数的零点个数列出关于a的不等式组，解出即可．

22.【答案】解：(1)∵x−=2+4+5+6+85=5，y−=30+40+60+50+705=50，
∴b =2×30+4×40+5×60+6×50+8×70−5×5×5022+42+52+62+82−5×52=6.5，
∴a =50−6.5×5=17.5，
∴线性回归方程是y =6.5x+17.5；
(2)由题意可得μ=5，σ=1.3，
∵P(5−2.6 ∴P(X≤2.4)=P(X≥7.6)=1−0.95452=0.02275，
P(X>2.4)=1−P(X≤2.4)=1−0.02275=0.97725，
∵P(5−1.3 ∴P(X>6.3)=P(X<3.7)=1−0.68272=0.15865，
∴P(2.4 设每位员工单日获得奖金为Y(元)，则Y的分布列为：
Y
0
200
500
P
0.02275
0.8186
0.15865
∴每位员工单日获得奖金的数学期望为：
E(Y)=0×0.02275+200×0.8186+500×0.15865=243.045≈243(元)． 
【解析】(1)计算出x−、y−的值，将数据代入最小二乘法公式，求出b 、a 的值，可得出y关于x的经验回归方程；
(2)分析可知X的可能取值有0、200、500，利用3σ原则计算出随机变量X在不同取值下的概率，可得出随机变量X的分布列，从而可求得E(X)的值．
本题考查线性回归直线方程的求解，正态分布，离散型随机变量的分布列、数学期望，属中档题．