山西省2023届高三数学适应性考试试题（Word版附解析）

这是一份山西省2023届高三数学适应性考试试题（Word版附解析），共25页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法求得集合，再根据交集定义求解.
【详解】由可得解得或，
所以或，
又因为，所以，
故选:B.
2. 若复数满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，根据题意可求得出a，根据求得b，即得答案.
【详解】设，由可得，
由得，即，故，
所以，
故选：A
3. 设向量，的夹角为，且，，则（ ）
A. B. 4 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先根据题意求出向量的数量积，再计算向量模的平方，最后得出结果.
【详解】因为，
所以，所以，
故选：.
4. 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数，则下列实数不属于函数值域的是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件求出，利用分段函数分段处理及函数值域的定义即可求解.
【详解】由题意可知
所以，，，而无解.
故选：C.
5. 除以5的余数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用二项式定理即可求解.
【详解】由题意可知，，
由此可知除以5的余数，即为除以的余数，故所求余数为.
故选：D.
6. 已知函数，集合中恰有3个元素，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角变换将函数转化为.集合只含有3个元素，表示时在上只有三解，求出的根，从而得出的范围.
【详解】因为函数，
所以，
因为集合含有个元素，
所以时在上只有三解，即，
解得：或，
故或，
要使其落在上，
故只有、、，其他值均不在内，
故，解得，故，
故选：D.
7. 一圆锥的高为4，该圆锥体积与其内切球体积之比为，则其内切球的半径是（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆锥体积与其内切球体积之比求得圆锥底面半径与内切球半径的关系，结合轴截面中三角形的相似，列出比例式，即可求得答案.
【详解】设圆锥体积为，底面半径为R，其内切球体积为，半径为r，
由题意可得,则①，

又∽可得，即，
两边平方得②，
将①代人②化简整理得，
则，
故选：B
8. 已知函数，，若存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，根据题意得到，记且，利用导数与函数的单调性即可求解.
【详解】设直线为曲线在点处的切线，，所以，即；
设直线为曲线在点处的切线，，
所以，即，
由题意知，因为，
由可得，将其代入可得：
，显然，整理得.
记且，则，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，则，即，
化简得，解得，
故选：.
【点睛】求曲线的切线问题主要分两大类：
一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点和斜率即可；
另一类切点未知，那么先要设出切点坐标，再考虑利用条件解出核心要素，进而转化成第一类问题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 是偶函数
B. 若命题“，”是假命题，则
C. 设，，则“，且”是“”的必要不充分条件
D. ，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断选项；根据特称命题的的真假判断选项；根据必要不充分条件的判断即可判断选项；根据等式的性质判断选项.
【详解】对于，函数的定义域为，且，所以函数为偶函数，故选项正确；
对于，若命题“，”是假命题，则恒成立，
所以，解得，故选项正确；
对于，若，且，则成立，反之不一定成立，例如：满足，但是，故“，且”是“”充分不必要条件，故选错误；
对于，若，则，当时方程有解，所以，，故选项正确；
故选：.
10. 树人中学班某科研小组，持续跟踪调查了他们班全体同学一学期中周锻炼身体的时长，经过整理得到男生、女生各周锻炼身体的平均时长（单位：）的数据如下：
男生：、、、、、、、、、、、、、、、；
女生：、、、、、、、、、、、、、、、.
以下判断中正确的是（ ）
A. 女生每周锻炼身体的平均时长的平均值等于
B. 男生每周锻炼身体平均时长的分位数是
C. 男生每周锻炼身体的平均时长大于的概率的估计值为
D. 与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长波动性比较大
【答案】BD
【解析】
【分析】根据平均数公式可判断A选项；利用百分位数的定义可判断B选项；利用频率估计概率可判断C选项；利用极差与男生、女生锻炼的平均时长的分布可判断D选项.
【详解】对于A选项，由平均数公式可知，
女生每周锻炼身体的平均时长的平均值等于
，A错；
对于B选项，因为，
因此，男生每周锻炼身体的平均时长的分位数是，B对；
对于C选项，男生每周锻炼身体的平均时长大于的有周，
所求概率为，C错；
对于D选项，男生每周锻炼身体的平均时长分布在区间内共有个，女生有个，
男生每周锻炼身体的平均时长分布在区间内的共个，女生为个，
男生每周锻炼身体的平均时长的极差为，女生为，
据此可知与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长波动性比较大，
所以，与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长波动性比较大，D对.
故选：BD.
11. 已知数列的前项和为，，下列结论正确的是（ ）
A. B. 为等差数列
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据数列递推式，令，求得，于是当时，可得，平方后即可判断A；结合以上分析可推出，判断B；由此可求得，继而求得，判断D；设，判断其单调性，可推出，结合，即可判断C.
【详解】当时，
当时，，
平方可得，，选项A正确；
则时， ，
所以,
故是首项为 ，公差为的等差数列，选项B正确；
则，
，
所以，选项D错误；
记，
则，
故，为递增数列，
所以，即， 选项C正确，
故选：ABC
【点睛】难点点睛：此题综合考查了数列的递推式、通项公式以及数列的单调性等，综合新较强，难点在于选项C的判断，解答时要巧妙设出，进而利用判断其单调性，由此即可判断结论正确与否.
12. 如图，双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点且斜率为的直线交双曲线的右支于、两点，且，则（ ）

A. 双曲线的离心率为
B. 与面积之比为
C. 与周长之比为
D. 与内切圆半径之比为
【答案】BD
【解析】
【分析】设设，则，则，，在和中由余弦定理可得，即可得离心率可判断A；将代入可得，进而可得与周长可判断C；由可得与面积之比可判断C；由三角形的面积等于乘以三角形的周长再乘半径结合周长之比可得内切圆的半径之比，可判断D，进而可得正确选项.
【详解】设，，
由双曲线的定义可得：，，
在中，由余弦定理可得：，
即，所以，
在中，由余弦定理可得：，
即，所以，
所以，，整理可得，
所以该双曲线的离心率为，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，因为，代入可得，
所以，，，
的周长为，
，，
所以，的周长为，
所以，和的周长之比为，C错；
对于D选项，设和的内切圆半径分别为、，
则，解得，D对.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 一个袋子里装有4个红球3个白球3个蓝球，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.则第一次摸到红球的概率是_______，第一次没有摸到红球且第二次摸到红球的概率是_______.
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】第一空，根据古典概型的概率公式即可求得答案；第二空，根据全概率公式结合条件概率的计算即可求得答案.
【详解】设表示“第i次摸到红球”，表示“第i次摸到白球”，表示“第i次摸到蓝球”，，
则第一次摸到红球概率为；
第一次没有摸到红球第二次摸到红球包括第一次摸到白球第二次摸到红球，和第一次摸到蓝球第二次摸到红球，
所以所求概率为 ，
故答案为：.
14. 为圆：上任意一点，且点到直线：和：的距离之和与点的位置无关，则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】作出图形，结合图形可知当圆位于直线与之间时即为所求，根据直线与圆相切时是临界值即可求解.
【详解】由图可知当圆位于两直线与之间时，

点到两直线和的距离之和即为与两平行直线间的距离，
即点到直线和的距离之和与点的位置无关，
当直线与圆相切时，，解得或（舍去），所以，
即的取值范围是，
故答案为：.
15. 如图，直三棱柱中，，，为线段上的一个动点，则的最小值是_______.

【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件及直棱柱的性质，结合直角三角形的性质及勾股定理即可求解.
【详解】将图中的和放置于同一平面内，如图所示，

则.
因为直三棱柱中，，，
所以中，.
同理，在中，,
所以
所以在图中，,
所以,即.
所以的最小值是.
故答案为：.
16. 已知函数，定义域均为，且，，，，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件及函数值的定义，结合函数的周期性即可求解.
【详解】由，得，
所以.
将代入，并整理得，
所以，
所以是以为周期的周期函数.
由可知，也是以为周期的周期函数，
所以.
由得，
又因为，
所以，解得，
所以.
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是根据已知条件求出函数，的周期，利用函数的周期性即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤.
17. 已知数列是正项等比数列，且，.
（1）求的通项公式；
（2）从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求数列的前项和.
①；②.
【答案】（1）
（2）选①，；选②，.
【解析】
【分析】（1）根据等比数列的性质可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求得数列的公比，进而可求得数列的通项公式；
（2）选①，利用错位相减法可求得；选②，利用裂项相消法求得.
【小问1详解】
解：由等比数列的性质可得，
由题意可得，解得，所以，等比数列的公比为，
所以，.
【小问2详解】
解：若选①，.
所以，，①
则，②
①②得
，
因此，；
若选②，，
所以，.
18. 如图，四边形中，，，，，.

（1）求的面积；
（2）求线段长度.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用三角形的内角的范围及三角形的面积公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及余弦定理，利用正弦定理及三角函数的诱导公式即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以，即.
因为为的内角，
所以.
又，
所以，
联立，得，，
所以的面积为.
【小问2详解】
由（1）知,，
由余弦定理，得.
设,由正弦定理,得，即，
所以.
在中，由余弦定理,得，
所以.
19. 某农科所对冬季大棚内的昼夜温差与某反季节大豆新品种发芽率之间的关系进行分析研究，记录了2023年1月1日至1月12日大棚内的昼夜温差与每天每100颗种子的发芽数，得到如下资料：
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
8日
9日
10日
11日
12日
温差/℃
10
11
13
12
8
10
9
11
13
10
12
9
发芽数/颗
21
24
28
28
15
22
17
22
30
18
27
18
；；；
已知发芽数与温差之间线性相关，该农科所确定的研究方案是：先从这12组数据中选取2组，用剩下的10组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.
（1）求选取的2组数据恰好是相邻2天的数据的概率；
（2）若选取的是1日与6日的两组数据，试根据除这两日之外的其他数据，求出关于的线性回归方程；（精确到1）
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2颗，则认为求得的线性回归方程是可靠的，试问：（2）中所得的线性回归方程是否可靠.
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【答案】（1）
（2）
（3）是可靠的
【解析】
【分析】（1）利用组合及组合数公式，结合古典概型的概率的计算公式即可求解；
（2）根据已知条件及参考数据，求出，进而即可求出回归方程；
（3）利用（2）的回归方程求出时的预报值，结合已知条件即可求解.
【小问1详解】
从组数据中任选组，选法数为;
选取的组数据恰好是相邻的天，选法数为；
所以所求概率为.
【小问2详解】
设剩下的组数据分别为.
;
，；
，；
所以
所以.
所以所求回归方程为.
【小问3详解】
当时，.
因为，
所以根据所给的研究方案，可以判断（2）中所得的线性回归方程是可靠的.
20. 如图①，在矩形中，，为的中点，如图②，沿将折起，点在线段上.

（1）若，求证：平面；
（2）若平面平面，是否存在点，使得平面与平面的夹角为90°？若存在，求此时三棱锥的体积；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在点，三棱锥的体积为.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件及平行线分线段成比例定理，结合线面平行的判定定理即可求解；
（2）根据（1）的结论及矩形的性质，利用面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，再利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解.
【小问1详解】
连接与交于点，连接,如图所示

由题意可得,
所以.
又因为,
所以,
所以.
因为平面平面,
所以平面.
【小问2详解】
由（1）知，当时，.
因为,
所以.
取的中点为,连接,如图所示

由已知得，在矩形中，为的中点，，是的中点，
所以,
因为平面平面，平面平面,平面,
所以平面.
由已知得，在矩形中,是的中点，
所以，
所以.
由已知得，在矩形中，为的中点，.
所以,
所以,
所以,即.
因为平面平面，平面平面,平面,
所以平面.
因为平面,
所以.
又因为,平面,平面,
所以平面.
因为平面,
所以平面平面，即当时，平面与平面的夹角为90°.
此时，.
21. 已知函数，，.
（1）判断的单调性；
（2）若有唯一零点，求取值范围.
【答案】（1）在上单调递增．
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，判断其正负，即可确定函数单调性.
（2）求出函数的导数，对a分类讨论，判断函数单调性，结合函数最值以及零点存在定理判断函数零点个数，综合即可求得答案.
【小问1详解】
定义域为 ,
记,
当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
故，
∴在上单调递增．
【小问2详解】
定义域为R，，
①当时，有唯一零点，符合题意；
②当时，，当时，在单调递减；
当时，在单调递增，
故，
若，则无零点，不符题意；
若，有唯一零点，符合题意；
若，则，又，
时，，，∴ ，
故在内各有一个零点，函数有两个零点，不符题意；
③当时，当时，
当时，
则在上单调递增，在上单调递减，
又，
时，令，令，
即在单调递增，故，
故在单调递增，则，
所以，故，则，
故此时在上有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
【点睛】方法点睛：解答本题第二问根据零点的个数求参数的范围时，综合性较强，计算量大，求出函数的导数后，对a分类讨论，判断函数的单调性，结合导数知识以及零点存在定理，判断零点个数，即可解决问题.
22. 已知椭圆：，设过点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，点为直线上不同于点A的任意一点.

（1）若，求的取值范围；
（2）若，记直线，，的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，（其中，使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2），，或成等差数列,证明见解析.
【解析】
【分析】（1）设点，表示出，结合可得，结合可得不等式，即可求得答案；
（2）判断出结论，加以证明；考虑直线l的斜率为0和不为0两种情况；当直线l斜率不为0时，设直线，联立方程，可得根与系数的关系，利用结合根与系数关系式化简，即可证明结论.
【小问1详解】
设点，其中且，
则 ，
由，得，
，，
只需，又，故,
所以b的取值范围是.
【小问2详解】
，，或成等差数列,证明如下：
若，则，设点.
①若直线l斜率为0，则点，不妨令点，
则，此时的任意排列，，均不成等比数列，
，，或成等差数列.
②直线l斜率不为0，设直线,
则点，
由得，，
故，
因为，
所以

，
所以，，或成等差数列，
综合上述，，，或成等差数列.
【点睛】难点点睛：本题第二问与数列进行了综合，形式比较新颖，有一定难度，难点在于判断出结论，进而证明，证明时结合直线方程联立椭圆方程，利用根与系数的关系结合进行化简，计算量较大，因而要注意计算的准确性.