高中数学上教版 (2020)选修第一册3 直线的一般式方程精品教学ppt课件

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02直线的一般式方程的应用
1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化3.能运用直线的一般式方程解决有关问题
思考 上述四种直线方程都是一个怎样的方程？能否写成统一的形式？
不含与x, y轴垂直的直线
不含过原点和与x, y轴垂直的直线
都是关于x, y的二元一次方程
思考 (1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x, y的二元一次方程表示吗? (2)任意一个关于x, y的二元一次方程都表示一条直线吗?
因此, 在平面直角坐标系中, 对于任何一条直线, 其方程都可以表示成形如Ax+By+C=0的的二元一次方程.
先看问题(1), 在平面直角坐标系中, 每一条直线都有倾斜角.
即 kx-y+b=0.
这是关于x,y二元一次方程, 若设A=k, B =-1, C=b, 则方程形式可写成
当α≠90°时, 直线方程可写成 y=kx+b,
当α=90°时, 直线方程可写成 x=x1, 即x-x1=0.
这也是关于x,y二元一次方程, 若设A=1, B =0, C=-x1, 则方程形式也可写成
由上可知, 关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0都表示一条直线.
对于问题(2), 任意一个二元一次方程Ax+By+C=0 (A, B不同时为0), 如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示条直线.
当B ≠ 0时, 方程Ax+By+C=0可变形为
当B=0时, A≠0, 方程Ax+By+C=0可变形为
我们把关于x, y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A, B不同时为0)叫做直线的一般式方程, 简称一般式.
关于x和y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同时为0)叫做直线的 ，简称一般式.
思考　平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？答案　都可以，原因如下：(1)若直线的斜率k存在.直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程.(2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.
y－y0＝k(x－x0)
x1≠x2，y1≠y2
与坐标轴平行及过原点的直线
思考　当A＝0或B＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？
直线各种形式方程的互化
例1　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(2)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(3)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1；
(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴.
求直线一般式方程的策略在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式.
例2　设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；
解　由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，
(2)已知直线l的斜率为1，求m的值.
由直线l化为斜截式方程
得m＝－2或m＝－1(舍去).∴m＝－2.
含参直线方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.(2)令x＝0可得在y轴上的截距.令y＝0可得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式.(3)解分式方程要注意验根.
一般地，与直线上任意一个向量都垂直的非零向量叫做该直线的法向量．
它是一个几何意义明确、没有任何附加限制条件的直线方程．只要令 直线的点法式方程⑤就化归为一般式方程④了．对比方程④与⑤，我们得出了直线的一般式方程一次项系数的几何意义：
例3.在平面直角坐标系中，根据所给直线方程，作出相应图形，并求出该直线的斜率和在y轴上的截距．
A.30° B.60° C.150° D.120°
3.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为A.A≠0 B.B≠0C.A·B≠0 D.A2＋B2≠0
解析　方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.
4.已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有直线都恒过点A.(0,0) B.(0,1) C.(3,1) D.(2,1)
解析　kx－y＋1－3k＝0可化为y－1＝k(x－3)，所以直线过定点(3,1).
5.若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是____.