2023年湖北武汉华中科技大学附属中学高二上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份2023年湖北武汉华中科技大学附属中学高二上学期9月月考数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

华科附中2022-2023学年上学期9月月考高二数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 的虚部为 B. 的共轭复数为
C. 对应的点在第二象限 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件及复数的除法法则，再利用复数的概念及共轭复数，结合复数的几何意义及复数的摸公式即可求解.
【详解】由，得，
对于A，复数的虚部为，故A不正确；
对于B，复数共轭复数为，故B 不正确；
对于C，复数对应的点为，所以复数对应的点在第二象限，故C正确；
对于D，，故D不正确.
故选：C.
2. 在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量共面定理，，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是，由此可判断出答案.
【详解】根据向量共面定理，，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是，
由此可得A，B，D不正确，
选项C：，所以四点共面，
故选：C.
3. 已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可
【详解】因为，
所以，
因为平面的法向量，
所以点到平面的距离.
故选：B
【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题
4. 已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得是“平面ABC”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用存在实数x，y，使得平面ABC或平面ABC，结合充分必要条件的定义即可求解.
【详解】若平面ABC，则共面，故存在实数x，y，使得，所以必要性成立；

若存在实数x，y，使得，则共面，则平面ABC或平面ABC，所以充分性不成立；
所以 “存在实数x，y，使得是“平面ABC”的必要不充分条件，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x，y，使得平面ABC或平面ABC是解题的关键，属于基础题.
5. 在中，角的对边分别为，且，则的面积为（）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理将边化为角，求得，然后利用余弦定理求得，代入三角形面积公式即可.
【详解】因为，由正弦定理，
因为，所以，因为，所以，根据余弦定理得，得或，所以或，
故选：C.
6. 为庆祝中国共产党成立100周年，甲、乙、丙三个小组进行党史知识竞赛，每个小组各派5位同学参赛，若该组所有同学的得分都不低于7分，则称该组为“优秀小组”（满分为10分且得分都是整数），以下为三个小组的成绩数据，据此判断，一定是“优秀小组”的是（ ）
甲：中位数为8，众数为7
乙：中位数为8，平均数为8.4
丙：平均数为8，方差小于2
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合“优秀小组”的定义依次分析选项，综合可得答案.
【详解】甲：中位数为8，众数为7，可知甲组的得分依次为：7、7、8、9、10，根据“优秀小组”的概念可知甲组一定是“优秀小组”
当乙组得分依次为：6、8、8、10、10时，中位数为8，平均数为8.4，但乙组不符合“优秀小组”的概念，
当丙组得分依次为：6、8、8、8、10时，丙：平均数为8，方差为，但丙组不符合“优秀小组”的概念.
故选：A.
7. 如图，已知电路中有个开关，开关闭合的概率为，其它开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设开关闭合为事件，，由所设事件表示事件灯不亮，利用概率乘法公式求其概率，再利用对立事件概率公式求事件灯亮的概率.
【详解】设开关闭合为事件，，则事件灯不亮可表示为，由已知，，
∴ ，
∴ 事件灯亮的概率，
故选：A.
8. 已知正方体的棱长为3，点P在的内部及其边界上运动，且，则点P的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接、、，，连接BE交于O，证明平面得DO⊥OP，求出OP长度，确定O的位置，确定P的轨迹形状，从而可求P的轨迹长度．
【详解】连接、、，

则，，，
∴⊥平面，∴，
同理，∴平面．
设，连接BE交于O，
由△BOD∽△且BD=可知OD=，则，
连接OP，则，∴，
可得点P的轨迹为以点O为圆心，为半径的圆在内部及其边界上的部分，
OB=2OE，E为中点，及△为等边三角形可知O为△中心，
OE=，如图：

，，，
则∠OFE=∠=，∴OF∥，同理易知OG∥，
故四边形是菱形，则
∴长度为，故点P的轨迹长度为．
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM2.5日均值在以下，空气质量为一级：PM2.5日均值在，空气质量为二级：PM2.5日均值超过为超标.如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是（ ）

A. 这10天的日均值的80%分位数为60
B. 前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差
C. 这10天的日均值的中位数为41
D. 前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差
【答案】BD
【解析】
【分析】根据百分位数、极差、中位数、方差等知识确定正确答案.
【详解】个数据为：，
，故80%分位数为，A选项错误.
5天的日均值的极差为，后5天的日均值的极差为，B选项正确.
中位数是，C选项错误.
根据折线图可知，前天数据波动性小于后天数据波动性，所以D选项正确.
故选：BD
10. 下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若，为两个随机事件，则；③若事件，满足，，，则，相互独立；④若事件，满足，则与是对立事件．其中错误的命题是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】BD
【解析】
【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义及概率的基本性质依次判断4个命题作答.
【详解】对于①：对立事件一定是互斥事件，①正确；
对于②：若，为两个随机事件，则，②错误；
对于③：由，得，相互独立，③正确；
对于④：记事件为抛一枚硬币正面朝上，事件为掷一枚骰子出现偶数点，则，
，满足，显然事件与可以同时发生，它们不是对立事件，④错误.
故选：BD
11. 已知空间四点，，，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 以，为邻边的平行四边形的面积为
C. 点到直线的距离为
D. ，，，四点共面
【答案】AC
【解析】
【分析】直接利用空间向量，向量的模，向量垂直的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角，判定A、B、C、D的结论即可．
【详解】空间四点，，，，则，，所以，，
对于A：，故A正确；
对于B：，所以，
所以以，为邻边的平行四边形的面积，故B错误；
对于C：由于，，所以，故，
所以点到直线的距离，故C正确；
对于D：根据已知的条件求出：，，，
假设共面，则存在实数和使得，
所以，无解，故不共面，故D错误；
故选：AC．
12. 如图，在棱长为的正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）

A. 的最小值为
B. 若，则平面截正方体所得截面的面积为
C. 与底面所成的角的取值范围为
D. 若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的最小值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设，得，利用空间向量法求得数量积，计算最小值判断；由线面平行得线线平行确定截面的形状、位置，从而可计算出截面面积判断B；过作的垂线，垂足为，连接，则为所求角设，运用余弦定理求出，由，计算判断C；结合正方体的对称性，利用是正方体的外接球直径判断D．
【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

由正方体棱长为，则，，，，.
对于，，
设，，
所以，，，
，
所以时，，故A错误；
对于B，，则是上靠近的三等分点，，
取上靠近的三等分点，则，.

显然与平面的法向量垂直，
因此平面，
所以截面与平面的交线与平行，
作交于点，
设，则，
由，可得，解得，
则与重合，因此取中点，易得，
所以截面为，且为等腰梯形，
，，，
梯形的高为，
截面面积为，故B正确；
对于C，过作的垂线，垂足为，连接，则为所求角．

设，则，
由余弦定理知，.
因为为线段上的动点，所以.
当时，.

，
当时，，，
所以，故，C正确；
对于D，，，，，，，
则，，同理.
所以是平面一个法向量，即平面，
设垂足为，则，

是正方体的外接球的直径，
因此正方体绕旋转角度后与其自身重合，至少旋转，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是_______．

【答案】
【解析】
【分析】利用，即可求解．
【详解】，


，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了空间向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
14. 已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设，可得 ，所以解出，，即可．
【详解】设；
，解得：；
在基底下的坐标为：．
故答案为：．
15. 祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家．他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率的精确度上，首次将“”精确到小数点后第七位，即＝3.1415926…，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a，b，则事件“”的概率为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，列出从4，1，5，9，2，6中任取两个数字的所有结果，再求出两个数字差的绝对值不小于5的个数即可作答.
【详解】依题意，“圆周率”第三到第八位有效数字分别是4，1，5，9，2，6，从中任取两个数字a，b的不同结果是：
(1，2)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，9)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，9)，(4，5)，(4，6)，(4，9)，(5，6)，(5，9)，(6，9)，共15种，它们等可能，
事件“”记为M，它含有的结果有：(1，6)，(1，9)，(2，9)，(4，9)，共4种，
于是得，
所以事件“”的概率为.
故答案为：
16. 设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】以方向为轴，垂直于方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由的表达式即可求得最小值.
【详解】以方向为轴建立空间直角坐标系，则，，
设 则，
当时的最小值是，

取 则

又因为是任意值，所以的最小值是.
取 则

又因为是任意值，所以的最小值是.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．
17. 已知，．
（1）求与夹角的余弦值；
（2）当时，求实数k的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据空间向量夹角公式求得正确答案.
（2）根据列方程，从而求得的值.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
由于，
所以，
所以，
，
解得或.
18. 袋中有6个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：
（1）从中任取一球，得到黑球．黄球．绿球的概率各是多少？
（2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件，，，由于，，为互斥事件，列出方程组，由此能求出从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率．
（2）黑球、黄球、绿球个数分别为2，1，3，得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个绿球共3种情况，而从6个球中取出2个球的情况共有15种，由此能求出得到的两个球颜色不相同的概率．
【详解】（1）解：从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件，，，
由于，，为互斥事件，
根据已知得，
解得，
从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是；
（2）由（1）知黑球、黄球、绿球个数分别为2，1，3，
得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个绿球共3种情况，
而从6个球中取出2个球的情况共有15种，
所以所求概率为，
则得到的两个球颜色不相同的概率是．
19. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，估计这20人的平均年龄和第80百分位数；
（2）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35~45岁所有人的年龄的方差.
【答案】（1）32.25，第80百分位数为37.5
（2）10
【解析】
【分析】（1）直接根据频率分布直方图计算平均数和百分位数；
（2）利用分层抽样得第四组和第五组分别抽取人和人，进而设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，进而根据方差公式，代入计算即可得答案.
【小问1详解】
设这20人的平均年龄为，则
.
设第80百分位数为，由，解得.
【小问2详解】
由频率分布直方图得各组人数之比为，
故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取人和人，
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.
则，，
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.
20. 已知函数．
（1）若，且，求的值；
（2）在锐角中，角，，所对的边分别是，，，若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）化简解析式，由得到，从而求得，进而求得.
（2）由求得，利用正弦定理化简，通过取值范围，求得的取值范围.
【详解】（1）因为
，
由，得，因，所以，
所以，
所以
．
（2）由，因为，所以，
所以，即．
由正弦定理，可得，．
因为是锐角三角形，所以，即．
所以．
由，得，所以．
21. 如图，在等腰直角三角形中，，，，，分别是，上的点，且，，分别为，的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连结．

（1）证明：平面；
（2）在翻折的过程中，当时，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，，利用面面平行的判定证明平面平面，再利用面面平行的性质即可证明；
（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，利用面面角的空间向量求法即可得到答案.
【小问1详解】
在四棱锥中，取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，，则，，
因为平面，平面，则平面，同理可得，平面，
又，，平面，故平面平面，因为平面，
故平面；
【小问2详解】
因为在等腰直角三角形中，，，
所以，则在四棱锥中，，，
因为，则，，又，平面，
故平面，又平面，故，
因为，，，则，所以，故．
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则：

，，，，故，
设平面的法向量为，则，
令，则，故；
设平面的法向量为，则，
令，则，，故，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为．
22. 如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点E是棱的中点．

（1）求证：平面ABC；
（2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）存在，或
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理解得，结合勾股定理得到，证得侧面，
，继而可证平面ABC；
（2）以B为原点，分别以，和的方向为x，y和z轴的正方向建立空间直角坐标系，假设存在点M，设，由EM与平面所成角的正弦值为，可求解.
【详解】（1）由题意，因为，，，利用余弦定理，
解得，又，，侧面，．
又，AB，平面ABC，∴直线平面ABC．
（2）以B为原点，分别以，和的方向为x，y和z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则有，，，，
设平面的一个法向量为，，，
，，令，则，，
假设存在点M，设，，，
，，
利用平面的一个法向量为，，得．
即，或，或．
【点睛】本题考查了空间向量和立体几何综合问题，考查了学生逻辑推理，空间向量和数学运算能力，属于中档题.