(新高一)初升高数学暑假衔接班精品讲义2.4.6 函数的奇偶性（2份打包，学生版+教师版）

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第2.4章 函数的概念与性质
2.4.6 函数的奇偶性

高中要求
1掌握函数奇偶性的概念及其性质；
2 掌握判断函数奇偶性的方法.

1 函数奇偶性的概念
(1) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
(2) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的.
注 ① 从定义可知，若是函数定义域中的一个数值，则也必然在该定义域中．故判断函数的奇偶性的前提是：定义域关于原点对称．如是非奇非偶函数.
② 函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．从定义可知，既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即，，是关于原点对称的实数集．
2 性质
① 偶函数关于轴对称；
② 奇函数关于原点对称；
③ 若奇函数定义域内含有，则；
证明 为奇函数，．
令，则，即，．
④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．

3 判断函数奇偶性的方法
① 定义法
先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数.
② 数形结合
若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数.


【题型1】判断函数的奇偶性
【典题1】 判断函数的奇偶性
解析 函数的定义域为．
方法1 ，函数是偶函数．
方法2 和是偶函数，函数是偶函数．

变式练习
1.下列说法正确的是(　　)
A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数
B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称
C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数
D．若函数f(x)的定义域为，且，则是奇函数
答案
解析 奇偶函数的定义域一定关于原点对称，但定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶
性，如．由此可判断项错误，项正确．奇函数若在原点处有定义，
则，反之不一定成立，如，因此项错误．故选
2.函数是(　　)
A.奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
答案
3.函数的图象关于(　　)
．原点对称 ．轴对称 ．y轴对称 ．直线y=x对称
答案
解析 根据题意，，有，
则有，其图象关于原点对称，故选：．
4. 设是定义在上的一个函数，则函数在上一定是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
答案：
5.设是上的任意函数，则下列叙述正确的是(　　)
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
答案
解析 选.设，则为偶函数．
设， 则.
与关系不定．
设，为奇函数．
设，则．
为偶函数．

【题型2】函数奇偶性的运用
【典题1】若函数的图象关于轴对称，则常数 (　　)
或 不存在
解析 可知函数为偶函数，则，
令得，，即，解得，
将代入解析式验证，符合题意．故选：．

变式练习
1.若函数为奇函数，则必有(　　)


答案
解析 函数为奇函数，
，故选：．
2.已知函数，，则的值是(　　)

答案
解析 是奇函数

，故选：．
3.已知函数是奇函数，当时，，则 ( )
A． B． C． D．
答案
解析 根据题意，当时，，，则，
又由为奇函数，则；故选：．
4.若函数为偶函数，则实数　 　．
答案
解析 为偶函数，恒成立
即恒成立，即恒成立
所以
故答案为：．
5.已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是 .
答案
解析 为奇函数，且在上是增函数，，
，在内是增函数
则 或
根据在和内是都是增函数，解得．
【题型3】 函数的奇偶性与单调性的综合
【典题1】函数是定义在区间上的奇函数，且．
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明：在区间上是增函数；
(3)解不等式：．
解析 (1)由题意知，即，解得 ，
故．
(2)任取，则，(定义法证明)
．[来源:学|科|网Z|X|X|K]
，
．
于是，
为区间上的增函数．
(3)，
在区间上是增函数，
，解得．

变式练习
1.如果奇函数在区间上是减函数，且最小值为，那么在区间上是(　　)
减函数且最大值为 增函数且最大值为6
减函数且最小值为 增函数且最小值为6
答案
解析 当时，
，即．从而，
又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，
故在是减函数．
故选：．
2.若偶函数在上是减函数，则 (　　)
． ．
． ．
答案
解析 根据题意，为偶函数，则，
又由函数在上是减函数，
则，即，故选：.
3.若都是奇函数，在上有最大值，则在上有(　　)
A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值
答案
解析 都是奇函数，为奇函数．
又有最大值，在上有最大值.
在上有最小值，
在上有最小值.
4.已知函数．
(1)求的定义域；
(2)若为奇函数，求的值；
(3)用单调性的定义证明：在区间上为减函数．
答案 (1) (2) (3)略
解析 (1)要使函数有意义，需，解此不等式得，
函数的定义域为
(2)为奇函数，，即，即，
经检验，时，为奇函数
，
(3)设，
则，
，，
，
，
，即，
函数在上为减函数．


1. 已知是定义在上的偶函数，那么的值是(　　)
． ． ．
答案
解析 依题意得：，，
又 ，，．故选：．
2.设函数是定义在上的奇函数，且，则(　　)

答案
解析 根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，
若，则，
则；故选：．
3.已知函数是奇函数，当时，，则(　　)

答案
解析 是奇函数，当时，，
，即，则，故选：．
4.若函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则(　　)
A． B．
C． D．
答案
解析 是定义在上的偶函数，且在上单调递减，
可得在上单调递增，
依题意有.
5.若函数为奇函数，则实数＝(　　)
．
答案
解析 根据题意，函数为奇函数，
则，即，
变形可得，则有；
故选：．
6.函数的奇偶性为_______.
答案 奇函数
解析 ,是奇函数.
7.已知函数是偶函数，则常数的值为　　．
答案
解析 易知函数定义域为
函数是偶函数
对定义域内每一个都成立
，
，
对定义域内每一个都成立
，即 .
8.奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 .
答案
解析 在上为增函数，，.
.
9.设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则由大到小的关系是__________．
答案
解析 利用函数为上的偶函数，将转化到区间上，
利用在此区间上是增函数比较大小．因为为上的偶函数，
所以，．
又因为当时，是增函数，且，
所以，故．
10.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 .
答案
解析 根据题意，函数是定义域为的奇函数，则，
则有，解可得，
则，
又由为奇函数，则.
11.若函数的定义域是，且对任意，都有成立．试判断的奇偶性．
答案 奇函数
解析 在中，
令，得，.
再令，则，即，
，故为奇函数．
12.已知函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等式的解集．
答案
解析 ，不等式可转化为．
又函数在上递增，
，解得或．
又是奇函数，
它在对称区间上的单调性相同，且，
于是又得，
即，解得．
原不等式的解集是.