(新高一)初升高数学暑假衔接班精品讲义1.1.4 分式与二次根式（2份打包，学生版+教师版）

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第1.1章 数与式
1.1.4 分式与二次根式

初中要求
1 了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算。
2 了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根;
3 了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用计算器求平方根;
4 了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。
高中要求
1 掌握分式的齐次化变形.
2二次根式的简单四则运算；
3 理解共轭二次根式；
4 会求解含二次根式的方程与不等式.

1.分式的概念
一般地，如果不等于零)表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式.
2.分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示是
(其中是的整式).
3.分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程.
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”，其一般解题步骤：①去分母；②求解所得整式方程；③验根.
3.二次根式
一般地，形如的代数式叫做二次根式.
二次根式必须满足：①含有二次根号“”；②被开方数必须大于等于.
4.最简二次根式
若二次根式满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，如，是最简二次根式；不是最简二次根式.
5.二次根式的性质
性质
例子
若则
.

，
.

，
.

， .


【题型1】分式的变形
情况1 齐次化分式
形如为常数)的分式的分子、分母均为一次齐次式，我们称之为一次齐次化分式，如，
形如，其中为常数，这样的分式的分子、分母均为二次齐次式，我们称之为二次齐次化分式，如，.
对于齐次分式，我们可以怎么处理呢？
【典题1】 已知正数满足，求和的值.
解析 由已知有，解得，
，.
变式练习
1.已知，求.
答案 .
解析 ，即.
2.已知，求.
答案 或
解析 ，
解方程得或，即或.

情况2 分子的降次处理
解题技巧提炼
我们遇到类似的分式，常常要把它化为的形式，其中为常数.
这方法称之为分离常数法.
【典题1】把化为的形式.
解析 方法1 令，则，
.
方法2 利用多项式除以多项式的竖式








.
变式练习
1.把化为的形式.
答案
解析 .
2.把化为的形式.
答案
解析 令，则，
.

【题型2】 二次根式的运算
【典题1】化简

解析 ；
(2)


.
.

变式练习
1.若，则的取值范围是________.
答案
解析 依题意得，解得.
2.化简
(1) ；
(2；
(3．
答案
解析 ，
.

；
.
3.先观察下列等式，再回答问题
①；
②；
③.
(1)根据上面三个等式，请猜想的结果(直接写出结论)
(2)根据上面各等式反映的规律，试写出含为正整数)表示一般规律的等式，并加以验证；
(3)根据上述的规律，解答问题：
设，
求不超过的最大整数.
答案
解析 观察可得，；
，
；




，
不超过的最大整数是.

【题型2】含根号的方程
【典题1】解方程.
解析 移项得，
两边平方得，
解得，
把代入原方程检验得是方程的增根，是原方程的根，
故原方程的根是.

变式练习
1.解方程.
答案
解析 方程两边平方得，解得，
把代入原方程检验得是方程的增根，是原方程的根，
故原方程的根是.
2.解方程.
答案
解析 方程等价于，
两边平方得，化简得，解得，
代回方程检验可得是方程的根，故方程的根式.


1.小明的作业本有以下四题：①，②，③，④，他做错的题是 ( )
A. ① B.② C.③ D.④
答案
解析 ③错，当时，；当时，.
2.把二次根式化为最简二次根式，结果是 ( )
A. B. C. D.以上都不对
答案
解析 ，故选.
3.若，则 .
答案
解析 .
4.若关于的方程的解是正数，则的取值范围是 .
答案 且
解析 方程解得，
依题意得且，解得且.
5.已知，化简下列根式：

答案
解析 ；
；
.
6.正数满足，则 ， .
答案
解析 ，两边同除以得，解得或(舍去)，
，.
7.化简________.
答案
解析 .
8.比较大小： (填，或)．
答案
解析 方法 比较与大小，等价于比较与大小，
而，
所以，即.
方法 ， ，
显然，所以，即.
9.已知，且，那么满足条件的整数对有 组.
答案
解析 ，是正整数，
设，，其中，且是整数，
解得或，故所求整数对为共组.
10.把化为的形式.
答案 .
解析 令，则，
.
11.已知正数满足，求的值.
答案
解析 由已知有，解得，
.
12.若是整数，则点叫整点.若，则有多少个整点?
答案
解析 ，(在分子上“凑”出分母，达到分离常数的效果)
若要是整数，则也是整数，又因为是整数，所以是的约数，
所以或，
所以满足的点有，，，，共个.