北京市通州区2022-2023学年高二数学下学期期末质量检测试题（Word版附解析）

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通州区2022—2023学年第二学期高二年级期末质量检测
数学试卷
2023年7月
本试看共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 二项式的展开式的第3项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二项式定理求出第3项作答.
【详解】二项式的展开式的第3项为.
故选：C
2. 4名学生与1名老师站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法种数为（ ）
A. 12 B. 18 C. 24 D. 48
【答案】C
【解析】
【分析】在老师左右两边的各两个位置让4名学生站即可作答.
【详解】依题意，4名学生站在老师的左右两边的各两个位置，
所以不同的站法种数为.
故选：C
3. 已知函数，则的导函数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复合函数求导即可得到答案.
【详解】根据复合函数求导得，
故选：A.
4. 函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求导求单调性即可求解.
【详解】，令，解得，
所以函数在区间上单调递减.
故选：C
5. 已知离散型随机变量的分布列为，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据随机变量分布列的定义即可得到答案.
【详解】由题意得，则，
故选：B.
6. 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，恰好出现3次正面朝上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用独立重复试验的概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意，将一枚均匀硬币随机掷4次，每次正面向上的概率均为，且相互独立，
由次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式得：
恰好出现3次正面向上的概率为．
故选：D．
7. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8
【答案】A
【解析】
【分析】根据随机变量服从正态分布，求得其图象的对称轴，再根据曲线的对称性，即可求解答案．
【详解】由题意，随机变量服从正态分布，所以，即图象的对称轴为，
又由，则，则，
则，
故选：A．
8. 篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得1分，不命中得0分．已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.8，设其罚球一次的得分为，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，列出分布列，再利用期望、方差定义计算作答.
【详解】依题意，的分布列为：

0
1

0.2
0.8
因此.
故选：D
9. 已知函数的导函数的图象如图所示，给出下列四个结论：

①在区间上单调递增
②在区间上单调递减
③在处取得最大值
④在处取得极小值
其中结论一定正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的图象求出大于0或小于0的x取值范围，再逐一判断各个命题作答.
详解】观察图象知，当或时，，当或时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，①错误，②正确；
函数在处取得极大值，由于函数的值情况未给出，不一定是最大值，③错误；
在处取得极小值，④正确，
所以结论一定正确的个数是2.
故选：B
10. 已知函数为其定义城上的单调函数．则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的导数，再根据给定的单调性建立不等式，分离参数求出最值作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
若函数在上单调递增，则，恒成立，
而函数在上的值域为，因此不存在满足条件；
若函数在上单调递减，则，恒成立，
而当时，，因此，
所以实数的取值范围为.
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 在2道代数题和3道几何题中．每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设“第一次抽到代数题”，“第二次抽到几何题”．则________；________．
【答案】 ①. ##0.3 ②. ##0.75
【解析】
【分析】利用古典概率求出，再利用条件概率公式计算作答.
【详解】依题意，，，所以.
故答案为：；
12. 二项式的展开式中常数项为________．
【答案】70
【解析】
【分析】根据给定的条件，利用二项式定理求解作答.
【详解】二项式的展开式中常数项为.
故答案为：70
13. 函数的零点是_________，极值点是_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】令即可求得零点；利用导数可求得单调性，根据极值点定义可得结果.
【详解】令，解得：，的零点是；
由题意知：定义域为，
，令，解得：；
则当时，；当时，；当时，；
在和上单调递减，在上单调递增；
的极值点为.
故答案为：；.
14. 已知一个三位数，如果满足个位上的数字和百位上的数字都大于十位上的数字，那么我们称该三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”的个数为________．（用数字作答）
【答案】240
【解析】
【分析】按照十位上的数字情况分类，结合排列问题列式计算作答.
【详解】依题意，无重复数字的三位“凹数”，十位数字只能为之一，
个位和百位上的数字为从比对应十位数字大的数字中任取两个进行排列，
所以没有重复数字的三位“凹数”的个数为：
.
故答案为：240
15. 已知函数，给出下列四个结论：
①函数存在4个极值点；
②；
③若点，为函数图象上的两点，则；
④若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】求出函数的导数并判断其单调性，判断极值点个数判断①；比较导数值大小判断②；求出两段的函数值集合判断③；由方程根的情况，数形结合求出a的范围判断④作答.
【详解】当时，，求导得，
当或时，当时，，
当时，，求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
函数的极大值点为，极小值点为，共4个，①正确；
因为，即，②错误；
函数在处取得极大值，而，当时，恒有，则当时，，
函数处取得极小值，因此当时，，
于是，③正确；
由，得或，由解得，
因此关于的方程有两个不相等的实数根，当且仅当方程有一个非0实根，
即直线与函数的图象有唯一公共点，在同一坐标系内作出直线与的图象，如图，

观察图象知，当或时，直线与函数的图象有一个公共点，
解得或，于是所求实数的取值范围是，④正确，
所以所有正确结论的序号是①③④.
故答案为：①③④
【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数．
（1）求的单调区间及极值；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）递增区间是，递减区间是，极大值，极小值；
（2）最大值为，最小值为1.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求出函数的单调区间、极值作答.
（2）结合（1）中单调性，求出给定区间上最大值作答.
【小问1详解】
函数的定义域为R，求导得，
当或时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得极大值，当时，取得极小值，
所以函数的递增区间是，递减区间是，极大值，极小值.
【小问2详解】
由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，而，
因此，，
所以函数在上的最大值为，最小值为1.
17. 袋中有4个白球.2个黑球．从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．
（1）若每次抽取后不放回，求连续抽取3次至少取到1个黑球的概率；
（2）若每次抽取后放回，求连续抽取3次恰好取到1个黑球的概率．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用超几何分布、结合古典概率列式计算作答.
（2）求出一次抽取抽到黑球的概率，再利用独立重复试验概率公式计算作答.
【小问1详解】
设抽取3次，取到黑球的个数为，因为每次抽取后不放回，结果不独立，则服从超几何分布，
所以连续抽取3次至少取到1个黑球的概率为：
.
【小问2详解】
设抽取3次，取到黑球的个数为，因为每次抽取后放回，结果独立，则服从二项分布，
而袋中有4个白球、 2个黑球，因此每次抽取后放回，连续抽取3次，每次取到黑球的概率为，
所以连续抽取3次恰好取到1个黑球的概率为.
18. 某学校为了解高一新生的体质健康状况．对学生的体质进行了测试，现从男、女生中各随机抽取20人作为样本，把他们的测试数据整理如下表，规定：数据≥60，体质健康为合格．
等级
数据范围
男生人数
女生人数
优秀

4
6
良好

6
6
及格

7
6
不及格
60以下
3
2

（1）估计该校高一年级学生体质健康等级为合格的概率；
（2）从样本等级为优秀的学生中随机抽取3人进行再测试，设抽到的女生数为，求的分布列和数学期望；
（3）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人健康等级是优秀的概率．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，期望为
（3）
【解析】
【分析】（1）利用频率估计概率即可；
（2）的可能取值为0，1，2，3，分别计算其对应的概率即可，最后利用期望公式即可；
（3）根据概率乘法公式和加法公式即可得到答案.
【小问1详解】
由表可知，样本中合格的学生数为:，
样本总数为:，所以估计该校高一年级学生体质健康等级为合格的概率.
【小问2详解】
依题意的可能取值为0，1，2，3.
所以，，
，，
所以的分布列为：

0
1
2
3





所以.
【小问3详解】
设“该校高一年级男生体质健康等级是优秀”为事件，“该校高一年级女生体质健康等级是优秀”为事件，
所以.
所以随机抽取的3人中，2人健康等级是优秀的为男生的概率为；
随机抽取的3人中，2人健康等级是优秀的为1个男生1个女生的概率为

所以估计这3人中恰有2人健康等级是优秀的概率为.
19. 已知函数，
（1）若在区间上恰有一个极值点，求实数的取值范围；
（2）求的零点个数；
（3）若，求证：对于任意，恒有．
【答案】（1）；
（2）1； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用导数求出函数的极值点作答.
（2）利用导数探讨函数的单调性，结合零点存在性定理判断作答.
（3）把代入，对所证不等式作等价变形，再构造函数，利用导数推理作答.
【小问1详解】
函数，求导得，当时，，当时，，
因此是的极小值点，依题意，，解得，
所以实数的取值范围是.
【小问2详解】
函数的定义域为，求导得，
由得，由得，于是函数在上单调递减，在上单调递增，
而当时，，即有，因此上没有零点，
显然，即函数在上存在1个零点，
所以函数的零点个数为1.
【小问3详解】
当时，，，
于是要证，即证，只需证，
令函数，求导得，
由，得，由，得，即在上递减，在上递增，
因此，则，，即，
所以对于任意，恒有.
20. 已知函数，R．
（1）当，时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当，时，求在区间上的最大值：
（3）当时，设．判断在上是否存在极值．若存在．指出是极大值还是极小值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）答案见详解 （3）答案见详解
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可；
（2）在的范围内对分类讨论求出的最大值即可；
（3）利用二次求导方法研究在区间上单调性即可求解.
【小问1详解】
由已知得，函数的定义域为，且，
则曲线在点处的切线方程的斜率为，切点为，
所以切线方程为，即；
【小问2详解】
由已知得，函数的定义域为，
，令，解得，
令，即，令，即，
①当时，即，在区间单调递减，
所以在区间上的最大值为；
②当时，即，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以在区间上的最大值为；
③当，即，在区间单调递增，
所以在区间上的最大值为；
【小问3详解】
当时，，，
则，
令，则，
因为，所以，
所以在区间单调递减，
当无限趋近于时，无限趋近于正无穷，且，
①当，即时，，
在区间单调递增，所以在区间上无极值；
②当，即时，在区间上存在唯一的零点，
所以当时，，当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以在区间上有一个极大值，无极小值，
综上所述，当时，函数有一个极大值，无极小值，
当时，函数无极值.
【点睛】关键点睛：注意分类讨论思想在研究含有参数的函数单调性问题中的应用，在处理隐零点问题时一般采用虚设零点的方法求解.
21. 为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生可答题若干次，答题赋分方法如下：第一次答题，答对得2分，答错得1分；从第二次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得1分．学生甲参加这次答题竞赛，每次答对的概率为，且每次答题结果互不影响．
（1）求学生甲前三次答题得分之和为4分的概率；
（2）设学生甲第次答题所得分数的数学期望为．
（ⅰ）求，，；
（ⅱ）写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）；
（ⅲ）若，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）（ⅰ），，；（ⅱ）；（ⅲ）5.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式计算作答.
（2）（ⅰ）分别求出得分的可能值及对应的概率，再利用期望的定义计算即可；（ⅱ）根据（ⅰ）的结果写出等量关系作答；（ⅲ）利用（ⅱ）的结论，借助构造法求数列通项方法求出，再解不等式作答.
【小问1详解】
学生甲前三次答题得分之和为4分的概率，即为学生甲前三次答题中仅只答对一次的概率，
设“学生甲前三次答题得分之和为4分”为事件，
所以.
【小问2详解】
（i）学生甲第1次答题得2分、1分的概率分别为，所以，
甲第2次答题得4分、2分、1分的概率分别为，
所以，
甲第3次答题得8分、4分、2分、1分的概率分别为，
所以.
（ii）由（i）知，，，
当时，甲第次答题所得分数的期望为，则第次答对题所得分数，答错题所得分数为1，
其概率分别为，于是甲第次答题所得分数的期望为，
因此与满足的等量关系式是：.
（iii）由（i）知，由（ii）知，
因此，即数列以为首项，为公比的等比数列，
则，即，由，得，
整理得，而，数列是递增数列，因此，
所以的最小值是5.
【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.