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北京市朝阳区2023届高三数学一模试题（Word版附解析）
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这是一份北京市朝阳区2023届高三数学一模试题（Word版附解析），共21页。
北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一
数学2023．3
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题40分和非选择题110分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简，再由集合并集的运算即可得解.
【详解】由题意，，
所以.
故选：C.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断A，取特殊值判断BCD.
【详解】，，即，故A正确；
取，则不成立，故B错误；
取，则不成立，故C错误；
取，则，故D错误.
故选：A
3. 设，若，则（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】先求出展开式第项，再由列出方程，即可求出的值.
【详解】展开式第项，
∵，∴，
∴.
故选：A.
4. 已知点，．若直线上存在点P，使得，则实数k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将问题化为直线与圆有交点，注意直线所过定点与圆的位置关系，再应用点线距离公式列不等式求k的范围.
【详解】由题设，问题等价于过定点的直线与圆有交点，
又在圆外，所以只需，可得.
故选：D
5. 已知函数，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解.
【详解】因为定义域为，，
所以为奇函数，且为上的增函数.
当时，，所以，
即“”是“”的充分条件，
当时，，由的单调性知，
，即，
所以“”是“”成立的必要条件.
综上，“”是“”的充要条件.
故选：C
6. 过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 或2
【答案】B
【解析】
【分析】由题意易得所以，从而，再由求解.
【详解】解：在中，因为，
所以，则，
所以，
故选：B
7. 在长方体中，与平面相交于点M，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面交线的性质可知，又平行线分线段成比例即可得出正确答案，对于ABD可根据长方体说明不一定成立.
【详解】如图，连接，交于，连接，，
在长方体中，平面与平面的交线为,
而平面，且平面，
所以，
又，，
所以，故C正确.
对于A，因为长方体中与不一定垂直，故推不出，故A错误；
对于B，因为长方体中与不一定相等，故推不出，故B错误；
对于D，由B知，不能推出与垂直，而是中线，所以推不出，故D错误.
故选：C
8. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的一个周期为 B. 的最大值为
C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上有3个零点
【答案】D
【解析】
【分析】A.代入周期的定义，即可判断；
B.分别比较两个函数分别取得最大值的值，即可判断；
C.代入对称性的公式，即可求解；
D.根据零点的定义，解方程，即可判断.
【详解】A.，故A错误；
B.，当，时，取得最大值1，，当，时，即，时，取得最大值，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故B错误；
C.，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；
D.，即，，
即或，解得：，
所以函数在区间上有3个零点，故D正确.
故选：D
9. 如图，圆M为的外接圆，，，N为边BC的中点，则（ ）
A. 5 B. 10 C. 13 D. 26
【答案】C
【解析】
【分析】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知，同理可得，再由数量积运算即可得解.
【详解】 是BC中点，
，
M为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，
，
同理可得，
.
故选：C
10. 已知项数为的等差数列满足，．若，则k的最大值是（ ）
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】通过条件，，得到，
再利用条件得到，
进而得到不等关系：，从而得到的最大值.
【详解】由，，得到，
即，
当时，恒有，即，
所以，
由，得到，
所以，，
整理得到：，所以.
故选：B
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 若复数，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据以及复数商的模等于复数的模的商，计算可得答案.
【详解】因为，所以.
故答案为：
【点睛】本题考查了复数模的性质，考查了复数的模长公式，属于基础题.
12. 函数的值域为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求和的值域，再取并集即可.
【详解】因为当时，，
当时，，
所以函数的值域为，
故答案为：
13. 经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则（O为坐标原点）的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】求出焦点坐标，设直线方程，联立抛物线方程，韦达定理，利用弦长求出直线方程，可求得O点到直线距离，进一步求出三角形面积.
【详解】由题意知，抛物线的焦点，设，，直线AB：，
联立方程，消去x可得，，
韦达定理得，
因为，所以，即，
所以直线AB：，所以点O到直线AB的距离为，
所以.
故答案为：
14. 在中，，，．
（1）若，则________；
（2）当________（写出一个可能的值）时，满足条件的有两个．
【答案】 ①. ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）求出，再由余弦定理求解即可；
（2）根据已知两边及一边的对角求三角形解得情况，建立不等式求出的范围即可得解.
【详解】（1），，
，，
由余弦定理，，即，
解得.
（2）因为,,
所以当时，方程有两解，
即，
取即可满足条件（答案不唯一）
故答案为：；6.
15. 某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方初始兵力，t为战斗时间；，分别为红、蓝两方t时刻的兵力;正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T．给出下列四个结论：
①若且，则；
②若且，则；
③若，则红方获得战斗演习胜利；
④若，则红方获得战斗演习胜利．
其中所有正确结论的序号是________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】对于①根据已知条件利用作差法比较大小即可得出，所以①正确；对于②，利用①中结论可得蓝方兵力先为0，即解得，②正确；对于③和④，若要红方获得战斗演习胜利，分别解出红、蓝两方兵力为0时所用时间、，比较大小即可知③错误，④正确.
【详解】对于①，若且，则，
即，所以，
由可得，即①正确；
对于②，当时根据①中的结论可知，所以蓝方兵力先为0，
即，化简可得，
即，两边同时取对数可得，
即，所以战斗持续时长为，
所以②正确；
对于③，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，
设红方兵力0时所用时间为，蓝方兵力为0时所用时间为，
即，可得
同理可得
即，解得
又因为都为正实数，所以可得，红方获得战斗演习胜利；
所以可得③错误，④正确.
故答案为：①②④.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．
（1）求证：平面BDE；
（2）求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；
（3）求点D到平面ABE距离．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质得到，根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）利用空间向量的方法求线面角即可；
（3）利用空间向量的方法求点到面的距离即可.
【小问1详解】
在三棱柱中，，为，的中点，∴，
∵平面，∴平面，
∵平面，∴，
在三角形中，，为中点，∴，
∵，平面，∴平面.
【小问2详解】
如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
在直角三角形中，，，∴，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，
，令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
所以.
【小问3详解】
设点到平面的距离为，所以.
17. 设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在．
（1）求函数的解析式；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
条件①：；
条件②：的最大值为；
条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．
【答案】（1）选择条件②③，
（2）最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】（1）由正弦函数和余弦函数的奇偶性可排除条件①，先利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质即可求解；
（2）利用整体代入法，结合正弦函数图象和性质即可求解.
【小问1详解】
若选择条件①，
因为，所以，
由可得对恒成立，与矛盾，
所以选择条件②③，
由题意可得，
设，
由题意可得，
其中，，
因为的最大值为，所以，解得，
所以，，
由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得，
所以解得，
所以.
【小问2详解】
由正弦函数的图象可得当时，，，
所以在区间上的最大值为，最小值为.
18. 某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：
性别
人数
获奖人数
一等奖
二等奖
三等奖
男生
200
10
15
15
女生
300
25
25
40
假设所有学生的获奖情况相互独立．
（1）分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；
（2）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小．（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）分布列见解析，期望
（3）
【解析】
【分析】（1）直接计算概率；
（2）的所有可能取值为0,1,2，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；
（3）计算出，，比较大小即可.
【小问1详解】
设事件为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,
抽到的2名学生都获一等奖”，
则，
【小问2详解】
随机变量的所有可能取值为0,1,2.
记事件为“从该地区高一男生中随机抽取1名,该学生获奖”,
事件为“从该地区高一女生中随机抽取1名,该学生获奖”.由题设知,事件,相互独立,
且估计为估计为.
所以,
,
.
所以的分布列为
0
1
2
故的数学期望
【小问3详解】
，理由：根据频率估计概率得
，由（2）知，，
故，
则.
19. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若对恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：若在区间上存在唯一零点，则．
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）讨论、，结合导数的符号确定单调区间；
（2）由，讨论、研究导数符号判断单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围；
（3）根据（2）结论及零点存在性确定时在上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证在上恒成立，即可证结论.
【小问1详解】
由题设，
当时，，则在R上递增；
当时，令，则，
若，则，在上递减；
若，则，在上递增；
综上，时的递增区间为R，无递减区间；
时的递减区间为，递增区间为.
小问2详解】
由，
当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求；
当时，由（1）知：在上递减，在上递增，而，
所以在上递减，在上递增，要使对恒成立，
所以，只需，
令且，则，即递减，
所以，故在上不存在；
综上，
【小问3详解】
由（2）知：时，在恒有，故不可能有零点；
时，在上递减，在上递增，且，
所以上，无零点，即，且趋向于正无穷时趋向正无穷，
所以，在上存在唯一，使，
要证，只需在上恒成立即可，
令，若，则，
令，则，即在上递增，故，
所以，即在上递增，故，
所以在上恒成立，得证；
故，得证.
【点睛】关键点点睛：第三问，通过讨论确定在某一单调区间上存在唯一零点的a的范围后，应用分析法证恒成立即可.
20. 已知椭圆经过点．
（1）求椭圆E的方程及离心率；
（2）设椭圆E的左顶点为A，直线与E相交于M，N两点，直线AM与直线相交于点Q．问：直线NQ是否经过x轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由．
【答案】（1）椭圆E的方程为，离心率为.
（2）直线过定点.
【解析】
【分析】(1)根据椭圆经过点即可求得椭圆方程，利用离心率公式即可求离心率；
(2)表示出直线的方程为，即可求得点，再利用点斜式表示得直线的方程为，即可求出与轴的交点，利用韦达定理等量替换即可求出直线NQ恒过的定点.
【小问1详解】
因为椭圆经过点，
所以，解得，
所以椭圆E的方程为，
因为所以，
所以离心率为.
【小问2详解】
直线过定点，理由如下：
由可得，
显然，
设则有
直线的方程为
令，解得，则，
所以直线的斜率为且，
所以直线的方程为
令，则
所以直线过定点.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于利用直线的点斜式方程求的点点的坐标，再利用点斜式方程表示出直线与轴的交点横坐标，利用韦达定理等量代换求恒过定点.
21. 已知有穷数列满足．给定正整数m，若存在正整数s，，使得对任意的，都有，则称数列A是连续等项数列．
（1）判断数列是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由；
（2）若项数为N的任意数列A都是连续等项数列，求N的最小值；
（3）若数列不是连续等项数列，而数列，数列与数列都是连续等项数列，且，求的值．
【答案】（1）数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由见解析；
（2）11 （3）0
【解析】
【分析】（1）根据新定义直接验证数列，1，0，1，0，1，，可得结论；
（2）先根据新定义证明时，数列一定是连续等项数列，再验证时，不是连续等项数列即可；
（3）由都是连续等项数列可得，
，再由反证法证得，即可得出的值.
【小问1详解】
数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由如下:
因为，所以是连续等项数列.
因为；
为；
为;
为，
所以不存在正整数，使得.
所以A不是连续等项数列.
【小问2详解】
设集合，则中的元素个数为.
因为在数列中，所以.
若，则.
所以在这个有序数对中，
至少有两个有序数对相同，
即存在正整数，使得.
所以当项数时，数列一定是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若,数列不是连续等项数列.
所以的最小值为11.
【小问3详解】
因为与都是连续等项数列，
所以存在两两不等的正整数,
使得，
下面用反证法证明.
假设，
因为，
所以中至少有两个数相等.
不妨设，则
所以是连续等项数列，与题设矛盾.
所以.
所以.
【点睛】方法点睛：对于新定义问题，一般先要读懂定义内容，第一问一般是给具体的函数或数列验证是否满足所给定义，只需要结合新定义，验证即可，在验证过程中进一步加强对新定义的理解，第二步一般在第一步强化理解的基础上，所给函数或数列更加一般或复杂，进一步利用新定义处理，本题第三问根据与都是连续等项数列得出，，利用反证法求是关键点.
北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一
数学2023．3
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题40分和非选择题110分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简，再由集合并集的运算即可得解.
【详解】由题意，，
所以.
故选：C.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断A，取特殊值判断BCD.
【详解】，，即，故A正确；
取，则不成立，故B错误；
取，则不成立，故C错误；
取，则，故D错误.
故选：A
3. 设，若，则（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】先求出展开式第项，再由列出方程，即可求出的值.
【详解】展开式第项，
∵，∴，
∴.
故选：A.
4. 已知点，．若直线上存在点P，使得，则实数k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将问题化为直线与圆有交点，注意直线所过定点与圆的位置关系，再应用点线距离公式列不等式求k的范围.
【详解】由题设，问题等价于过定点的直线与圆有交点，
又在圆外，所以只需，可得.
故选：D
5. 已知函数，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解.
【详解】因为定义域为，，
所以为奇函数，且为上的增函数.
当时，，所以，
即“”是“”的充分条件，
当时，，由的单调性知，
，即，
所以“”是“”成立的必要条件.
综上，“”是“”的充要条件.
故选：C
6. 过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 或2
【答案】B
【解析】
【分析】由题意易得所以，从而，再由求解.
【详解】解：在中，因为，
所以，则，
所以，
故选：B
7. 在长方体中，与平面相交于点M，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面交线的性质可知，又平行线分线段成比例即可得出正确答案，对于ABD可根据长方体说明不一定成立.
【详解】如图，连接，交于，连接，，
在长方体中，平面与平面的交线为,
而平面，且平面，
所以，
又，，
所以，故C正确.
对于A，因为长方体中与不一定垂直，故推不出，故A错误；
对于B，因为长方体中与不一定相等，故推不出，故B错误；
对于D，由B知，不能推出与垂直，而是中线，所以推不出，故D错误.
故选：C
8. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的一个周期为 B. 的最大值为
C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上有3个零点
【答案】D
【解析】
【分析】A.代入周期的定义，即可判断；
B.分别比较两个函数分别取得最大值的值，即可判断；
C.代入对称性的公式，即可求解；
D.根据零点的定义，解方程，即可判断.
【详解】A.，故A错误；
B.，当，时，取得最大值1，，当，时，即，时，取得最大值，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故B错误；
C.，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；
D.，即，，
即或，解得：，
所以函数在区间上有3个零点，故D正确.
故选：D
9. 如图，圆M为的外接圆，，，N为边BC的中点，则（ ）
A. 5 B. 10 C. 13 D. 26
【答案】C
【解析】
【分析】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知，同理可得，再由数量积运算即可得解.
【详解】 是BC中点，
，
M为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，
，
同理可得，
.
故选：C
10. 已知项数为的等差数列满足，．若，则k的最大值是（ ）
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】通过条件，，得到，
再利用条件得到，
进而得到不等关系：，从而得到的最大值.
【详解】由，，得到，
即，
当时，恒有，即，
所以，
由，得到，
所以，，
整理得到：，所以.
故选：B
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 若复数，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据以及复数商的模等于复数的模的商，计算可得答案.
【详解】因为，所以.
故答案为：
【点睛】本题考查了复数模的性质，考查了复数的模长公式，属于基础题.
12. 函数的值域为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求和的值域，再取并集即可.
【详解】因为当时，，
当时，，
所以函数的值域为，
故答案为：
13. 经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则（O为坐标原点）的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】求出焦点坐标，设直线方程，联立抛物线方程，韦达定理，利用弦长求出直线方程，可求得O点到直线距离，进一步求出三角形面积.
【详解】由题意知，抛物线的焦点，设，，直线AB：，
联立方程，消去x可得，，
韦达定理得，
因为，所以，即，
所以直线AB：，所以点O到直线AB的距离为，
所以.
故答案为：
14. 在中，，，．
（1）若，则________；
（2）当________（写出一个可能的值）时，满足条件的有两个．
【答案】 ①. ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）求出，再由余弦定理求解即可；
（2）根据已知两边及一边的对角求三角形解得情况，建立不等式求出的范围即可得解.
【详解】（1），，
，，
由余弦定理，，即，
解得.
（2）因为,,
所以当时，方程有两解，
即，
取即可满足条件（答案不唯一）
故答案为：；6.
15. 某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方初始兵力，t为战斗时间；，分别为红、蓝两方t时刻的兵力;正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T．给出下列四个结论：
①若且，则；
②若且，则；
③若，则红方获得战斗演习胜利；
④若，则红方获得战斗演习胜利．
其中所有正确结论的序号是________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】对于①根据已知条件利用作差法比较大小即可得出，所以①正确；对于②，利用①中结论可得蓝方兵力先为0，即解得，②正确；对于③和④，若要红方获得战斗演习胜利，分别解出红、蓝两方兵力为0时所用时间、，比较大小即可知③错误，④正确.
【详解】对于①，若且，则，
即，所以，
由可得，即①正确；
对于②，当时根据①中的结论可知，所以蓝方兵力先为0，
即，化简可得，
即，两边同时取对数可得，
即，所以战斗持续时长为，
所以②正确；
对于③，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，
设红方兵力0时所用时间为，蓝方兵力为0时所用时间为，
即，可得
同理可得
即，解得
又因为都为正实数，所以可得，红方获得战斗演习胜利；
所以可得③错误，④正确.
故答案为：①②④.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．
（1）求证：平面BDE；
（2）求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；
（3）求点D到平面ABE距离．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质得到，根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）利用空间向量的方法求线面角即可；
（3）利用空间向量的方法求点到面的距离即可.
【小问1详解】
在三棱柱中，，为，的中点，∴，
∵平面，∴平面，
∵平面，∴，
在三角形中，，为中点，∴，
∵，平面，∴平面.
【小问2详解】
如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
在直角三角形中，，，∴，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，
，令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
所以.
【小问3详解】
设点到平面的距离为，所以.
17. 设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在．
（1）求函数的解析式；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
条件①：；
条件②：的最大值为；
条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．
【答案】（1）选择条件②③，
（2）最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】（1）由正弦函数和余弦函数的奇偶性可排除条件①，先利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质即可求解；
（2）利用整体代入法，结合正弦函数图象和性质即可求解.
【小问1详解】
若选择条件①，
因为，所以，
由可得对恒成立，与矛盾，
所以选择条件②③，
由题意可得，
设，
由题意可得，
其中，，
因为的最大值为，所以，解得，
所以，，
由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得，
所以解得，
所以.
【小问2详解】
由正弦函数的图象可得当时，，，
所以在区间上的最大值为，最小值为.
18. 某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：
性别
人数
获奖人数
一等奖
二等奖
三等奖
男生
200
10
15
15
女生
300
25
25
40
假设所有学生的获奖情况相互独立．
（1）分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；
（2）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小．（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）分布列见解析，期望
（3）
【解析】
【分析】（1）直接计算概率；
（2）的所有可能取值为0,1,2，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；
（3）计算出，，比较大小即可.
【小问1详解】
设事件为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,
抽到的2名学生都获一等奖”，
则，
【小问2详解】
随机变量的所有可能取值为0,1,2.
记事件为“从该地区高一男生中随机抽取1名,该学生获奖”,
事件为“从该地区高一女生中随机抽取1名,该学生获奖”.由题设知,事件,相互独立,
且估计为估计为.
所以,
,
.
所以的分布列为
0
1
2
故的数学期望
【小问3详解】
，理由：根据频率估计概率得
，由（2）知，，
故，
则.
19. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若对恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：若在区间上存在唯一零点，则．
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）讨论、，结合导数的符号确定单调区间；
（2）由，讨论、研究导数符号判断单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围；
（3）根据（2）结论及零点存在性确定时在上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证在上恒成立，即可证结论.
【小问1详解】
由题设，
当时，，则在R上递增；
当时，令，则，
若，则，在上递减；
若，则，在上递增；
综上，时的递增区间为R，无递减区间；
时的递减区间为，递增区间为.
小问2详解】
由，
当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求；
当时，由（1）知：在上递减，在上递增，而，
所以在上递减，在上递增，要使对恒成立，
所以，只需，
令且，则，即递减，
所以，故在上不存在；
综上，
【小问3详解】
由（2）知：时，在恒有，故不可能有零点；
时，在上递减，在上递增，且，
所以上，无零点，即，且趋向于正无穷时趋向正无穷，
所以，在上存在唯一，使，
要证，只需在上恒成立即可，
令，若，则，
令，则，即在上递增，故，
所以，即在上递增，故，
所以在上恒成立，得证；
故，得证.
【点睛】关键点点睛：第三问，通过讨论确定在某一单调区间上存在唯一零点的a的范围后，应用分析法证恒成立即可.
20. 已知椭圆经过点．
（1）求椭圆E的方程及离心率；
（2）设椭圆E的左顶点为A，直线与E相交于M，N两点，直线AM与直线相交于点Q．问：直线NQ是否经过x轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由．
【答案】（1）椭圆E的方程为，离心率为.
（2）直线过定点.
【解析】
【分析】(1)根据椭圆经过点即可求得椭圆方程，利用离心率公式即可求离心率；
(2)表示出直线的方程为，即可求得点，再利用点斜式表示得直线的方程为，即可求出与轴的交点，利用韦达定理等量替换即可求出直线NQ恒过的定点.
【小问1详解】
因为椭圆经过点，
所以，解得，
所以椭圆E的方程为，
因为所以，
所以离心率为.
【小问2详解】
直线过定点，理由如下：
由可得，
显然，
设则有
直线的方程为
令，解得，则，
所以直线的斜率为且，
所以直线的方程为
令，则
所以直线过定点.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于利用直线的点斜式方程求的点点的坐标，再利用点斜式方程表示出直线与轴的交点横坐标，利用韦达定理等量代换求恒过定点.
21. 已知有穷数列满足．给定正整数m，若存在正整数s，，使得对任意的，都有，则称数列A是连续等项数列．
（1）判断数列是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由；
（2）若项数为N的任意数列A都是连续等项数列，求N的最小值；
（3）若数列不是连续等项数列，而数列，数列与数列都是连续等项数列，且，求的值．
【答案】（1）数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由见解析；
（2）11 （3）0
【解析】
【分析】（1）根据新定义直接验证数列，1，0，1，0，1，，可得结论；
（2）先根据新定义证明时，数列一定是连续等项数列，再验证时，不是连续等项数列即可；
（3）由都是连续等项数列可得，
，再由反证法证得，即可得出的值.
【小问1详解】
数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由如下:
因为，所以是连续等项数列.
因为；
为；
为;
为，
所以不存在正整数，使得.
所以A不是连续等项数列.
【小问2详解】
设集合，则中的元素个数为.
因为在数列中，所以.
若，则.
所以在这个有序数对中，
至少有两个有序数对相同，
即存在正整数，使得.
所以当项数时，数列一定是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若,数列不是连续等项数列.
所以的最小值为11.
【小问3详解】
因为与都是连续等项数列，
所以存在两两不等的正整数,
使得，
下面用反证法证明.
假设，
因为，
所以中至少有两个数相等.
不妨设，则
所以是连续等项数列，与题设矛盾.
所以.
所以.
【点睛】方法点睛：对于新定义问题，一般先要读懂定义内容，第一问一般是给具体的函数或数列验证是否满足所给定义，只需要结合新定义，验证即可，在验证过程中进一步加强对新定义的理解，第二步一般在第一步强化理解的基础上，所给函数或数列更加一般或复杂，进一步利用新定义处理，本题第三问根据与都是连续等项数列得出，，利用反证法求是关键点.
