七年级上学期月考数学试题

这是一份七年级上学期月考数学试题，共27页。试卷主要包含了 下列运算正确的是， 下列运算中正确的是等内容，欢迎下载使用。
第一学期七年级上册12月月考试题
1. 《北京市“十四五”时期能源发展规划》中提出制定推广新能源车实施方案，到2025年，全市新能源汽车累计保有量力争达到200万辆，将200万用科学记数法表示（ ）
A. 2×104 B. 2×105 C. 2×106 D. 2×107
2. 下列运算正确的是（ ）
A B.
C. D.
3. 下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 中，已知，以点A、B、C为圆心圆分别记作圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A. 圆A与圆C相交 B. 圆B与圆C外切 C. 圆A与圆B外切 D. 圆A与圆B外离．
5. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(8，0) ，(0，4)，动点P从点A出发沿AO方向以每秒2个单位的速度向点O运动，动点Q从点B出发沿BA方向以每秒2个单位的速度向点A运动．P，Q两点同时出发，当点Q到达点A时，两点都停止运动．设它们的运动时间为t秒，当∠PQA=45°时，运动时间t的值为（ ）

A. B. C. D.
6. 1883年，康托尔用以下的方法构造的这个分形，称做康托尔集．如图，取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，这称为第一阶段；然后将剩下的两段再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，这称为第二阶段…将这样的操作无限地重复下去，余下的无穷点就称做康托尔集．那么经过第四个阶段后，留下的线段的长度之和为（　　）

A. B. C. D.
7. 甲、乙、丙三家商店对一种定价相同的文具开展促销活动，甲商店一次性降价30%；乙商店连续两次降价15%；丙商店先降价20%后又降价10%．若小雪准备在促销活动中，购买此种文具，则下列说法中，正确的是（ ）
A. 小雪到甲商店购买这种文具更合算
B. 小雪到乙商店购买这种文具更合算
C. 小雪到丙商店购买这种文具更合算
D. 在促销活动中，三家商店的这种文具售价相同，小雪可任选一家购买
8. 如图，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若弧与弧所在圆的圆心都为点O，则阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
9. 如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（　　）


A. B. C. D.
10. 如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和( )

A. B. C. D.
二、填空题
11. 如图，在中，，，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，求度数______．

12. 为了解学生的阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了相应的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值）（0-1小时4人，1-2小时10人，2-3小时14人，3-4小时16人，4-5小时6人），若共有200名学生，则该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是_____．

13. 若有理数a，b满足，则a＋b的值为______．
14. 某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目．规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记a分，第二名的班级记b分，第三名的班级记c分（，a，b，c均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和，该年级共有四个班，若这四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，则______，a的值为______．
15. 某校为了了解初二学生每周零花钱的消费情况，随机抽取了该校50名学生进行调查，调查的结果绘制成如图所示的扇形图，根据图中的信息，估计该校400名初二学生每周零花钱消费超过50元的学生人数约为 ___ 人．

16. 如图，在长方体中，与棱异面且与平面平行的棱是________．
17. 为了解某区九年级3200名学生中观看2022北京冬奥会开幕式的情况，随机调查了其中200名学生，结果有150名学生全程观看了开幕式，请估计该区全程观看冬奥会开幕式的九年级学生人数约为______．
三、解答题（8小题，18.19，6分、20.21，7分、22.23，8分、24.25，10分）
18. 已知，求的值．
19. 阅读下面材料：
小明和小丽在信息技术课上设计了一个小游戏程序：开始时两人的屏幕上显示的数分别是2a和10a－1，如图．每按一次屏幕，小明的屏幕上的数就会加上a2，同时小丽的屏幕上的数就会减去2a，且均显示化简后的结果，如下表：

开始数
按一次后
按二次后
按三次后
按四次后
小明





小丽






根据以上的信息回答问题：
（1）按四次后，两人屏幕上显示的结果是：小明____；小丽____；
（2）判断（1）中两个结果的大小，并说明理由．
20. 如图1，摆放一副三角尺，使得点O在AB边上，将三角尺COD绕点O旋转．

（1）若∠AOD=0°，则∠COB＝ °；
（2）若∠AOD=45°，请在图2中画出∠COB；
（3）当∠AOD=α（0°＜α＜180°）时，求∠BOC的度数（结果可用α表示）．
21. 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上的一点，将△ABC沿AD翻折后，点B恰好落在线段CD上的B'处，且AB'平分∠CAD．求∠BAB'的度数．

22. 在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于r（r为常数），到点O的距离等于r的所有点组成图形G，ÐABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．求证：AD=CD．

23. 数轴上，已知AB＝a，AC＝b．令AN=2b-a,

（1）尺规作图，在点A的左边找出点N，（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若a＝5，b＝4，点A在数轴上所代表的数为﹣8，那么点N在数轴上所代表的数为多少．
24. 问题：如图，点C是线段的中点，点D在线段上，点E是线段的中点．
若，求线段长．

请补全以下解答过程．
解：∵点C是线段中点，__________________，
∴，．
∵________，
∴_______．
∵，
∴_______．
25. 如图①，甲，乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面是正方形，容器乙的底面是矩形．如图②，已知正方形与矩形满足如下条件：正方形外切于一个半径为5米的圆，矩形内接于这个圆，．
（1）求容器甲，乙的容积分别为多少立方米？
（2）现在我们分别向容器甲，乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后．把容器甲的注水流量增加立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变．直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为时，我们把容器甲的水位高度记为，容器乙的水位高度记为，设，已知（米）关于注水时间（小时）的函数图像如图③所示，其中平行于横轴．根据图中所给信息，解决下列问题：
①求的值；
②求图③中线段所在直线的解析式．





第一学期七年级上册12月月考试题
1. 《北京市“十四五”时期能源发展规划》中提出制定推广新能源车实施方案，到2025年，全市新能源汽车累计保有量力争达到200万辆，将200万用科学记数法表示（ ）
A. 2×104 B. 2×105 C. 2×106 D. 2×107
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】200万=2000000=2×106．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则、合并同类项法则及平方差公式，即可一一判定．
【详解】解：A.，故该选项错误，不符合题意；
B.，故该选项正确，符合题意；
C. 与不是同类项，不能进行加法运算，故该选项错误，不符合题意；
D.，故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则、合并同类项法则及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
3. 下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，去括号法则，同底数幂的除法，分别进行计算，逐一判断，即可解答．
【详解】解：A．a2⋅a3＝a5，故选项错误，不符合题意；
B．（a3b）2＝a6b2，故选项正确，符合题意；
C．2（a﹣1）＝2a﹣2，故选项错误，不符合题意；
D．a6÷a2＝a4，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，去括号法则，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
4. 中，已知，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A. 圆A与圆C相交 B. 圆B与圆C外切 C. 圆A与圆B外切 D. 圆A与圆B外离．
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的三边长确定两圆的圆心距，与两圆的半径的和比较后即可确定正确的选项．
【详解】∵，
∴，
∵三个圆的半径长都等于2，
∴任意两圆的圆心距都是4，
∴圆A与圆C外切，圆B与圆C相交，圆A与圆B外离，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是根据圆的两边的长求得第三边的长，然后根据两圆的半径之和和两圆的圆心距的大小关系确定两圆的位置关系，难度不大．
5. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(8，0) ，(0，4)，动点P从点A出发沿AO方向以每秒2个单位的速度向点O运动，动点Q从点B出发沿BA方向以每秒2个单位的速度向点A运动．P，Q两点同时出发，当点Q到达点A时，两点都停止运动．设它们的运动时间为t秒，当∠PQA=45°时，运动时间t的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点P作PM⊥AB于点M，在Rt△BOA中，，，在Rt△PMA中，，，根据AB=BQ+QM+AM=4列关于t的一元一次方程求解即可．
【详解】解：过点P作PM⊥AB于点M，

∵∠PQA=45°，∴△PQM是等腰直角三角形，且PM=QM，
∵点A，B的坐标分别为(8，0) ，(0，4)，
∴OB=4，OA=8，BQ=2，AP=2t，
在Rt△BOA中，AB=，
，，
∴在Rt△PMA中，
，，
∴QM=PM=，AM=2PM=，
∴AB=BQ+QM+AM=2++=，
解得：t=．
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，坐标与图形，等腰直角三角形判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
6. 1883年，康托尔用以下的方法构造的这个分形，称做康托尔集．如图，取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，这称为第一阶段；然后将剩下的两段再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，这称为第二阶段…将这样的操作无限地重复下去，余下的无穷点就称做康托尔集．那么经过第四个阶段后，留下的线段的长度之和为（　　）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意具体表示出前几个式子，然后推而广之发现规律．
【详解】解：根据题意知：第一阶段时，余下的线段的长度之和为，
第二阶段时，余下的线段的长度之和为 ，
第三阶段时，余下的线段的长度之和为 ，
第四阶段时，余下的线段的长度之和为 ，
故选：B．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出规律，解决问题．
7. 甲、乙、丙三家商店对一种定价相同文具开展促销活动，甲商店一次性降价30%；乙商店连续两次降价15%；丙商店先降价20%后又降价10%．若小雪准备在促销活动中，购买此种文具，则下列说法中，正确的是（ ）
A. 小雪到甲商店购买这种文具更合算
B. 小雪到乙商店购买这种文具更合算
C. 小雪到丙商店购买这种文具更合算
D. 在促销活动中，三家商店的这种文具售价相同，小雪可任选一家购买
【答案】A
【解析】
【分析】设这种文具的原价为元，分别求出甲、乙、丙三家商店降价后的价格，由此即可得．
【详解】解：设这种文具的原价为元，
甲商店降价后的价格为（元），
乙商店降价后的价格为（元），
丙商店降价后的价格为（元），
因为，
所以小雪到甲商店购买这种文具更合算，
故选：A．
【点睛】本题考查了代数式，正确求出甲、乙、丙三家商店降价后的价格是解题关键．
8. 如图，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若弧与弧所在圆的圆心都为点O，则阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用整体减去部分求阴影部分面积，即扇形减去扇形再减去的面积即可．
【详解】解：如图所示：






，
故选C．

【点睛】本题主要考查整体减部分求不规则图形面积，熟练掌握扇形面积及三角形面积的计算是解决本题的关键．
9. 如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（　　）


A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】左视图从左往右看，正方形的个数依次为：3，1．
故选A．
【点睛】本题考查了三视图，解决此题的关键是熟练掌握三视图的规则
10. 如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和( )

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值.
【详解】解：∵，分别为的中点，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
根据规律得到，
∴，故选A.
【点睛】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，相对较难.
二、填空题
11. 如图，在中，，，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，求的度数______．

【答案】23°##23度
【解析】
【分析】根据基本作图得到垂直平分，平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，再利用三角形内角和定理计算出，则，然后利用角平分线的定义求解．
【详解】解：题意可知垂直平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了尺规作图-基本作图、垂直平分线的性质、角平分线以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．
12. 为了解学生的阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了相应的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值）（0-1小时4人，1-2小时10人，2-3小时14人，3-4小时16人，4-5小时6人），若共有200名学生，则该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是_____．

【答案】88
【解析】
【分析】由200乘以样本中不低于3小时的人数的百分比即可得到答案．
【详解】解：该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是

故答案为：
【点睛】本题考查的是利用样本估计总体，求解学生阅读时间不低于3小时的人数的百分比是解本题的关键．
13. 若有理数a，b满足，则a＋b的值为______．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据，可知，，故可求出a＋b．
【详解】解：∵，
∴，令①+②可得：，
∴，
故答案为：−2
【点睛】本题对于绝对值和平方的非负性及求二元一次方程组的解的考查，理解两个非负数的和等于零时每一个非负数必为零的特点是解题的关键．
14. 某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目．规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记a分，第二名的班级记b分，第三名的班级记c分（，a，b，c均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和，该年级共有四个班，若这四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，则______，a的值为______．
【答案】 ①. 8 ②. 5
【解析】
【分析】根据五个比赛项目设定前三名的记分总和最后参加比赛的所有班级总成绩的和，得出的值，再结合，、、均为正整数的条件，列举出可能的值，再根据各班级的总成绩排除不符合题意的值．
【详解】解：设本次“体育节”五个比赛项目的记分总和为，则，
四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，
．
，
．
，、、均为正整数，
当时，，则；
当时，，则，此时，第一名的班级五个比赛项目都是第一，总得分为分，不符合题意舍去；
当时，，则，不满足，舍去；
当时，，则，不满足，舍去．
综上所得：，，．
故答案为：8，5．
【点睛】本题考查有理数的运算，从整体上考虑这次“体育节”设定的记分总和四个班总成绩的和，是解决本题的关键．
15. 某校为了了解初二学生每周零花钱的消费情况，随机抽取了该校50名学生进行调查，调查的结果绘制成如图所示的扇形图，根据图中的信息，估计该校400名初二学生每周零花钱消费超过50元的学生人数约为 ___ 人．

【答案】88
【解析】
【分析】先求出元人数所占百分比，再根据百分比之和为1求出超过50元人数所占百分比，最后用总人数乘以对应百分比即可．
【详解】解：∵元人数所占百分比为 ，
∴超过50元人数所占百分比为，
∴估计该校400名初二学生每周零花钱消费超过50元的学生人数约为（人），
故答案为：88．
【点睛】本题主要考查扇形统计图，用样本估计总体，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
16. 如图，在长方体中，与棱异面且与平面平行的棱是________．

【答案】棱，棱
【解析】
【分析】首先确定与BC平行的棱，再确定符合与CG异面的棱即可．
【详解】与棱异面且与平面平行的棱是：棱和棱．
故答案为：棱，棱．
【点睛】本题考查了认识立体图形，平行线的判定、异面直线的判定等知识，解题的关键是理解题意，属于基础题．
17. 为了解某区九年级3200名学生中观看2022北京冬奥会开幕式的情况，随机调查了其中200名学生，结果有150名学生全程观看了开幕式，请估计该区全程观看冬奥会开幕式的九年级学生人数约为______．
【答案】2400
【解析】
【分析】用总人数乘以样本中观看冬奥会开幕式的九年级学生人数所占比例即可．
【详解】估计该区全程观看冬奥会开幕式的九年级学生人数约为（人）
故答案为：2400
【点睛】本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，求出全程观看冬奥会开幕式的九年级学生人数．
三、解答题（8小题，18.19，6分、20.21，7分、22.23，8分、24.25，10分）
18. 已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】先用整式加减法则进行计算化为最简，再把代入计算即可得出答案．
【详解】解：原式=
=
∵，
∴原式=．
【点睛】本题主要考查了整式加减-化简求值，熟练掌握整式的加减-化简求值的方法进行求解是解决本题的关键．
19. 阅读下面材料：
小明和小丽在信息技术课上设计了一个小游戏程序：开始时两人的屏幕上显示的数分别是2a和10a－1，如图．每按一次屏幕，小明的屏幕上的数就会加上a2，同时小丽的屏幕上的数就会减去2a，且均显示化简后的结果，如下表：


开始数
按一次后
按二次后
按三次后
按四次后
小明





小丽





根据以上的信息回答问题：
（1）按四次后，两人屏幕上显示的结果是：小明____；小丽____；
（2）判断（1）中两个结果的大小，并说明理由．
【答案】（1）；2a-1；（2）小明的结果＞小丽的结果，理由见解析
【解析】
【分析】(1)根据题目所给的定义，每按一次屏幕，小明的屏幕上的数就会加上a2，同时小丽的屏幕上的数就会减去2a进行计算得出结果即可；
(2) 利用作差法，结合平方的非负性即可比较大小．
【详解】解：(1)按4次，小明的屏幕上的数等于2a加4个，即为，
按4次，小丽的屏幕上的数等于10a－1减4个，为，
故答案为：，；
(2)
=
∵，
∴，
故．
即小明的结果＞小丽的结果．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用．掌握作差法，能用知道平方的非负性是解题关键．
20. 如图1，摆放一副三角尺，使得点O在AB边上，将三角尺COD绕点O旋转．

（1）若∠AOD=0°，则∠COB＝ °；
（2）若∠AOD=45°，请在图2中画出∠COB；
（3）当∠AOD=α（0°＜α＜180°）时，求∠BOC的度数（结果可用α表示）．
【答案】（1）90 （2）见解析
（3）∠BOC的度数为90°+α或270°-α或90°-α或α-90°．
【解析】
【分析】（1）根据题意，作出图形可直接得到；
（2）分为两种情况，当射线OD在直线AB上方时；当射线OD在直线AB下方时，画出图形即可；
（3）分析同（2），用α表示∠COB即可．
【小问1详解】
解：当∠AOD=0°时，如图1所示，

此时∠COB=90°，
故答案为：90；
【小问2详解】
解：当∠AOD=45°时，分为两种情况，
当射线OD在直线AB上方时，如图2所示：

当射线OD在直线AB下方时，如图3所示；
【小问3详解】
当AOD是锐角时，如图，

∵∠AOD=α，
∴∠AOC=90°-α，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-（90°-α）=90°+α；
如图，

∵∠AOD=α，
∴∠AOC=α+90°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-（α+90°）=90°-α；
当∠AOD是钝角时，如图，

∵∠AOD=α，
∴∠AOC=α-90°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-（α-90°）=270°-α；
如图，

∵∠AOD=α，
∴∠BOD=180°-α，
∴∠BOC=90°-∠BOD=90°-（180°-α）=α-90°；
综上，∠BOC的度数为90°+α或270°-α或90°-α或α-90°．
【点睛】本题主要考查了角度的和差计算，考查学生几何直观能力，由图形得出角度之间的和差关系式解题关键．
21. 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上的一点，将△ABC沿AD翻折后，点B恰好落在线段CD上的B'处，且AB'平分∠CAD．求∠BAB'的度数．

【答案】60°
【解析】
【分析】由折叠和角平分线可求∠BAD=30°，即可求出∠BAB'的度数．
【详解】解：由折叠可知，∠BAD=∠B'AD，
∵AB'平分∠CAD．
∴∠B'AC=∠B'AD，
∴∠BAD=∠B'AC=∠B'AD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD=∠B'AC=∠B'AD=30°，
∴∠BAB'=60°．
【点睛】本题考查了折叠和角平分线，解题关键是掌握折叠角相等和角平分线的性质．
22. 在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于r（r为常数），到点O的距离等于r的所有点组成图形G，ÐABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．求证：AD=CD．

【答案】见解析
【解析】
【分析】由题意画图，再根据圆周角定理的推论即可得证结论．
【详解】证明：根据题意作图如下：

∵BD是圆周角ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴，
∴AD=CD．
【点睛】本题考查了角，弧，弦之间的关系，熟练掌握三者的关系定理是解题的关键．
23. 数轴上，已知AB＝a，AC＝b．令AN=2b-a,

（1）尺规作图，在点A的左边找出点N，（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若a＝5，b＝4，点A在数轴上所代表的数为﹣8，那么点N在数轴上所代表的数为多少．
【答案】（1）见详解；
（2）点N表示的数为-11或-5．
【解析】
【分析】（1）在射线AC上截取CD=AC=b，在线段DA上截取DN=AB=a，则AN=2b-a所求；
（2）先求出AN=3，当点N在点A左边，点N表示的数为-8-3=-11，当点N在点A右边，点N表示的数为-8+3=-5．
【小问1详解】
解：在射线AC上截取CD=AC=b，
线段DA上截取DN=AB=a，
则N为所求；
【小问2详解】
解：∵a＝5，b＝4，
∴AN=2b﹣a=2×4-5=8-5=3，
当点N在点A左边，点A在数轴上所代表的数为﹣8，
∴点N表示的数为-8-3=-11，
当点N在点A右边，点A在数轴上所代表的数为﹣8，
∴点N表示的数为-8+3=-5，
∴点N表示的数为-11或-5．
【点睛】本题考查尺规作图，线段和差，代数式求值，数轴表示数，数轴上两点距离，掌握尺规作图，线段和差，代数式求值，数轴表示数，数轴上两点距离是解题关键．
24. 问题：如图，点C是线段的中点，点D在线段上，点E是线段的中点．
若，求线段的长．

请补全以下解答过程．
解：∵点C是线段的中点，__________________，
∴，．
∵________，
∴_______．
∵，
∴_______．
【答案】点E是线段的中点，AD，2AC，6
【解析】
【分析】先根据点C是线段AB的中点，点E是线段AD的中点，得到AB=2AC，AD=2AE，再根据DB=AB-AD，等量代换可得DB=2EC，进而求出线段DB的长．
【详解】解：∵点C是线段的中点，点E是线段的中点，
∴，．
∵AD，
∴2AC．
∵，
∴6．
故答案为：点E是线段的中点，AD，2AC，6．
【点睛】本题考查的是两点间的距离，以及线段的中点，解答此类问题时要注意各线段之间的和、差关系．
25. 如图①，甲，乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面是正方形，容器乙的底面是矩形．如图②，已知正方形与矩形满足如下条件：正方形外切于一个半径为5米的圆，矩形内接于这个圆，．
（1）求容器甲，乙容积分别为多少立方米？
（2）现在我们分别向容器甲，乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后．把容器甲的注水流量增加立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变．直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为时，我们把容器甲的水位高度记为，容器乙的水位高度记为，设，已知（米）关于注水时间（小时）的函数图像如图③所示，其中平行于横轴．根据图中所给信息，解决下列问题：
①求的值；
②求图③中线段所在直线的解析式．


【答案】（1）甲600立方米，乙240立方米；（2）①；②．
【解析】
【分析】（1）根据题意画出图形即可直接得出正方形的边长，即可求出容器甲的容积；连接，由圆周角定理的推论可知为直径，即，再在中，根据勾股定理即可求出EF和EH的长，即可求出容器乙的容积．
（2）根据题意可求出容器甲的底面积为平方米，容器乙的底面积为平方米．
①当时，根据题意即可求出此时的值，即得出M点坐标．由平行于横轴，即得出N点坐标，即6小时后高度差仍为米，由此即可列出关于a的等式，解出a即可．
②设注水b小时后，，根据题意可列出关于b的等式，解出b即得到P点坐标．设线段所在直线的解析式为，利用待定系数法即可求出其解析式．
【详解】（1）由图知，正方形的边长，
∴容器甲的容积为立方米．
如图，连接，
∵，
∴为直径．
在中，，，
根据勾股定理，得，，
∴容器乙的容积为立方米．

（2）根据题意可求出容器甲的底面积为平方米，容器乙的底面积为平方米．
①当时，．
∵平行于横轴，
∴，．
由上述结果，知6小时后高度差仍为1.5米，
∴．
解得．
②设注水b小时后，，则有．
解得，即．
设线段所在直线的解析式为，
∵、在直线上，
∴，
解得：．
∴线段所在直线的解析式为．